Umbral Finito

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Introducci ´ on Req Matriz Rep Rec Bibliograf´ ıa Un Esquema de Umbral en un Espacio Vectorial Finito Mar´ ıa del Pilar Astudillo 1 , Freddy William Bustos 1 1 Departamento de Matem ´ aticas, Universidad del Cauca, Popay´ an (Colombia) Altencoa-5 Universidad Distrital, Bogot ´ a,6 de Diciembre de 2012 Astudillo & Bustos Un Esquema de Umbral en un Espacio Vectorial Finito

Transcript of Umbral Finito

Introduccion Req Matriz Rep Rec Bibliografıa

Un Esquema de Umbral en un Espacio VectorialFinito

Marıa del Pilar Astudillo1, Freddy William Bustos1

1Departamento de Matematicas, Universidad del Cauca, Popayan (Colombia)

Altencoa-5Universidad Distrital, Bogota,6 de Diciembre de 2012

Astudillo & Bustos Un Esquema de Umbral en un Espacio Vectorial Finito

Introduccion Req Matriz Rep Rec Bibliografıa

Estructura de la charla

1 Introduccion

2 Requisitos

3 La Matriz

4 La Reparticion

5 La Recuperacion

6 Bibliografıa

Astudillo & Bustos Un Esquema de Umbral en un Espacio Vectorial Finito

Introduccion Req Matriz Rep Rec Bibliografıa

Esquema para Compartir un Secreto (ECS)

Es un arreglo en el cual una informacion se divide y se reparte con lagarantıa de que al reunir de nuevo las partes la informacion serecupera ıntegramente.

Astudillo & Bustos Un Esquema de Umbral en un Espacio Vectorial Finito

Introduccion Req Matriz Rep Rec Bibliografıa

Esquema para Compartir un Secreto (ECS)Es un arreglo en el cual una informacion se divide y se reparte con lagarantıa de que al reunir de nuevo las partes la informacion serecupera ıntegramente.

Astudillo & Bustos Un Esquema de Umbral en un Espacio Vectorial Finito

Introduccion Req Matriz Rep Rec Bibliografıa

Esquema de Umbral para Compartir un Secreto

Es un ECS en el cual la informacion dividida se puede recuperarusando solo algunas de las partes y no con menos.

EUCS (n,k )

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Introduccion Req Matriz Rep Rec Bibliografıa

Esquema de Umbral para Compartir un SecretoEs un ECS en el cual la informacion dividida se puede recuperarusando solo algunas de las partes y no con menos.

EUCS (n,k )

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Introduccion Req Matriz Rep Rec Bibliografıa

Esquema de Umbral para Compartir un SecretoEs un ECS en el cual la informacion dividida se puede recuperarusando solo algunas de las partes y no con menos.

EUCS (n,k )

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Ejemplo

La boveda de un banco se puede proteger de manera que de ungrupo de 5 personas, cualquier grupo de 3 o mas puedan abrirla peroningun grupo con menos de 3 tengan esa posibilidad.

Para esto se puede adecuar a la boveda con 10 [(5

3

)] cerraduras cada

una de las cuales requiere de 3 llaves para abrirse, ademas a cadapersona se le entregan 6 [

(42

)] llaves para que pueda intervenir en los

diferentes grupos de 3 en que podrıa estar.

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EjemploLa boveda de un banco se puede proteger de manera que de ungrupo de 5 personas, cualquier grupo de 3 o mas puedan abrirla peroningun grupo con menos de 3 tengan esa posibilidad.

Para esto se puede adecuar a la boveda con 10 [(5

3

)] cerraduras cada

una de las cuales requiere de 3 llaves para abrirse, ademas a cadapersona se le entregan 6 [

(42

)] llaves para que pueda intervenir en los

diferentes grupos de 3 en que podrıa estar.

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Personas Umbral Cerraduras Llaves–persona5 3 10 6n k

(nk

) (n−1k−1

)

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Introduccion Req Matriz Rep Rec Bibliografıa

Adi Shamir, 1979.

Interpolacion de polinomios.

