Logia Difusa

Introducción

Incertidumbre• Se relaciona a la información (falta de información).• Cuando no se sabe cuando puede ocurrir cierto evento.• No se conoce una teoría que explique el fenómeno.

Probabilidad• Es una propiedad física de los objetos, determina la

posibilidad de que cierto evento puede ocurrir.• Se calcula y verifica por experimentación.

Imprecisión (ambigüedad).• Es una característica del lenguaje de comunicación humano.• Esta relacionada con el grado en que el evento ocurre.

Incertidumbre

Se trabaja con niveles de creencias.Rango de valores [0,1]¿Cuándo va ha suceder un terremoto?

Silencio sísmico¿Aprobaré el curso?

¿Estudiaste?, ¿le dedicaste tiempo?, ¿hiciste tus trabajos?Si tiro la moneda, ¿saldrá cara o sello?

¿la moneda está sesgada?¿Cuál es la respuesta para una pregunta con V o F?

Si sabes, responde. Si no sabes, cualquiera es buena respuesta.

Introducción

Probabilidad

Ejemplos:

P (X = cara) = 0.5

P (X = hombre) = 0.5

P (X = ROJO) = 2/7

P(X=x)

XROJO AZUL VERDE

Introducción

Ambigüedad

•Ambigüedad está relacionada con el grado con el cual los eventos ocurren sin importar la probabilidad de su ocurrencia.

•Por ejemplo, el grado de juventud de una persona es un evento difuso sin importar que sea un elemento aleatorio.

Introducción

Introducción

• ¿Cómo formalizar o representar la imprecisión y la incertidumbre?

• Un predicado es lo que se afirma o niega de un objeto.

• Un predicado vago o borroso es aquél que se le aplica a los elementos de un conjunto, en un cierto grado.

Introducción

Estudiamos el conjunto de los números reales entre 0 y 1. Dado el

intervalo [0,1] y el predicado más grande que 0.5.

Una de las partes satisface la propiedad dada en el predicado y la

otra parte contiene los que no satisfacen la propiedad.

Introducción

¿es el 0.7499 un número grande?

En el intervalo [0,1], el predicado "grande" no realiza una partición del conjunto anterior, ya que no queda claro qué es grande y qué no.La respuesta desde el punto de vista de la Lógica Clásica sería que no lo es, puesto que no está dentro del intervalo propuesto, y esto sería totalmente válido.

Introducción

¿es el 0.7499 un número grande?

Pero, si lo consideramos bajo nuestro sentido común, o desde el punto de vista de la Lógica Borrosa, diríamos que 0.7499 es un número grande ya que está muy próximo al valor de 0.75.

Introducción

¿es el 0.7499 un número grande?

Pero, si lo consideramos bajo nuestro sentido común, o desde el punto de vista de la Lógica Borrosa, diríamos que 0.7499 es un número grande ya que está muy próximo al valor de 0.75.

Introducción

Los grados de pertenencia tienen valores reales definidos

en [0,1].

0 ... 0.33 0.4 0.75 ... 1pertenece en grado 1

valores intermedios

pertenece en grado 0

Introducción

Los grados de pertenencia tienen valores reales definidos

en [0,1].

0 ... 0.33 0.4 0.75 ... 1pertenece en grado 1

valores intermedios

pertenece en grado 0

Historia

300ac

Platón Aristóteles David Hume

Grados entre verdad y falsedad

Principios contradictorios en la lógica clásica

Inmauel Kant

XVIII

Bertrand Russell

XX

Estudio sobre las vaguedades en el lenguaje

Ludwing Wittgenstein

Acepciones de una palabra

Primera lógica de vaguedades

1920

Jan Lukasiewicz

Historia

1965

Lofti Asier Zadeh

Padre del término borroso

Primer controlador difuso para la máquina de vapor

1974 1993

Assilian y Mamdani

1987

Controlador borroso para el control del tren de Sendai

Fuzzy Boom

HITOCHI

Lógica Borrosa para el control de inyección química

Takagi y Sugeno

Primera aproximación para construir reglas fuzzy

Lógica Difusa

Lógica Difusa

La lógica difusa es una extensión de la lógica convencional (Booleana) para manejar el concepto de verdad parcial.

La verdad parcial se presenta cuando los valores de verdad se encuentran entre “absolutamente cierto” y “absolutamente falso”

F

V

F

V

Lógica booleana Lógica difusa

Conjuntos Difusos y Lógica Difusa

La palabra fuzzy viene del ingles fuzz (tamo, pelusa, vello) y se traduce por difuso o borroso.

Lotfi A. Zadeh: Es el padre de toda esta teoría (Zadeh, 1965).Importancia: En la actualidad es un campo de investigación muy

importante, tanto por sus implicaciones matemáticas o teóricas como por sus aplicaciones prácticas.

Revistas: Fuzzy Sets and Systems, IEEE Transactions on Fuzzy Systems...

