Máquinas de estados finitos. Características Simple Formal Operacional Número finito de estados.

Máquinas de estados finitos

Características

Simple Formal Operacional Número finito de estados

Definición

Una máquina de estados finitos M consiste de:

Un conjunto finito de estados, Q; Un conjunto finito de entradas, I; Una función de transición δ: Q I Q.

δ puede ser una función parcial

Representación gráfica

Grafo nodos representan los estados; un arco rotulado i va del estado q a q’ si y sólo si

δ(q, i) = q’.Q = {q0, q1, q2, q3} I = {a, b, c}

δ(q0, a) = q1

δ(q1, a) = q2

δ(q1, b) = q3

δ(q2, b) = q3

δ(q3, c) = q0

Modelado con una MEF

MEF que modela el switch de una lámpara

Una planta química. Los niveles de temperatura y de presión deben ser

monitoreados por razones de seguridad. Se han instalado sensores para generar señales adecuadas cuando alguno de dichos niveles excede un valor predefinido.

Política trivial: cuando alguna de las señales es originada por el correspondiente sensor, el sistema de control apaga la planta y emite una señal de alarma; el sistema es re-iniciado manualmente cuando la causa de la falla ha sido corregida.

Cuando se origina alguna de las dos señales, se invoca automáticamente una acción de recuperación (existe una “acción de temperatura” y una “acción de presión”).

Si, después de un rato, la acción de recuperación tiene éxito, el sistema es automáticamente re-inicializado al estado “normal” y un mensaje de “todo OK” es emitido.

Si la recuperación no tiene éxito, la señal de alarma debe ser lanzada y la planta debe ser apagada.

El sistema debe también ser apagado si se está tratando de recuperar de algún tipo de anormalidad (de temperatura o presión) y la otra señal aparece.

Limitaciones de las MEF

Limitación: Número finito de estados.

Soluciones: No describir todos los detalles del

sistema. Cambiar de herramienta de modelado. Enriquecer la notación.

Limitaciones de las MEF

Sistema productor-consumidor Un proceso productor produce mensajes y los

graba en un buffer. Un proceso consumidor lee mensajes y los saca

de dicho buffer (consume). Si el buffer está lleno, el productor debe esperar

hasta que el consumidor lo haya vaciado. Si el buffer está vacío, el consumidor debe

esperar hasta que el productor coloque un mensaje en el buffer.

DTE - Una primera aproximación

(a) proceso productor; (b) proceso consumidor; (c) buffer.

Suponemos un buffer con capacidad para 1 mensaje.

DTE para Productor-Consumidor

Problemas en el modelo Tamaño: n subsistemas cada uno con ki

estados, sistema resultante k1 k2 ... kn estados.

Modelo sincrónico.

El sistema está siempre en un único estado y ejecuta exactamente una única acción en cada instante de tiempo, sin embargo por ej. no hay razón para imponer tal serialización entre la acción “produce” y la acción “consume” (las transiciones deberían ocurrir asincrónicamente).

Introducción a las Redes de Petri

Redes de Petri

Notación formal, operacional, gráfica.

Sistemas asincrónicos y concurrentes.

Redes de Petri - DefiniciónUna Red de Petri es un multigrafo bipartito dirigido representado

por una cuádrupla PN = <P, T, I, O>

P = {p1, p2, ..., pn} conjunto finito de lugares (places), n

T = {t1, t2, ..., tm} conjunto finito de transiciones, m 0

I: T P P denota los multisets o bolsas de P.

pi I(tj) si existe un arco de pi a tj

O: T P

pi O(tj) si existe un arco de tj a pi

Ejemplo 1

P = {p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7}

T = {t1, t2, t3, t4, t5, t6}

I(t1) = {p1} O(t1) = {p4}

I(t2) = {p2} O(t2) = {p5}

I(t3) = {p3, p4} O(t3) = {p6}

I(t4) = {p3, p5} O(t4) = {p7}

I(t5) = {p6} O(t5) = {p1, p3}

I(t6) = {p7} O(t6) = {p2, p3}

Ejemplo 2

P = {p1, p2}

T = {t1}

I(t1) = {p1, p1}

O(t1) = {p2, p2, p2}

Si un arco va desde un place a una transición, al place se lo llama input place (lugar de entrada) de la transición.

Si un arco va desde una transición a un place, al place se lo llama output place (lugar de salida) de la transición.

Redes de Petri Marcación y ejecución

Una red de Petri recibe su estado marcando sus places.