George Robert Blakley Jr., 1979.Hiperplanos geometricos.

Asmuth y Bloom, 1982.Teorema Chino de los Residuos.

Maurice Mignotte, 1983.Teorema Chino de los Residuos.

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Adi Shamir, 1979.Interpolacion de polinomios.

George Robert Blakley Jr., 1979.Hiperplanos geometricos.

Asmuth y Bloom, 1982.Teorema Chino de los Residuos.

Maurice Mignotte, 1983.Teorema Chino de los Residuos.

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Adi Shamir, 1979.Interpolacion de polinomios.

George Robert Blakley Jr., 1979.

Hiperplanos geometricos.

Asmuth y Bloom, 1982.Teorema Chino de los Residuos.

Maurice Mignotte, 1983.Teorema Chino de los Residuos.

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Adi Shamir, 1979.Interpolacion de polinomios.

George Robert Blakley Jr., 1979.Hiperplanos geometricos.

Asmuth y Bloom, 1982.Teorema Chino de los Residuos.

Maurice Mignotte, 1983.Teorema Chino de los Residuos.

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Adi Shamir, 1979.Interpolacion de polinomios.

George Robert Blakley Jr., 1979.Hiperplanos geometricos.

Asmuth y Bloom, 1982.

Teorema Chino de los Residuos.

Maurice Mignotte, 1983.Teorema Chino de los Residuos.

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Adi Shamir, 1979.Interpolacion de polinomios.

George Robert Blakley Jr., 1979.Hiperplanos geometricos.

Asmuth y Bloom, 1982.Teorema Chino de los Residuos.

Maurice Mignotte, 1983.Teorema Chino de los Residuos.

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Adi Shamir, 1979.Interpolacion de polinomios.

George Robert Blakley Jr., 1979.Hiperplanos geometricos.

Asmuth y Bloom, 1982.Teorema Chino de los Residuos.

Maurice Mignotte, 1983.

Teorema Chino de los Residuos.

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Adi Shamir, 1979.Interpolacion de polinomios.

George Robert Blakley Jr., 1979.Hiperplanos geometricos.

Asmuth y Bloom, 1982.Teorema Chino de los Residuos.

Maurice Mignotte, 1983.Teorema Chino de los Residuos.

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EUCS (3,2) en R3

El secreto esta en un punto sobre la recta que pasa por el origen y elpunto P(1,2,3)

M =

1 2 3a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

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EUCS (3,2) en R3

El secreto esta en un punto sobre la recta que pasa por el origen y elpunto P(1,2,3)

M =

1 2 3a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

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EUCS (3,2) en R3

El secreto esta en un punto sobre la recta que pasa por el origen y elpunto P(1,2,3)

M =

1 2 3a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

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EUCS (3,2) en R3

det

1 2 3ai bi cix y z

= 0

Aix + Biy + Ciz = 0

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EUCS (3,2) en R3

det

1 2 3ai bi cix y z

= 0

Aix + Biy + Ciz = 0

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EUCS (3,2) en R3

det

1 2 3ai bi cix y z

= 0

Aix + Biy + Ciz = 0

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EUCS (3,2) en R3 (Recuperacion)

{Aix + Biy + Ciz = 0Ajx + Bjy + Cjz = 0

(1)

Solucion: t (1,2,3), t ∈ R

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EUCS (3,2) en R3 (Recuperacion)

{Aix + Biy + Ciz = 0Ajx + Bjy + Cjz = 0

(1)

Solucion: t (1,2,3), t ∈ R

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EUCS (3,2) en R3 (Recuperacion)

{Aix + Biy + Ciz = 0Ajx + Bjy + Cjz = 0

(1)

