1. Unidades de uso comn en Estados Unidos y sus equivalencias
en unidades del SI Cantidad Unidades de uso comn Equivalente del SI
en Estados Unidos Aceleracin rea in.2 Energa 1.356 J Fuerza kip
4.448 kN lb 4.448 N oz 0.2780 N Impulso Longitud ft 0.3048 m in.
25.40 mm mi 1.609 km Masa oz masa 28.35 g lb masa 0.4536 kg slug
14.59 kg ton 907.2 kg Momento de una fuerza Momento de inercia de
un rea in.4 de una masa Potencia 1.356 W hp 745.7 W Presin o
esfuerzo 47.88 Pa lb/in.2 (psi) 6.895 kPa Velocidad ft/s 0.3048 m/s
in./s 0.0254 m/s mi/h (mph) 0.4470 m/s mi/h (mph) 1.609 km/h
Volumen, slidos in.3 Lquidos gal 3.785 L qt 0.9464 L Trabajo 1.356
Jft lb 16.39 cm3 0.02832 m3 ft3 lb/ft2 ft lb/s 1.356 kg m2 lb ft s2
0.4162 106 mm4 0.1130 N mlb in. 1.356 N mlb ft 4.448 N slb s ft lb
645.2 mm2 0.0929 m2 ft2 0.0254 m/s2 in./s2 0.3048 m/s2 ft/s2
2. MECNICA DE MATERIALES
3. MXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA MADRID NUEVA YORK
SAN JUAN SANTIAGO SO PAULO AUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL NUEVA
DELHI SAN FRANCISCO SINGAPUR SAN LUIS SIDNEY TORONTO Revisin
tcnica: Jess Manuel Dorador G. Universidad Nacional Autnoma de
Mxico FERDINAND P. BEER (finado) Late of Lehigh University E.
RUSSELL JOHNSTON, JR. University of Connecticut JOHN T. DEWOLF
University of Connecticut DAVID F. MAZUREK United States Coast
Guard Academy MECNICA DE MATERIALES Quinta edicin
4. Director Higher Education: Miguel ngel Toledo Castellanos
Editor sponsor: Pablo E. Roig Vzquez Coordinadora editorial:
Marcela I. Rocha M. Editor de desarrollo: Edmundo Carlos Ziga
Gutirrez Supervisor de produccin: Zeferino Garca Garca Traduccin:
Jess Elmer Murrieta Murrieta MECNICA DE MATERIALES Quinta edicin
Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por
cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor. DERECHOS
RESERVADOS 2010, 2007, 2003, 1993, 1982 respecto a la quinta edicin
en espaol por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. A
Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. Prolongacin Paseo de
la Reforma Nm. 1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe,
Delegacin lvaro Obregn C.P. 01376, Mxico, D. F. Miembro de la Cmara
Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736 ISBN-13:
978-607-15-0263-6 (ISBN: 970-10-6101-2 edicin anterior) Traducido
de la quinta edicin en ingls de: Mechanics of Materials, fifth
edition. Copyright 2009 by The McGraw-Hill Companies, Inc. All
rights reserved. ISBN 0-07-722140-0 1234567890 109876543210 Impreso
en Mxico Printed in Mexico
5. Acerca de los autores Como editores de los libros escritos
por Ferd Beer y Russ Johnston, a me- nudo se nos pregunta cmo fue
que escribieron juntos sus libros, cuando uno de ellos trabaja en
Lehigh y el otro en la University of Connecticut. La respuesta a
esta pregunta es sencilla. El primer trabajo docente de Russ
Johnston fue en el Departamento de Ingeniera Civil y Mecnica de
Lehigh University. Ah conoci a Ferd Beer, quien haba ingresado a
ese de- partamento dos aos antes y estaba al frente de los cursos
de mecnica. Fred Beer naci en Francia y se educ en ese pas y en
Suiza. Alcanza el grado de maestro en Ciencias en la Sorbona y el
de doctor en Ciencias en el cam- po de la mecnica terica en la
Universidad de Ginebra. Lleg a Estados Uni- dos tras servir en el
ejrcito francs a comienzos de la Segunda Guerra Mun- dial. Tambin
ense durante cuatro aos en el Williams College en el programa
conjunto de arte e ingeniera de Williams-MIT. Russ Johnston na- ci
en Filadelfia y obtuvo el grado de licenciado en Ciencias en la
Univer- sity of Delaware y el grado de Doctor en Ciencias en el
campo de ingenie- ra estructural en el MIT. Beer se alegr al
descubrir que el joven que haba sido contratado prin- cipalmente
para impartir cursos de posgrado en ingeniera estructural no slo
deseaba ayudarlo a reestructurar los cursos de mecnica, sino que
es- taba ansioso por hacerlo. Ambos compartan la idea de que estos
cursos de- beran ensearse a partir de algunos principios bsicos y
que los estudian- tes entenderan y recordaran mejor los diversos
conceptos involucrados si stos se presentaban de manera grfica.
Juntos redactaron notas para las c- tedras de esttica y dinmica, a
las que despus aadieron problemas que, pensaron, seran de inters
para los futuros ingenieros. Pronto tuvieron en sus manos el
manuscrito de la primera edicin de Mechanics for Engineers. Cuando
apareci la segunda edicin de este texto y la primera edicin de
Vector Mechanics for Engineers, Russ Johnston se hallaba en el
Worcester Polytechnics Institute. Al publicarse las siguientes
ediciones ya trabajaba en la University of Connecticut. Mientras
tanto, Beer y Johnston haban asumido responsabilidades
administrativas en sus departamentos, y ambos estaban involucrados
en la investigacin, en la consultora y en la supervi- sin de
estudiantes: Beer en el rea de los procesos estocsticos y de las
vibraciones aleatorias, y Johnston en el rea de la estabilidad
elstica y del diseo y anlisis estructural. Sin embargo, su inters
por mejorar la ense- anza de los cursos bsicos de mecnica no haba
menguado, y ambos di- rigieron secciones de estos cursos mientras
continuaban revisando sus tex- vii
6. tos y comenzaron a escribir juntos el manuscrito para la
primera edicin de Mechanics of Materials. Las contribuciones de
Beer y Johnston a la educacin en la ingeniera les han hecho
merecedores de varios premios y honores. Se les otorg el pre- mio
Western Electric Fund Award por la excelencia en la instruccin de
los estudiantes de ingeniera por sus secciones regionales
respectivas de la Ame- rican Society for Engineering Education, y
ambos recibieron el Premio al Educador Distinguido (Distinguished
Educator Award) de la Divisin de Me- cnica de la misma sociedad. En
1991 Jonhston recibi el Premio al Inge- niero Civil Sobresaliente
(Outstanding Civil Engineer Award) de la seccin del estado de
Connecticut de la American Society of Civil Engineering, y en 1995
Beer obtuvo el grado honorario de doctor en ingeniera por la Lehigh
University. John T. DeWolf, profesor de ingeniera civil de la
University of Con- necticut, se uni al equipo de Beer y Johnston
como autor en la segunda edi- cin de Mecnica de materiales. John es
licenciado en Ciencias en ingenie- ra civil por la University of
Hawaii y obtuvo los grados de maestra y doctorado en ingeniera
estructural por la Cornell University. Las reas de su inters en la
investigacin son las de estabilidad elstica, monitoreo de puen- tes
y anlisis y diseo estructural. Es miembro de la Junta de
Examinadores de Ingenieros Profesionales del Estado de Connecticut
y fue seleccionado como miembro del Magisterio de la Universit y of
Connecticut en 2006. David F. Mazurek, profesor de ingeniera civil
en la United States Coast Guard Academy, es un autor nuevo en esta
edicin. David cuenta con una li- cenciatura en Ingeniera
oceanogrfica y una maestra en Ingeniera civil por el Florida
Institute of Technology, as como un doctorado en Ingeniera civil
por la University of Connecticut. Los ltimos diecisiete aos ha
trabajado para el Comit de Ingeniera y Mantenimiento de Vas y
Caminos Estado- unidenses en el rea de estructuras de acero. Entre
sus intereses profesiona- les se incluyen la ingeniera de puentes,
el anlisis forense de estructuras y el diseo resistente a las
explosiones. viii Acerca de los autores
7. Contenido Prefacio xv Lista de smbolos xxi 1 INTRODUCCIN. EL
CONCEPTO DE ESFUERZO 1 1.1 Introduccin 2 1.2 Un breve repaso de los
mtodos de la esttica 2 1.3 Esfuerzos en los elementos de una
estructura 5 1.4 Anlisis y diseo 6 1.5 Carga axial. Esfuerzo normal
7 1.6 Esfuerzo cortante 9 1.7 Esfuerzo de apoyo en conexiones 11
1.8 Aplicacin al anlisis y diseo de estructuras sencillas 12 1.9
Mtodo para la solucin de problemas 14 1.10 Exactitud numrica 15
1.11 Esfuerzos en un plano oblicuo bajo carga axial 23 1.12
Esfuerzos bajo condiciones generales de carga. Componentes del
esfuerzo 24 1.13 Consideraciones de diseo 27 Repaso y resumen del
captulo 1 38 2 ESFUERZO Y DEFORMACIN. CARGA AXIAL 46 2.1
Introduccin 47 2.2 Deformacin normal bajo carga axial 48 2.3
Diagrama esfuerzo-deformacin 50 *2.4 Esfuerzo y deformacin
verdaderos 55 2.5 Ley de Hooke. Mdulo de elasticidad 56 ixix
8. 2.6 Comportamiento elstico contra comportamiento plstico de
un material 57 2.7 Cargas repetidas. Fatiga 59 2.8 Deformaciones de
elementos sometidas a carga axial 61 2.9 Problemas estticamente
indeterminados 70 2.10 Problemas que involucran cambios de
temperatura 74 2.11 Relacin de Poisson 84 2.12 Carga multiaxial.
