Post on 24-Feb-2018
7/24/2019 Mate Portafolio
http://slidepdf.com/reader/full/mate-portafolio 1/22
∫❑
❑
dz= z+c
∫dt =t +c
¿dp= p+c¿∫¿
∫d ∆=∆+c
∫dw=W +c
∫dα = α +c
∫d 7=w+c
∫d∞=∞+c
∫dB=B+c
∫dm=m+c
1- ∫9
9dx=
9
9∫dx=
9
9 x+c
2-
3- ∫7
6dx=
7
6∫dx=
7
6 x+c
4-
5- ∫4
5dx=
4
5∫d x=
4
5 x+c
6-
7/24/2019 Mate Portafolio
http://slidepdf.com/reader/full/mate-portafolio 2/22
7- ∫8
2dx=
8
2∫dx=
8
2 x+c
8-
9- ∫2
3dx=
2
3∫ dx=2
3 x+c
10-
11- ∫ 6
6dx=
6
6∫dx=
6
6 x+c
12-
13- ∫ 6
8dx=6
8∫dx=6
8 x+c
14- ∫ 3
3dx=
3
3∫ dx=
3
3 x+c
15-
16- ∫ 3
9dx=
3
9∫dx=
3
9 x+c
17-
18- ∫5
5dx=
5
5∫ dx=
5
5 x+c
19-
20-
21-
22-
23-
24-
7/24/2019 Mate Portafolio
http://slidepdf.com/reader/full/mate-portafolio 3/22
25-
26-
27-
28-
29- ∫ x4dx=
x4+1
4+1= x
5
5+c=
1
5 x
5+c
30-
31- ∫ x7dx=
x7+1
7+1= x
8
8+c=8 x
8+c
32-
33- ∫ x8
dx= x
8+1
8+1=
9
9+c=
1
9 x
8+c
34-
35- ∫ x2
dx= x
2+1
2
+1=
3
3+c=
1
3 x
3+c
36-
37- ∫ x3dx=
x3+1
3+1=
4
4+c=
1
4 x
3+c
38-
39- ∫ x
−4
dx=
x−4+1
−4+1=
−3
−3+c=
−1
3 x
−3
+c
40-
41- ∫ x6dx=
x6+1
6+1=
7
7+c=
1
7 x
7+c
7/24/2019 Mate Portafolio
http://slidepdf.com/reader/full/mate-portafolio 4/22
42-
43-
x7
7
7 x
6
dx=7
∫ x
6
dx=7
( x
6+1
6+1
)=7
1 (¿)= x
7
+c
∫¿
44-
45-
x5
5
6
3 x
4dx=
6
3∫ x
4dx=
6
3 ( x4+1
4+1 )=6
3(¿)=
6 x5
15
∫¿
46-
47- ∫ 4 x−3
dx=4∫ x−3
dx=4 ( x−3+1
−3+1 )=4
1 ( x−2
−2 )= x−8+c
48-
49-
x7
7
7 x6dx=7∫ x
6dx=7 ( x
6+1
6+1 )=7
1(¿)= x
7+c
∫¿
50-
51- ∫√ x5
dx=∫ x7
2
( x
7
2+1
7
2+1 )
= x
9
2
9
2
=2 x
9
2
9 =2
9 x
9
2
=2
9 √ x9
=2
9 x6
+c
52-
7/24/2019 Mate Portafolio
http://slidepdf.com/reader/full/mate-portafolio 5/22
53- ∫√ x3
dx∫ x
3
2=( x3
2 +1
3
2+1 )= x
5
2
5
2
=2 x
5
2
5=
2
5 x
5
2=2
5 √ x5=
2
5 x
2
√ x+c
54-
55- ∫ 3
√ x4dx∫ x
4
3=( x
4
3+1
4
3+1 )( x
7
2
7
2 )=3 x
7
3
7=3
7 x
3
7=3
7 √ x+c
56-
57- ∫ 4
√ x9dx∫ x
94=
( x
9
4
+1
9
4+1 )
= x
13
4
13
4
= 4
13
4
13= 4
13 x
134 = 4
13
4
√ x13= 4
13 x
8
√ x+c
58-
59-
x
(¿¿ 5−1)dx=∫ x5
dx−∫ dx= x
5+1
5+1− x=
x6
6− x+c=
1
6 x
6− x+c
∫ ¿
60-
61-
(¿ 1
4 x
4−0.5 x3+
x2
3−
5 x
11−8)dx=∫ 1
4 x
4dx−∫0.5 x
3dx+∫ x
2
3dx−∫5 x
11−∫8 dx=
1
4∫ x
4dx−0.5
62-
63-
64-
7/24/2019 Mate Portafolio
http://slidepdf.com/reader/full/mate-portafolio 6/22
65-
∫( 5
x3−
4 x5
6 )dx=∫ 5
x3 dx∗∫ 4 x
5
6dx=∫5 x
−3dx∗∫ 4 x
5
6dx=5∫ x−3
dx−4∫ x5dx=5( x
−3+1
−3+1 )−
66-
67-
2
x
2
3
+ x
5
2
10
(
2
3
√ x2+ √ x
5
10
)dx=∫(¿)dx=∫ 2
x
2
3
dx+∫ x
5
2
10dx=∫ 2 x
−2
3 dx+∫ x
5
2
10dx=2∫ x
−2
3 dx 1
10∫ x
5
2dx=2
( x
−
−2
3
∫ ¿
68-
69-
70-
71-
x4
4dx+∫ 2
x4 dx+∫ 4 dx=¿−1.1∫ x
5dx−
1
4∫ x
4dx+2∫ x
−4dx+4∫dx=−1.1 ( x6
dx)−1
4( x5
dx)+2
−1.1 x5
dx−∫¿
∫−1.1 x5−
x4
4+
2
x4+4¿dx=∫
