Post on 20-Jan-2022
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 1
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA
CÁLCULO EN UNA VARIABLE
LÍMITES
EJERCICIOS RESUELTOS
Ing. Ezequiel A. Guamán T.
Septiembre, 2013
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 2
LÍMITES: Ejercicios resueltos 3 septiembre 2013
1. Demostrar: 237lim3
xx
Puesto que x37 está definido para cualquier número real, cualquier intervalo abierto
que contenga a 3 cumplirá el primer requisito de la definición épsilon-delta. Ahora, se debe
demostrar que:
Para cualquier 0 existe una 0 tal que si: 23730 xx
Análisis previo:
si xx 3930
si 333330 xxxx
si 3
1330 xx
Demostración:
El último enunciado indica que es adecuado tomar 3
1 . Con esta elección de se
establece el siguiente argumento:
33933333330 xxxx
3
12373237 que yaxx
Así, se ha establecido que si 3
1 , el siguiente enunciado se cumple:
si 23730 xx
Esto demuestra que
237lim3
xx
2. Demostrar: 21
1lim
2
1
x
x
x
Factorizando el numerador y, luego, simplificando, el límite se transformaría en:
21lim
1
11lim
1
1lim
11
2
1
x
x
xx
x
x
xxx
Como 1x está definido x , cualquier intervalo abierto que contenga a 1
cumplirá con el primer requisito de la definición épsilon-delta.
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 3
Ahora se debe demostrar que
,0,0 tal que si: 2110 xx
Análisis previo:
si 110 xx
El último enunciado muestra que es adecuado tomar . Con esta elección , se
establece el siguiente argumento:
212111110 xxxx
Así, se ha establecido que si , el siguiente enunciado se cumple:
si 2110 xx
Esto demuestra que:
21lim1
xx
, y por consiguiente que 21
1lim
2
1
x
x
x
3. Demostrar: 912lim4
xx
Puesto que 12 x está definido para cualquier número real, cualquier intervalo abierto que
contenga a 4 cumplirá el primer requisito de la definición épsilon-delta. Ahora, se debe
demostrar que:
Para cualquier 0 existe una 0 tal que si: 91240 xx
Análisis previo:
si 8240 xx
si 4240 xx
si 2
1440 xx
Demostración:
El último enunciado indica que es adecuado tomar 2
1 . Con esta elección de se
establece el siguiente argumento:
291228224240 xxxx
2
1912 que yax
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 4
Así, se ha establecido que si 2
1 , el siguiente enunciado se cumple:
si 91240 xx
Esto demuestra que
912lim4
xx
4. Demostrar: 385lim1
xx
Puesto que 85 x está definido para cualquier número real, cualquier intervalo abierto
que contenga a 1 cumplirá el primer requisito de la definición épsilon-delta. Ahora, se
debe demostrar que:
Para cualquier 0 existe una 0 tal que si: 38510 xx
Análisis previo:
si 5510 xx
si 1510 xx
si 5
1110 xx
El último enunciado indica que es adecuado tomar 5
1 . Con esta elección de se
establece el siguiente argumento:
538555551510 xxxx
5
1385 que yax
Así, se ha establecido que si 5
1 , el siguiente enunciado se cumple:
si 38510 xx
Esto demuestra que
385lim1
xx
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 5
5. Demostrar: 22lim2
xx
Por definición:
bxfax
lim ssi bxfaxx 0,00
22lim2
xx
ssi 2220,00 xxx
Análisis previo:
22x
22
2222
x
xx
22
12
22
2
xx
x
x
Hipótesis:
2x
Se toma un entorno de 3,1 donde 1 :
12 x
121 x
523 x
523 x
252223 x
23
1
22
1
25
1
x
23
1
22
1
x
Se tiene dos relaciones:
1) 23
1
22
1
x
2) 20 x
1) x 2):
2322
2
x
x
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 6
2323
23,1 min
23
Demostración:
H: 1) 20 x 2) 23
1
22
1
x
1)
22
12
22
1
xx
x 2)
23
1
22
1
x
Por la ley transitiva:
23
1
22
1
22
2
xx
x se multiplica 1 y 2 miembro a miembro
23
1
22
2
x
x pero 23
2323
1
22
2
x
x
22
2
x
x
Multiplicando por la conjugada:
2
222
2222
222
x
xx
xx
xx
22x
2xf
22lim2
xx
ssi 2220,00 xxx
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 7
752lim
2
2
1
rr
rr
r6.
,
0
0
77
11
71512
11
752lim
2
2
2
2
1
rr
rr
rindeterminación
172
1lim
752lim
12
2
1
rr
rr
rr
rr
rr(factorizando),
72lim
752lim
12
2
1
r
r
rr
rr
rr(simplificando),
712
1
752lim
2
2
1
rr
rr
r(aplicando el límite),
9
1
72
1
752lim
2
2
1
rr
rr
r
2
16lim
2
4
k
k
k7.
,0
0
22
1616
24
164
2
16lim
22
4
k
k
k indeterminación
2
422lim
2
44lim
2
16lim
44
2
4
k
kkk
k
kk
k
k
kkk(factorizando),
42lim2
16lim
1
2
4
kk
k
k
rk(simplificando),
44242
16lim
2
4
k
k
k(aplicando el límite),
32842
16lim
2
4
k
k
k
h
xhx
h
22
0lim
8.
h
xhhxx
h
xhx
hh
222
0
22
0
2limlim
(expandiendo
2)( hx ),
h
hhx
h
xhx
hh
2
0
22
0
2limlim
(reduciendo),
hx
h
hxh
h
xhx
hhh
2lim
2limlim
00
22
0(factorizando y simplificando),
xx
h
xhx
h202lim
22
0
(aplicando el límite),
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 8
111
sen
sensenlim
senlim
sensenlim
,sen
sensensenlim
sensen
sen
senlim
sensenlim
sensenlim
000
000
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx
xxx
x9.