Solucion: t (1,2,3), t ∈ R

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EUCS (3,2) en R3

Deseamos

ai 6= 0 bi 6= 0 ci 6= 0(ai ,bi , ci) 6= (1,2,3)Si i 6= j : (ai ,bi , ci) 6=

(aj ,bj , cj

)Si Mi 6= Mj son submatrices 2× 2 de Mdet Mi 6= 0,det Mj 6= 0,det Mi 6= det Mj

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Deseamos

ai 6= 0 bi 6= 0 ci 6= 0(ai ,bi , ci) 6= (1,2,3)Si i 6= j : (ai ,bi , ci) 6=

(aj ,bj , cj

)Si Mi 6= Mj son submatrices 2× 2 de Mdet Mi 6= 0,det Mj 6= 0,det Mi 6= det Mj

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EUCS (3,2) en R3

Deseamos

ai 6= 0 bi 6= 0 ci 6= 0

(ai ,bi , ci) 6= (1,2,3)Si i 6= j : (ai ,bi , ci) 6=

(aj ,bj , cj

)Si Mi 6= Mj son submatrices 2× 2 de Mdet Mi 6= 0,det Mj 6= 0,det Mi 6= det Mj

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EUCS (3,2) en R3

Deseamos

ai 6= 0 bi 6= 0 ci 6= 0(ai ,bi , ci) 6= (1,2,3)

Si i 6= j : (ai ,bi , ci) 6=(aj ,bj , cj

)Si Mi 6= Mj son submatrices 2× 2 de Mdet Mi 6= 0,det Mj 6= 0,det Mi 6= det Mj

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Deseamos

ai 6= 0 bi 6= 0 ci 6= 0(ai ,bi , ci) 6= (1,2,3)Si i 6= j : (ai ,bi , ci) 6=

(aj ,bj , cj

)

Si Mi 6= Mj son submatrices 2× 2 de Mdet Mi 6= 0,det Mj 6= 0,det Mi 6= det Mj

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Deseamos

ai 6= 0 bi 6= 0 ci 6= 0(ai ,bi , ci) 6= (1,2,3)Si i 6= j : (ai ,bi , ci) 6=

(aj ,bj , cj

)Si Mi 6= Mj son submatrices 2× 2 de Mdet Mi 6= 0,det Mj 6= 0,det Mi 6= det Mj

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George Robert (Bob) Blakley Jr.

Criptografo americano, Licenciado en Fısica de la Universidad deGeorgetown.Profesor de la Universidad de Illinois y la Universidad Estatal de NewYork, fue cofundador de la revista internacional de la Seguridad de laInformacion publicada por Spring-Verlag en 2000 y es miembro de suconsejo asesor actualmente.

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Introduccion Req Matriz Rep Rec Bibliografıa

George Robert (Bob) Blakley Jr.Criptografo americano, Licenciado en Fısica de la Universidad deGeorgetown.Profesor de la Universidad de Illinois y la Universidad Estatal de NewYork, fue cofundador de la revista internacional de la Seguridad de laInformacion publicada por Spring-Verlag en 2000 y es miembro de suconsejo asesor actualmente.

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Hiperplano geometrico

Es un subespacio de dimension n − 1 en un espacio de dimension n.Si H es un hiperplano de V se dice que H tiene codimension 1.

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Hiperplano geometricoEs un subespacio de dimension n − 1 en un espacio de dimension n.Si H es un hiperplano de V se dice que H tiene codimension 1.

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2 ≤ k < n0 < Q < 1

4

p primo.((n + 1) k − 1)2 < pQEspacio Vectorial finito Zk+1

p

Matriz M(n+1)×(k+1)

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2 ≤ k < n

0 < Q < 14

p primo.((n + 1) k − 1)2 < pQEspacio Vectorial finito Zk+1

p

Matriz M(n+1)×(k+1)

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2 ≤ k < n0 < Q < 1

4

p primo.((n + 1) k − 1)2 < pQEspacio Vectorial finito Zk+1

p

Matriz M(n+1)×(k+1)

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2 ≤ k < n0 < Q < 1

4

p primo.