72-
7/24/2019 Mate Portafolio
http://slidepdf.com/reader/full/mate-portafolio 7/22
73-
x¿¿ x¿¿
¿n+1
f ¿f
1 ( x ) f ¿
∫ ¿
74- ∫un
du=u
n+1
n+1+c
75-
76-
77-
x−3¿3+1
¿ x−3¿4
¿ x−3¿4+c
¿¿
x−3¿3dx=¿¿
∫¿
78-
79-
x−3¿9
¿ x−3¿4+c
(¿4¿¿)=5
4¿
¿ x−3¿3
dx=5¿¿
x−3¿3dx=5∫ ¿5¿
∫¿
80-
7/24/2019 Mate Portafolio
http://slidepdf.com/reader/full/mate-portafolio 8/22
81-
x−8¿3
¿ x−8¿−2
¿ x−8¿2
¿
+c¿
x−8¿−2=−5
¿¿
x−8¿−3
dx=10
1∗¿
¿ x−8¿3
dx=10∫ ¿10¿¿
10
¿∫¿
82-
83-
x3+9¿2+1
¿ x
3+93
¿ x
3+9¿3+c
¿¿
x3+9¿2
dx=1
3∗¿
3 x2¿
x3+9¿2
dx=1
3∫ ¿
x2¿¿
84-
85-
∫ (5.5 x6−
x3
3+
2
6+5)dx=∫5.5 x
6dx−∫ x
3
3dx+∫ 2
6dx+5 dx=5.5∫ x
6dx−3∫ x
3dx+2∫ x
−6dx+
86-
7/24/2019 Mate Portafolio
http://slidepdf.com/reader/full/mate-portafolio 9/22
87-
88-
2.2 x7+∫ 4
4dx−∫7 dx=4∫ x
4dx+5∫ x
−5dx−2.2∫ x
7dx+4∫ x
−4dx−7∫dx=4 ( x5
dx )+5 ( x−5dx
∫( x4
4+
5
6−2.2 x
7+4
4
89-
90-
91-
92-
93-
94-
33
dx+∫ x9
9dx+∫8 dx=3.3 x 4 dx+6∫ x−6 dx−3∫ x−3 dx+9∫ x−9 dx+8∫ dx=3.3 ( x5 dx )+6 ( x−5 dx
3
(3.3 x4+¿
x
95-
96-
97-
98-
7/24/2019 Mate Portafolio
http://slidepdf.com/reader/full/mate-portafolio 10/22
99-
dx=6.6 ( x6dx )+7 x
−
6.6 x5+
x7
7 −¿
2
2+6∫dx=∫6.6 x
5dx+∫ x
7
7 dx−∫ 2
2dx+∫6 dx=6.6∫ x
5dx+7∫ x
−7dx−2∫ x
−2d
¿∫ ¿
100-
101-
102-
103-
104-
105-
106-
7.7 x4+ x
8
8−
4
4
(¿+3)dx=∫ 7.7 x4dx+∫ x
8
8 dx−∫ 4
4 dx+∫3dx=7.7∫ x4
dx+8∫ x−8dx−4∫ x−4
dx+3∫ dx=7.7
∫ ¿
107-
108-
x ¿n+1
¿f ¿
x¿ndx=¿( x ) f ¿
∫ ¿
109-
7/24/2019 Mate Portafolio
http://slidepdf.com/reader/full/mate-portafolio 11/22
110-
x−3¿3
¿ x−3¿−3
¿ x−3¿−2
¿ x−3¿2
¿+c
2¿
(¿2¿)=−5
¿¿
(¿−3+1¿)=5¿¿
x−3¿−3dx=5¿¿
x−3¿−3dx=5
∫¿
5¿¿5
¿∫ ¿
111-
112-
113-
114-
115-
116-
117-
118-
7/24/2019 Mate Portafolio
http://slidepdf.com/reader/full/mate-portafolio 12/22
119- Método de integración por cambio
de variables o sustitución
120- ∫ f ( x)dx Cambio de variable ∫ g (t )dt
Resolvemos+¿G¿
121-
Deshacemos el cambio de variable
122-
123-
124- Es solución
f ( x)
125-
126-
127-
u3
2
3
2
6+7 x3¿3
¿¿
6+7 x3¿
3
2=10
63√ ¿
5 x2
√ 6+7 x3
dx=∫ 5 x2
√ u du
21 x2=
5
21∫√ u du= 5
21∫u
1
2
du= 5
21 (¿)= 5
21 (2
3
√ 2
3 )=10
63 u
3
2
+c=10
63 ¿
∫¿
128-
7/24/2019 Mate Portafolio
http://slidepdf.com/reader/full/mate-portafolio 13/22
129- La integral defnida
130-
131- Y
132-
133-
134- S
135- a b
X ∫a
b
f ( x ) dx
136- Llamaremos ine!ral inde"nida de #na $#nci%n $&'(
en #n inervalo &a) b( el con*#no de odas s#s $#nciones
+rimiivas en dicho inervalo, Lo re+resenaremos con la
noaci%n habi#al ∫ f ( x ) dx , La $#nci%n $&'( recibe el
nombre de ine!rando,
137- Las dos +ro+iedades aneriores im+lican #e basa