11
1
01
1
0sen1
0cos
sen1
coslim
sen1
coslim
0
0
x
x
x
x
x
x10.
11
1
1
0cos
senlim
coslim
sen
coslim
sen
coslimcotlim
cotlim
0
0
000
0
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
xx
x
x
xxx
x11.
4
8lim
2
3
2
h
h
h12.
22
422lim
4
8lim
2
22
3
2
hh
hhh
h
h
hh(factorizando),
2
42lim
4
8lim
2
22
3
2
h
hh
h
h
hh(simplificando),
22
4222
4
8lim
2
2
3
2
h
h
h(aplicando el límite),
34
12
4
444
4
8lim
2
3
2
h
h
h
x
x
x
senlim13.
Sea
2
1
txxt
txxt 0,
Sustituyendo (1) y (2) en la ecuación original, se obtiene:
1
senlim
senlim
senlim
senlim
000
t
t
t
t
t
t
x
x
tttx
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 9
x
x
x
2
1
sen1lim
2
14.
Sea
2
1
txxt
txxt
2
1
2
1
02
1,
2
1
Sustituyendo (1) y (2) en la ecuación original, se obtiene:
t
t
t
t
t
t
x
x
tttx
2
1sen1
lim2
1sen1
lim2
1sen1
lim
2
1
sen1lim
0002
0cos1
lim2
1sen1
lim
2
1
sen1lim
002
t
t
t
t
x
x
ttx
x
x
x cos
2
1
lim
2
15.
Sea
2
1
txxt
txxt
2
1
2
1
02
1,
2
1
Sustituyendo (1) y (2) en la ecuación original, se obtiene:
11
1
senlim
1lim
sen
1lim
senlim
2
1cos
limcos
2
1
lim
0
0
0002
t
t
t
tt
t
t
t
x
x
t
t
tttx
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 10
21
11
0cos
1
1
1
cos
1lim
sen
1lim
sen
tanlim
,cos
1
sen
1lim
sen
cos
sen
sen
1lim
sen
tan
senlim
sen
tanlim
sen
tanlim
000
0000
0
x
x
xx
xx
x
x
xx
x
x
x
xx
x
x
x
x
xx
x
xx
xxx
xxxx
x16.
2
2
4coscoslim
tan1
cossenlim
,
cos
sencos
sencoslim
cos
sencos
cossenlim
cos
sen1
cossenlim
tan1
cossenlim
tan1
cossenlim
44
4444
4
xx
xx
x
xx
xx
x
xx
xx
x
x
xx
x
xx
x
xx
xx
xxxx
x17.
xx
x
1senlim
18.
Sea
2
1
tx
xt
txx
t
11
0,1
Sustituyendo (1) y (2) en la ecuación original, se obtiene:
1sen
limsen1
lim1
senlim00
t
tt
txx
ttx
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 11
253
13lim
23
1
xx
x
x19.
213
13lim
253
13lim
312
31
xx
x
xx
x
xx(factorizando el denominador),
2
1lim
253
13lim
312
31
xxx
x
xx(simplificando),
23
1
1
253
13lim
23
1
xx
x
x(aplicando el límite),
7
3
3
7
1
3
61
1
253
13lim
23
1
xx
x
x
2
1
32lim
;002
10
312
11
lim32
lim32
lim32
lim
32lim
3
34
32
7
333
3
3
3
3
4
3
3
3
34
3
34
3
34
xx
xx
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
xx
xx
xx
xx
x
xxxx
x20.
xx
senlnlim
2
21.
01ln2
senlnsenlnlim
2
x
x(aplicando el límite directamente)
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 12
49
32lim
27
x
x
x22.
3249
3232lim
49
32lim
2727
xx
xx
x
x
xx
multiplicando y dividiendo por la conjugada del numerador,
,
3277
7lim
3249
7lim
49
32lim
,3249
34lim
3249
34lim
49
32lim
72727
272727
xxx
x
xx
x
x
x
xx
x
xx
x
x
x
xxx
xxx
,
414
1
2214
1
49
32lim
,4214
1
37277
1
327
1lim
49
32lim
27
727
x
x
xxx
x
x
xx
56
1
49
32lim
27
x
x
x
xxx
xxxx
x
xx
x
xx
xx
x
11
1111lim
11lim
11lim
00
023.
multiplicando y dividiendo por la conjugada del numerador,
xxx
xx
x
xx
xx
11
11lim
11lim
00
producto de la suma por la diferencia de dos cantidades,
xxx
xx
x
xx
xx
11
11lim
11lim
00(suprimiendo paréntesis),
xxx
x
x
xx
xx
11
2lim
11lim
00(reduciendo),
xxx
xx
xx
11
2lim
11lim
00(simplificando),
0101
211lim
0
x
xx
x (aplicando el límite),
111
lim0
x
xx
x
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 13
553
123lim
5
x
x
x24.
Al aplicar el límite directamente, da la forma indeterminada 0/0. Por lo que, es procedente simplificar la expresión.
12355553
55123123lim
553
123lim
55
xxx
xxx
x
x
xx
multiplicando el numerador y el denominador por 55123 xx ,
,1232553
55129lim
1232553
55129lim
553
123lim
555
xx
xx
xx
xx
x
x
xxx
,123515
5552lim
1232553
55210lim
553
123lim
555
xx
xx
xx
xx
x
x
xxx
152315
5552
12315
552lim
553
123lim
55
x
x
x
x
xx(aplicando el límite),
9
2
615
102
3315
552
9315
5252
553
123lim
5
x
x
x
,
x
xxx
xx
x
xx
xx
xxx
x
cos
senlimtanlimtanlim
0
tanlim
00
25.