Ley de Hooke generalizada 85 *2.13 Dilatacin. Mdulo de elasticidad
volumtrico (o mdulo de compresibilidad) 87 2.14 Deformacin unitaria
cortante 89 2.15 Anlisis adicional de las deformaciones bajo carga
axial. Relacin entre E, y G 92 *2.16 Relaciones de
esfuerzo-deformacin para materiales compuestos reforzados con
fibras 95 2.17 Distribucin del esfuerzo y de la deformacin bajo
carga axial. Principio de Saint-Venant 104 2.18 Concentraciones de
esfuerzos 107 2.19 Deformaciones plsticas 109 *2.20 Esfuerzos
residuales 113 Repaso y resumen del captulo 2 121 3 TORSIN 131 3.1
Introduccin 132 3.2 Anlisis preliminar de los esfuerzos en un eje
134 3.3 Deformaciones en un eje circular 136 3.4 Esfuerzos en el
rango elstico 139 3.5 ngulo de giro en el rango elstico 150 3.6
Ejes estticamente indeterminados 153 3.7 Diseo de ejes de
transmisin 165 3.8 Concentraciones de esfuerzo en ejes circulares
167 *3.9 Deformaciones plsticas en ejes circulares 172 *3.10 Ejes
circulares hechos de un material elastoplstico 174 *3.11 Esfuerzos
residuales en ejes circulares 177 *3.12 Torsin de elementos no
circulares 186 *3.13 Ejes huecos de pared delgada 189 Repaso y
resumen del captulo 3 198 4 FLEXIN PURA 208 4.1 Introduccin 209 4.2
Elemento simtrico sometido a flexin pura 211 4.3 Deformaciones en
un elemento simtrico sometido a flexin pura 213 n x Contenido
9. 4.4 Esfuerzos y deformaciones en el rango elstico 216 4.5
Deformaciones en una seccin transversal 220 4.6 Flexin de elementos
hechos de varios materiales 230 4.7 Concentracin de esfuerzos 234
*4.8 Deformaciones plsticas 243 *4.9 Elementos hechos de material
elastoplstico 246 *4.10 Deformaciones plsticas en elementos con un
solo plano de simetra 250 *4.11 Esfuerzos residuales 250 4.12 Carga
axial excntrica en un plano de simetra 260 4.13 Flexin asimtrica
270 4.14 Caso general de carga axial excntrica 276 *4.15 Flexin de
elementos curvos 285 Repaso y resumen del captulo 4 298 5 ANLISIS Y
DISEO DE VIGAS PARA FLEXIN 307 5.1 Introduccin 308 5.2 Diagramas de
cortante y de momento flector 311 5.3 Relaciones entre la carga, el
cortante y el momento flector 322 5.4 Diseo de vigas prismticas a
la flexin 332 *5.5 Uso de funciones de singularidad para determinar
el cortante y el momento flector en una viga 343 *5.6 Vigas no
prismticas 354 Repaso y resumen del captulo 5 363 6 ESFUERZOS
CORTANTES EN VIGAS Y EN ELEMENTOS DE PARED DELGADA 371 6.1
Introduccin 372 6.2 Cortante en la cara horizontal de un elemento
de una viga 374 6.3 Determinacin de los esfuerzos cortantes en una
viga 376 6.4 Esfuerzos cortantes txy en tipos comunes de vigas 377
*6.5 Anlisis adicional sobre la distribucin de esfuerzos en una
viga rectangular delgada 380 6.6 Corte longitudinal en un elemento
de viga con forma arbitraria 388 6.7 Esfuerzos cortantes en
elementos de pared delgada 390 *6.8 Deformaciones plsticas 392 *6.9
Carga asimtrica de elementos de pared delgada. Centro de cortante
402 Repaso y resumen del captulo 6 414 Contenido xi
10. 7 TRANSFORMACIONES DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES 422 7.1
Introduccin 423 7.2 Transformacin de esfuerzo plano 425 7.3
Esfuerzos principales. Esfuerzo cortante mximo 428 7.4 Crculo de
Mohr para esfuerzo plano 436 7.5 Estado general de esfuerzos 446
7.6 Aplicacin del crculo de Mohr al anlisis tridimensional de
esfuerzos 448 *7.7 Criterios de fluencia para materiales dctiles
bajo esfuerzo plano 451 *7.8 Criterios de fractura para materiales
frgiles bajo esfuerzo plano 453 7.9 Esfuerzos en recipientes de
pared delgada a presin 462 *7.10 Transformacin de deformacin plana
470 *7.11 Crculo de Mohr para deformacin plana 473 *7.12 Anlisis
tridimensional de la deformacin 475 *7.13 Mediciones de la
deformacin. Roseta de deformacin 478 Repaso y resumen del captulo 7
486 8 ESFUERZOS PRINCIPALES BAJO UNA CARGA DADA 495 *8.1
Introduccin 496 *8.2 Esfuerzos principales en una viga 497 *8.3
Diseo de ejes de transmisin 500 *8.4 Esfuerzos bajo cargas
combinadas 508 Repaso y resumen del captulo 8 521 9 DEFLEXIN DE
VIGAS 529 9.1 Introduccin 530 9.2 Deformacin de una viga bajo carga
transversal 532 9.3 Ecuacin de la curva elstica 533 *9.4
Determinacin directa de la curva elstica a partir de la distribucin
de carga 538 9.5 Vigas estticamente indeterminadas 540 *9.6 Uso de
funciones de singularidad para determinar la pendiente y la
deflexin de una viga 549 9.7 Mtodo de superposicin 558 xii
Contenido
11. 9.8 Aplicacin de la superposicin a vigas estticamente
indeterminadas 560 *9.9 Teoremas de momento de rea 569 *9.10
Aplicacin a vigas en voladizo y vigas con cargas simtricas 571
*9.11 Diagramas de momento flector por partes 573 *9.12 Aplicacin
de los teoremas de momento de rea a vigas con cargas asimtricas 582
*9.13 Deflexin mxima 584 *9.14 Uso de los teoremas de momento de
rea con vigas estticamente indeterminadas 586 Repaso y resumen del
captulo 9 594 10 COLUMNAS 606 10.1 Introduccin 607 10.2 Estabilidad
de estructuras 608 10.3 Frmula de Euler para columnas articuladas
610 10.4 Extensin de la frmula de Euler para columnas con otras
condiciones de extremo 614 *10.5 Carga excntrica. Frmula de la
secante 625 10.6 Diseo de columnas bajo una carga cntrica 636 10.7
Diseo de columnas bajo una carga excntrica 652 Repaso y resumen del
captulo 10 662 11 MTODOS DE ENERGA 669 11.1 Introduccin 670 11.2
Energa de deformacin 670 11.3 Densidad de energa de deformacin 672
11.4 Energa elstica de deformacin para esfuerzos normales 674 11.5
Energa de deformacin elstica para esfuerzos cortantes 677 11.6
Energa de deformacin para un estado general de esfuerzos 680 11.7
Cargas de impacto 693 11.8 Diseo para cargas de impacto 695 11.9
Trabajo y energa bajo una carga nica 696 11.10 Deflexin bajo una
carga nica por el mtodo de trabajo-energa 698 *11.11 Trabajo y
energa bajo varias cargas 709 *11.12 Teorema de Castigliano 711
*11.13 Deflexiones por el teorema de Castigliano 712 *11.14
Estructuras estticamente indeterminadas 716 Repaso y resumen del
captulo 11 726 Contenido xiii
12. APNDICES 735 A Momentos de reas 736 B Propiedades tpicas de
materiales seleccionados usados en ingeniera 746 C Propiedades de
perfiles laminados de acero 750 D Deflexiones y pendientes de vigas
762 E Fundamentos de la certificacin en ingeniera en Estados Unidos
763 Crditos de fotografas 765 ndice 767 Respuestas a los problemas
777 xiv Contenido
13. PREFACIO OBJETIVOS El objetivo principal de un curso bsico
de mecnica es lograr que el estu- diante de ingeniera desarrolle su
capacidad para analizar de una manera sencilla y lgica un problema
dado, y que aplique a su solucin unos po- cos principios
fundamentales bien entendidos. Este libro se dise para el primer
curso de mecnica de materiales o de resistencia de materiales que
se imparte a los estudiantes de ingeniera de segundo o tercer ao.
Los autores esperan que la presente obra ayude al profesor a
alcanzar esta meta en un curso en particular, de la misma manera
que sus otros libros pueden haberle ayudado en esttica y dinmica.
ENFOQUE GENERAL En este libro el estudio de la mecnica de
materiales se basa en la compren- sin de los conceptos bsicos y en
el uso de modelos simplificados. Este en- foque hace posible
deducir todas las frmulas necesarias de manera lgica y racional, e
indicar claramente las condiciones bajo las que pueden aplicarse
con seguridad al anlisis y diseo de estructuras ingenieriles y
componentes de mquinas reales. Los diagramas de cuerpo libre se
usan de manera extensa. Los diagramas de cuerpo libre se emplean
extensamente en todo el libro para de- terminar las fuerzas
internas o externas. El uso de ecuaciones en dibujo tambin permitir
a los estudiantes comprender la superposicin de cargas, as como los
esfuerzos y las deformaciones resultantes. Los conceptos de diseo
se estudian a lo largo de todo el libro y en el momento apropiado.
En el captulo 1 puede encontrarse un an- lisis de la aplicacin del
factor de seguridad en el diseo, donde se presen- tan los conceptos
tanto de diseo por esfuerzo permisible como de diseo por factor de
carga y resistencia. Se mantiene un balance cuidadoso entre las
unidades del SI y las del sistema ingls. Puesto que es esencial que
los estudiantes sean capaces de manejar tanto las unidades del
sistema mtrico o SI como las del sistema ingls, la mitad de los
ejemplos, los problemas modelo y los pro- blemas de repaso se han
planteado en unidades SI, y la otra mitad en unida- xv
14. des estadounidenses. Como hay disponible un gran nmero de
problemas, los instructores pueden asignarlos utilizando cada
sistema de unidades en la pro- porcin que consideren ms deseable
para su clase. En las secciones opcionales se ofrecen temas
avanzados o espe- cializados. En las secciones optativas se han
incluido temas adicionales, como esfuerzos residuales, torsin de
elementos no circulares y de pared del- gada, flexin de vigas
curvas, esfuerzos cortantes en elementos no simtri- cos, y
criterios de falla, temas que pueden usarse en cursos con distintos
al- cances. Para conservar la integridad del material de estudio,
estos temas se presentan, en la secuencia adecuada, dentro de las
secciones a las que por l- gica pertenecen. As, aun cuando no se
cubran en el curso, estn altamente evidenciados, y el estudiante
puede consultarlos si as lo requiere en cursos posteriores o en su
prctica de la ingeniera. Por conveniencia, todas las sec- ciones
optativas se han destacado con asteriscos. ORGANIZACIN DE LOS
CAPTULOS Se espera que los estudiantes que empleen este texto ya
hayan completado un curso de esttica. Sin embargo, el captulo 1 se
dise para brindarles la oportunidad de repasar los conceptos
aprendidos en dicho curso, mientras que los diagramas de cortante y
de momento flexionante se cubren con de- talle en las secciones 5.2
y 5.3. Las propiedades de momentos y centroides de reas se
describen en el apndice A; este material puede emplearse para
reforzar el anlisis de la determinacin de esfuerzos normales y
cortantes en vigas (captulos 4, 5 y 6). Los primeros cuatro
captulos del libro se dedican al anlisis de los es- fuerzos y las
deformaciones correspondientes en diversos elementos estruc-
turales, considerando sucesivamente carga axial, torsin y flexin
pura. Cada anlisis se sustenta en algunos conceptos bsicos, tales
como las condicio- nes de equilibrio de las fuerzas ejercidas sobre
el elemento, las relaciones existentes entre el esfuerzo y la
deformacin unitaria del material, y las con- diciones impuestas por
los apoyos y la carga del elemento. El estudio de cada tipo de
condicin de carga se complementa con un gran nmero de ejemplos,
problemas modelo y problemas por resolver, diseados en su totalidad
para fortalecer la comprensin del tema por parte de los alumnos. En
el captulo 1 se introduce el concepto de esfuerzo en un punto,
donde se muestra que una carga axial puede producir esfuerzos
cortantes as como esfuerzos normales, dependiendo de la seccin
considerada. El que los es- fuerzos dependen de la orientacin de la
superficie sobre la que se calculan se enfatiza de nuevo en los
captulos 3 y 4, en los casos de torsin y flexin pura. Sin embargo,
el anlisis de las tcnicas de clculo como el crculo de Mohr
empleadas para la transformacin del esfuerzo en un punto se
presenta en el captulo 7, despus de que los estudiantes han tenido
la opor- tunidad de resolver los problemas que involucran una
combinacin de las car- gas bsicas y han descubierto por s mismos la
necesidad de tales tcnicas. En el captulo 2, el anlisis de la
relacin entre el esfuerzo y la defor- macin en varios materiales
incluye los materiales compuestos con reforza- miento fibroso.
Tambin, el estudio de vigas bajo carga transversal se cubre en dos
captulos por separado. El captulo 5 est dedicado a la determinacin
de los esfuerzos normales en una viga y al diseo de vigas con base
en los esfuerzos normales permisibles en el material empleado
(seccin 5.4). El ca- ptulo empieza con un anlisis de los diagramas
de cortante y de momento xvi Prefacio
15. flexionante (secciones 5.2 y 5.3) e incluye una seccin
opcional acerca del uso de las funciones de singularidad para la
determinacin del cortante y del momento flexionante en una viga
(seccin 5.5). El captulo termina con una seccin optativa acerca de
vigas no prismticas (seccin 5.6). El captulo 6 se dedica a la
determinacin de los esfuerzos cortantes en vigas y elementos de
pared delgada bajo cargas transversales. La frmula del flujo por
cortante, q = VQ/I, se determina de la manera tradicional. Los as-
pectos ms avanzados del diseo de vigas, como la determinacin de los
es- fuerzos principales en la unin del patn y el alma de una viga
W, se en- cuentran en el captulo 8, un captulo optativo que puede
cubrirse despus de haber estudiado las transformaciones de
esfuerzos en el captulo 7. El diseo de ejes de transmisin est en
ese captulo por la misma razn, as como la determinacin de esfuerzos
bajo cargas combinadas que ahora puede incluir la determinacin de
los esfuerzos principales, de los planos principales, y del
esfuerzo cortante mximo en un punto dado. Los problemas
estticamente indeterminados se analizan primero en el captulo 2, y
despus se manejan a lo largo de todo el texto para las diversas
condiciones de carga encontradas. De esta manera, se les presenta a
los es- tudiantes, desde una etapa temprana, un mtodo de solucin
que combina el anlisis de deformaciones con el anlisis convencional
de fuerzas empleado en esttica. As, se busca que al finalizar el
curso el estudiante se encuentre completamente familiarizado con
dicho mtodo fundamental. Adems, este enfoque ayuda a los
estudiantes a darse cuenta de que los esfuerzos son es- tticamente
indeterminados y slo pueden calcularse considerando la corres-
pondiente distribucin de deformaciones unitarias. El concepto de
deformacin plstica se introduce en el captulo 2, donde se aplica al
anlisis de elementos bajo carga axial. Los problemas que invo-
lucran la deformacin plstica de ejes circulares y de vigas
prismticas se consideran tambin en las secciones opcionales de los
captulos 3, 4 y 6. Aun- que el profesor puede omitir parte de este
material, si as lo cree pertinente, su inclusin en el cuerpo del
libro se debi a que se considera til que los estudiantes comprendan
las limitaciones de la suposicin de una relacin li- neal entre el
esfuerzo y la deformacin unitaria, y servir para prevenirlos contra
el uso inapropiado de las frmulas de torsin y de flexin elstica. En
el captulo 9 se estudia la determinacin de la deflexin en vigas. La
primera parte del captulo se dedica a los mtodos de integracin y de
su- perposicin, e incluye una seccin opcional (la seccin 9.6) que
se basa en el uso de las funciones de singularidad. (Esta seccin
deber usarse nica- mente despus de haber cubierto la 5.5.) La
segunda parte del captulo 9 es opcional. Presenta el mtodo de rea
de momento en dos lecciones. El captulo 10 se dedica al estudio de
columnas y contiene material acerca del diseo de columnas de acero,
aluminio y madera. El captulo 11 cubre los mtodos de energa,
incluyendo el teorema de Castigliano. ASPECTOS PEDAGGICOS Cada
captulo comienza con una seccin introductoria que establece el pro-
psito y las metas del captulo, y describe en trminos sencillos el
material a ser estudiado y sus aplicaciones a la solucin de
problemas de ingeniera. Lecciones del captulo. El cuerpo del texto
se ha dividido en unidades, y cada unidad consta de una o varias
secciones de teora seguidas de pro- blemas modelo y de un gran
nmero de problemas de repaso. Cada unidad Prefacio xvii
16. corresponde a un tema bien definido y, por lo general,
puede cubrirse en una sola leccin. Ejemplos y problemas modelo. Las
secciones de teora incluyen muchos ejemplos diseados para ilustrar
el material que se presenta y facilitar su com- prensin. Los
problemas modelo tienen la intencin de mostrar algunas de las
aplicaciones de la teora a la solucin de problemas de ingeniera.