Congresos: FUZZ-IEEE, IPMU, EUSFLAT, ESTYLF...Bibliografía Gral.: (Kruse, 1994), (McNeill, 1994), (Mohammd,

1993), (Pedrycz, 1998)...

Problemas Básicos subyacentes:Conceptos SIN definición clara: Muchos conceptos que

manejamos los humanos a menudo, no tienen una definición clara: ¿Qué es una persona alta? ¿A partir de qué edad una persona deja de ser joven?

La lógica clásica o bivaluada es demasiado restrictiva: Una afirmación puede no ser ni VERDAD (true) ni FALSA (false).“Yo leeré El Quijote”: ¿En qué medida es cierto? Depende

de quien lo diga y...“Él es bueno en Física”: ¿Es bueno, muy bueno o un poco

mejor que regular?

Conjuntos Difusos y Lógica Difusa

Ejemplo

Defina los siguientes conceptos:

Algunas mujeres jóvenes son inteligentes.

Algunos hombres maduros son responsables.

Sígueme de cerca.

El carro está limpio.

Otros ejemplos . . . . . . .

¿Cuándo usar la lógica difusa?

• En procesos complejos, si no existe un modelo de solución sencillo.

• En procesos no lineales.• Cuando haya que introducir la experiencia de un operador

“experto” que se base en conceptos imprecisos obtenidos de su experiencia.

• Cuando ciertas partes del sistema a controlar son desconocidas y no pueden medirse de forma fiable (con errores posibles).

¿Cuándo no usar la lógica difusa?

• Si puedes resolver el problema con otra técnica más sencilla.

Ventajas

• La lógica clásica no admite espacios grises entre lo “verdadero” y lo “no verdadero”, también conocido como falso.

• Muchos de los conceptos que manipulamos a diario no encajan en la categoría:

¿Hace Frio? ¿Es pesado eso? ¿Sigo siendo joven?

AplicacionesControl de sistemas: Control de tráfico, control de vehículos

(helicópteros...), control de compuertas en plantas hidroeléctricas, centrales térmicas, control en máquinas lavadoras, control de metros (mejora de su conducción, precisión en las paradas y ahorro de energía), ascensores...

Predicción y optimización: Predicción de terremotos, optimizar horarios...

Reconocimiento de patrones y Visión por ordenador: Seguimiento de objetos con cámara, reconocimiento de escritura manuscrita, reconocimiento de objetos, compensación de vibraciones en la cámara

Sistemas de información o conocimiento: Bases de datos, sistemas expertos

Conjuntos Difusos

Conjuntos Clásicos

El conjunto universal U (Universo de discurso) contiene todos los elementos de cada contexto ó aplicación en particular.

Los conjuntos clásicos se pueden definir de las siguientes maneras:• Método de Lista (Finito) (extensión)• Método de Regla A = {x ε U / x cumple ciertas condiciones}

(comprensión)• Método de membresía (comprensión)

Ejercicio

• Defina el conjunto A mediante los tres métodos de representación de conjuntos:

A B C DJ F H

N

M

K

LAA

UU

Ejemplo

Extensión:AA = {A, B, C, D, F, J, H}

Comprensión:AA = {x / A ≤ x ≤ H & x≠E & x≠G}

Membresía:

1

0

si x є {A, B, C, D, F, J, H}

si x є {K, L, M, N}AA(x) =

A K L MNB CD F H J

1

0

Conjuntos Clásicos

• Conjunto de Frutas: Manzana|Frutas, Lechuga|Frutas...

0

1

ManzanasFrutas que no son manzanas

0

1

lechugasFrutas que no son lechugas

Grado de pertenencia o función de membresía

Conjuntos Difusos

Conjunto Clásico Conjunto Difuso

Conjuntos Difusos (fuzzy):

Ejemplo

Sea el conjunto difuso joven.

3015 20 25 5035 40 45

A = {1/10, 1/15, 1/20, 0.75/25, 0.25/30, 0/35 }

A = {(1,10), (1,15), (1,20), (0.75,25), (0.25,30), (0,35) }

grado de pertenencia

edad

Ejemplo

Sea el conjunto difuso joven.

3015 20 25 5035 40 45

A = {1/10, 1/15, 0.80/20, 0.60/25, 0.40/30, 0.20/35, 0/40 }

A = {(1,10), (1,15), (0.8,20), (0.60,25), (0.40,30), (0.20,35), (0,40) }

grado de pertenencia

edad

Funciones de Membresía

Función de membresía

Se pueden definir como:Una función con parámetros pk(x) del elemento x.

Una enumeración de pares definidos sobre elementos discretos del conjunto

donde no representa una suma, sino una agregación de pares.• A(x)/x no representa ningún cociente, sino un par

(posibilidad / elemento)

))(,),...(),(()( 21 xpxpxpx nAA

Ux

AxxA /)(

Ejemplo 4

Sea el conjunto de las personas “altas” definido sobre el conjunto de la población y considerando un elemento del mismo denominado “pepe”.