,
sen
cos
1limsen
cos
1limtanlim
00
x
x
xx
x
xx
x
xxx
,
senlim
cos
1lim
senlim
cos
1limtanlim
0000
x
x
xx
x
xx
x
xxxxx
111
0cos
1tanlim
xx
x
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 14
x
x
x 3284
223lim
2
26.
Al aplicar el límite directamente, da la forma indeterminada 0/0. Por lo que, es procedente simplificar la expresión.
xx
xx
x
x
xx 3283284
328223lim
3284
223lim
22
multiplicando el numerador y el denominador por la conjugada del denominador,
,32644
328223lim
3284
223lim
22 x
xx
x
x
xx
efectuando el producto conjugado en el denominador,
, 2232644
32822223lim
3284
223lim
22
xx
xxx
x
x
xx
multiplicando el numerador y el denominador por la conjugada del factor 22 x del
numerador,
,2232644
328423lim
3284
223lim
22
xx
xx
x
x
xx
efectuando el producto conjugado en el numerador,
,222128
23283
22128
3283lim
222128
32823lim
3284
223lim
222
x
x
xx
xx
x
x
xxx
32
3
4128
163
22128
883
24128
6483
3284
223lim
2
x
x
x
422lim
2
422lim
2
8lim
2
8lim
23
2
231
2
23
3
2
3
3
2
xxx
x
xxx
x
x
x
x
xxx
x27.
044404222222
8lim 3
223
2
3
3
2
x
x
x
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 15
x
x
x
28lim
3
0
28.
,
4828
482828lim
28lim
28lim
31
32
31
32
31
0
31
0
3
0
xxx
xxx
x
x
x
x
xxx
,
4828
88lim
4828
28lim
28lim
31
3203
13
2
3
0
3
0
xxx
x
xxx
x
x
x
xxx
,
4828
1lim
4828
lim28
lim3
13
2031
320
3
0
xxxxx
x
x
x
xxx
12
1
444
1
480280
128lim
31
32
3
0
x
x
x
1
43lim
3
2
2
x
xx
x29.
12
4232
1
43lim
3
2
3
2
2
x
xx
x(aplicando el límite directamente),
149
14
18
464
1
43lim
3
2
2 3
1
x
xx
x
2
2
0
2sen
limx
x
x30.
,
2
2sen
2
2sen
lim4
12sen
2sen
lim2sen
lim002
2
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx
,1
senlim
4
1
2
2sen
lim
2
2sen
lim4
12sen
lim0002
2
0
kx
kx
x
x
x
x
x
x
xxxx 11
4
12sen
lim2
2
0
x
x
x
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 16
,4
4sen
2
2cos
2sen
lim1284
4sen
2
2tan42lim
4sen2tantanlim
,4
4sen4
2
2tan2lim
4sen2tanlim
4sen2tanlim
4sen2tanlim
5
0
55
06
25
0
5
05
5
06
5
0
6
5
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
xxx
xxx
x31.
,4
4sen
2cos
1
2
2senlim128
4sen2tanlim
5
06
5
0
x
x
xx
x
x
xx
xx
1281111284
4senlim
2cos
1lim
2
2senlim128
4sen2tanlim
5
0
5
006
5
0
x
x
xx
x
x
xx
xxxx
01
01
cos
0sen1
tanlim
,cos
senlim
senlim
cos
sensenlim
cos
senlimcos
sen
limtan
lim
tanlim
22
2
0
200202
2
0
2
2
0
2
0
2
0
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxxxxx
x
32.
,cossen
cos
sencos
limcossen
cos
sen1
limcossen
cos
sen1
limcossen
tan1lim
cossen
tan1lim
4444
4
xx
x
xx
xx
x
x
xx
x
x
xx
x
xx
x
xxxx
x
33.
,
cos
1lim
cossencos
cossenlim
cossencos
sencoslim
cossen
tan1lim
4444xxxx
xx
xxx
xx
xx
x
xxxx
22
22
2
2
2
2
1
4cos
1
cossen
tan1lim
4
xx
x
x
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 17
2
2
0
39lim
x
x
x
34.
,39
99lim
39
3939lim
39lim
22
2
022
22
02
2
0
xx
x
xx
xx
x
x
xxx
,
390
1
39
1lim
39lim
39lim
22022
2
02
2
0
xxx
x
x
x
xxx
6
1
33
1
39
139lim
2
2
0
x
x
x
h
h
h
2
0
cos1lim
35.
,cos1lim
cos1limcos1
cos1lim
cos1lim
000
2
0h
h
hh
h
h
h
h
hhhh
;0
cos1lim00cos10
cos1lim
0
2
0
h
h
h
h
hh
xxxx
2lim36.
xxxx
2lim
,limlimlimlim22
22
2
222
xxx
x
xxx
xxx
xxx
xxxxxxxxx
xxxx
,
11
1
1lim
1
1lim
1limlimlim
2
222
2
xx
xx
x
x
x
xx
x
xxx
x
x
xxxxxxxx
2
1
11
1
11
1
101
1lim 2
xxx
x
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 18
x
x
x 32
74lim
37.
x
x
x
x
x
x
x
x
xx 32
74
lim32
74lim
(dividiendo cada término por x ),
32
74
lim32
74lim
x
x
x
x
xx(simplificando),
,30
70
3lim2
lim
7lim4
lim
32
74
lim32
74lim
xx
xx
xx
x
x
x
x
x
x
3
7
32
74lim
x
x
x
1
2lim
2
x
x
x38.
xx
xxx
x
x
x
xx 1
2
lim1
2lim
2
2
(dividiendo cada término por x ),
x
xx
x
x
xx 11
2
lim1
2lim
2
(simplificando),
11lim1lim
1lim2limlim
1
2lim
2
x
xx
x
x
xx
xxx
x
1
2lim
2
x
x
x
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 19
Analizar la continuidad de las siguientes funciones
,,24
213
2
f
xx
xxxf Dom
si
si39. en 2x
,044242)( 2 fi existe
xf
xxf
xxfii
x
xx
xx
222
22
22lim
044244limlim
512313limlim)(
no existe;
Por lo tanto, f es discontinua en 2, f es continua en todo número excepto en 2.