Como es- tos problemas se plantean casi de la misma manera que los
estudiantes utili- zarn para resolver los ejercicios asignados, los
problemas modelo tienen el doble propsito de ampliar el texto y
demostrar el tipo de trabajo limpio y or- denado que los
estudiantes debern seguir en sus propias soluciones. Series de
problemas de tarea. La mayor parte de los problemas son de
naturaleza prctica y deben resultar atractivos a los estudiantes de
ingenie- ra. Sin embargo, se disearon principalmente para ilustrar
el material pre- sentado en el texto y para ayudar a los
estudiantes a comprender los princi- pios bsicos que se usan en la
mecnica de materiales. Los problemas se han agrupado de acuerdo con
las secciones del material que ilustran y se han aco- modado en
orden ascendente de dificultad. Los problemas que requieren aten-
cin especial se indican con asteriscos. Las respuestas a los
problemas se en- cuentran al final del libro, con excepcin de
aquellos cuyo nmero se ha impreso en cursiva. Repaso y resumen del
captulo. Cada captulo termina con un repaso y un resumen del
material cubierto en el captulo. Se han incluido notas al mar- gen
para ayudar a los estudiantes a organizar su trabajo de repaso, y
se dan referencias cruzadas para ayudarles a encontrar las partes
que requieren aten- cin especial. Problemas de repaso. Al final de
cada captulo se incluye una serie de problemas de repaso. Estos
problemas proporcionan a los estudiantes una oportunidad adicional
de aplicar los conceptos ms importantes presentados en el captulo.
Problemas de computadora. La disponibilidad de las computadoras
per- sonales permite a los estudiantes de ingeniera resolver un
gran nmero de pro- blemas complejos. Al final de cada captulo puede
encontrarse un grupo de seis o ms problemas diseados para
resolverse con una computadora. El desarro- llo del algoritmo
requerido para resolver un problema dado beneficiar a los
estudiantes de dos maneras distintas: (1) les ayudar a obtener una
mejor com- prensin de los principios de mecnica involucrados; (2)
les brindar la opor- tunidad de aplicar las habilidades adquiridas
en su curso de programacin de computadoras a la solucin de
problemas significativos de ingeniera. Examen de fundamentos de
ingeniera. Los ingenieros que deseen ob- tener una licencia como
ingenieros profesionales en Estados Unidos deben presentar dos
exmenes. El primer examen, Fundamentals of Engineering Examination,
incluye temas pertenecientes a la Mecnica de materiales. En el
apndice E de este libro se presenta una lista de los temas de
Mecnica de materiales que se cubren en este examen junto con
algunos problemas que pueden resolverse para repasar dichos temas.
RECURSOS COMPLEMENTARIOS Manual de soluciones del profesor. El
Manual de soluciones del pro- fesor que acompaa a la quinta edicin
contina una tradicin de exactitud xviii Prefacio
17. excepcional y presenta las soluciones contenidas en una
sola pgina con el fin de tener una referencia ms sencilla. El
Manual tambin contiene tablas diseadas para ayudar a los profesores
en la creacin de un programa de ta- reas para sus cursos. En la
tabla I se enlistan los diferentes temas cubiertos en el texto,
asimismo se indica un nmero sugerido de sesiones que pueden
dedicarse a cada tema. En la tabla II se proporciona una descripcin
breve de todos los grupos de problemas y una clasificacin de los
problemas en cada grupo de acuerdo con las unidades. Dentro del
manual tambin apare- cen muestras de cmo realizar la programacin de
lecciones. ARIS de McGraw-Hill. Sistema de evaluacin, repaso e
instruccin. ARIS (Assesment, Review, and Instruction System) es un
sistema completo de tutora en lnea, tareas electrnicas y
administracin del curso diseado para que los profesores elaboren y
califiquen tareas, editen preguntas y al- goritmos, importen
contenidos propios, diseen y compartan materiales de clase con
otros profesores y publiquen anuncios y fechas de entrega para las
tareas. ARIS califica y hace informes automticos de las tareas y
exmenes que genera de manera algortmica. Los estudiantes obtienen
el beneficio de la prctica ilimitada que les ofrecen los problemas
algortmicos. Entre los re- cursos disponibles en ARIS se incluyen
archivos en PowerPoint e imgenes extradas del texto. Visite el
sitio en www.mhhe.com/beerjohnston. Hands-On Mechanics. Hands-On
Mechanics (o mecnica prctica) es un sitio Web diseado por
profesores interesados en incorporar ayudas prcticas
tridimensionales a los temas que imparten durante sus clases. Este
sitio, que fue elaborado por McGraw-Hill en sociedad con el
Departamento de Inge- niera Civil y Mecnica de la United States
Military Academy en West Point, no slo proporciona instrucciones
detalladas de cmo construir herramientas tridimensionales con
materiales que se pueden encontrar en cualquier labo- ratorio o
tienda de materiales, sino que tambin proporciona el acceso a una
comunidad donde los educadores pueden compartir ideas, intercambiar
sus mejores prcticas y enviar sus propias demostraciones para
colocarlas en el sitio. Visite www.handsonmechanics.com para ver
cmo puede utilizar el si- tio en su saln de clases. RECONOCIMIENTOS
Los autores agradecen a las numerosas empresas que proporcionaron
foto- grafas para esta edicin. Tambin desean reconocer el gran
esfuerzo y la pa- ciencia de la persona encargada de recopilar las
fotografas, Sabina Dowell. Se reconoce, con gratitud, a Dennis
Ormand de FineLine Illustrations de Far- mingdale, Nueva York, por
las ingeniosas ilustraciones que contribuyeron en gran medida a la
eficacia del texto. Un agradecimiento especial para el profesor
Dean Updike, del departa- mento de ingeniera mecnica de Lehigh
University, por su paciencia y coo- peracin al revisar las
soluciones y respuestas a todos los problemas de esta edicin.
Tambin se agradece la ayuda, los comentarios y las sugerencias
ofreci- das por los numerosos usuarios de las ediciones previas de
Mecnica de ma- teriales. E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf
David F. Mazurek Prefacio xix
18. a Constante; distancia A, B, C, . . . Fuerzas; reacciones
A, B, C, . . . Puntos A, A rea b Distancia; ancho c Constante;
distancia; radio C Centroide Constantes de integracin Factor de
estabilidad de una columna d Distancia; dimetro; profundidad D
Dimetro e Distancia; excentricidad; dilatacin E Mdulo de
elasticidad f Frecuencia; funcin F Fuerza F.S. Factor de seguridad
G Mdulo de rigidez; mdulo de corte h Distancia; altura H Fuerza H,
J, K Puntos Momento de inercia Producto de inercia J Momento polar
de inercia k Constante de resorte; factor de forma; mdulo
volumtrico; constante K Factor de concentracin de esfuerzos;
constante de resorte de torsin l Longitud; claro L Longitud; claro
Longitud efectiva m Masa M Par Momento flector Momento flector,
carga muerta (DCFR) Momento flector, carga viva (DCFR) Momento
flector, carga ltima (DCFR) n Nmero, relacin de mdulos de
elasticidad; di- reccin normal p Presin P Fuerza; carga concentrada
Carga muerta (DCFR) Carga viva (DCFR)PL PD MU ML MD M, Mx, . . . Le
Ixy, . . . I, Ix, . . . CP C1, C2, . . . xxi Carga ltima (DCFR) q
Fuerza cortante por unidad de longitud; flujo cor- tante Q Fuerza Q
Primer momento de rea r Radio; radio de giro R Fuerza; reaccin R
Radio; mdulo de ruptura s Longitud S Mdulo elstico de seccin t
Espesor; distancia; desviacin tangencial T Momento de torsin T
Temperatura u, v Coordenadas rectangulares u Densidad de energa de
deformacin U Energa de deformacin; trabajo v Velocidad V Fuerza
cortante V Volumen; corte w Ancho; distancia; carga por unidad de
longitud W, W Peso; carga x, y, z Coordenadas rectangulares;
distancia; desplaza- mientos; deflexiones Coordenadas del centroide
Z Mdulo plstico de seccin ngulos Coeficiente de expansin trmica;
coeficiente de influencia Deformacin de corte; peso especfico
Factor de carga, carga muerta (DCFR) Factor de carga, carga viva
(DCFR) Deformacin; desplazamiento Deformacin unitaria normal ngulo;
pendiente Coseno director Relacin de Poisson Radio de curvatura;
distancia; densidad Esfuerzo normal Esfuerzo cortante ngulo; ngulo
de giro; factor de resistencia Velocidad angular f t s r n l u d gL
gD g a a, b, g x, y, z PU Lista de smbolos
19. MECNICA DE MATERIALES
20. Introduccin. El concepto de esfuerzo 1Introduccin. El
concepto de esfuerzo Este captulo se dedica al estudio de los
esfuerzos que ocurren en muchos de los elementos contenidos en es-
tas excavadoras, como los elementos con dos fuerzas, los ejes, los
pernos y los pasadores. 1 C A P T U L O
21. 1.1 INTRODUCCIN El objetivo principal del estudio de la
mecnica de materiales es suministrar al futuro ingeniero los
conocimientos para analizar y disear las diversas m- quinas y
estructuras portadoras de carga. Tanto el anlisis como el diseo de
una estructura dada involucran la de- terminacin de esfuerzos y
deformaciones. Este primer captulo est dedica- do al concepto de
esfuerzo. La seccin 1.2 es un breve repaso de los mtodos bsicos de
la esttica y de la aplicacin de esos mtodos a la determinacin de
las fuerzas en los elementos de una estructura sencilla que se
componga de elementos uni- dos entre s por pernos. En la seccin 1.3
se introducir el concepto de es- fuerzo en un elemento de una
estructura, y se mostrar cmo puede determi- narse ese esfuerzo a
partir de la fuerza en el elemento. Tras una breve revi- sin del
anlisis y diseo de ingeniera (seccin 1.4), se abordan, de manera
sucesiva, los esfuerzos normales en un elemento bajo carga axial
(seccin 1.5), los esfuerzos cortantes ocasionados por la aplicacin
de fuerzas trans- versales iguales y opuestas (seccin 1.6) y los
esfuerzos de apoyo creados por los pernos y pasadores en los
elementos que conectan (seccin 1.7). Estos conceptos sern aplicados
en la seccin 1.8 a la determinacin de los esfuerzos en la
estructura sencilla que se consider en la seccin 1.2. La primera
parte del captulo termina con una descripcin del mtodo que deber
utilizarse en la solucin de problemas propuestos (seccin 1.9) y con
el estudio de la exactitud numrica adecuada para los clculos de
inge- niera (seccin 1.10). En la seccin 1.11, donde un elemento con
dos fuerzas bajo carga axial se considera de nuevo, se observar que
los esfuerzos en un plano oblicuo incluyen tanto esfuerzos normales
como cortantes, mientras que en la sec- cin 1.12 se analizar que se
requieren seis componentes para describir el es- tado de esfuerzos
en un punto en un cuerpo bajo las condiciones ms gene- rales de
carga. Finalmente, la seccin 1.13 se enfocar a la determinacin, a
partir de especmenes de prueba, de la resistencia ltima de un
material dado y al uso de un factor de seguridad en el clculo de la
carga permisible para un com- ponente estructural fabricado con
dicho material. 1.2 UN BREVE REPASO DE LOS MTODOS DE LA ESTTICA En
esta seccin se repasarn los mtodos bsicos de la esttica al mismo
tiempo que se determinan las fuerzas en los elementos de una
estructura sen- cilla. Considere la estructura mostrada en la
figura 1.1, diseada para sopor- tar una carga de 30 kN. Consta de
un aguiln AB con una seccin transver- sal rectangular de y de una
varilla BC con una seccin trans- versal circular de 20 mm de
dimetro. El aguiln y la varilla estn conectados por un perno en B y
los soportan pernos y mnsulas en A y en C, respecti- vamente. El
primer paso ser dibujar el diagrama de cuerpo libre de la es-
tructura, desprendindola de sus soportes en A y en C, y mostrando
las reac- ciones que estos soportes ejercen sobre la estructura
(figura 1.2). Advierta que el boceto de la estructura se ha
simplificado omitiendo los detalles inne- cesarios. En este punto
algunos habrn reconocido que AB y BC son elemen- tos con dos
fuerzas. Para quienes no lo hayan hecho, se proseguir el anli- sis,
ignorando este hecho y suponiendo que las direcciones de las
reacciones en A y en C se desconocen. Cada una de estas reacciones,
por lo tanto, ser 30 50 mm 2 Introduccin. El concepto de
esfuerzo
22. representada por dos componentes, Ax y Ay en A, y Cx y Cy
en C. Se escri- birn las tres siguientes ecuaciones de equilibrio:
(1.1) (1.2) (1.3) Note que se han encontrado dos de las cuatro
incgnitas, pero que no es po- sible determinar las otras dos de
estas ecuaciones, y no pueden obtenerse ecuaciones independientes
adicionales a partir del diagrama de cuerpo libre de la estructura.