Una marcación (marking) consiste en asignar un número entero no negativo de tokens a cada place.

En las redes tradicionales de Petri los tokens son indistinguibles y no representan información específica.

Ejemplo de red marcada

P = {p1, p2}

T = {t1}

I(t1) = {p1, p1}

O(t1) = {p2, p2, p2}

Marcación

Una marcación de una Red de Petri

PN = <P, T, I, O> es una función:

: P {0, 1, 2, ...}

que asigna un número entero no negativo de tokens a cada place de la red.

Marcación

Una marcación puede representarse como un vector de dimensión n (n es el número de lugares de la red).

(p1) = 2 (p2) = 0

= (2,0)

Red de Petri marcada

Una Red de Petri marcada

M = <PN, >

es un una estructura de Red de Petri

PN = <P, T, I, O> y un marking .

P = {p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7}

T = {t1, t2, t3, t4, t5, t6}

I(t1) = {p1} O(t1) = {p4}

I(t2) = {p2} O(t2) = {p5}

I(t3) = {p3, p4} O(t3) = {p6}

I(t4) = {p3, p5} O(t4) = {p7}

I(t5) = {p6} O(t5) = {p1, p3}

I(t6) = {p7} O(t6) = {p2, p3}

= (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0)

Ejecución de una Red de Petri

Durante la ejecución de la red el número y posición de los tokens puede variar dando lugar a una nueva marcación.

Cada marcación corresponde a un estado de la red.

Reglas de Ejecución

1. Una transición puede disparar si está habilitada.

2. Una transición está habilitada si en cada uno de sus input places existen al menos tantos tokens como arcos existan desde el place a la transición.

t1 no habilitada

t1 habilitada, puede disparar

3. Cuando una transición dispara, en cada uno de sus input places se remueven tantos tokens como arcos existan desde el input place hacia la transición, y en cada uno de los output places de la transición se insertan tantos tokens como arcos existan desde la transición al output place.

Disparó t1

p3 p3 p4 p4

Formalmente, una transición t T está habilitada en una red de Petri PN = <P, T, I, O> sii

p I(t) : (p) #(p, I(t))

#(p, I(t)) es el número de arcos desde p a t.

Formalmente, el disparo de una transición t T con un marking resulta en un nuevo marking ’ definido por:

p P : ’(p) = (p) #(p, I(t)) + #(p, O(t))

#(p, I(t)) es el número de arcos desde p a t.#(p, O(t)) es el número de arcos desde t a p.

0 = (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0)

t1 y t2

están

habilitadas.

•secuencia de disparos: (t1)

•t2 y t3 quedaron habilitadas.

••

•0 = (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0)

1 = (0, 1, 1, 1, 0, 0, 0)

•secuencia de disparos: (t1,t2)

•t3 y t4 quedaron habilitadas.

•• •

0 = (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0)

1 = (0, 1, 1, 1, 0, 0, 0)

2 = (0, 0, 1, 1, 1, 0, 0)

0 = (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0)

1 = (0, 1, 1, 1, 0, 0, 0)

2 = (0, 0, 1, 1, 1, 0, 0)

3 = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 1)

•secuencia de disparos: (t1,t2,t4)

•t6 quedó habilitada.

0 = (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0)

1 = (0, 1, 1, 1, 0, 0, 0)

2 = (0, 0, 1, 1, 1, 0, 0)

3 = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 1)

4 = (0, 1, 1, 1, 0, 0, 0)•secuencia de disparos: (t1,t2,t4,t6)

•t2 y t3 quedaron habilitadas. ...

••

Ejecución de la Red de Petri

La secuencia de disparos dada es una de las posibles secuencias, no la única.

El modelo es no determinístico, en el sentido que dado un marking inicial 0 distintas evoluciones de la red son posibles.

t1 siempre habilitada

Modelado con Redes de Petri

Una transición, usualmente, modela un evento o acción.

El disparo de la transición representa la ocurrencia de tal evento o la ejecución de la acción.

Una transición está habilitada, si se satisfacen las condiciones necesarias para la ocurrencia de tal evento o acción.

La presencia de tokens en los input places modelan tales condiciones.

Modelado con Redes de Petri•

t1 = proceso 1 solicita recurso

t3 = proceso 1 toma recurso

t5 = proceso 1 libera recurso

Eventos del proceso 1

t2 = proceso 2 solicita recurso

t4 = proceso 2 toma recurso

t6 = proceso 2 libera recurso

Eventos del proceso 2

•p3 representa la disponibilidad o no de un recurso.