,,
11
12
1
f
xx
xx
xf Dom
si
si
40. en 1x
,11
1
21
11)(
fi existe
xf
xxf
xxfii
x
xx
xx
1
11
11lim
11
11limlim
11
1
21
1
2
1limlim)(
no existe;
Por lo tanto, f es discontinua en 1.
2
1
x- no existe cuando 2x , pero el domino aquí es 1,
x
1 no existe cuando 0x , pero el domino aquí es ,1
f es continua en todo número excepto en 1
Definición de continuidad
Definición de continuidad
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 20
1,
44
41
1
f
xx
xxxf Dom
si
si
41. en 4x
0444)( fi
xf
xxf
xxfii
x
xx
xx
4
44
44 lim
0444limlim
5
1
14
1
1
1limlim)(
no existe;
Por lo tanto, f es discontinua en 4.
f es continua en todo número excepto en .41,-
3;32
33
x
x
xxxf
si
si42.
3,2
3,3
3,3
x
xx
xx
xf
Por lo tanto, f es continua en 3x .
23)( fi
0333lim3limlim)(333
xxxfiixxx
0333lim3limlim333
xxxfxxx
por lo tanto, 0lim3
xfx
;lim3)(3
xffiiix
Por lo que, f es discontinua en 3. Dicha discontinuidad es eliminable y desaparece si
redefinimos 3f
Definición de continuidad
Definición de continuidad
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 21
2;2
242
t
tt
tttf
si
si43.
044422)( 2 fi
044424limlim)( 22
22
ttfii
xt
2limlim22
ttf
tt
por lo tanto, tft 2lim
no existe;
Por lo tanto, f es discontinua en 2. Dicha discontinuidad es esencial.
0;55
yy
yyf44.
5555
55
55
555555
yy
y
yy
y
yy
yy
y
y
0)( fi no existe; f es discontinua en 0
10
5
52
1
550
1
55
1lim
55limlim)(
000
yyy
yyfii
yyy
La discontinuidad es eliminable; la discontinuidad desaparece si se redefine 10
50 f
3
2;
23
49 2
x
x
xxf45.
3
2)( fi no existe; por lo tanto, f es discontinua en 3
2
;42
3
2323lim
23
2323lim
23
49limlim)(
32
32
2
32
32
x
x
xx
x
xxfii
xxxx
Por lo tanto, la discontinuidad es eliminable; para que la discontinuidad desaparezca, se
debe redefinir 43
2
f .
Definición de continuidad
Definición de continuidad
Definición de continuidad
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 22
2;223
29 2
t
tt
tttf
si
si46.
549292)( 2 fi
existe; no tftftf
ttf
ttfii
ttt
tt
xt
222
22
22
22 limlimlim82622323limlim
549299limlim)(
Por lo tanto, f es discontinua en 2, y la discontinuidad es esencial
3;13
12
32
12 2
2
2
x
xx
xx
xx
xxxf47.
33)( en adiscontinu estanto, lo por existe; no ffi
;
4
7
13
43
1
4lim
13
34lim
32
12limlim)(
332
2
33
x
x
xx
xx
xx
xxxfii
xxxx
Por lo tanto, la discontinuidad es eliminable; para que la discontinuidad desaparezca, se
debe redefinir 4
73 f .
Definición de continuidad
Definición de continuidad
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 23
6159
5913
6353
5313
65
51
3
65
51
3
134
39
1313
3332
11
32lim
11
32lim
2
2
2
2
2
2
xx
xx
x
xx
xx
x
xx
xx
xx
xx48.
;0
0
22
33 0
0
66
22
indeterminación en el interior del valor absoluto y en el exponente.
65
51
3
2
2
11
32lim
xx
xx
x xx
xx
51
51
65
51lim
3
2
2
2
2
3
11
11
32
32
11
32lim
xx
xx
xx
xx
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
5165
512lim
2
2
3
22
22
3
32
11
121
32lim
xxxx
xxx
x
x
xx
xx
xxx
xx
5123
512lim
2
2
3
2
22
3
32
11
121
32lim
xxxx
xxx
x
x
xx
xx
xxx
xx
5123
512lim
2
2
3
23
32
11
121
32lim
xxxx
x
x
x
xx
xx
xxx
xx
5123
62lim
3
23
32
11
3
13lim
xxxx
x
x
x
xx
xx
xx
xx
5123
32lim
3
23
32
111lim
xxxx
x
x
x
xx
xx
x
x
512
2lim
3
23
32
111lim
xxx
x
x
xx
xx
x
x
591323
2
3332
1313
3
13
4
23
2
2
22
3
8
9
3
4
3
2
6
4
3
4
33
22
3
4 2
1
2
1
22
2
421
2
4
23
11
32lim
65
51
3
2
2
xx
xx
x xx
xx
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 24
2
2
1
2
2
12
13lim
x
x
x xx
xx
49.