Ahora debe desmembrarse la estructura. Considerando el dia- grama
de cuerpo libre del aguiln AB (figura 1.3), se escribir la
siguiente ecuacin de equilibrio: (1.4) Al sustituir Ay de la
ecuacin (1.4) en la ecuacin (1.3), se obtiene que Expresando los
resultados obtenidos para las reacciones en A y en C en forma
vectorial, se tiene que Observe que la reaccin en A se dirige a lo
largo del eje del aguiln AB y que causa compresin en ese elemento.
Al notar que los componentes Cx y Cy de la reaccin en C son
respectivamente proporcionales a las compo- nentes horizontal y
vertical de la distancia de B a C, se concluye que la reac- cin en
C es igual a 50 kN, que est dirigida a lo largo del eje de la
varilla BC, y que causa tensin en ese elemento. A 40 kN S Cx 40 kN
d, Cy 30 kNc Cy 30 kN. Ay10.8 m2 0 Ay 0g MB 0: Ay Cy 30 kN Ay Cy 30
kN 0c Fy 0: Cx Ax Cx 40 kN Ax Cx 0S Fx 0: Ax 40 kN Ax10.6 m2 130
kN210.8 m2 0g MC 0: 800 mm 50 mm 30 kN 600 mm d = 20 mm C A B
Figura 1.1 Figura 1.2 Figura 1.3 30 kN 0.8 m Ay By A BAx Bz 30 kN
0.8 m 0.6 m B Cx Cy Ay C AAx 1.2 Un breve repaso de los mtodos 3de
la esttica
23. Estos resultados podran haberse anticipado reconociendo que
AB y BC son elementos con dos fuerzas, es decir, elementos
sometidos a fuerzas slo en dos puntos, siendo estos puntos A y B
para el elemento AB y B y C para el elemento BC. De hecho, para un
elemento con dos fuerzas las lneas de accin de las resultantes de
las fuerzas que actan en cada uno de los dos puntos son iguales y
opuestas y pasan a travs de ambos puntos. Utilizando esta
propiedad, podra haberse obtenido una solucin ms sencilla si se
con- sidera el diagrama de cuerpo libre del perno B. Las fuerzas
sobre el perno B son las fuerzas FAB y FBC ejercidas,
respectivamente, por los elementos AB y BC, y la carga de 30 kN
(figura 1.4a). Se dice que el perno B est en equi- librio dibujando
el tringulo de fuerzas correspondiente (figura 1.4b). Ya que la
fuerza FBC se dirige a lo largo del elemento BC, su pendiente es la
misma que BC, es decir, Por lo tanto, puede escribirse la pro-
porcin de la que se obtiene Las fuerzas y que el perno B ejerce
sobre, respectivamente, el agui- ln AB y sobre la varilla BC son
iguales y opuestas a FAB y a FBC (figura 1.5). FBCFAB FAB 40 kN FBC
50 kN FAB 4 FBC 5 30 kN 3 34. 4 Introduccin. El concepto de
esfuerzo Si se conocen las fuerzas en los extremos de cada uno de
los elementos, es posible determinar las fuerzas internas de estos
elementos. Al efectuar un corte en algn punto arbitrario, D, en la
varilla BC, se obtienen dos porcio- nes, BD y CD (figura 1.6). Como
deben aplicarse fuerzas de 50 kN en D a ambas porciones de la
varilla, para mantenerlas en equilibrio, se concluye que una fuerza
interna de 50 kN se produce en la varilla BC cuando se apli- ca una
carga de 30 kN en B. Se constata, de manera adicional, por las
direc- ciones en las fuerzas FBC y en la figura 1.6, que la varilla
se encuentra en tensin. Un procedimiento similar permitira
determinar que la fuerza in- terna en el aguiln AB es de 40 kN y
que el aguiln est en compresin. FBC Figura 1.4 a) b) FBC FBC FAB
FAB 30 kN 30 kN 3 5 4 B FBC F'BC C D FBC F'BCB D Figura 1.6Figura
1.5 FAB F'AB FBC F'BCB A B C
24. 1.3 ESFUERZOS EN LOS ELEMENTOS DE UNA ESTRUCTURA Si bien
los resultados obtenidos en la seccin precedente representan un
pri- mer paso necesario en el anlisis de la estructura dada, ellos
son insuficien- tes para determinar si la carga puede ser soportada
con seguridad. Por ejem- plo, el que la varilla BC pueda romperse o
no hacerlo bajo esta carga depende no slo del valor encontrado para
la fuerza interna FBC, sino tambin del rea transversal de la
varilla y del material con que sta haya sido elaborada. De hecho,
la fuerza interna FBC en realidad representa la resultante de las
fuer- zas elementales distribuidas a lo largo de toda el rea A de
la seccin trans- versal (figura 1.7), y la intensidad promedio de
estas fuerzas distribuidas es igual a la fuerza por unidad de rea,
FBC/A, en la seccin. El hecho de que la varilla se rompa o no bajo
la carga dada, depende claramente de la capa- cidad que tenga el
material de soportar el valor correspondiente FBC/A de la
intensidad de las fuerzas internas distribuidas. Por lo tanto, la
resistencia a la fractura depende de la fuerza FBC, del rea
transversal A y del material de la varilla. La fuerza por unidad de
rea, o la intensidad de las fuerzas distribuidas a travs de una
seccin dada, se llama esfuerzo sobre esa seccin y se repre- senta
con la letra griega (sigma). El esfuerzo en un elemento con rea
trans- versal A sometido a una carga axial P (figura 1.8) se
obtiene, por lo tanto, al dividir la magnitud P de la carga entre
el rea A: (1.5) Se emplear un signo positivo para indicar un
esfuerzo de tensin (el ele- mento a tensin) y un signo negativo
para indicar un esfuerzo compresivo (el elemento a compresin).
Debido a que se emplean unidades del sistema SI en estos anlisis,
con P expresada en newtons (N) y A en metros cuadrados (m2 ), el
esfuerzo se expresar en N/m2 . Esta unidad se denomina pascal (Pa).
Sin embargo, el pascal es una unidad muy pequea, por lo que, en la
prctica, deben emplear- se mltiplos de esta unidad, como el
kilopascal (kPa), el megapascal (MPa) y el gigapascal (GPa). Se
tiene que Cuando se utilizan las unidades acostumbradas en Estados
Unidos, la fuerza P comnmente se expresa en libras (lb) o
kilolibras (kip), y el rea transversal A en pulgadas cuadradas
(in.2 ). El esfuerzo s, en consecuencia, se presenta en libras por
pulgada cuadrada (psi) o en kilolibras por pulgada cuadrada (ksi).
1 GPa 109 Pa 109 N/m2 1 MPa 106 Pa 106 N/m2 1 kPa 103 Pa 103 N/m2 s
s P A s Las unidades principales SI y americanas utilizadas en
mecnica se incluyen en tablas en el in- terior de la cubierta
frontal de este libro. De la tabla del lado derecho, se observa que
1 psi es apro- ximadamente igual a 7 kPa, y que 1 ksi se aproxima a
7 MPa. Figura 1.7 A FBCFBC A Figura 1.8 a) b) A P A P' P' P 1.3
Esfuerzos en los elementos 5de una estructura
25. 1.4 ANLISIS Y DISEO Considerando nuevamente la estructura
de la figura 1.1, suponga que la varilla BC es de un acero que
presenta un esfuerzo mximo permisible Puede soportar la varilla BC
con seguridad la carga a la que se le someter? La magnitud de la
fuerza FBC en la varilla se calcul con anterioridad en un valor de
50 kN. Recuerde que el dimetro de la varilla es de 20 mm, por lo
que deber utilizarse la ecuacin (1.5) para determinar el esfuerzo
creado en la varilla por la carga dada. As se tiene que Como el
valor obtenido para s es menor que el valor sperm del esfuerzo per-
misible del acero utilizado, se concluye que la varilla BC soportar
con se- guridad la carga a la que ser sujeta. Para que el anlisis
de la estructura da- da sea completo, tambin deber incluirse la
determinacin del esfuerzo de compresin en el aguiln AB, as como una
investigacin de los esfuerzos producidos en los pasadores y en sus
soportes. Esto se estudiar ms adelan- te en este mismo captulo.
Tambin es necesario determinar si las deforma- ciones producidas
por la carga dada son aceptables. El estudio de la defor- macin
bajo cargas axiales ser el tema del captulo 2. Una consideracin
adicional, requerida por los elementos bajo compresin, involucra la
estabi- lidad del elemento, es decir, su capacidad para soportar
una carga dada sin experimentar un cambio sbito de configuracin.
