Post on 14-Apr-2022
MATEMÁTICAS I - SEMANA 9
Docentes:Xyoby Chávez PachecoSergio Quispe RodríguezCristina Navarro FloresNaudy López RodríguezPatricia Reynoso Quispe Cordelia Khouri de Arciniegas
2
Logro R1
4
Definir y calcular integrales indefinidas mediante
diversos métodos (sustitución, partes, sustitución
trigonométrica, fracciones parciales)
MATEMÁTICAS I
Antiderivada
Definición: Una función 𝐹 recibe el nombre de antiderivada de 𝑓
en un intervalo 𝐼 si:
𝐹′(𝑥) = 𝑓 𝑥 ∀𝑥 ∈ 𝐼
MATEMÁTICAS I
Calcular la antiderivada de 𝑓 𝑥 = 𝑥2
Ejemplo:
MATEMÁTICAS I
Teorema:
Una función 𝐹 es una antiderivada de 𝑓 en un intervalo 𝐼,
entonces la antiderivada mas general de 𝑓 en 𝐼 es :
𝐹 𝑥 + 𝐶 , donde 𝐶 es una constante arbitraria
Es decir:
න𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶 ⟺ 𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥)
MATEMÁTICAS I
Antiderivada Antiderivada
MATEMÁTICAS I
Regla de sustitución
Si 𝑢 = 𝑔 𝑥 es una función diferenciable cuyo rango es un intervalo 𝐼 y 𝑓
es una función continua entonces:
න𝑓 𝑔(𝑥) 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = න𝑓 𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢 = 𝑔(𝑥)
Ejemplo: Resolver න2𝑥 𝑥2 + 1 𝑑𝑥
Veamos:
𝐻𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜: 𝑢 = 𝑥2 + 1 Notando que 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥
𝐸𝑛 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙: 𝐼 = න𝑢1/2𝑑𝑢 =𝑢3/2
3/2
=𝑥2 + 1 3/2
3/2+ C
MATEMÁTICAS I
Integración por partes
Denotando 𝑢 = 𝑓 𝑥 𝑦 𝑣 = 𝑔(𝑥) entonces los diferenciales son
𝑑𝑢 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 𝑦 𝑑𝑣 = 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 por la regla de sustitución:
න𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −න𝑣𝑑𝑢
Ejemplo: Determinar
Veamos:
𝐻𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜: 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑑𝑥 ⇒ 𝑢 = −cos 𝑥
න𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
𝐻𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜: 𝑣 = 𝑥 ⇒ 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥
න𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢𝑣 − න𝑢𝑑𝑣 = −𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − න −𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 == −𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥
MATEMÁTICAS I
Ejercicio 01:
Solución
න8𝑥 4𝑥2 − 3 5𝑑𝑥Integrar:
Se hace un cambio de variable: 𝑢 = 4𝑥2 − 3 por lo que 𝑑𝑢 = 8𝑥𝑑𝑥
Sustituyendo en la integral dada se tiene:
න8x 4𝑥2 − 3 5dx = න 4𝑥2 − 3 5 8𝑥𝑑𝑥
= න𝑢5𝑑𝑥
=1
6𝑢6 + 𝐶
=1
6(4𝑥2 − 3)6+𝐶
MATEMÁTICAS I
Ejercicio 02:
Solución:
න3𝑥 + 6
2𝑥2 + 8𝑥 + 3𝑑𝑥Integrar
Sustituyendo: 𝑢 = 2𝑥2 + 8𝑥 + 3 con 𝑑𝑢 = (4𝑥 + 8)𝑑𝑥
Observe que:3𝑥 + 6 𝑑𝑥 = 3 𝑥 + 2 𝑑𝑥 =
3
44 𝑥 + 2 𝑑𝑥 =
3
44𝑥 + 8 𝑑𝑥 =
3
4𝑑𝑢
En la integral dada se tiene:
න3𝑥 + 6
2𝑥2 + 8𝑥 + 3𝑑𝑥 = න
1
2𝑥2 + 8𝑥 + 3[(3𝑥 + 6)𝑑𝑥]
= න1
𝑢
3
4𝑑𝑢 =
3
4න𝑢−1/2𝑑𝑢
=3
4
𝑢1/2
1/2+ 𝐶 =
3
2𝑢 + 𝐶
=3
22𝑥2 + 8𝑥 + 3 + 𝐶
MATEMÁTICAS I
Ejercicio 03:Solución:
Determinar: න𝑥2ln(𝑥)𝑑𝑥
Elija las funciones 𝑢 y 𝑣 de modo que 𝑣𝑑𝑢 sea más fácil de evaluar que 𝑢𝑑𝑣. Así:
𝑢 = ln 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑥2𝑑𝑥
𝑑𝑢 =1
𝑥𝑑𝑥 𝑣 =
1
3𝑥3
න𝑥2ln(𝑥)𝑑𝑥 = න(𝑙𝑛(𝑥))
𝒖
𝑥2𝑑𝑥
𝒅𝒗
= 𝑙𝑛(𝑥)
𝒖 ฑ1
3𝑥3
𝒗
−නฑ1
3𝑥3
𝒗
ฑ1
𝑥𝑑𝑥
𝒅𝒖
=1
3𝑥3 ln 𝑥 −
1
3න𝑥2𝑑𝑥 =
1
3𝑥3 ln 𝑥 −
1
3
1
3𝑥3 + 𝐶
=1
3𝑥3 ln 𝑥 −
1
9𝑥3 + 𝐶
MATEMÁTICAS I
Ejercicio 04:
Solución
Integrar:
න𝑥𝑒2𝑥𝑑𝑥 = නฎ𝑥𝒖
𝑒2𝑥𝑑𝑥
𝒅𝒗
= ฎ𝑥𝒖 1
2𝑒2𝑥
𝒗
−න1
2𝑒2𝑥
𝒗
ฏ𝑑𝑥
𝒅𝒖
=1
2𝑥𝑒2𝑥 −
1
2
1
2𝑒2𝑥 + 𝐶
=1
2𝑥 −
1
2𝑒2𝑥 + 𝐶
Eligiendo apropiadamente las funciones 𝑢 y 𝑣 se tiene:
න𝑥𝑒2𝑥𝑑𝑥
𝑢 = 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑣 =1
2𝑒2𝑥