MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN

LINEAL

 A toda transformación línea f: v →w de espacios vectoriales de dimensiones

finitasn y m, respectivamente, se le puede asociar a una matriz A € M mxn, tal que f(x) = Ax, donde x =

Recíprocamente a toda matriz se le puede asociar con una transformación lineal:

f: v → wEsto es de extrema utilidad considerando que:

DimIm (f) = Rango f = Rango A 

njvjfscoordenadadevectoreles

columnaesimajcuyamatrizunaesAdonde

vAufnMmA

WdeordenadabasewnwwwB

VdeordenadabasevnvvvB

B

BB

1)(

:

)(/

...3,2,1

...3,2,1

2

12

2

1

Gráfico:

V W

v

B1

f(v)

B2

f

1Bv 2)( Bvf

1212 )( BBBB vvff

Notación:V: espacio vectorial de salida

W: espacio vectorial de llegada

v: vector de la base del espacio vectorial de salida

f(v): imagen del vector de la base del espacio vectorial de salida

B1: Base del espacio vectorial de salida

B2: Base del espacio vectorial de llegada

(v)B1: Coordenada del vector de la base del espacio vectorial de salida

f(v)B2: Coordenada de la imagen del vector de la base del espacio vectorial de salida respecto a B2

A Matriz Asociada de B1 en B2

12BBfA

Datos: 1 Base de cada espacio vectorial

Procedimiento:

Tomamos los vectores de la base B1, sacamos sus respectivas imágenes con la transformación lineal dada, expresamos los vectores de la base B2 como combinación lineal de las imágenes obtenidas multiplicándolos por escalares, encontramos los escalares colocándolos en columna junto con los vectores de la base B2 formando una matriz ampliada, resolvemos la matriz hasta llegar a la matriz identidad, a los escalares obtenidos los colocamos en columna en la matriz asociada.

Notas

Cuando trabajamos con las bases canónicas los escalares son las coordenadas de la imágen de los vectores.

La imagen se relaciona con el vector atravez de la matriz asociada.

Si multiplico las matrices obtengo la transformación lineal

MATRIZ CAMBIO DE BASE

¿Qué debo hacer para obtener un mismo vector expresado en diferentes bases?

dimensión misma una deser deben es vectorialespacios Los

identidad la es utiliza se que lineal aplicación La

B2 a B1 de base de cambio matriz denomina seanterior resultado delA matriz La

:Definición

.

.

.v

v

=A

vectoreslosson columnas cuyasmxn Matriz laA Sea

finita.dimensión de vectorialespacioun de ordenadas bases dos }v…v,v,{v =By }v…v,v,{v B Sea

2

23

22

21

m3212n3211

Bn

B

B

B

v

v

Gráfico:

V W

v

B1

F(v)=v

B2

Id

1Bv 2)( Bvf

12BBIdA

122

1212

BBB

BBBB

vIdv

vIdvf

Notación:V: espacio vectorial de salida

W: espacio vectorial de llegada

v: vector de la base del espacio vectorial de salida

f(v): imagen del vector de la base del espacio vectorial de salida

B1: Base del espacio vectorial de salida

B2: Base del espacio vectorial de llegada

(v)B1: Coordenada del vector de la base del espacio vectorial de salida

f(v)B2: Coordenada de la imagen del vector de la base del espacio vectorial de salida respecto a B2

A Matriz Identidad de B1 en B2

Ejercicios Resueltos

2)

Ejercicios Resueltos