Este tema se abordar en el captulo 10. El papel del ingeniero no se
restringe al anlisis de las estructuras y m- quinas existentes
sometidas a condiciones dadas de carga. Un asunto de ma- yor
importancia que interesa a los ingenieros es el diseo de
estructuras y mquinas nuevas, es decir, la seleccin de los
componentes apropiados para desempear una tarea dada. Como ejemplo
de diseo, vase otra vez la es- tructura de la figura 1.1; suponga
que se emplear en ella aluminio, el cual tiene un esfuerzo
permisible sperm 100 MPa. Debido a que la fuerza en la varilla BC
ser P FBC 50 kN bajo la carga dada, se emplea la ecuacin (1.5), y,
ya que A pr2 , Se concluye que una varilla de aluminio de 26 mm, o
de dimetro mayor, se- r adecuada. d 2r 25.2 mm r B A p B 500 106 m2
p 12.62 103 m 12.62 mm sperm P A A P sperm 50 103 N 100 106 Pa 500
106 m2 s P A 50 103 N 314 106 m2 159 106 Pa 159 MPa A pr2 pa 20 mm
2 b 2 p110 103 m22 314 106 m2 P FBC 50 kN 50 103 N sperm 165 MPa. 6
Introduccin. El concepto de esfuerzo
26. 1.5 CARGA AXIAL. ESFUERZO NORMAL Como ya se ha indicado, la
varilla BC del ejemplo considerado en la seccin precedente es un
elemento sometido a dos fuerzas y, por lo tanto, las fuerzas FBC y
que actan en sus extremos B y C (figura 1.5) se dirigen a lo lar-
go del eje de la varilla. Se dice que la varilla se encuentra bajo
carga axial. Un ejemplo real de elementos estructurales bajo carga
axial es dado por los elementos de la armadura del puente que se
muestra en la figura 1.9. FBC Figura 1.9 Esta armadura de puente se
compone de elementos de dos fuerzas que pueden estar en tensin o en
compresin. Figura 1.10 P' Q A F 1.5 Carga axial. Esfuerzo normal 7
Retornando a la varilla BC de la figura 1.5, hay que recordar que
la es- cisin a la que se le someti para determinar su fuerza
interna y su corres- pondiente esfuerzo era perpendicular a su eje;
la fuerza interna era, por lo tanto, normal al plano de la seccin
(figura 1.7) y el esfuerzo correspondien- te se describe como un
esfuerzo normal. As, la frmula (1.5) da el esfuerzo normal en un
elemento bajo carga axial: (1.5) Es preciso advertir que, en la
frmula (1.5), s se obtiene al dividir la magnitud P de la
resultante de las fuerzas internas distribuidas en la seccin
transversal entre el rea A de la seccin transversal; representa,
por lo tanto, el valor promedio del esfuerzo a travs de la seccin
transversal, y no el va- lor de un esfuerzo en un punto especfico
de la seccin transversal. Para definir el esfuerzo en un punto dado
Q en la seccin transversal, debe considerarse una pequea rea
(figura 1.10). Cuando se divide la magnitud de entre , se obtiene
el valor promedio del esfuerzo a tra- vs de . Al aproximar a cero,
se halla el esfuerzo en el punto Q: (1.6)s lm AS0 F A AA AF A s P
A
27. En general, el valor obtenido para el esfuerzo, s, en un
punto dado, Q, de la seccin es diferente al valor del esfuerzo
promedio dado por la frmu- la (1.5), y se encuentra que s vara a
travs de la seccin. En una varilla del- gada sujeta a cargas
concentradas, P y , iguales y opuestas (figura 1.11a), la variacin
es pequea en una seccin que se encuentre lejos de los puntos de
aplicacin de las cargas concentradas (figura 1.11c), pero es
bastante no- toria en el vecindario de estos puntos (figuras 1.11b
y d). De la ecuacin (1.6), se deduce que la magnitud de la
resultante de las fuerzas internas distribuidas es No obstante, las
condiciones de equilibrio de cada una de las porciones de varilla
mostradas en la figura 1.11 requiere que esta magnitud sea igual a
la magnitud P de las cargas concentradas. Se tiene, entonces, (1.7)
lo que significa que el volumen bajo cada una de las superficies
esforzadas en la figura 1.11 debe ser igual a la magnitud P de las
cargas. Esto, sin em- bargo, es la nica informacin que es posible
determinar a partir de nuestro conocimiento sobre esttica, con
respecto a la distribucin de los esfuerzos normales en las diversas
secciones de la varilla. La distribucin real de los esfuerzos en
cualquier seccin dada es estticamente indeterminada. Para sa- ber
ms acerca de esta distribucin, es necesario considerar las deforma-
ciones que resultan del modo particular de la aplicacin de las
cargas en los extremos de la varilla. Esto se explicar con mayor
atencin en el cap- tulo 2. En la prctica, se supondr que la
distribucin de los esfuerzos norma- les en un elemento cargado
axialmente es uniforme, excepto en la vecindad inmediata de los
puntos de aplicacin de las cargas. El valor s del esfuerzo es
entonces igual a sprom y puede calcularse con la frmula (1.5). Sin
embar- go, hay que darse cuenta de que, cuando se supone una
distribucin unifor- me de los esfuerzos en la seccin, es decir,
cuando se supone que las fuer- zas internas se encuentran
distribuidas uniformemente a travs de la seccin, la esttica
elemental dice que la resultante P de las fuerzas internas debe
aplicarse en el centroide C de la seccin (figura 1.12). Esto
significa que una distribucin uniforme del esfuerzo es posible slo
si la lnea de accin de las cargas concentradas P y pasa a travs del
centroide de la seccin consi- derada (figura 1.13). Este tipo de
carga se denomina carga cntrica y se su- pondr que tiene lugar en
todos los elementos rectos de dos fuerzas que se encuentran en
armaduras y en estructuras conectadas con pasadores, como la que se
considera en la figura 1.1. Sin embargo, si un elemento con dos
fuer- zas est cargado de manera axial, pero excntricamente, como en
la figura P P dF A s dA dF A s dA P 8 Introduccin. El concepto de
esfuerzo P' P P' P' P' a) b) c) d) Figura 1.11 C P Figura 1.12 Vase
Ferdinand P. Beer y E. Russell Johnston, Jr., Mechanics for
Engineers, 4a. ed., McGraw- Hill, Nueva York, 1987, o Vector
Mechanics for Engineers, 6a. ed., McGraw-Hill, Nueva York, 1996,
secciones 5.2 y 5.3.
28. 1.14a, se encuentra que, a partir de las condiciones de
equilibrio de la por- cin del elemento que se muestra en la figura
1.14b, las fuerzas internas en una seccin dada deben ser
equivalentes a una fuerza P aplicada al centroi- de de la seccin y
a un par M cuyo momento es La distribucin de fuerzas y, por lo
tanto, la correspondiente distribucin de esfuerzos no puede ser
uniforme. Tampoco la distribucin de esfuerzos puede ser simtri- ca
como se muestra en la figura 1.11. Este punto se analizar
detalladamen- te en el captulo 4. 1.6 ESFUERZO CORTANTE Las fuerzas
internas y sus correspondientes esfuerzos estudiados en las sec-
ciones 1.2 y 1.3, eran normales a la seccin considerada. Un tipo
muy dife- rente de esfuerzo se obtiene cuando se aplican fuerzas
transversales P y a un elemento AB (figura 1.15). Al efectuar un
corte en C entre los puntos de aplicacin de las dos fuerzas (figura
1.16a), obtenemos el diagrama de la porcin AC que se muestra en la
figura 1.16b. Se concluye que deben exis- tir fuerzas internas en
el plano de la seccin, y que su resultante es igual a P. Estas
fuerzas internas elementales se conocen como fuerzas cortantes, y
la magnitud P de su resultante es el cortante en la seccin. Al
dividir el cor- P M Pd. 1.6 Esfuerzo cortante 9 Figura 1.14 P' P C
Figura 1.13 Figura 1.15 Figura 1.16 A B P' P A C A C B P' P P' P a)
b) P P MC d P' d P' a) b)
29. tante P entre el rea A de la seccin transversal, se obtiene
el esfuerzo cor- tante promedio en la seccin. Representando el
esfuerzo cortante con la le- tra griega t (tau), se escribe (1.8)
Debe enfatizarse que el valor obtenido es un valor promedio para el
es- fuerzo cortante sobre toda la seccin. Al contrario de lo dicho
con anteriori- dad para los esfuerzos normales, en este caso no
puede suponerse que la dis- tribucin de los esfuerzos cortantes a
travs de una seccin sea uniforme. Como se ver en el captulo 6, el
valor real t del esfuerzo cortante vara de cero en la superficie
del elemento hasta un valor mximo tmx que puede ser mucho mayor que
el valor promedio, tprom. tprom P A 10 Introduccin. El concepto de
esfuerzo Figura 1.17 Vista en corte de una conexin con un perno en
cortante. Los esfuerzos cortantes se encuentran comnmente en
pernos, pasado- res y remaches utilizados para conectar diversos
elementos estructurales y componentes de mquinas (figura 1.17).
Considere dos placas A y B conec- tadas por un perno CD (figura
1.18). Si a las placas se les somete a fuerzas de tensin de
magnitud F, se desarrollarn esfuerzos en la seccin del perno que
corresponde al plano . Al dibujar los diagramas del perno y de la
porcin localizada por encima del plano (figura 1.19), se concluye
que el cortante P en la seccin es igual a F. Se obtiene el esfuerzo
cortante pro- medio en la seccin, de acuerdo con la frmula (1.8),
dividiendo el cortante entre el rea A de la seccin transversal:
(1.9)tprom P A F A P F EE EE C D A F E' F' B E C C D F F PE' F' E
a) b) Figura 1.18 Figura 1.19
30. 1.7 Esfuerzo de apoyo en conexiones 11 K AB L E H G J C D
K' L' FF' Figura 1.20 Figura 1.22 K L H J K' L' F FC FD F P P a) b)
Figura 1.21 Figura 1.23 A d t A C D d t F P F' El perno que se ha
considerado est en lo que se conoce como cortante simple. Sin
embargo, pueden surgir diferentes condiciones de carga. Por ejem-
plo, si las placas de empalme C y D se emplean para conectar las
placas A y B (figura 1.20), el corte tendr lugar en el perno HJ en
cada uno de los dos planos y (al igual que en el perno EG). Se dice
que los pernos es- tn en corte doble. Para determinar el esfuerzo
cortante promedio en cada plano, se dibujan los diagramas de cuerpo
libre del perno HJ y de la porcin del perno localizada entre los
dos planos (figura 1.21). Observando que el corte P en cada una de
las secciones es se concluye que el esfuer- zo cortante promedio es
(1.10) 1.7 ESFUERZO DE APOYO EN CONEXIONES Los pernos, pasadores y
remaches crean esfuerzos en la superficie de apoyo o superficie de
contacto de los elementos que conectan. Por ejemplo, consi- dere
nuevamente las dos placas A y B conectadas por un perno CD que se
analizaron en la seccin precedente (figura 1.18). El perno ejerce
una fuerza P sobre la placa A igual y opuesta a la fuerza F
ejercida por la placa sobre el perno (figura 1.22). La fuerza P
representa la resultante de las fuerzas ele- mentales distribuidas
en la superficie interior de un medio cilindro de dime- tro d y
longitud t igual al espesor de la placa. Como la distribucin de
estas fuerzas, y de los esfuerzos correspondientes, es muy
complicada, en la prc- tica se utiliza un valor nominal promedio sb
para el esfuerzo, llamado es- fuerzo de apoyo, que se obtiene de
dividir la carga P entre el rea del rec- tngulo que representa la
proyeccin del perno sobre la seccin de la placa (figura 1.23).
Debido a que esta rea es igual a td, donde t es el espesor de la
placa y d el dimetro del perno, se tiene que (1.11)sb P A P td
tprom P A F2 A F 2A P F2, LLKK
31. 1.8 APLICACIN AL ANLISIS Y DISEO DE ESTRUCTURAS SENCILLAS
Despus de revisar los temas anteriores, ahora ya se est en
posibilidad de determinar los esfuerzos en los elementos y
conexiones de varias estructuras bidimensionales sencillas y, por
lo tanto, de disear tales estructuras. Como ejemplo, vase la
estructura de la figura 1.1, que ya se ha consi- derado en la
seccin 1.2, para especificar los apoyos y conexiones en A, B y C.