Modelado con Redes de PetriTransiciones concurrentes•

t1 y t2 habilitadas y el disparo de una no deshabilita la otra => concurrentes

Modelado con Redes de PetriTransiciones en conflicto

• •

t3 y t4 habilitadas y el disparo de una deshabilita la otra => en conflicto

Modelado con Redes de PetriStarvation secuencia de

disparos:

(t2,t4)

disparos:

(t2,t4,t6)

disparos:

(t2,t4,t6,t2)

disparos:

(t2,t4,t6,t2,t4)

Modelado con Redes de PetriStarvation secuencia de disparos:

(t2,t4,t6,t2,t4,t6,...)

starvation de proceso 1

Modelado con Redes de PetriDeadlock

t3’ t4’

t3’’ t4’’

•p1 p2

• •

t1: proc1 solicita ambos recursos

t3’: proc1 toma un recurso

t3’’: proc1 toma otro recurso

t5: proc1 libera ambos recursos

t2: proc2 solicta ambos recursos

t4’: proc2 toma un recurso

t4’’: proc2 toma otro recurso

t6: proc2 libera ambos recursos

Modelado con Redes de PetriUna posible ejecución sin deadlock

secuencia de disparos:

(t1) t3’ t4’

t3’’ t4’’

• ••

t3’ t4’

t3’’ t4’’

• secuencia de disparos:

(t1, t3’)

t3’ t4’

t3’’ t4’’

(t1, t3’, t3’’)

t3’ t4’

t3’’ t4’’

•p1 p2

• • secuencia de disparos:

(t1, t3’, t3’’, t5)

Modelado con Redes de PetriUna posible ejecución con deadlock

(t1) t3’ t4’

t3’’ t4’’

• ••

(t1, t2)

t3’ t4’

t3’’ t4’’

• ••

(t1, t2, t3’)

t3’ t4’

t3’’ t4’’

(t1, t2, t3’, t4’)

deadlock (ninguno de los procesos puede continuar)

t3’ t4’

t3’’ t4’’

DTE para Productor-ConsumidorPrimera aproximación

(a) proceso productor; (b) proceso consumidor; (c) buffer.

Suponemos un buffer con capacidad para 1 mensaje.

PN para Productor-ConsumidorPrimera aproximación

•p1 p2

produce

consume

DTE para Productor-Consumidor

PN para Productor-Consumidor

produce

•c1 c2

consume

Limitaciones de las Redes de Petri tradicionales y algunas extensiones Limitación: los tokens son anónimos.

p.e. la presencia de un token en un place puede denotar la presencia de un mensaje en un buffer pero no lo que el mensaje dice.

Extensión: asignación de valores a tokens más asociación de predicados y acciones a las transiciones.

p1 < p2

p4:=p2+p1

p2 = p3

p4:=p3-p2

p5:= p2+p3

•t1 habilitada: tuplas ready: (3,7) (3,4)

elecciones no determinísticas

•t2 habilitada: tuplas ready: (4, 4)

p1 < p2

p4:=p2+p1

p2 = p3

p4:=p3-p2

p5:= p2+p3

sec. de disparos: (t1)

t1 deshabilitada.

t2 habilitada: tuplas ready: (4, 4)

p1 < p2

p4:=p2+p1

p2 = p3

p4:=p3-p2

p5:= p2+p3

sec. de disparos: (t1, t2)

Limitaciones de las Redes de Petri tradicionales y algunas extensiones

Limitación: no se pueden fijar políticas de selección cuando varias transiciones están habilitadas.

Extensión: asignación estática o dinámica de prioridades a las transiciones.

prioridad = 2prioridad = 1

t1 y t2 habilitadas, dispara t2 porque tiene mayor prioridad.

Limitaciones de las Redes de Petri tradicionales y algunas extensiones

Limitación: Problemas con el manejo del tiempo. p.e. un proceso envía mensajes a una cierta velocidad. Estos

son colocados en un buffer y procesados. Si un mensaje no es tomado del buffer antes del arribo del próximo, es sobrescrito por el nuevo.

Extensiones: Redes de Petri con tiempo donde a cada transición se le asocia un par <tmin, tmax> que indica el intervalo de tiempo dentro del cual debe disparar.

prioridad = 2

tmin = 2

tmax = 3

prioridad = 1

tmin = 1

tmax = 4

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