((n + 1) k − 1)2 < pQEspacio Vectorial finito Zk+1

p

Matriz M(n+1)×(k+1)

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2 ≤ k < n0 < Q < 1

4

p primo.((n + 1) k − 1)2 < pQ

Espacio Vectorial finito Zk+1p

Matriz M(n+1)×(k+1)

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2 ≤ k < n0 < Q < 1

4

p primo.((n + 1) k − 1)2 < pQEspacio Vectorial finito Zk+1

p

Matriz M(n+1)×(k+1)

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2 ≤ k < n0 < Q < 1

4

p primo.((n + 1) k − 1)2 < pQEspacio Vectorial finito Zk+1

p

Matriz M(n+1)×(k+1)

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Construyendo la Matriz

n = 5, k = 3Q = 1

20 , entonces p = 5783M6×4

Aleatoriamente ubicamos un 1 en cada fila.Aleatoriamente ubicamos S de Zp en la primera fila.

M =

1 S1

11

11

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Construyendo la Matrizn = 5, k = 3

Q = 120 , entonces p = 5783

M6×4

Aleatoriamente ubicamos un 1 en cada fila.Aleatoriamente ubicamos S de Zp en la primera fila.

M =

1 S1

11

11

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Construyendo la Matrizn = 5, k = 3Q = 1

20 , entonces p = 5783

M6×4

Aleatoriamente ubicamos un 1 en cada fila.Aleatoriamente ubicamos S de Zp en la primera fila.

M =

1 S1

11

11

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Construyendo la Matrizn = 5, k = 3Q = 1

20 , entonces p = 5783M6×4

Aleatoriamente ubicamos un 1 en cada fila.Aleatoriamente ubicamos S de Zp en la primera fila.

M =

1 S1

11

11

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Construyendo la Matrizn = 5, k = 3Q = 1

20 , entonces p = 5783M6×4

Aleatoriamente ubicamos un 1 en cada fila.

Aleatoriamente ubicamos S de Zp en la primera fila.

M =

1 S1

11

11

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Construyendo la Matrizn = 5, k = 3Q = 1

20 , entonces p = 5783M6×4

Aleatoriamente ubicamos un 1 en cada fila.Aleatoriamente ubicamos S de Zp en la primera fila.

M =

1 S1

11

11

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Introduccion Req Matriz Rep Rec Bibliografıa

Construyendo la Matrizn = 5, k = 3Q = 1

20 , entonces p = 5783M6×4

Aleatoriamente ubicamos un 1 en cada fila.Aleatoriamente ubicamos S de Zp en la primera fila.

M =

1 S1

11

11

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Para las siguientes 17 posiciones ((n + 1) k − 1) escogemosaleatoriamente entradas de Zp

3 1 S 3061 7 35 11 37 11 73

40 1 57 1223 42 17 188 20 1 51

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Para las siguientes 17 posiciones ((n + 1) k − 1) escogemosaleatoriamente entradas de Zp

3 1 S 3061 7 35 11 37 11 73

40 1 57 1223 42 17 188 20 1 51

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Para las siguientes 17 posiciones ((n + 1) k − 1) escogemosaleatoriamente entradas de Zp

3 1 S 3061 7 35 11 37 11 73

40 1 57 1223 42 17 188 20 1 51

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La forma en la que se escoge p garantiza que:

1 La probabilidad de que en las ultimas (n + 1)k − 1 entradas hayaalgun termino congruente con 1 o 0, o que dos entradas seancongruentes mod(p) es menor a 2Q.

2 La probabilidad de que entre las submatrices kxk de M hayaalguna con determinante 0 o dos con determinante igual esmenor a 2Q.

3 La probabilidad de que no ocurra lo descrito en 1 y 2 es mayor a1− 4Q.

4 Existen mas de n conjuntos de k filas de M que incluyen laprimera.

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La forma en la que se escoge p garantiza que:

1 La probabilidad de que en las ultimas (n + 1)k − 1 entradas hayaalgun termino congruente con 1 o 0, o que dos entradas seancongruentes mod(p) es menor a 2Q.

2 La probabilidad de que entre las submatrices kxk de M hayaalguna con determinante 0 o dos con determinante igual esmenor a 2Q.