Como se observa en la figura 1.24, la varilla de 20 mm de dimetro
BC tiene extremos planos de seccin rectangular de 20 40 mm, en
tanto que el aguiln AB tiene una seccin transversal de 30 50 mm y
est provista de una horquilla en el extremo B. Ambos elementos se
conectan en B por un pasador del que cuelga la carga de 30 kN por
medio de una mnsula en for- ma de U. Al aguiln AB lo soporta en A
un pasador introducido en una mn- sula doble, mientras que la
varilla BC se conecta en C a una mnsula sim- ple. Todos los
pasadores tienen 25 mm de dimetro. 12 Introduccin. El concepto de
esfuerzo a. Determinacin del esfuerzo normal en el aguiln AB y en
la va- rilla BC. Como se ha visto en las secciones 1.2 y 1.4, la
fuerza en la vari- lla BC es (a tensin) y el rea de su seccin
transversal circu- lar es el esfuerzo normal promedio
correspondiente es Sin embargo, las partes planas de la varilla
tambin sesBC 159 MPa. A 314 106 m2 ; FBC 50 kN 800 mm 50 mm Q = 30
kN Q = 30 kN 600 mm 20 mm 20 mm 25 mm 30 mm 25 mm d = 25 mm d = 25
mm d = 20 mm d = 20 mm d = 25 mm 40 mm 20 mm A A B B B C C B VISTA
FRONTAL VISTA SUPERIOR DEL AGUILN AB VISTA DE EXTREMO VISTA
SUPERIOR DE LA VARILLA BCExtremo plano Extremo plano Figura
1.24
32. encuentran bajo tensin y en la seccin ms angosta, donde se
encuentra el agujero, se tiene El valor promedio correspondiente
para el esfuerzo, por lo tanto, es Advierta que ste es slo un valor
promedio, ya que cerca del agujero, el es- fuerzo alcanzar en
realidad un valor mucho mayor, como se ver en la sec- cin 2.18. Est
claro que, si la carga aumenta, la varilla fallar cerca de uno de
los agujeros, ms que en su porcin cilndrica; su diseo, por lo
tanto, po- dr mejorarse aumentando el ancho o el espesor de los
extremos planos de la varilla. Ahora, tome en consideracin al
aguiln AB, recordando que en la sec- cin 1.2 se vio que la fuerza
en l es (a compresin). Puesto que el rea de la seccin transversal
rectangular del aguiln es el valor promedio del esfuerzo normal en
la parte principal del aguiln, entre los pasadores A y B, es
Advierta que las secciones de rea mnima en A y B no se encuentran
bajo esfuerzo, ya que el aguiln est en compresin y, por lo tanto,
empuja sobre los pasadores (en lugar de jalarlos como lo hace la
varilla BC). b. Determinacin del esfuerzo cortante en las distintas
conexio- nes. Para determinar el esfuerzo cortante en una conexin
como un perno, pasador o remache, primero deben mostrarse con
claridad las fuerzas ejerci- das por los distintos elementos que
conecta. As, en el caso del pasador C del ejemplo (figura 1.25a),
se dibuja la figura 1.25b, que muestra la fuer- za de 50 kN
ejercida por el elemento BC sobre el pasador, y la fuerza igual y
opuesta ejercida por la mnsula. Al dibujar ahora el diagrama de la
por- cin del pasador localizada bajo el plano donde ocurren los
esfuerzos cortantes (figura 1.25c), se concluye que la fuerza
cortante en ese plano es Como el rea transversal del pasador es
resulta que el valor promedio del esfuerzo cortante en el pasador
en C es Considerando ahora el pasador en A (figura 1.26) se observa
que se en- cuentra bajo corte doble. Al dibujar los diagramas de
cuerpo libre del pasa- dor y de la porcin del pasador colocada
entre los planos y donde ocurren los esfuerzos cortantes, se llega
a la conclusin de que y que tprom P A 20 kN 491 106 m2 40.7 MPa P
20 kN EEDD tprom P A 50 103 N 491 106 m2 102 MPa A pr2 pa 25 mm 2 b
2 p112.5 103 m22 491 106 m2 P 50 kN. DD sAB 40 103 N 1.5 103 m2
26.7 106 Pa 26.7 MPa 50 mm 1.5 103 m2 , A 30 mm FAB 40 kN
1sBC2extremo P A 50 103 N 300 106 m2 167 MPa A 120 mm2140 mm 25 mm2
300 106 m2 Figura 1.25 50 kN a) C 50 kN b) Fb D' D d = 25 mm 50 kN
c) P Figura 1.26 a) 40 kN A b) 40 kN Fb Fb D' E' D E d = 25 mm c)
40 kN P P 1.8 Aplicacin al anlisis y diseo 13de estructuras
sencillas
33. Al considerar el pasador en B (figura 1.27a), se advierte
que el pasador puede dividirse en cinco porciones sobre las que
actan fuerzas ejercidas por el aguiln, la varilla y la mnsula.
Tomando en cuenta, en forma sucesiva, las porciones DE (figura
1.27b) y DG (figura 1.27c), se llega a la conclusin de que la
fuerza de corte en la seccin E es mientras que la fuerza de corte
en la seccin G es Como la carga del pasador es simtrica, se
concluye que el valor mximo de la fuerza de corte en el pa- sador B
es y que los mayores esfuerzos cortantes ocurren en las secciones G
y H, donde c. Determinacin de los esfuerzos de apoyo. Para obtener
los es- fuerzos nominales de apoyo en A en el elemento AB, se
utiliza la frmu- la (1.11) de la seccin 1.7. De la figura 1.24, se
tiene que y Recuerde que se tiene que Para obtener el esfuerzo de
apoyo sobre la mnsula en A, se emplea y Los esfuerzos de apoyo en B
en el elemento AB, en B y en C en el ele- mento BC y en la mnsula
en C se calculan de manera similar. 1.9 MTODO PARA LA SOLUCIN DE
PROBLEMAS Quienes estudian este texto deben aproximarse a un
problema de mecnica de materiales como lo haran con una situacin
ingenieril real. Su propia ex- periencia e intuicin les ayudarn a
comprender y formular mejor el proble- ma. Sin embargo, una vez que
el problema ha sido planteado con claridad, no es posible
solucionarlo utilizando el gusto personal. La solucin de ese tipo
de problemas debe basarse en los principios fundamentales de la
estti- ca y en los principios que se analizan en este curso. Cada
paso que se tome debe justificarse sobre esa base, sin dejar
espacio para la intuicin. Des- pus de que se ha obtenido una
respuesta, sta deber verificarse. Nuevamen- te, puede utilizarse
sentido comn y su experiencia personal. Si no se est satisfecho por
completo con el resultado obtenido, deber revisarse con cui- dado
la formulacin del problema, la validez de los mtodos empleados en
su solucin y la exactitud de los clculos. El planteamiento del
problema deber ser claro y preciso. Necesitar in- cluir los datos
dados e indicar el tipo de informacin que se requiere. Debe- r
incluir un dibujo simplificado que muestre todas las cantidades
esenciales involucradas. La solucin para la mayora de los problemas
que encontrar har necesario que primero se determinen las
reacciones en los apoyos y las fuerzas y los pares internos. Esto
requerir dibujar uno o ms diagramas de sb P td 40 kN 150 mm2125 mm2
32.0 MPa d 25 mm: 50 mmt 2125 mm2 sb P td 40 kN 130 mm2125 mm2 53.3
MPa P FAB 40 kN,d 25 mm. t 30 mm tprom PG A 25 kN 491 106 m2 50.9
MPa PG 25 kN, PG 25 kN. PE 15 kN, 14 Introduccin. El concepto de
esfuerzo a) b) c) 1 2 FAB = 20 kN FBC = 50 kN 1 2 FAB = 20 kN 1 2
FAB = 20 kN 1 2 Q = 15 kN 1 2 Q = 15 kN 1 2 Q = 15 kN 1 2 Q = 15 kN
Pasador B D D D E E G G PE PG H J Figura 1.27
34. cuerpo libre, como ya se hizo en la seccin 1.2, de los que
podrn escribir- se las ecuaciones de equilibrio. Estas ecuaciones
deben resolverse para co- nocer las fuerzas desconocidas, a partir
de las que pueden calcularse los es- fuerzos y deformaciones
requeridas. Despus de haber obtenido la respuesta, deber
verificarse cuidadosa- mente. Los errores en el razonamiento pueden
encontrarse con frecuencia analizando las unidades a travs de los
clculos y verificando las unidades obtenidas para la respuesta. Por
ejemplo, en el diseo de la varilla que se es- tudi en la seccin
1.4, se encontr, despus de utilizar las unidades a travs de
nuestros clculos, que el dimetro requerido por la varilla se expres
en milmetros, que es la unidad correcta para una dimensin; si se
hubiera en- contrado otra unidad, se sabra que se cometi un error.
Los errores de clculo, por lo general, sern evidentes cuando se
susti- tuyan los valores numricos obtenidos en una ecuacin que an
no ha sido utilizada y verificando que la ecuacin se satisface. Hay
que resaltar que en la ingeniera es muy importante que los clculos
sean correctos. 1.10 EXACTITUD NUMRICA La exactitud de la solucin
de un problema depende de dos aspectos: 1) la exactitud de los
datos recibidos y 2) la exactitud de los clculos desa- rrollados.
La solucin no puede ser ms exacta que el menos exacto de estos dos
factores. Por ejemplo, si se sabe que la carga de una viga es de 75
000 lb con un error posible de 100 lb en cualquier sentido, el
error relativo que mide el grado de exactitud de los datos es Al
calcular la reaccin en uno de los apoyos de la viga, sera entonces
irre- levante registrarlo como de 14 322 lb. La exactitud de la
solucin no puede ser mayor que el 13%, sin importar cun exactos
sean los clculos, y el error posible en la respuesta puede ser tan
grande como (0.13/100)(14 322 lb) El registro apropiado de la
respuesta sera de 14320 20 lb. En los problemas de ingeniera, los
datos rara vez se conocen con una exactitud mayor del 0.2%. Por lo
tanto, rara vez se justifica escribir la res- puesta a dichos
problemas con una precisin mayor del 0.2%. Una regla prc- tica es
utilizar 4 cifras para registrar los nmeros que comienzan con 1 y 3
cifras para todos los otros casos. A menos que se indique lo
contrario, los datos ofrecidos en un problema deben suponerse
conocidos con un grado comparable de exactitud. Una fuerza de 40
lb, por ejemplo, debera leerse 40.0 lb, y una fuerza de 15 lb
debera leerse 15.00 lb. Los ingenieros practicantes y los
estudiantes de ingeniera emplean con gran frecuencia calculadoras
de bolsillo y computadoras. La rapidez y exac- titud de estos
aparatos facilitan los clculos numricos en la solucin de mu- chos
problemas. Sin embargo, los estudiantes no debern registrar ms
cifras significativas que las que puedan justificarse slo porque
pueden obtenerse con facilidad. Como se seal anteriormente, una
exactitud mayor que 0.2% es rara vez necesaria o significativa en
la solucin de los problemas prcti- cos de ingeniera. 20 lb. 100 lb
75,000 lb 0.0013 0.13% 1.10 Exactitud numrica 15
35. SOLUCIN Cuerpo libre: soporte entero. Como el eslabn ABC es
un elemento con dos fuerzas, la reaccin en A es vertical; la
reaccin en D est representada por sus com- ponentes Dx y Dy. Se
escribe: a) Esfuerzo cortante en el pasador A. Ya que este pasador
de in. de di- metro est en cortante nico, se escribe tA 6 790 psi
b) Esfuerzo cortante en el pasador C. Como este pasador de in. de
dime- tro est en cortante doble, se anota tC 7 640 psi c) Mximo
esfuerzo normal en el eslabn ABC. El mximo esfuerzo se en- cuentra
donde el rea es ms pequea; esto ocurre en la seccin transversal en
A don- de se localiza el agujero de in. As, se tiene que sA 2 290
psi d) Esfuerzo cortante promedio en B. Se advierte que existe
adhesin en am- bos lados de la porcin superior del eslabn y que la
fuerza cortante en cada lado es Por lo tanto, el esfuerzo cortante
promedio en cada super- ficie es e) Esfuerzo de apoyo en el eslabn
en C. Para cada porcin del eslabn, F1 375 lb y el rea nominal de
apoyo es de (0.25 in.)(0.25 in.) 0.0625 in.2 . sb 6 000 psi sb F1 A
375 lb 0.0625 in.2 tB 171.4 psi tB F1 A 375 lb 11.25 in.211.75 in.2
2 375 lb.F1 1750 lb2 sA FAC Anet 750 lb 13 8 in.211.25 in. 0.375
in.2 750 lb 0.328 in.2 3 8 tC 1 2 FAC A 375 lb 1 4 p10.25 in.22 1 4
tA FAC A 750 lb 1 4p10.375 in.22 3 8 FAC 750 lb FAC 750 lb tensin
1500 lb2115 in.2 FAC110 in.2 0g MD 0: 16 PROBLEMA MODELO 1.1 En el
soporte mostrado la porcin superior del eslabn ABC es de in. de
grueso y las porciones inferiores son cada uno de in. de grueso. Se
utiliza resina epxica pa- ra unir la porcin superior con la
inferior en B. El pasador en A tiene un dimetro de in. mientras que
en C se emplea un pasador de in. Determine a) el esfuerzo cor-
tante en el pasador A, b) el esfuerzo cortante en el pasador C, c)
el mximo esfuer- zo normal en el eslabn ABC, d) el esfuerzo
cortante promedio en las superficies pe- gadas en B y e) el
esfuerzo de apoyo en el eslabn en C. 1 4 3 8 1 4 3 8 5 in. 500 lb
10 in. A D Dx FAC Dy E C in. dimetro 750 lb FAC = 750 lb FAC = 750
lb 1 4 in. dimetro3 8 FAC = 375 lb1 2 FAC = 375 lb1 2 CA F1 = F2 =
FAC = 375 lb1 2 FAC = 750 lb in. dimetro3 8 in. 1.25 in. 1.25 in.