con conocer #na +rimiiva de $&'( en &a) b( .&'() +araconocer la oalidad de ellas / as endremos
138- ∫ f ( x )dx= F ( x )+c
139- ara c#al#ier consane real c,
7/24/2019 Mate Portafolio
http://slidepdf.com/reader/full/mate-portafolio 14/22
140- ro+iedades,
141- La ine!ral de #na s#ma de $#nciones es i!#al a la
s#ma de los ine!rales de esas $#nciones
142- ∫kf ( x )dx=k ∫ f ( x )dx
143- ne!raci%n +or +ares,
144- e basa en la derivada de #n +rod#co de $#nciones
sean / son $#nciones derivable, La di$erencia del
+rod#co es
145- d (U ∗V )=du∗v+u∗dv
146- ne!rando ambos miembros) se obiene
147- U ∗V =∫Udv+∫Vdu
148- De a#
149- ∫Udv=U ∗V −∫Vdv
150-
151- La ine!ral de"nida es #n conce+o #iliado +ara
deerminar el valor de las reas limiadas +or c#rvas /
recas, Dado el inervalo &a) b( en el #e +ara cada #no
de s#s +#nos ') se de"ne como $#nci%n $&'( #e es
ma/or % i!#al a cero en &a) b( se llama ine!ral de"nida
de la $#nci%n enre los +#nos a / b) al rea de la
+ro+orci%n del +#no #e es limiada +or la $#nci%n) ele*e horional :' / las recas vericales de ec#aciones
'=a/'=b
152- La ine!ral de"nida de la $#nci%n enre los e'remos
del inervalo &a) b( se deona como
7/24/2019 Mate Portafolio
http://slidepdf.com/reader/full/mate-portafolio 15/22
153- ∫a
b
f ( x)dx
154-
0,5 1 1,5 2 2,5 3
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
155-
156-
157-
158-
159-160-
161- Xa
xb
7/24/2019 Mate Portafolio
http://slidepdf.com/reader/full/mate-portafolio 16/22
162-
163- ro+iedades
1,;l valor de la ine!ral de"nida cambia de si!no si
+erm#an &cambian( los lmies de ine!raci%n
164-
165- ∫
a
b
f ( x ) dx=∫b
a
F ( x ) dx
166-2, C#ando la $#nci%n $&'( es ma/or #e cero s# ine!ral es
+osiivo) si la $#nci%n es ma/or #e cero) s# ine!ral es
ne!aiva,
167- ∫b
a
f ( x ) dx=0
3, i C es #n +#no inerior del inervalo &a) b( la ine!ral
de"niiva se descom+one como #na s#ma de 2
ine!rales e'endidas a los inervalos &a) b( / &c) d(
168-
169- ∫a
b
( f ( x )+g ( x ) ) dx∫a
b
f ( x ) dx+∫a
b
g ( x ) dx
170-4, La ine!ral de"nida de #na s#ma de $#nciones es i!#al a
la s#ma de ine!rales
171-
172- ∫a
b
( f ( x )+g ( x ) ) dx∫a
b
f ( x ) dx+∫a
b
g ( x ) dx
173-
7/24/2019 Mate Portafolio
http://slidepdf.com/reader/full/mate-portafolio 17/22
1!- "alculo de #reas175-
176- na de las a+licaciones #e iene el clc#lo ine!ral
es +recisamene el clc#lo de reas ba*o #na s#+er"cie,177- ara calc#lar el rea de #na s#+er"cie se #ilia la
ine!ral de"nida /a #e se raa de #na ine!ral enre
lmies) los c#ales se indican sobre la misma !ra"ca o
sobre la ine!ral de la $#nci%n) #e es la ec#aci%n de la