21
2
2
2
lim
2
21
2
2
12
13lim
12
13lim
x
x
x
xx
xx
xx
xx
x
x
x
x
,
12
13
12lim
13lim
12
13lim
2
2
2
2
2
2
xx
xx
xx
xx
x
x
xindeterminación
2
2
2
2
2
2
2
2
112
113
lim12
13
lim12
13lim
xx
xx
x
xx
x
xx
xx
xx
xxx
2
3
002
003
1lim
1lim2lim
1lim
1lim3lim
2
2
xx
xx
xxx
xxx
,
11lim
lim
1lim
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
xindeterminación
110
1
1lim1
lim
1lim
11
1lim
1lim
1lim
222
2
2
2
2
2
xx
x
xxx
xxx
x
x
x
x
x
3
2
2
3
12
13lim
11
2
2 2
2
x
x
x xx
xx
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 25
ttt
t
1
05
5
42
5
1lim
50.
y ;1
lim155
42
5
1lim
00
tt
tt
testo es,
tt 5
5
42
5
1tiene la forma indeterminada
1
Entonces, sea:
,55
42
5
1ln
15
5
42
5
1lnln
55
42
5
1
1
1
ttttt
ttt
ty
y (1),
De modo que:
(2),t
y
tt
tt
55
42
5
1ln
limlnlim00
Hallemos el límite del miembro derecho de (2):
0lim055
42
5
1lnlim
00
t
t
tt
t y
Esto es, f(x)/g(x) tiene la forma indeterminada 0/0 ; por lo que para calcular el límite es
aplicable la regla de L’Hopital:
(3)5
2ln5ln45
5
42
5
1ln
lim
;5
2ln5ln4
254
2ln25ln54
1
254
2ln25ln54
lim
55
42
5
1ln
lim
0
00
00
00
t
t
tt
t
tt
tt
t
tt
t
Sustituyendo (3) en (2), se obtiene:
;5
2ln5ln4lnlim
0
y
t
(4) en (1)
(4);
51
5
2ln5ln41
0
5
2ln5ln4
0
125055
42
5
1lim
lnlim
e
ey
ttt
t
t
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 26
1
10
2
1lim
22
x
x
x
x
x51.
,23
199lim
23
201021lim
1
10
2
1lim
2
2
2
232322
xx
xx
xx
xxxxxx
x
x
x
x
xxx
,23
199
lim1
10
2
1lim
222
2
222
2
22
xx
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
xx
(dividiendo cada término por
2x ),
,23
1
1991
lim1
10
2
1lim
2
222
xx
xx
x
x
x
x
xx
(simplificando),
,001
001
1
10
2
1lim
22
x
x
x
x
x(evaluando el límite y utilizando el Teorema de Límite),
11
10
2
1lim
22
x
x
x
x
x
bxaxxx
lim52.
,limlim 2 abxbaxxbxaxxxx
abxbaxx
abxbaxxabxbaxxbxaxx
xx
2
22
limlim
(multiplicando y dividiendo la expresión por su conjugada),
,limlimlim
22
22
abxbaxx
abxba
abxbaxx
abxbaxxbxaxx
xxx
,limlim
2
x
abxbax
x
x
x
ab
x
xba
bxaxxxx
(dividiendo cada término por x ),
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 27
2
2
1
limlim
x
abxbax
x
abba
bxaxxxx
(simplificando e introduciendo la x bajo el signo radical),
,
11
limlim
22 x
ab
x
ba
x
abba
bxaxxxx
(separando términos y simplificando),
,0011
0lim
babxaxx
x(evaluando el límite y utilizando el Teorema de Lím),
211
limbaba
bxaxxx
12
1lim
21
xx
x
x53.
,
12
121lim
1212
121lim
12
1lim
22
2
122
2
121
xx
xxx
xxxx
xxx
xx
x
xxx
x
xx
x
xx
x
xxx
xx
x
x
x
xxx
1lim
12lim
1
12lim
1
121lim
12
1lim
1
2
12
12
2
121
2111212lim 22
1
xx
x
: constante positiva
Cuando 1x , x1 tiende a 0 , y lo hace a través de valores negativos.
Se obtiene:
12
1lim
21 xx
x
x
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 28
4
3
43
2lim
24 tttt
54.
,
14
132lim
4
3
14
2lim
4
3
43
2lim
442
4
tt
t
tttttt ttt
,
14
35lim
14
332lim
4
3
43
2lim
442
4
tt
t
tt
t
ttt ttt
4
1lim
1
35lim
4
3
43
2lim
442
4
tt
t
ttt ttt
Ahora
5
17
5
17
14
435
1
35lim
4
t
t
t
: constante negativa (1)
negativos valores de través a hace lo y a tiende
positiva constante
:
,04,4
11lim
:4
1lim 4
4 tttt
t
De lo anterior, se concluye que:
4
1lim
4 tt
(2)
De (1) y (2), se concluye que:
4
1lim
1
35lim
44 tt
t
tt
4
3
43
2lim
24 tttt
x
x
x 4
2cos1lim
0
55.
002
1
2
2cos1lim
2
1
2
2cos1
2
1lim
4
2cos1lim
000
x
x
x
x
x
x
xxx
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 29
x
x
x
2
1cos1
3lim
2
2
0
56.
,
2
12
1sen
lim
12lim
2
12
1sen
12lim
4
12
1sen
4
1
3
lim
2
1sen
3lim
2
1cos1
3lim
2
0
0
20
2
2
2
2
02
2
02
2
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
121
12
2
1cos1
3lim
22
2
0
x
x
x
x
x
x 2
tanlim
057.
,cos
1lim
senlim
2
1
cos
1senlim
2
1
cos2
senlim
2
cos
sen
lim2
tanlim
000000
xx
x
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
xxxxxx
2
1
1
1
2
1
0cos
11
2
1
2
tanlim
0
x
x
x
20
senlim
x
x
x 58.
,1
limsen
lim1sen
limsen
lim000
20 xx
x
xx
x
x
x
xxxx
1sen
lim2
0 x
x
x
x
x
x 3sen
2lim
059.
3
2
1
3
2
3
3senlim
3
2lim
lim
3
3sen3
2
lim3sen
2lim
0
0
000
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
xxx
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 30
x
x
x 7sen
9senlim
060.
