Lımites en Espacios de Banach

Miquel Cueca Ten, UVAlba Gomez Pachon, USJesus Ocariz Gallego, UM

Mercedes Prado Rodrıguez, USAbraham Rueda Zoca, UGR

III Escuela-Taller y IX Encuentro de Analisis Funcional y Aplicaciones.Abril 9-13, Zafra

Tutor: Jesus M. F. Castillo

Esquema de la Charla

Filtros y ultrafiltros

Lımites por ultrafiltros

Identificacion del espacio de ultrafiltros

Aplicaciones

Filtros y Ultrafiltros

Definicion

Un filtro de un conjunto X no vacıo es un subconjunto U deP(X ) que verifica:

/0 6∈U

A ∈U y A⊆ B ⊆ X ⇒ B ∈U

A,B ∈U ⇒ A∩B ∈U

Ejemplo

Sea X = {1,2,3}, un filtro del conjunto X es:

U = {{1},{1,2},{1,2,3}}

Filtros y Ultrafiltros

Definicion

Un filtro de un conjunto X no vacıo es un subconjunto U deP(X ) que verifica:

/0 6∈U

A ∈U y A⊆ B ⊆ X ⇒ B ∈U

A,B ∈U ⇒ A∩B ∈U

Ejemplo

Sea X = {1,2,3}, un filtro del conjunto X es:

U = {{1},{1,2},{1,2,3}}

Filtros y Ultrafiltros

Definicion

Un filtro de un conjunto X no vacıo es un subconjunto U deP(X ) que verifica:

/0 6∈U

A ∈U y A⊆ B ⊆ X ⇒ B ∈U

A,B ∈U ⇒ A∩B ∈U

Ejemplo

Sea X = {1,2,3}, un filtro del conjunto X es:

U = {{1},{1,2},{1,2,3}}

Filtros y ultrafiltros

Definicion

Sea U un filtro de X . Se dice que U es un ultrafiltro si esmaximal respecto a la relacion de orden inclusion ⊆

Proposicion

Sea U un filtro de X . U es un ultrafiltro si y solo si ∀A⊆ X , obien A ∈U , o bien X rA ∈U

Filtros y ultrafiltros

Definicion

Sea U un filtro de X . Se dice que U es un ultrafiltro si esmaximal respecto a la relacion de orden inclusion ⊆

Proposicion

Sea U un filtro de X . U es un ultrafiltro si y solo si ∀A⊆ X , obien A ∈U , o bien X rA ∈U

Filtros y Ultrafiltros

⇒

Suponemos X rA /∈U .Definimos V = {Y ⊆ X : ∃Z ∈U ,A

⋂Z ⊆ Y } y veamos que es un

filtro:

1 /0 /∈ V

2 Si Y1,Y2 ∈ V , entonces ∃Z1,Z2 ∈U tal que A⋂

Z1 ⊆ Y1 yA⋂

Z2 ⊆ Y2. Luego al ser U filtro, Z1⋂

Z2 ∈U yA⋂

(Z1⋂

Z2)⊆ Y1⋂

Y2. Por tanto, Y1⋂

Y2 ∈ V

3 Si Y1 ∈ V tal que Y1 ⊆ Y2, entonces A⋂

Z1 ⊆ Y1 ⊆ Y2. Por lotanto, Y2 ∈ V

Filtros y Ultrafiltros

⇒Suponemos X rA /∈U .

Definimos V = {Y ⊆ X : ∃Z ∈U ,A⋂

Z ⊆ Y } y veamos que es unfiltro:

1 /0 /∈ V

2 Si Y1,Y2 ∈ V , entonces ∃Z1,Z2 ∈U tal que A⋂

Z1 ⊆ Y1 yA⋂

Z2 ⊆ Y2. Luego al ser U filtro, Z1⋂

Z2 ∈U yA⋂

(Z1⋂

Z2)⊆ Y1⋂

Y2. Por tanto, Y1⋂

Y2 ∈ V

3 Si Y1 ∈ V tal que Y1 ⊆ Y2, entonces A⋂

Z1 ⊆ Y1 ⊆ Y2. Por lotanto, Y2 ∈ V

Filtros y Ultrafiltros

⇒Suponemos X rA /∈U .Definimos V = {Y ⊆ X : ∃Z ∈U ,A

⋂Z ⊆ Y } y veamos que es un

filtro:

1 /0 /∈ V

2 Si Y1,Y2 ∈ V , entonces ∃Z1,Z2 ∈U tal que A⋂

Z1 ⊆ Y1 yA⋂

Z2 ⊆ Y2. Luego al ser U filtro, Z1⋂

Z2 ∈U yA⋂

(Z1⋂

Z2)⊆ Y1⋂

Y2. Por tanto, Y1⋂

Y2 ∈ V

3 Si Y1 ∈ V tal que Y1 ⊆ Y2, entonces A⋂

Z1 ⊆ Y1 ⊆ Y2. Por lotanto, Y2 ∈ V

Filtros y Ultrafiltros

⇒Suponemos X rA /∈U .Definimos V = {Y ⊆ X : ∃Z ∈U ,A

⋂Z ⊆ Y } y veamos que es un

filtro:

1 /0 /∈ V

2 Si Y1,Y2 ∈ V , entonces ∃Z1,Z2 ∈U tal que A⋂

Z1 ⊆ Y1 yA⋂

Z2 ⊆ Y2. Luego al ser U filtro, Z1⋂

Z2 ∈U yA⋂

(Z1⋂

Z2)⊆ Y1⋂

Y2. Por tanto, Y1⋂

Y2 ∈ V

3 Si Y1 ∈ V tal que Y1 ⊆ Y2, entonces A⋂

Z1 ⊆ Y1 ⊆ Y2. Por lotanto, Y2 ∈ V

Filtros y Ultrafiltros

⇒Suponemos X rA /∈U .Definimos V = {Y ⊆ X : ∃Z ∈U ,A

⋂Z ⊆ Y } y veamos que es un

filtro:

