Post on 13-Dec-2015
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MÉTODO DE ÁREA MOMENTO
De la ecuación general de flexión tenemos:
EI
M
dx
d
Integrando: dx
EI
Md
B
A
AB dxEI
M)(
tengamos presente que 1
EI
M
curvatura de un elemento viga.
Teorema 1:
El área bajo el diagrama de curvatura EIM
entre dos puntos A y B es igual al cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elástica.
Se puede usar para vigas con EI variable.BA : ángulo tangente en B medido desde la tangente en A.
Se mide en radianes.Áreas positivas indican que la pendiente crece.
W
M/EI
Diagrama de momentos sobre EI= curvatura
A B
B A
B
B
A
AB dxEI
M
Teorema 2:
Por teoría de los ángulos pequeños tenemos:
CAACAC Xd /// * , si sumamos todos los desplazamientos
verticales obtenemos la desviación vertical entre las tangentes en A y B.
B
AA
BBA dxEI
MX/
momento de primer orden con respecto a A del
área bajo la curva de EIM
entre A Y B.
El teorema es: “La desviación de la tangente en un punto A sobre la curva elástica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto
B, es igual al momento del área bajo la curva EIM
entre los puntos Ay B con respecto a un eje A.Se cumple siempre cuando en la curva no haya discontinuidades por articulaciones.Esta desviación siempre es perpendicular a la posición original de la viga y se denomina flecha.
Ejemplo:
(-)
(+)
A A/CC D
XC/A
A/D
XD/A
B
Determinar las flechas en los puntos B y C y la pendiente elástica en el punto B.E, I constantes.
Pasos a realizar:1. Encontrar el diagrama de momentos. 2. Dividir M por EI y trazar la curva elástica tentativa. 3. Para encontrar fijar un punto inicial al cual se le conozca la
pendiente e integrar el diagrama de curvatura entre el punto inicial de referencia y el punto pedido. Cambio en = área bajo M/EI
4. Para encontrar flechas, tomar un punto inicial al que se le conozca su flecha, preferiblemente un apoyo. El cambio de la flecha se calcula como el primer momento del área bajo el diagrama de M/EI con respecto al punto sobre el que se va a encontrar la deflexión. ( X *Área bajo la curva de M/EI midiendo X desde el punto al que se le va a hallar la deflexión).
5. Signos, un cambio de pendiente positivo osea áreas positivas de M/EI indican qque la pendiente crece.
Ejercicio Para la siguiente viga determinar la deflexión y rotación en el punto C en función de EI. 03*20AA MM
mtfM A 60
02060 xMM XX
306020 xxM X
630 xM X
20t
3m 3m
M=60t-m
20t
3m 3m
ACB
20t
0.30
0.20
x
B
CA3m
-60
42
2
**2
*1803*60
mm
tEI
mt
EIárea
adimensional (radianes)0A condición de apoyo
?B
EIEI BAB
90
2
180
C - B = 0 por no existir momento en ese tramo. BC
Rpta.
Flecha = momento de primer orden con respecto a B
EI
m
EIAB
180)3(*
3
2*
90/
si 0 A positivo
EIB
180
EI
m
EIAC
4503
3
3*2*
90/
Rpta.
Ejercicio
0A
Determinar D y max
B
B
B
C
CX
A=0Curva elástica tentativa
5 10
15
4m 2m
3mDA C
B/A =B - A
C/A =C - A
C=450m / EI
B = -90/EI
C = -90/EI
dxEI
MD
A
AD /
EIEIEIAD
5.22
2
45
2
3*15
EIAD
5.22
3
3*
2
3*15/
3
2*2*
2
2*202
3
4*
2
4*20/
AC
EIAC
160
3
480
3
80
3
2*200/
DESVIACIÓN POSITIVA
EIEI
LAC
A
67.26
6
160
/
NEGATIVA
EIEID
01.803*
67.26
EIEIEIYD
51.575.2201.80
Remplazando en 1:
EID
17.4
EIEIAC
40
2*
4*20/
EIAB
40
EIB
67.66
EI
X
EI
XAm
22
*2
5
*4*2
20*
EI
X
EI
2
*2
567.26
27.3X
Busquemos el punto de tangencia cero, 0 , punto de max
EIEIAm
14.29
3
27.3*
4
20*
2
27.3/
21.8727.3*67.26
* EI
xm A
EIYm
1.58
M/EI 20/EI
θD/A ∆D/A∆C/A
YD