3 La probabilidad de que no ocurra lo descrito en 1 y 2 es mayor a1− 4Q.

4 Existen mas de n conjuntos de k filas de M que incluyen laprimera.

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La forma en la que se escoge p garantiza que:

1 La probabilidad de que en las ultimas (n + 1)k − 1 entradas hayaalgun termino congruente con 1 o 0, o que dos entradas seancongruentes mod(p) es menor a 2Q.

2 La probabilidad de que entre las submatrices kxk de M hayaalguna con determinante 0 o dos con determinante igual esmenor a 2Q.

3 La probabilidad de que no ocurra lo descrito en 1 y 2 es mayor a1− 4Q.

4 Existen mas de n conjuntos de k filas de M que incluyen laprimera.

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La forma en la que se escoge p garantiza que:

1 La probabilidad de que en las ultimas (n + 1)k − 1 entradas hayaalgun termino congruente con 1 o 0, o que dos entradas seancongruentes mod(p) es menor a 2Q.

2 La probabilidad de que entre las submatrices kxk de M hayaalguna con determinante 0 o dos con determinante igual esmenor a 2Q.

3 La probabilidad de que no ocurra lo descrito en 1 y 2 es mayor a1− 4Q.

4 Existen mas de n conjuntos de k filas de M que incluyen laprimera.

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La forma en la que se escoge p garantiza que:

1 La probabilidad de que en las ultimas (n + 1)k − 1 entradas hayaalgun termino congruente con 1 o 0, o que dos entradas seancongruentes mod(p) es menor a 2Q.

2 La probabilidad de que entre las submatrices kxk de M hayaalguna con determinante 0 o dos con determinante igual esmenor a 2Q.

3 La probabilidad de que no ocurra lo descrito en 1 y 2 es mayor a1− 4Q.

4 Existen mas de n conjuntos de k filas de M que incluyen laprimera.

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La forma en la que se escoge p garantiza que:

1 La probabilidad de que en las ultimas (n + 1)k − 1 entradas hayaalgun termino congruente con 1 o 0, o que dos entradas seancongruentes mod(p) es menor a 2Q.

2 La probabilidad de que entre las submatrices kxk de M hayaalguna con determinante 0 o dos con determinante igual esmenor a 2Q.

3 La probabilidad de que no ocurra lo descrito en 1 y 2 es mayor a1− 4Q.

4 Existen mas de n conjuntos de k filas de M que incluyen laprimera.

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Introduccion Req Matriz Rep Rec Bibliografıa

En nuestra M6×4 tenemos 1− 4Q = 45 y existen mas de 5 conjuntos de

3 filas de M que incluyen la primera. Por ejemplo:

1 = {M1,M2,M3}2 = {M1,M2,M4}3 = {M1,M3,M5}4 = {M1,M3,M6}5 = {M1,M4,M6}

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En nuestra M6×4 tenemos 1− 4Q = 45 y existen mas de 5 conjuntos de

3 filas de M que incluyen la primera. Por ejemplo:

1 = {M1,M2,M3}2 = {M1,M2,M4}3 = {M1,M3,M5}4 = {M1,M3,M6}5 = {M1,M4,M6}

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En nuestra M6×4 tenemos 1− 4Q = 45 y existen mas de 5 conjuntos de

3 filas de M que incluyen la primera. Por ejemplo:

1 = {M1,M2,M3}

2 = {M1,M2,M4}3 = {M1,M3,M5}4 = {M1,M3,M6}5 = {M1,M4,M6}

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En nuestra M6×4 tenemos 1− 4Q = 45 y existen mas de 5 conjuntos de

3 filas de M que incluyen la primera. Por ejemplo:

1 = {M1,M2,M3}2 = {M1,M2,M4}

3 = {M1,M3,M5}4 = {M1,M3,M6}5 = {M1,M4,M6}

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En nuestra M6×4 tenemos 1− 4Q = 45 y existen mas de 5 conjuntos de

3 filas de M que incluyen la primera. Por ejemplo:

1 = {M1,M2,M3}2 = {M1,M2,M4}3 = {M1,M3,M5}

4 = {M1,M3,M6}5 = {M1,M4,M6}

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En nuestra M6×4 tenemos 1− 4Q = 45 y existen mas de 5 conjuntos de