1.75 in. 3 8 FAC F2 F1 A B 375 lb F1 = 375 lb in. dimetro1 4 1 4
in. 6 in. 7 in. 1.75 in. 5 in. 1.25 in. 10 in. 500 lb A B C D E
neto
36. SOLUCIN a) Dimetro del pasador. Debido a que el pasador se
encuentra en cortante doble, Se usar En este punto se verifica el
esfuerzo de apoyo entre la placa de 20 mm de espesor y el pasador
de 28 mm de dimetro. b) Dimensin b en cada extremo de la barra. Se
considera una de las por- ciones de extremo de la barra. Como el
espesor de la placa de acero es de y el esfuerzo promedio de tensin
promedio no debe exceder los 175 MPa, se escribe c) Dimensin h de
la barra. Recordando que el espesor de la placa de acero es t = 20
mm, se tiene que Se utilizar h 35 mm s P th 175 MPa 120 kN 10.020
m2h h 34.3 mm b 62.3 mm b d 2a 28 mm 2117.14 mm2 s 1 2 P ta 175 MPa
60 kN 10.02 m2a a 17.14 mm t 20 mm tb P td 120 kN 10.020 m210.028
m2 214 MPa 6 350 MPa OK d 28 mm t F1 A 60 kN 1 4 p d2 100 MPa 60 kN
1 4 p d2 d 27.6 mm 1 2P 60 kN.F1 17 PROBLEMA MODELO 1.2 La barra de
sujecin de acero que se muestra ha de disearse para soportar una
fuerza de tensin de magnitud cuando se asegure con pasadores entre
mn- sulas dobles en A y B. La barra se fabricar de placa de 20 mm
de espesor. Para el grado de acero que se usa, los esfuerzos mximos
permisibles son: 350 MPa. Disee la barra de sujecin determi- nando
los valores requeridos para a) el dimetro d del pasador, b) la
dimensin b en cada extremo de la barra, c) la dimensin h de la
barra. s 175 MPa, t 100 MPa, sb P 120 kN A B b d h t 20 mm d F1 P P
F1 F1 1 2 P P' 120 kN a t a db 1 2 P1 2 P 120 kN t 20 mm h
37. PROBLEMAS 18 1.1 Dos varillas cilndricas slidas AB y BC
estn soldadas en B y cargadas como se muestra. Determine la
magnitud de la fuerza P para la cual el esfuerzo de tensin en la
varilla AB tiene el doble de magnitud del esfuerzo de compresin en
la varilla BC. 1.2 En el problema 1.1, si se sabe que P 40 kips,
determine el esfuerzo nor- mal promedio en la seccin media de a) la
varilla AB, b) la varilla BC. 1.3 Dos varillas cilndricas slidas,
AB y BC, estn soldadas en B y cargadas como se muestra. Si se sabe
que el esfuerzo normal promedio no debe ser mayor que 175 MPa en la
varilla AB y 150 MPa en la varilla BC, determine los valores mni-
mos permisibles de d1 y d2. 1.4 Las varillas cilndricas slidas AB y
BC estn soldadas en B y cargadas como se muestra en la figura. Si
se sabe que d1 50 mm y d2 30 mm, encuentre el esfuerzo normal
promedio en la seccin media de a) la varilla AB, b) la varilla BC.
1.5 Una galga extensomtrica, localizada en C en la superficie del
hueso AB, indica que el esfuerzo normal promedio en el hueso es de
3.80 MPa cuando el hueso se somete a dos fuerzas de 1 200 N como se
muestra en la figura. Si se supone que la seccin transversal del
hueso en C es anular y se sabe que su dimetro exterior es de 25 mm,
determine el dimetro interior de la seccin transversal del hueso en
C. 1.6 Dos placas de acero deben sujetarse por medio de pasadores
de acero de alta resistencia de 16 mm de dimetro que embonan con
suavidad dentro de espa- ciadores cilndricos de latn. Si se sabe
que el esfuerzo normal promedio no debe exceder 200 MPa en los
pasadores y 130 MPa en los espaciadores, determine el di- metro
exterior de los espaciadores que ofrece el diseo ms econmico y
seguro. Figura P1.1 Figura P1.6Figura P1.5 Figura P1.3 y P1.4 2 in.
3 in. 30 kips P 30 kips C A B 30 in. 40 in. d2 d1 40 kN 30 kN B C
250 mm 300 mm A 1 200 N 1 200 N C A B
38. Problemas 19 1.8 Si se sabe que la seccin transversal de la
porcin central del eslabn BD tiene un rea de 800 mm2 , determine la
magnitud de la carga P para la cual el es- fuerzo normal en esa
porcin de BD es de 50 MPa. 1.9 Si se sabe que el eslabn DE tiene
in. de grosor y 1 in. de ancho, deter- mine el esfuerzo normal en
la porcin central de dicho eslabn cuando a) 0, b) 90. 1.10 El
eslabn AC tiene una seccin transversal rectangular uniforme de in.
de espesor y in. de ancho. Determine el esfuerzo normal en la
porcin central de dicho eslabn. 1 4 1 16 1.11 La barra rgida EFG
est sostenida por el sistema de armaduras que se muestra en la
figura. Si se sabe que el elemento CG es una varilla circular slida
de 0.75 in. de dimetro, determine el esfuerzo normal en CG. 1.12 La
barra rgida EFG est sostenida por el sistema de armaduras que se
muestra en la figura. Determine el rea de la seccin transversal del
elemento AE para la cual el esfuerzo normal en l es de 15 ksi. 1.7
Cada uno de los cuatro eslabones verticales tiene una seccin
transversal rectangular uniforme de 8 36 mm y cada uno de los
cuatro pasadores tiene un di- metro de 16 mm. Determine el valor
mximo del esfuerzo normal promedio en los eslabones que conectan a)
los puntos B y D, b) los puntos C y E. Figura P1.7 Figura P1.8
Figura P1.9 Figura P1.10 Figura P1.11 y P1.12 0.2 m 0.25 m 0.4 m 20
kN C B A D E 240 lb 240 lb B C A 3 in. 7 in. 30 6 in. P 1.92 m 0.56
m A C B30 D r 1.4 m 60 lb F D E JC D B A 8 in. 2 in. 4 in. 12 in. 4
in. 6 in. 3 600 lb A B C D E F G 3 ft 4 ft 4 ft 4 ft 1 8
39. 20 Introduccin. El concepto de esfuerzo 1.13 Un par M con
magnitud de 1 500 N m se aplica a la manivela de un motor. Para la
posicin mostrada, determine a) la fuerza P requerida para mantener
en equilibrio al sistema de la mquina, b) el esfuerzo normal
promedio en la biela BC, la cual tiene una seccin transversal
uniforme de 450 mm2 . 1.14 La barra de un remolque para aviones se
posiciona mediante un cilindro hidrulico sencillo, conectado
mediante una varilla de acero de 25 mm de dimetro a las dos
unidades idnticas de brazo DEF y a la rueda. La masa de toda la
barra del remolque es de 200 kg y su centro de gravedad se localiza
en G. Para la posicin mostrada, determine el esfuerzo normal en la
varilla. 1.15 Los elementos de madera A y B deben unirse mediante
lminas de ma- dera contrachapada que se pegarn por completo sobre
las superficies en contacto. Como parte del diseo de la junta y
puesto que el claro entre los extremos de los ele- mentos ser de 6
mm, determine la longitud mnima permisible L, si el esfuerzo cor-
tante promedio en el pegamento no debe exceder 700 kPa. 1.16 Cuando
la fuerza P alcanz 1 600 lb, el elemento de madera mostrado fall a
cortante a lo largo de la superficie indicada por la lnea punteada.
Determine el esfuerzo cortante promedio a lo largo de esa
superficie en el momento de la falla. Figura P1.14 Figura P1.16
Figura P1.13 Figura P1.15 200 mm 80 mm M P 60 mm B A C D B E A
Dimensiones en mm 100 450 250 850 1 150 500 675 825 CG F 0.6 in. 3
in. MaderaAcero P' P A B L 6 mm 75 mm 15 kN 15 kN
40. Problemas 21 1.18 Una carga P se aplica a una varilla de
acero soportada, como se muestra en la figura, por una placa de
aluminio en la que se ha perforado un barreno de 12 mm de dimetro.
Si se sabe que el esfuerzo cortante no debe exceder 180 MPa en la
varilla de acero y 70 MPa en la placa de aluminio, determine la
mxima carga P que puede aplicarse a la varilla. 1.19 La fuerza
axial en la columna que soporta la viga de madera que se mues- tra
en la figura es P 20 kips. Determine la longitud mnima permisible L
de la za- pata de carga si el esfuerzo de apoyo en la madera no
debe ser mayor que 400 psi. 1.20 La carga P aplicada sobre una
varilla de acero se distribuye hacia una viga de soporte mediante
una arandela anular. El dimetro de la varilla es de 22 mm y el
dimetro interior de la arandela es de 25 mm, un poco mayor que el
dimetro del orificio. Determine el mximo dimetro exterior d
permisible para la arandela, si se sabe que el esfuerzo normal
axial en la varilla de acero es de 35 MPa y que el es- fuerzo de
apoyo promedio entre la arandela y la viga no debe exceder 5 MPa.
