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Lógica Proposicional

CICLO 2011 – II

Profesor: Amador Alejandro Gonzáles Piscoya

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoAgenda

Proposiciones Simples Conectivos y proposiciones

compuestas. Tablas de verdad Construcción de tablas de verdad

para proposiciones compuestas Formas derivadas del condicional Simbolización

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoProposición

Es un enunciado al cual se le puede asociar el concepto de verdadero o falso, pero no ambos.

Ejemplos: La luna es cuadrada 7 es un número

primo Las arañas son

mamíferos

¿Son proposiciones? ¿Qué hora es? Por favor, cierre la

puerta El 6 de abril de 1876

fue sábado Dice el Presidente:“Todos en este país

son unos mentirosos y esto es verdad”

Universidad MetropolitanaEnseñando el camino

Proposiciones compuestasConectivos

Conocido el valor de verdad de ciertas proposiciones, la lógica establece el valor de verdad de otras relacionadas con éstas.

A éstas últimas se les conoce como proposiciones compuestas

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoNegación

Si p es una proposición, entonces “no p” es la negación de p y se denota por:

~ pEjemplo:p: Hoy es martes~ p: Hoy no es

martes

¿Qué sucede con la negación de p, siendo p verdadero?

¿Qué sucede con la negación de p, siendo p falso?

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoNegación

Esto lo podemos escribir de una manera “compacta”, utilizando una tabla

A esta tabla se le llama “tabla de certeza de la negación”

p ~ p

V F

F V

Posibilidades para la proposición p

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoNegación

Como sinónimos de no, seutilizan las siguientes expresiones:

No es cierto que ……..No es el caso que………Es falso que…………No sucede que…………….

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoConjunción

Si p y q son proposiciones, se llama conjunción de p y q a la proposición compuesta “p y q “ y se denota por:

p q

Ejemplos:p: Hoy es martesq: La luna es cuadradar: mañana es miércoles

p q :Hoy es martes y la luna es cuadrada

p r :Hoy es martes y mañana es miércoles

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoConjunción

Para construir la tabla de p q, debemos considerar las diferentes alternativas de valores de verdad para p y para q:

¿Cuáles son ? Ambas verdaderas una V y la otra F ambas falsas

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoConjunción

Se toman como “sinónimos” de la conjunción:

Además Pero Sin embargo Aunque

También Aún A la vez No obstante

Universidad MetropolitanaEnseñando el camino

Conjunción: p ^ q

Luís estudia ,además de trabajar Luís estudió pero no aprobó Luís canta, sin embargo no baila Luís jugó futbol aunque estaba lesionado Luís juega futbol , también José Luís salió, aún no llega Luís cocina a la vez que canta Luís viajará no obstante esté sin visa Luís canta , no baila.

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoConjunción: p ^ q

No siempre “y” denota una conjunción ………

Ejemplo:

Silvia y Nelly son hermanas

Esta es una proposición (simple), en donde el “y” permite establecer la relaciónentre los sujetos.

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoDisyunción

Si p y q son proposiciones, se llama disyunción de p y q a la proposición compuesta “p o q” y se denota por:

p q

p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoDisyunción

Seré cantante o futbolista

p: Seré cantante q: Seré futbolista

Simbolización: p q

p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoCondicional

Si p y q son proposiciones, se llama condicional de p y q a la proposición compuesta “si p, entonces q” y se denota por:

p q

Ejemplos: Si no llueve

(entonces) iremos a la playa

Si me gano la lotería (entonces) me voy de viaje

Si no estudio (entonces) no aprobaré Lógica

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoCondicional

Veamos la tabla del condicional:

p q

Conviene pensar en una “promesa” ..... Si no llueve (entonces) iremos a la playa

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoCondicional

El condicional es falso, sólo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso; es decir, cuando la “promesa” no se cumple.

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoCondicional

El condicional es muy importante en matemáticas, porque los Teoremas se expresan en forma condicional.

Un Teorema será un condicional verdadero con hipótesis verdadera

p q p q

V V V

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoCondicional

Algunas expresiones del lenguaje que indican la presencia de un condicional (p → q), son las siguientes:p es condición suficiente para qSi p, qq si pQue p supone que qCuando p, qq es condición necesaria para pEn caso de que p entonces qq sólo si p

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoCondicional y Teoremas

En los Teoremas, al antecedente del condicional (p) se le llama Hipótesis y al consecuente (q) se le llama Tesis o Conclusión

Los Teoremas requieren de una demostración; es decir, partiendo de una hipótesis verdadera, hay que demostrar que la Conclusión es verdadera.