,
7
7sen9
9sen
lim7
9
7
7sen9
9sen
7
9lim
7
7sen9
9sen
7
9lim
7
7sen79
9sen9
lim7sen
9senlim
00000
x
xx
x
x
xx
x
x
xx
x
x
x
x
xxx
xx
x
x
xxxxx
7
9
1
1
7
9
7
7senlim
9
9senlim
7
9
7sen
9senlim
0
0
0
x
xx
x
x
x
x
x
x
2
3
0
senlim
x
x
x61.
,sen
limsen
limsenlimsensen
senlimsen
lim00002
3
0 x
x
x
xx
x
x
x
xx
x
x
xxxxx
010110sensen
lim2
3
0
x
x
x
5
5
0 4
2senlim
x
x
x62.
,
2
2senlim8
2
2senlim8
2
2sen8lim
32
2sen8lim
4
2senlim
5
0
5
05
5
05
5
05
5
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxxxx
8184
2senlim
5
5
5
0
x
x
x
x
x
x
4cos1lim
0
63.
004
4
4cos1lim4
4
4cos14lim
4cos1lim
000
x
x
x
x
x
x
xxx
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 31
3
2
0
1senlim
xx
x64.
Como 1sen1 t para cualquier t ,
1sen0 t para cualquier t ,
11
sen03
x
si 0x ,
2
3
2 1sen0 x
xx si 0x (1)
Como 00lim0
x
y 0lim 2
0
x
x, de la desigualdad (1) y el teorema de estricción, se
concluye que:
01
senlim3
2
0
xx
x
xxxgxgx
,324,lim4
3 si 65.
, 444
32432324 xxgxxxg
(1) 43243244 xxgx
Como
; 4432lim432lim4
3
4
3
xx
xx
de la desigualdad (1) y el teorema de estricción, se deduce que:
4lim3
xgx
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 32
xxxgxgx
,253,lim2
2 si 66.
, 222
25325253 xxgxxxg
(1) 32532522 xxgx
Como
; 3325lim325lim2
2
2
2
xx
xx
de la desigualdad (1) y el teorema de estricción, se deduce que:
3lim2
xgx
x
x
x
4senlim
067.
4144
4senlim4
4
4sen4lim
4senlim
000
x
x
x
x
x
x
xxx
n
n
n n
n
1
1lim
68.
Caso 1. Si n es par positivo o negativo 11 n
101
01
11
11
lim1
1lim
n
n
n
n
nn
Caso 2. Si n es impar positivo o negativo 11 n
101
01
11
11
lim1
1lim
n
n
n
n
nn
Como para ambos casos el lim es igual a 1:
1
1
1lim
n
n
n n
n
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 33
nnn
1lim69.
En todos los límites donde el denominador no tenga términos en “ n ”; se debe buscar
tales términos, en este caso, basta multiplicar el numerador y denominador por la
conjugada.
nnnn
nnnn
nn
nn
nnn
1
1lim
1
1lim1
1
1lim
Dividiendo para n :
02
0
101
0
11
1
1
lim
11
1
lim1
1
lim
n
n
n
n
n
n
nn
n
nnn
1
432lim
4
2
x
xx
x70.
Dividimos para 4x :
4
2
2
4
4
2
4
4
2
11
4321
lim1
4321
lim1
432lim
x
xxx
x
x
xxx
x
xx
xxx
pero como :; 22 xxx
2
01
002
11
432
lim1
1
4321
lim1
1
4321
lim
4
2
4
2
2
4
2
2
x
xx
x
xxx
x
xxx
xxx
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 34
3
32lim
xx
x
x
71.
Dividiendo para 3 3x :
201
02
11
32
lim
32
lim32
lim3
323 3
3
3 3
3
x
x
x
xx
x
x
xx
x
xxx
xx
x
x 10lim
2
72.
Dividimos a toda la expresión para 2x :
00
1
110
1lim
10lim
10lim
222
2
2
2
xxx
xx
x
x
x
xx
x
xxx
xxx
x
x lim73.
Dividimos a toda la expresión para x :
21
1lim
1limlimlim
x
xx
x
xxx
x
xxx
x
x
xxx
x
xxxx
1001
1
111
1
11
1lim
34
xxx
x
x
x
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 35
3 31lim xxx
74.
Multiplicamos y dividimos para la conjugada:
3 233 32
3 233 323 3
3 3
11
111
lim1lim
xxxx
xxxxxx
xxxx
3 233 323 233 32
33
11
1lim
11
1lim
xxxxxxxx
xx
xx
3 633 32 211
1lim
xxxxxx
El x de mayor exponente es 6x pero por encontrarse dentro de una raíz cúbica el x de
mayor exponente será 23 6 xx . Por lo tanto dividimos a toda la expresión para 2x :
36
633 3
2
3 6
3 63
2
3 3
2
2
2
2111
1
lim211
1
lim
x
xx
x
x
x
x
xx
x
xx
x
x
x
xx
336
33
2
3363 3
3 3
2
121
11
1
1
lim
1211
1
1
lim
xxx
x
xxx
x
x
xx
0
3
0
111
0
100101
0
33
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 36
1lim
2 x
x
x75.
El x de mayor exponente es 2x pero por estar dentro de una raíz cuadrada el x de
mayor exponente es xx 2 . Pero como ;, xxx por lo tanto dividimos a toda
la expresión para 2x tomando en cuenta la restricción del valor absoluto:
101
1
11
1lim
1lim
1lim
22
22
xx
x
x
x
x
xxx
1lim
2 x
x
x76.
El x de mayor exponente es 2x pero por estar dentro de una raíz cuadrada el x de
mayor exponente es xx 2 . Pero como ;, xxx por lo tanto dividimos a
toda la expresión para 2x tomando en cuenta la restricción del valor absoluto:
101
1
11
1lim
1
1lim
1lim
22
22
xx
xx
x
xxx
2
13lim
xx
x77.
