MATRIZ ASOCIADA A UNA COMPOSICION DE FUNCIONES

Sea la siguiente composición de funciones: f W g V Z

VB1

f(v)=w B2

g(w)=z B3

gof

Base B1 Base B 2

Base B3

dimV =n dimW =m dimZ = k SB

B

B

S

B ffoff 1

1

21_

21_

23BBg

MATRIZ CAMBIO DE BASE DE UNA COMPOSICION DE FUNCIONES

DATO: = [ f]B1B2

CALCULO: = [ f]S1S2

[ f]S1S2 = [Id]B2

S2[ f]B1

B2 [Id]S1B1

v

S1

v

B1

F(v)

B2

F(v)

S2[Id]S1B1 [ f]B1

B2 [Id]B2S2

fId

Id

)()()()(:4

)()()(

)()()(:3

)()()()()(:2

)(:

)(::11_

1_

uhofouguofugohTeorema

ufougugof

uofugugofTeorema

ufohufoguhugoufTeorema

wwffWw

vuffVvTeorema

Matriz asociada a la aplicación lineal inversa

V W V

U

S

f(u)

B1

U

B2

1_ff

SBB

B

S

B ffoff 1

1

21_

21_

off 1_

SBf 1 121_ B

Bf

EJERCICIOS:

Comprobar que la matriz

es diagonalizable, utilizando como la matriz de paso

SOLUCIÓN Definiendo en DERIVE dichas matrices

biyectivaesfsiinvertibleesf

VenWdelinealcióntransformaunaesf

invertiblelinealcióntransformaunaesfSi

wwffWw

vuffVvTeorema

1_

1_

1_

)(:

)(::1

Como A=P.D.P-1 , siendo D la matriz diagonal, entonces despejando matricialmente se obtiene que D=P-1.A.P, de tal forma que efectuando esta operación en DERIVE resulta

Donde obtenemos la matriz diagonal

Sea la aplicación lineal  Donde f(x,y,z)=(6x-6y+2z, -x-y+z,

7x+3y+z) ¿Cuál es la matriz asociada respecto de

las bases canónicas?

Por tanto la matriz asociada respecto de las bases canónicas se obtiene con:

Consideremos ahora una nueva base de R3 determinada por los vectores

Para obtener la matriz asociada a la aplicación lineal f1 respecto de dicha base tendremos que calcular la coordenadas de las imágenes de dichos vectores en la citada base, es decir realizaremos las siguientes operaciones

Para v1 se obtiene:

Para v2 resulta que:

Y para v3 obtenemos:

Por tanto la nueva matriz asociada es:

Que se trata de una matriz diagonal.