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoTablas de verdad

Recordemos que el valor de certeza de una proposición compuesta depende de los valores de certeza de las proposiciones simples que la componen

Para analizar los valores de certeza de una proposición compuesta, representamos todas las posibilidades de valores de verdad de las proposiciones simples, en un arreglo de tabla

Universidad MetropolitanaEnseñando el camino

Ejemplo con 2 proposiciones simples

Construyamos la tabla de verdad para la siguiente proposición :(pq)(p~q)

4 filas de posibilidades

p q

V V

V F

F V

F F

pq p~q

V F

F V

F V

F V

~q

F

V

F

V

(pq)(p~q)

F

F

F

F

Universidad MetropolitanaEnseñando el camino

Ejemplo con 3 proposiciones simples

¿Cuántas posibilidades tendremos?

p q r

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

Universidad MetropolitanaEnseñando el camino

Ejemplo con 3 proposiciones simples

p q r

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

rp qp ~(qp)

V V F

V V F

V V F

V V F

V V F

F V F

V F V

F F V

(r p) ~(qp)

F

F

F

F

F

F

V

F

Hacer la tabla de certeza para: (rp) ~(qp)

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoEn resumen

Una tabla de verdad para proposiciones compuestas que contienen:

1 proposición simple… tendrá 2 filas 2 proposiciones simples 3 proposiciones simples 4 proposiciones simples

……razonando inductivamente……..

n proposiciones simples

4 = 22 filas8 = 23 filas16= 24 filas

2n filas

Universidad MetropolitanaEnseñando el camino

Formas de expresar un condicional…….

Si es Chiclayano, es Peruano (p q) Es Peruano, siempre que sea Chiclayano Es Peruano si es Chiclayano Es suficiente que sea Chiclayano para que

sea Peruano Siempre y cuando sea Chiclayano, será

Peruano. Es necesario que sea Peruano para ser

CliclayanoTODAS ESTAS EXPRESIONES SE SIMBOLIZAN

COMO: p q

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoPartes de un condicional

p q

antecedente

Condición suficiente

consecuente

Condición necesaria

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Formas derivadas del condicional

Dado el condicional directo: p q, el condicional ~ p ~q se llama contrario y lo expresaríamos: “ si no p, entonces no q”

Directo: p qSi repruebo el examen, entonces me enojaré

bastante Contrario: ~ p ~q

Si no repruebo el examen, entonces no me enojaré bastante

Universidad MetropolitanaEnseñando el camino

Formas derivadas del condicional

Dado el condicional directo: p q, el condicional q p se llama recíproco y lo expresaríamos:

“ si q, entonces p” Directo: p qSi repruebo el examen, entonces me enojaré

bastante Recíproco: q p

Si me enojo bastante , entonces reprobaré el examen

Universidad MetropolitanaEnseñando el camino

Formas derivadas del condicional

Dado el condicional directo: p q, el condicional ~ q ~p se llama contrarrecíproco y lo expresaríamos: “ si no q, entonces no p”

Directo: p qSi repruebo el examen, entonces me enojaré

bastante Contrarrecíproco: ~ q ~p

Si no me enojo bastante, entonces no repruebo el examen

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoFormas derivadas

p q

q p

~ p ~ q

~ q ~ p

Directo Recíproco

Contrario Contrarrecíproco

recíprocos contrarios

contrarrecíprocos

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoEjemplo

Hallar las formas derivadas del siguiente condicional:

Si un número es par, entonces es múltiplo de 4. ……………………………………. ¿V o F?

Falso (contraejemplo: 2)Recíproco: Si un número es múltiplo de 4

entonces es par. …………………………………..¿V o F?

Verdadero!

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoEjemplo

Directo: p qSi un número es par, entonces es

múltiplo de 4.Contrario: ~ p ~ q Si un número no es par, entonces no

es múltiplo de 4Verdadero!

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoEjemplo

Directo: p qSi un número es par, entonces es

múltiplo de 4.Contrarrecíproco: ~ q ~ p Si un número no es múltiplo de 4,

entonces no es par Falso….. 2 no es múltiplo de cuatro y

es par (antecedente verdadero, consecuente falso)

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoEjercicios

1. Escribir las formas derivadas para: a) (r ~q) p.

b)Si yo digo sí, ella dice no.

2. Construye una proposición verdadera que incluya un condicional, una conjunción, una disyunción y una negación (no necesariamente en ese orden), que conste de las componentes p, q y r con todas ellas falsas.

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoEjercicios

Escribe el recíproco, el inverso y el contrarrecíproco de cada una de las proposiciones siguientes:

Si q, entonces r ~ p (~ q ) ~p~ (r q ) El sol brilla si estás feliz. Si tu automóvil no tiene aire

acondicionado, no tendrás amigos.