3 filas de M que incluyen la primera. Por ejemplo:

1 = {M1,M2,M3}2 = {M1,M2,M4}3 = {M1,M3,M5}4 = {M1,M3,M6}

5 = {M1,M4,M6}

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Introduccion Req Matriz Rep Rec Bibliografıa

En nuestra M6×4 tenemos 1− 4Q = 45 y existen mas de 5 conjuntos de

3 filas de M que incluyen la primera. Por ejemplo:

1 = {M1,M2,M3}2 = {M1,M2,M4}3 = {M1,M3,M5}4 = {M1,M3,M6}5 = {M1,M4,M6}

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Ecuacion del Hiperplano que contiene a los vectores M1,M2,M3

det

3 1 6 30

31 7 35 11 37 11 73x1 x2 x3 x4

= 0

A1x1 + B1x2 + C1x3 + D1x4 = 0

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Ecuacion del Hiperplano que contiene a los vectores M1,M2,M3

det

3 1 6 30

31 7 35 11 37 11 73x1 x2 x3 x4

= 0

A1x1 + B1x2 + C1x3 + D1x4 = 0

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Ecuacion del Hiperplano que contiene a los vectores M1,M2,M3

det

3 1 6 30

31 7 35 11 37 11 73x1 x2 x3 x4

= 0

A1x1 + B1x2 + C1x3 + D1x4 = 0

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Se reparten los 5 (n) subespacios de dimension 3 (k) :I1 : A1x1 + B1x2 + C1x3 + D1x4 = 0I2 : A2x1 + B2x2 + C2x3 + D2x4 = 0I3 : A3x1 + B3x2 + C3x3 + D3x4 = 0I4 : A4x1 + B4x2 + C4x3 + D4x4 = 0I5 : A5x1 + B5x2 + C5x3 + D5x4 = 0

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Se reparten los 5 (n) subespacios de dimension 3 (k) :

I1 : A1x1 + B1x2 + C1x3 + D1x4 = 0I2 : A2x1 + B2x2 + C2x3 + D2x4 = 0I3 : A3x1 + B3x2 + C3x3 + D3x4 = 0I4 : A4x1 + B4x2 + C4x3 + D4x4 = 0I5 : A5x1 + B5x2 + C5x3 + D5x4 = 0

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Se reparten los 5 (n) subespacios de dimension 3 (k) :I1 : A1x1 + B1x2 + C1x3 + D1x4 = 0I2 : A2x1 + B2x2 + C2x3 + D2x4 = 0I3 : A3x1 + B3x2 + C3x3 + D3x4 = 0I4 : A4x1 + B4x2 + C4x3 + D4x4 = 0I5 : A5x1 + B5x2 + C5x3 + D5x4 = 0

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Si se intersectan dos(k-1) de los anteriores subespacios se tienecomo solucion un subespacio vectorial V de dimension 2.Sea U el conjunto de vectores en V con exactamente una entrada1, ninguna entrada 0 y todas sus entradas distintas entre sı.Para dos elementos de Zp − {0,1} la probabilidad de queaparezcan como entradas de los vectores de U esaproximadamente igual.

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Si se intersectan dos(k-1) de los anteriores subespacios se tienecomo solucion un subespacio vectorial V de dimension 2.

Sea U el conjunto de vectores en V con exactamente una entrada1, ninguna entrada 0 y todas sus entradas distintas entre sı.Para dos elementos de Zp − {0,1} la probabilidad de queaparezcan como entradas de los vectores de U esaproximadamente igual.

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Si se intersectan dos(k-1) de los anteriores subespacios se tienecomo solucion un subespacio vectorial V de dimension 2.Sea U el conjunto de vectores en V con exactamente una entrada1, ninguna entrada 0 y todas sus entradas distintas entre sı.

Para dos elementos de Zp − {0,1} la probabilidad de queaparezcan como entradas de los vectores de U esaproximadamente igual.