1.21 Una carga axial de 40 kN se aplica sobre un poste corto de
madera, sos- tenido por un basamento de concreto que descansa sobre
suelo regular. Determine a) el esfuerzo de apoyo mximo sobre el
basamento de concreto, b) el tamao del ba- samento para el cual el
esfuerzo de apoyo promedio en el suelo es de 145 kPa. 1.17 Dos
planchas de madera, cada una de in. de espesor y 9 in. de ancho,
estn unidas por el ensamble pegado de mortaja que se muestra en la
figura. Si se sabe que la junta fallar a lo largo de su grano
cuando el esfuerzo cortante prome- dio en el pegamento alcance 1.20
ksi, determine la magnitud P de la carga axial que causar una falla
en la junta. 1 2 Figura P1.18 Figura P1.19 Figura P1.21 Figura
P1.20 Figura P1.17 2 in. 2 in.1 in. P' 1 in. 9 in. P in.5 8 in.5 8
P 40 kN b b 120 mm 100 mm 40 mm 8 mm 12 mm P 10 mm 6 in. L P P d 22
mm
41. 22 Introduccin. El concepto de esfuerzo 1.22 Una carga
axial P es soportada por una columna corta W8 40 con un rea de
seccin transversal A 11.7 in.2 y se distribuye hacia un cimiento de
con- creto mediante una placa cuadrada como se observa en la
figura. Si se sabe que el esfuerzo normal promedio en la columna no
debe exceder 30 ksi y que el esfuerzo de apoyo sobre el cimiento de
concreto no debe exceder 3.0 ksi, determine el lado a de la placa
que proporcionar el diseo ms econmico y seguro. 1.23 Un pasador de
6 mm de dimetro se utiliza en la conexin C del pedal que se muestra
en la figura. Si se sabe que P 500 N, determine a) el esfuerzo cor-
tante promedio en el pasador, b) el esfuerzo de apoyo nominal en el
pedal en C, c) el esfuerzo de apoyo nominal en cada mnsula de apoyo
en C. 1.24 Si se sabe que una fuerza P con una magnitud de 750 N se
aplica al pe- dal que se muestra en la figura, determine a) el
dimetro del pasador en C para el cual el esfuerzo cortante promedio
en el pasador es de 40 MPa, b) el esfuerzo de apoyo correspondiente
en el pedal en C, c) el esfuerzo de apoyo correspondiente en cada
mnsula de apoyo en C. 1.25 Una varilla de acero AB con in. de
dimetro se ajusta a un orificio re- dondo cerca del extremo C del
elemento de madera CD. Para la carga mostrada, de- termine a) el
esfuerzo mximo normal promedio en la madera, b) la distancia b para
la cual el esfuerzo cortante promedio es de 100 psi sobre las
superficies indicadas por lneas punteadas, c) el esfuerzo de apoyo
promedio sobre la madera. 1.26 Dos sistemas idnticos de eslabn y
cilindro hidrulico controlan la po- sicin de las horquillas de un
montacargas. La carga soportada para el sistema que se muestra en
la figura es de 1 500 lb. Si se sabe que el grosor del elemento BD
es in., determine a) el esfuerzo cortante promedio en el pasador de
in. de dimetro en B, b) el esfuerzo de apoyo en B en el elemento
BD. 1 2 5 8 5 8 1.27 Para el ensamble y la carga del problema 1.7,
determine a) el esfuerzo cortante promedio en el pasador en B, b)
el esfuerzo de apoyo promedio en B en el elemento BD, c) el
esfuerzo de apoyo promedio en B en el elemento ABC, si se sabe que
este elemento tiene una seccin transversal rectangular uniforme de
10 50 mm. 1.28 El eslabn AB, cuyo ancho es b 50 mm y su grosor t 6
mm, se em- plea para soportar el extremo de una viga horizontal. Si
se sabe que el esfuerzo nor- mal promedio en el eslabn es de 140
MPa y que el esfuerzo cortante promedio en cada uno de los
pasadores es de 80 MPa, determine a) el dimetro d de los pasado-
res, b) el esfuerzo promedio de apoyo en el eslabn. Figura P1.25
Figura P1.26 Figura P1.23 y P1.24 Figura P1.28 Figura P1.22 a aP 9
mm 125 mm 75 mm 300 mm 5 mm A B C C D P D A C B b 1 500 lb 750 lb
750 lb 4 in. 1 in. b d t B A d A B 12 in. 12 in. 15 in. 16 in. 16
in. 20 in. 1500 lb G D E C
42. 1.11 ESFUERZOS EN UN PLANO OBLICUO BAJO CARGA AXIAL En las
secciones precedentes, se encontr que las fuerzas axiales ejercidas
en un elemento sometido a dos fuerzas (figura 1.28a) causan
esfuerzos norma- les en ese elemento (figura 1.28b), mientras que
tambin se encontr que las fuerzas transversales ejercidas sobre
pernos y pasadores (figura 1.29a) cau- san esfuerzos cortantes en
esas conexiones (figura 1.29b). La razn de que tal relacin
observada entre las fuerzas axiales y los esfuerzos normales, por
una parte, y las fuerzas transversales y los esfuerzos cortantes,
por la otra, fue que los esfuerzos se determinaron nicamente en los
planos perpendicu- lares al eje del elemento o conexin. Como se ver
en esta seccin, las fuer- zas axiales causan esfuerzos tanto
normales como cortantes en planos que no son perpendiculares al eje
del elemento. De manera similar, las fuerzas trans- versales
ejercidas sobre un perno o pasador producen esfuerzos tanto norma-
les como cortantes en planos que no son perpendiculares al eje del
perno o pasador. 1.11 Esfuerzos en un plano oblicuo 23bajo carga
axial Considere el elemento de dos fuerzas de la figura 1.28, que
se encuen- tra sometido a fuerzas axiales P y Si se realiza un
corte en dicho elemen- to, que forme un ngulo con un plano normal
(figura 1.30a) y se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la porcin
del elemento localizada a la izquier- da de ese corte (figura
1.30b), se encuentra a partir de las condiciones de equilibrio del
cuerpo libre que las fuerzas distribuidas que actan en la sec- cin
deben ser equivalentes a la fuerza P. Separando P en sus
componentes F y V, que son, respectivamente nor- mal y tangencial
al corte (figura 1.30c), se tiene que F P cos u V P sen u (1.12) La
fuerza F representa la resultante de las fuerzas normales
distribuidas a tra- vs de la seccin, y la fuerza V la resultante de
las fuerzas cortantes (figura 1.30d). Los valores promedio de los
esfuerzos normales y cortantes corres- pondientes se obtienen
dividiendo, respectivamente, F y V entre el rea de la seccin:
(1.13) Al sustituir los valores de F y V de la ecuacin (1.12) en la
ecuacin (1.13), y observando de la figura 1.30c que o que Au A0cos
u,A0 Au cos u, s F Au t V Au Au u P. P' PP P' P' a) b) Figura 1.29
Figura 1.30 Figura 1.28 P' P' P' P A A0 P V F P' a) c) b) d) P a)
b) P P P' P' P'
43. donde denota el rea de una seccin perpendicular al eje del
elemento, de lo que se obtiene o (1.14) De la primera de las
ecuaciones (1.14) se observa que el valor del es- fuerzo normal s
es el mximo cuando es decir, cuando el plano de la seccin es
perpendicular al eje del elemento, y que se aproxima a cero al
aproximarse u a 90. Se verifica que el valor de s cuando es (1.15)
como se encontr en la seccin 1.3. La segunda de las ecuaciones
(1.14) muestra que el esfuerzo cortante t es cero para y para y que
para alcanza su valor mximo (1.16) La primera de las ecuaciones
(1.14) indica que, cuando el esfuerzo normal tambin es igual a
(1.17) Los resultados obtenidos en las ecuaciones (1.15), (1.16) y
(1.17) se muestran grficamente en la figura 1.31. Se observa que la
misma carga pro- duce un esfuerzo normal y ningn esfuerzo cortante
(figura 1.31b), o un esfuerzo normal y un esfuerzo cortante de la
misma magni- tud (figura 1.31c y d), dependiendo de la orientacin
del corte. 1.12 ESFUERZOS BAJO CONDICIONES GENERALES DE CARGA.
COMPONENTES DEL ESFUERZO Los ejemplos de las secciones previas
estuvieron restringidos a elementos ba- jo carga axial y a
conexiones bajo carga transversal. La mayora de los ele- mentos
estructurales y de los componentes de maquinaria se encuentran ba-
jo condiciones de carga ms complicadas. Sea un cuerpo sujeto a
varias cargas P1, P2, etc., (figura 1.32). Para com- prender la
condicin de esfuerzos creada por estas cargas en algn punto Q
dentro del cuerpo, primero se efectuar un corte a travs de Q,
utilizando un plano paralelo al plano yz. La porcin del cuerpo a la
izquierda de la seccin est sujeta a algunas de las cargas
originales, y a las fuerzas normales y de corte distribuidas a
travs de la seccin. Denotaremos con y res- pectivamente, las
fuerzas normales y de corte que actan sobre una pequea Vx ,Fx s tm
P2A0 sm PA0 s P A0 cos2 45 P 2A0 P2A0:s u 45, tm P A0 sen 45 cos 45
P 2A0 u 45 u 90,u 0 sm P A0 u 0 u 0, s P A0 cos2 u t P A0 sen u cos
u s P cos u A0cos u t P sen u A0cos u A024 Introduccin. El concepto
de esfuerzo Figura 1.32 P1 P4 P3 P2y z x P' a) Carga axial b)
Esfuerzos para = 0 m = P/A0 c) Esfuerzos para = 45 d) Esfuerzos
para = 45 '= P/2A0 '= P/2A0 m= P/2A0 m= P/2A0 P Figura 1.31
44. rea que rodea al punto Q (figura 1.33a). Note que el
superndice x se emplea para indicar que las fuerzas y actan sobre
una superficie perpendicular al eje x. En tanto que la fuerza
normal tiene una direc- cin bien definida, la fuerza cortante puede
tener cualquier direccin en el plano de la seccin. Por lo tanto,
descomponemos en dos fuerzas com- ponentes, y en direcciones
paralelas a los ejes y y z, respectiva- mente (figura 1.33b).
Dividiendo ahora la magnitud de cada fuerza entre el rea y haciendo
que se aproxime a cero, se definen las tres compo- nentes del
esfuerzo mostradas en la figura 1.34: (1.18) Se observa que el
primer subndice en sx, txy y se emplea para indicar que los
esfuerzos bajo consideracin se ejercen sobre una superficie perpen-
dicular al eje x. El segundo subndice en y en identifica la
direccin de la componente. El esfuerzo normal sx es positivo si la
flecha correspon- diente apunta en la direccin x positiva, es
decir, si el cuerpo est en tensin, y negativa de otra manera. En
forma similar, las componentes del esfuerzo cortante y son
positivas si las flechas correspondientes apuntan, res-
pectivamente, en las direcciones y y z positivas. El anlisis
anterior puede tambin llevarse a cabo considerando la por- cin del
cuerpo localizada a la derecha del plano vertical que pasa a travs
de Q (figura 1.35). Las mismas magnitudes, pero con direcciones
opuestas, se obtienen para las fuerzas normal y cortante y Por lo
tan- to, los mismos valores se obtienen para las componentes
correspondientes de los esfuerzos, pero ya que la seccin en la
figura 1.35 apunta ahora al eje x negativo, un signo positivo para
sx indicar que la flecha correspondiente apunta ahora en la
direccin x negativa. De manera similar, los signos posi- tivos en y
indicarn que las flechas correspondientes apuntan, respec-
tivamente, en las direcciones y y z negativas, como indica la
figura 1.35. txztxy Vx z .Fx , Vy x , txztxy txztxy txz txy lm AS0
Vy x A txz lm AS0 Vz x A sx lm AS0 Fx A AA, Vx z ,Vx y Vx Vx Fx Vx
Fx A Fx P2 P2 P1 y z x y z x P1 A Fx Vx Vx a) b) Q Q z Vx y Figura
1.33 Figura 1.35 y z x x xy Q xz Figura 1.34 y z x x xy xz Q 1.12
Esfuerzos bajo condiciones generales 25de carga. Componentes del
esfuerzo
45. Haciendo un corte a travs de Q paralelo al plano zx, se
definen de la misma manera las componentes de esfuerzo sy, tyz y
Por ltimo, un cor- te a travs de Q paralelo al plano xy da las
componentes sz, tzx y Para simplificar la visualizacin de la
condicin de esfuerzos en el punto Q, considere un pequeo cubo de
lado a centrado en Q y que los es- fuerzos se ejercen en cada una
de las seis caras del cubo (figura 1.36). Las componentes de los
esfuerzos mostradas en la figura son sx, sy y que representan los
esfuerzos normales en las caras perpendiculares respectiva- mente a
los ejes x, y y z, y las seis componentes de los esfuerzos
cortantes etc. Es preciso recordar que, de acuerdo con la definicin
de las com- ponentes del esfuerzo cortante, representa la
componente y del esfuerzo cortante que es ejercida en la cara que
es perpendicular al eje x, mientras que representa la componente x
del esfuerzo cortante que se ejerce sobre la cara que es
perpendicular al eje y. Advierta que slo tres caras del cubo son
visibles en la figura 1.36, y que en las caras opuestas actan
componentes de esfuerzos iguales y opuestas. En tanto que los
esfuerzos que actan sobre las caras del cubo difieren ligeramente
de los esfuerzos en Q, el error involucra- do es pequeo y
desaparece cuando el lado a del cubo se aproxima a cero. Ahora se
deducirn algunas relaciones importantes entre las componen- tes del
esfuerzo cortante. Considere el diagrama de cuerpo libre del peque-
o cubo centrado en el punto Q (figura 1.37). Las fuerzas normales y
cor- tantes que actan sobre las diversas caras del cubo se obtienen
multiplicando las componentes correspondientes del esfuerzo por el
rea de cada cara. Primero se escribirn las tres ecuaciones de
equilibrio siguientes: (1.19) Como hay fuerzas iguales y opuestas a
las fuerzas mostradas en la figura 1.37 actuando sobre las caras
ocultas del cubo, es claro que las ecuaciones (1.19) se satisfacen.
Considerando, ahora, los momentos de las fuerzas alrededor de los
ejes Qx, Qy y Qz dibujados desde Q en direcciones paralelas
respecti- vamente a los ejes x, y y z, se anotarn tres ecuaciones
adicionales (1.20) Utilizando una proyeccin sobre el plano (figura
1.38), se advierte que las nicas fuerzas con momentos alrededor del
eje z distintas de cero son las fuerzas cortantes. Estas fuerzas
forman dos pares, uno de ellos es un momen- to (txy A)a, en la
direccin antihoraria (positiva), y el otro es un momento (tyx A)a,
en direccin horaria (negativa). La ltima de las tres ecuaciones
(1.20) da, por lo tanto de donde se concluye que (1.21) La relacin
obtenida muestra que la componente y del esfuerzo cortante ejer-
cida sobre una cara perpendicular al eje x es igual a la componente
x del mo- txy tyx 1txy A2a 1tyx A2a 0 g Mz 0: xy Mx 0 My 0 Mz 0 Fx
0 Fy 0 Fz 0 A tyx txy txy, txz, sz, tzy. tyx. 26 Introduccin. El
concepto de esfuerzo yz yx xy xzzx zy y z x a Qa a z y x Figura
1.36 Figura 1.38 yxA xyA xzA zxA xA zA zyA yzA yA Q z y x Figura
1.37 yxA yxA xyA xyA xA xA yA y A x' a z' y'
46. mento cortante ejercido sobre una cara perpendicular al eje
y. De las dos ecuaciones (1.20) restantes, deducimos de manera
similar las relaciones (1.22) Se concluye, a partir de las
ecuaciones (1.21) y (1.22), que slo se re- quieren seis componentes
de esfuerzo para definir la condicin de esfuerzo en un punto dado
Q, en lugar de nueve como se supuso al principio. Estas seis
componentes son txy, tyz y Tambin se observa que, en un punto dado,
el cortante no puede ocurrir en un plano nicamente; un esfuer- zo
cortante igual d