2
3
2
13lim
13lim
x
x
xx
xx
Dividimos a toda la expresión para 3x :
0
3
0
03
1
13
lim3
x
x
x
Nota.- en este caso tenemos que analizar el signo de 2
3 13
x
x cuando x .
Para esto utilizamos un número relativamente grande que se acerque a , por ejemplo
10 . Al reemplazar 10 el signo será negativo para dicha expresión, por lo tanto la
respuesta es .
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 37
x
xx4
2lim
278.
2
3
2
42lim4
2lim
x
xx
x xx
Dividimos a toda la expresión para 3x :
0
4
0
40
1
42
lim3
x
x
x
Nota.- en este caso tenemos que analizar el signo de 2
342
x
x cuando x .
Para esto utilizamos un número relativamente grande que se acerque a , por ejemplo
10 . Al reemplazar 10el signo será negativo para dicha expresión, por lo tanto la
respuesta es .
3 33 3 1lim
xxxx
79.
Multiplicamos y dividimos para la conjugada:
3 233 333 23
3 233 333 233 33 3
11
111
lim
xxxxxx
xxxxxxxxx
x
3 233 333 23
33
11
1lim
xxxxxx
xxx
x
3 233 333 23 11
1lim
xxxxxx
x
x
3 463 333 246 1212
1lim
xxxxxxxx
x
x
El x de mayor exponente es 6x pero por encontrarse dentro de una raíz cúbica, el x de
mayor exponente es 23 6 xx , por lo tanto dividimos a toda la expresión para
2x :
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 38
36
46
36
33
36
246
2
1212
1
lim
x
xx
x
xxx
x
xxx
x
x
x
362
36353
342
2
121
1111121
11
lim
xxxxxxxx
xx
x
0
2
0
0010000001
00lim
333
x
2
3
0
senlim
x
x
x80.
xx
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
xxxxxsenlim
senlim
senlimsen
sensenlim
senlim
00002
3
0
00110sen11senlim110
xx
x
x
x 3senlim
2
2
081.
Dividimos a toda la expresión para 2x :
2
202
2
0 3sen
1lim
3senlim
x
xx
x
xx
Multiplicamos y dividimos al denominador para 9 :
9
1
119
1
3
3senlim
3
3senlim3lim
1lim
9
3sen9
1lim
000
0
2
20
x
x
x
x
x
x
xxx
x
x
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 39
x
x
x
3sen
senlim
182.
Sea yxxy ;1; :
yyyy
y
y
y
x
x
yyx sen2coscos2sen
senlim
3sen
senlim
3sen
senlim
1
yyy
y
yyyyy
y
yy 2coscos2sen
senlim
sen2coscoscossen2
senlim
2
3
1
12
1
2coscos2
1
2coscos2
1lim
22
yyy
xx
x
senlim
83.
Sea y
xyxx
y
;0;; :
1sen
limlimsenlimsenlim000 y
yy
yxx
yyyx
20
cos1lim
x
x
x
84.
xx
x
xx
x
xx
xx
x
x
xxxx cos1
senlim
cos1
cos1lim
cos1
cos1cos1lim
cos1lim
2
2
02
2
02020
xx
x
x
x
xx
x
x
x
xxxx cos1
1lim
senlim
senlim
cos1
1sensenlim
0000
2
1
11
1
0cos1
111
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 40
ax
ax
ax
sensenlim85.
22
2sen
2cos2
lim2sen
2cos2
limsensen
limax
axax
ax
axax
ax
ax
axaxax
2
2sen
2coslim
2
2sen
2
2cos2
limax
ax
ax
ax
axax
axax
aaa
ax
ax
ax
axaxcos1
2cos
2
2sen
lim2
coslim
2
tglim
2 x
x
x
86.
Sea 2;0;0;2;2 yxyyxxy :
y
y
y
y
y
y
x
x
yyyx
tglim
2tglim
2tglim
2
tglim
0002
1
tglimlim
tglim
000 y
y
y
y
yyy
x
xx
xtg1
cossenlim
4
87.
xx
xxx
x
xx
xx
x
x
xx
x
xx
xxxxsencos
cossencoslim
cos
sencos
cossenlim
cos
sen1
cossenlim
tg1
cossenlim
4444
2
2
4coscoslim
cossen
cossencoslim
44
x
xx
xxx
xx
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 41
2
tg1lim1
xx
x
88.
Sea yxyxxy 1;0;1;1 :
yy
yy
xx
yyx 22tglim
2
1tglim
2tg1lim
001
y
y
y
y
y
yyy
2sen
2cos
lim
22cos
22sen
lim00
Dividiendo para “ y ” a toda la expresión:
2
12
1
2
2sen
lim2
lim
2coslim
2
2sen
2
2cos
lim
2sen
2cos
lim
00
0
00
y
y
y
y
y
y
y
y
y
yy
y
yy
xx
x 2cot2cotlim
0
89.
xx
xx
x
x
x
xxx
xxx cos2sen
sen2coslim
2sen
2cos
2sen
2coslim
2cot2cotlim
000
2
1
12
01
cos2
sencoslim
cos2
2coslim
coscossen2
sen2coslim
22
22
0200
x
xx
x
x
xxx
xx
xxx
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 42
30
sentglim
x
xx
x
90.
303030
cos
cossensen
lim
sencos
sen
limsentg
limx
x
xxx
x
xx
x
x
xx
xxx
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xxx
xxx cos1
cos1cos1tglim
cos
cos1senlim
cos
cossensenlim
303030
xx
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xxxxx cos1
1lim
senlim
tglim
cos1
sentglim
cos1
cos1tglim
02
2
003
2
03
2
0
2
1
11
1
0cos1
111
2
x
x
x 3sen
2arctglim
091.