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Si se intersectan dos(k-1) de los anteriores subespacios se tienecomo solucion un subespacio vectorial V de dimension 2.Sea U el conjunto de vectores en V con exactamente una entrada1, ninguna entrada 0 y todas sus entradas distintas entre sı.Para dos elementos de Zp − {0,1} la probabilidad de queaparezcan como entradas de los vectores de U esaproximadamente igual.

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Cuando se intersectan tres (k) subespacios se halla el subespacio dedimension 1 que contiene el vector M1. Una base para el espaciosolucion es: g = (g1,g2,g3,g4) el cual es un multiplo de M1.

Existen cuatro (k + 1) vectores multiplos de g que pueden tener unaentrada 1. Entonces la clave S es una de las 12 entradas de la lista delos 4 vectores hallados (sin tomar en cuenta las entradas 1).

En general tenemos: k × (k + 1) candidatos a ensayar, uno de ellossera S.

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Cuando se intersectan tres (k) subespacios se halla el subespacio dedimension 1 que contiene el vector M1.

Una base para el espaciosolucion es: g = (g1,g2,g3,g4) el cual es un multiplo de M1.

Existen cuatro (k + 1) vectores multiplos de g que pueden tener unaentrada 1. Entonces la clave S es una de las 12 entradas de la lista delos 4 vectores hallados (sin tomar en cuenta las entradas 1).

En general tenemos: k × (k + 1) candidatos a ensayar, uno de ellossera S.

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Cuando se intersectan tres (k) subespacios se halla el subespacio dedimension 1 que contiene el vector M1. Una base para el espaciosolucion es: g = (g1,g2,g3,g4) el cual es un multiplo de M1.

Existen cuatro (k + 1) vectores multiplos de g que pueden tener unaentrada 1. Entonces la clave S es una de las 12 entradas de la lista delos 4 vectores hallados (sin tomar en cuenta las entradas 1).

En general tenemos: k × (k + 1) candidatos a ensayar, uno de ellossera S.

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Cuando se intersectan tres (k) subespacios se halla el subespacio dedimension 1 que contiene el vector M1. Una base para el espaciosolucion es: g = (g1,g2,g3,g4) el cual es un multiplo de M1.

Existen cuatro (k + 1) vectores multiplos de g que pueden tener unaentrada 1.

Entonces la clave S es una de las 12 entradas de la lista delos 4 vectores hallados (sin tomar en cuenta las entradas 1).

En general tenemos: k × (k + 1) candidatos a ensayar, uno de ellossera S.

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Cuando se intersectan tres (k) subespacios se halla el subespacio dedimension 1 que contiene el vector M1. Una base para el espaciosolucion es: g = (g1,g2,g3,g4) el cual es un multiplo de M1.

Existen cuatro (k + 1) vectores multiplos de g que pueden tener unaentrada 1. Entonces la clave S es una de las 12 entradas de la lista delos 4 vectores hallados (sin tomar en cuenta las entradas 1).

En general tenemos: k × (k + 1) candidatos a ensayar, uno de ellossera S.

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Cuando se intersectan tres (k) subespacios se halla el subespacio dedimension 1 que contiene el vector M1. Una base para el espaciosolucion es: g = (g1,g2,g3,g4) el cual es un multiplo de M1.

Existen cuatro (k + 1) vectores multiplos de g que pueden tener unaentrada 1. Entonces la clave S es una de las 12 entradas de la lista delos 4 vectores hallados (sin tomar en cuenta las entradas 1).

En general tenemos: k × (k + 1) candidatos a ensayar, uno de ellossera S.

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G.R. Blakley; Safeguarding cryptographic keys, In NationalComputer Conference, 1979.

D. Donovan;Some interesting constructions for secret sharingschemes, Australasian Journal of Combinatorics 9, 1994.

I. N. Bozkurt, K. Kaya and A. M. Guloglu; Threshold CryptographyBased on Blakley Secret Sharing, Available:http://www.es.bilkent.edu.tr/selcuk/publications/BSS ISC08.pdf.

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