¿ pepe pertenece o no al conjunto de las personas “altas”?Esto se puede resolver atendiendo a la medida altura(pepe) y una

función que mide la posibilidad de ser considerado alto en base a la altura.

1.0

0.5

0.0

alto(altura)

1.0 1.5 2.0altura (m)

Ejemplo

La escala vertical representa la opinión de los especialistas sobre lo que es rápido. El valor 1 significa que el 100 % opina que una aceleración por debajo de los 8 segundos supone un carro rápido. El 0 indica que por encima de los 8 segundos de aceleración, nadie cree que un carro sea rápido

Ejemplo

En ella se muestra que sólo el 50 % de los especialistas considerará que un tiempo por debajo de los 8 segundos es rápido. En cualquier caso, él numero entre 0 y 1 da un valor que indica rapidez de un carro, medida en una cierta escala.

0 8

1

tiempo

grado de pertenencia

Ejemplo

Grafique el conjunto difuso cerca de 50 años

30 7050 30 7050

Ejemplos de Funciones de Membresía

Triangular

1.0

0.5

0.0

0 50 100

Triangular

xc

cxbbc

xc

bxaab

axax

cbaxtriángulo

,0

,

,

,0

),,;(

Trapezoidal1.0

0.5

0.0

0 50 100

Trapezoidal

xd

dxccd

xdcxb

bxaab

axax

dcbaxtrapecio

,0

,

,1

,

,0

),,,;(

Gaussiana1.0

0.5

0.0

0 50 100

Campana1.0

0.5

0.0

0 50 100

Sigmoide1.0

0.5

0.0

0 50 100

Ejemplo de función de membresía

Altura(cm)a1 a2

Bajo Médio Alto

1

Gra

do d

e P

erte

nenc

ia

1

Conceptos Relacionados con Conjuntos Difusos

Conceptos Básicos

Soporte

El soporte de un conjunto difuso A en el universo de discurso U es un conjunto crips que contiene todos los elementos de U que tenga valores de membresía ≠ 0 en A.

Suporte(A) = {x є U / μA(x) > 0}

1

suporte

x

μA(x)

Soporte

• Si el soporte de un conjunto difuso es vacío, este es llamado conjunto difuso vacío (empty fuzzy set).

• Si el conjunto soporte está representado por un solo punto en U, este se denomina singleton difuso (fuzzy singleton).

• El punto de cruce (crossover point) de un conjunto difuso es el punto en U donde el valor de membresía en A es 0.5.

μA(x)

x

0.5

1

Punto de cruce

Núcleo

• El conjunto x, donde μA(x) alcanza el valor de 1 se denomina núcleo (core).

1

x

μA(x)

Altura

La altura de un conjunto difuso es el mayor valor de membresía logrado por algún punto.

En un conjunto difuso normal la altura es 1.

normal: se μA(x) = 1subnormal: se μA(x) 1

altura

μA(x)

x

Reglas Difusas If....Then• Los conjuntos y los operadores difusos son los sujetos y

predicados de la lógica difusa. Las reglas if-then son usadas para formular las expresiones condicionales que abarca la lógica difusa

• if x is A then y is B

• Donde A y B son los valores lingüísticos definidos por los conjuntos definidos en los rangos de los universos de discurso llamados X e Y, respectivamente.

• La parte if de la regla ´x es A´ es llamada el antecedente o premisa, mientras la parte then de la regla ´y es B´ es llamada la consecuencia o conclusión

Estructura del Sistema

Las entradas son números limitados a un rango especifico. Entradas no difusas.

Las reglas son evaluadas en paralelo usando un razonamiento difuso.

Los resultados de las reglas son combinadas y defusificadas.

El resultado es un valor numérico no difuso.

Regla 1

Regla 2

Regla 3 Salida

Entrada 1

Entrada 2

Regla 4

DefusificacionForma continua

•Para calcular el algoritmo del centro de gravedad (cog, siglas en ingles) dividimos al Momento de la función por el Area de la función:

Forma discreta

•Se divide la función en partes iguales y se calcula haciendo la sumatoria de todos los puntos de la siguiente manera:

•Hay que tener en cuenta que al dividir en partes iguales al conjunto de salida se simplifican los z, si las particiones fueran diferentes habría que tener en cuenta el z porque sino se pierde el sentido de Momento y Area de la función.

DefusificacionForma continua:

Forma discreta para 10 muestras:

Ejemplo

¿Con cuanta temperatura hace mucho calor?

Bajo el acercamiento tradicional 30° se considera caluroso, pero 28° no.

En cambio bajo el acercamiento difuso tanto 28° como 30° se ubican en la frontera del conjunto difuso.

Contraste con las Funciones de Pertenencia Usuales

¿Qué tan joven es pepe?

Función de Pertenencia

¿Qué tan joven es pepe?

Altura

La altura de un conjunto difuso es el mayor valor de membresía logrado por algún punto.

En un conjunto difuso normal la altura es 1.

normal: se μA(x) = 1subnormal: se μA(x) 1

altura

μA(x)

x