Sea 2
tg;0sen;0tg;0;2tg
xxx :
tg
2
tg3sen
tglim
2
tg3sen
lim3sen
2arctglim
0tg0tg0
x
x
x
1
1
tg3
2lim
tg2
3
2
tg3sen
1lim
tg3
2lim
tg2
3
2
tg3sen
2
3
tglim
0tg0tg0tg0tg
3
2
1
1
3
2
tglim
1lim
3
2lim
tg3
2lim
tg3
2lim
0tg
0tg
0tg0tg0tg
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 43
x
x
x
1
2cos
lim1
92.
Sea yxyxxy 1;0;1;1 :
y
y
y
y
y
y
x
x
yyyx
11
2sen
lim11
22cos
lim11
12
cos
lim1
2cos
lim0001
y
yy
y
y
y
y
yy
2sen11
lim11
11
11
2sen
lim00
y
y
y
y
yy
yyy
2
2sen
lim112
lim
2
2sen11
2lim
000
122
10112
20
cos1lim
x
x
x
93.
xx
x
xx
xx
x
x
xxx cos1
cos1lim
cos1
cos1cos1lim
cos1lim
202020
xxx
x
x
x
xx
x
xx cos1cos1
cos1lim
cos1
cos1
cos1
cos1lim
2
2
020
xxx
x
xxx
x
xxx cos1cos1
1lim
senlim
cos1cos1
senlim
02
2
02
2
0
4
1
1111
11
0cos10cos1
11
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 44
x
xx
x
sen1sen1lim
0
94.
xxx
x
xxx
xxxx
xx sen1sen1
sen2lim
sen1sen1
sen1sen1sen1sen1lim
00
1
11
2
0sen10sen1
21
sen1sen1
2lim
senlim
00
xxxx
x
xx
xx
x
1senlim
095.
Para resolver partimos del recorrido del sen :
11
sen1 x
xx
x 1
sen
xx
xxxx 000lim
1senlimlim
01
senlim00
xx
Entonces por el método del sánduche: 01
senlim0
xx
1
2
2
1lim
x
x
x x96.
Sea 1
2;
1
2
x
xxg
xxf :
01
limlim2
xxf
xx
201
2
11
2lim
1
2limlim
x
x
xxg
xxx
001
lim1
lim 21
2lim
2
1
2
2
x
x
x
x
x
x
x
xx
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 45
x
x x
21lim97.
101
21lim
21lim
lim x
x
x
x
x
xx indeterminación
22
2
22
2
21lim
21lim
21lim ee
xxx
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
1lim98.
1
1lim
1lim
lim x
x
x
x
x
x
x
x
x indeterminación
x
x
x
x xx
x
1
11lim
1lim
Sea 11
;0;;1
1
yxyx
xy :
1
0001lim1lim1lim
1
11lim
11
1
yyyx yyy
x
x
yy
1111
0
1
0011lim1lim
1
eeyyyy
y
x
xx
1
sen1lim0
99.
1sen1limsen1lim
1
0lim
1
00
xxx
xxxx
indeterminación
x
x
xxx
xx
x
x
xxx
sen
000
sen
11
sen1limsen1limsen1lim
xsen
sen
eexx
x
x
xx
1
senlim
0
0sen
1
sen1lim
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 46
x
xx
1
coslim0
100.
En este caso sumamos y restamos 1 a xcos para encontrar una expresión semejante al
límite fundamental algebraico:
1cos
1cos111
1cos1lim1cos1limcoslim000
x
x
xxxxxx
xxx
x
x
x
xx
x
x
xxxx
1cos
0lim
1cos
11cos
1cos
1
1cos1lim1cos1lim00
xx
x
xxx
x
xxx
xx
xx
x
xx
x
x eeeee cos1
2sen
0lim
cos1
2cos1
0lim
cos1
cos11cos
0lim
1cos
0lim
1cos
0lim
1011
01
0cos1
0sen1
cos1
sen
0lim
sen
0lim
eeee x
x
xx
x
x
2
1
coslim0
x
xx
101.
1cos
1cos
2
1
2
1
2
1
1cos1lim1cos1limcoslim000
x
x
xxxxxx
xxx
2
1cos
0lim
2
1cos
1cos
1
1cos
1
1cos1lim1cos1lim00
x
x
xx
x
xx
xxxx
xx
x
xxx
x
xxx
xx
xx
x
xx
x
x eeeee cos12
2sen
0lim
cos12
2cos1
0lim
cos12
cos11cos
0lim
2
1cos
0lim
2
1cos
0lim
eeeee xxx
x
x 12
1
11
11
0cos1
121
cos1
1
0lim
2sen
0lim
Ing. Ezequiel A. Guamán T. 47
2ln12lnlim
xxx
102.
2
12limln
2
12lnlim2ln12lnlim
x
x
x
xxx
xxx
Dividimos a toda la expresión para x :
2ln01
02ln
21
12
limln
x
x
x
x
x
x
101loglim
0
103.
x
xxxx
x
xxx
1
101loglim101log1
lim101log
lim000
10
10
1
10
101
101limlog101limlog101limlog000
xxx
xxxxxx
10
10
1
10
101
101limlog101limlog101limlog000
xxx
xxxxxx
x
x
xx 1
1ln
1lim
0104.
x
x
x
xx x
x
x
x
x
x
x
1
0
1
00 1
1limln
1
1lnlim
1
1ln
1lim
xx
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
12
1
0
2
1
0
2
1
0 1
21limln
1
21limln
1
1limln
x
xx
x
x
xx
x
x
x
x
ex
x
x
x
1
1lim
1
1lim
2
1
0
1
1
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Ing. Ezequiel A. Guamán T. 49
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