!r"ca de la "!#ra !eom<rica en c#esi%n,
178- or lo ano al a+licar el crierio de la ine!ral
de"nida obendremos direcamene la s#+er"cie de la
"!#ra #e /a es< considerada,
179-
180-
181- ;*em+lo
182--4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
0
0,5
1
1,5
2
183-
y= f ( x )=3 x2
+2 x−7
184-
185-
186-
7/24/2019 Mate Portafolio
http://slidepdf.com/reader/full/mate-portafolio 18/22
187-
(−3 x2+2 x−7 )dx=¿
∫−3
3
¿
188-
3¿2−7(3)−3¿2−7(−3)
−3¿3+¿=[−( 27)+( 9 )−21 ]−[−( 27)+( 9 )+21 ]=[−39 ]− [57 ]=−39−57=|−96|=96 uc−¿
3¿3+¿−¿−¿
¿∫−3
3
−3 x2
dx+∫−3
3
2 xdx−∫−3
3
7 dx=−3 x
3
3+
2 x2
2−7 x=− x
3+ x2−7 x¿−3
3 =¿
189-
19$- %pciones con matrices191-
192- A=
[
a1 a
12 a
13
a21 a
22 a
23
a31 a32 a33
]❑
;s $ormada +or col#mnas / ren!lones
193- :rden de #na mari
194- A=[ 6 8
10 12] 2x2
195- B=[6 8 12
3 4 7 ] 2x&
196- C =[ 6
8
4
10] !x1
7/24/2019 Mate Portafolio
http://slidepdf.com/reader/full/mate-portafolio 19/22
19- D=[ 6 12 15 16 20 ] 1x5
198- #ma / resa,
199- ara s#mar o resar dos % ms marices esnecesario #e <sas sean del mismo orden / se +rocede
de la si!#iene manera,
200- e s#ma o se resan los elemenos #e en!an el
mismo +osicionamieno, i las marices no son del
mismo orden <sas no se +#eden s#mar o resar,
201-
202- A=[ 6 8 10
−2 −3 −5
4 7 5 ]B=[
−2 3 5
−8 4 −2
3 7 6 ]
203- :ben!a
a( >? [ 6 8 10
−2 −3 −5
4 7 5 ]+[
−2 3 5
−8 4 −2
3 7 6 ]=[
4 11 15
−10 1 −7
7 14 11]
204-
b( -? [ 6 8 10
−2 −3 −5
4 7 5 ]−[
−2 3 5
−8 4 −2
3 7 6 ]=[
8 5 5
6 −7 −3
1 0 −1]
205-
206- @#li+licaci%n de #na mari +or #n escalar
7/24/2019 Mate Portafolio
http://slidepdf.com/reader/full/mate-portafolio 20/22
207- ;n ese caso se m#li+lican odos / cada #no de los
elemenos de la mari +or dicho escalar,
208- F =⌈ −2 10
6 −7⌉ H =[−1 −6
6 −2 ]
209-
210- :ben!a
a( 8.= [−2 10
6 7 ]=[−16 80
48 −56]
b( -5A= [−1 −6
6 −2]=[ 5 30
−30 10]
211-
212- @#li+licaci%n de marices.
213- ara e$ec#ar la m#li+licaci%n de marices se
m#li+lica el +rimer ren!l%n de la +rimera mari +or
odas / cada col#mna de la se!#nda mari a
conin#aci%n se m#li+lica el se!#ndo ren!l%n +or odas/ cada #na de las col#mnas de la se!#nda de la mari /
as s#cesivamene hasa erminar,
214-
215- ;*em+lo
216- A=[2 3
8 10 ] B=[−3 −2
1 5 ]
217- :ben!a
a( ? [2 3
8 10]∗[−3 −2
1 5 ]=[ −6 +3 −4 +15
−24 +10 −16 +50 ]=[ −3 11
−14 34 ]218-
7/24/2019 Mate Portafolio
http://slidepdf.com/reader/full/mate-portafolio 21/22
b( ? [−3 −2
1 5 ]∗[2 3
8 10]=[−6 −16 −9 −20
2 40 +3 +50 ]=[−22 −29
42 53 ]
7/24/2019 Mate Portafolio
http://slidepdf.com/reader/full/mate-portafolio 22/22
219-