1 /0 /∈ V

2 Si Y1,Y2 ∈ V , entonces ∃Z1,Z2 ∈U tal que A⋂

Z1 ⊆ Y1 yA⋂

Z2 ⊆ Y2. Luego al ser U filtro, Z1⋂

Z2 ∈U yA⋂

(Z1⋂

Z2)⊆ Y1⋂

Y2. Por tanto, Y1⋂

Y2 ∈ V

3 Si Y1 ∈ V tal que Y1 ⊆ Y2, entonces A⋂

Z1 ⊆ Y1 ⊆ Y2. Por lotanto, Y2 ∈ V

Filtros y Ultrafiltros

⇒Suponemos X rA /∈U .Definimos V = {Y ⊆ X : ∃Z ∈U ,A

⋂Z ⊆ Y } y veamos que es un

filtro:

1 /0 /∈ V

2 Si Y1,Y2 ∈ V , entonces ∃Z1,Z2 ∈U tal que A⋂

Z1 ⊆ Y1 yA⋂

Z2 ⊆ Y2. Luego al ser U filtro, Z1⋂

Z2 ∈U yA⋂

(Z1⋂

Z2)⊆ Y1⋂

Y2. Por tanto, Y1⋂

Y2 ∈ V

3 Si Y1 ∈ V tal que Y1 ⊆ Y2, entonces A⋂

Z1 ⊆ Y1 ⊆ Y2. Por lotanto, Y2 ∈ V

Filtros y Ultrafiltros

Por construccion U ⊆ V y como U es maximal, solo tenemos dosposibilidades:

V = U : A⋂

X = A, entonces A ∈ V . Por tanto A ∈U

V = P(X ) entonces /0 ∈ V .

⇐Por hipotesis ∀ A⊆ X , A ∈U o X rA ∈U .Supongamos que U no es maximal, entonces ∃V ! U , un filtrotal que ∃B ∈ V y B /∈U .Por tanto, por hipotesis, X rB ∈U ası X rB ∈U ⊆ Vası (X rB)

⋂B = /0 ∈ V

Filtros y Ultrafiltros

Por construccion U ⊆ V y como U es maximal, solo tenemos dosposibilidades:

V = U : A⋂

X = A, entonces A ∈ V . Por tanto A ∈U

V = P(X ) entonces /0 ∈ V .

⇐Por hipotesis ∀ A⊆ X , A ∈U o X rA ∈U .Supongamos que U no es maximal, entonces ∃V ! U , un filtrotal que ∃B ∈ V y B /∈U .Por tanto, por hipotesis, X rB ∈U ası X rB ∈U ⊆ Vası (X rB)

⋂B = /0 ∈ V

Filtros y Ultrafiltros

Por construccion U ⊆ V y como U es maximal, solo tenemos dosposibilidades:

V = U : A⋂

X = A, entonces A ∈ V . Por tanto A ∈U

V = P(X ) entonces /0 ∈ V .

⇐

Por hipotesis ∀ A⊆ X , A ∈U o X rA ∈U .Supongamos que U no es maximal, entonces ∃V ! U , un filtrotal que ∃B ∈ V y B /∈U .Por tanto, por hipotesis, X rB ∈U ası X rB ∈U ⊆ Vası (X rB)

⋂B = /0 ∈ V

Filtros y Ultrafiltros

Por construccion U ⊆ V y como U es maximal, solo tenemos dosposibilidades:

V = U : A⋂

X = A, entonces A ∈ V . Por tanto A ∈U

V = P(X ) entonces /0 ∈ V .

⇐Por hipotesis ∀ A⊆ X , A ∈U o X rA ∈U .

Supongamos que U no es maximal, entonces ∃V ! U , un filtrotal que ∃B ∈ V y B /∈U .Por tanto, por hipotesis, X rB ∈U ası X rB ∈U ⊆ Vası (X rB)

⋂B = /0 ∈ V

Filtros y Ultrafiltros

Por construccion U ⊆ V y como U es maximal, solo tenemos dosposibilidades:

V = U : A⋂

X = A, entonces A ∈ V . Por tanto A ∈U

V = P(X ) entonces /0 ∈ V .

⇐Por hipotesis ∀ A⊆ X , A ∈U o X rA ∈U .Supongamos que U no es maximal, entonces ∃V ! U , un filtrotal que ∃B ∈ V y B /∈U .

Por tanto, por hipotesis, X rB ∈U ası X rB ∈U ⊆ Vası (X rB)

⋂B = /0 ∈ V

Filtros y Ultrafiltros

Por construccion U ⊆ V y como U es maximal, solo tenemos dosposibilidades:

V = U : A⋂

X = A, entonces A ∈ V . Por tanto A ∈U

V = P(X ) entonces /0 ∈ V .

⇐Por hipotesis ∀ A⊆ X , A ∈U o X rA ∈U .Supongamos que U no es maximal, entonces ∃V ! U , un filtrotal que ∃B ∈ V y B /∈U .Por tanto, por hipotesis, X rB ∈U ası X rB ∈U ⊆ Vası (X rB)

⋂B = /0 ∈ V

Filtros y Ultrafiltros

Por construccion U ⊆ V y como U es maximal, solo tenemos dosposibilidades:

V = U : A⋂

X = A, entonces A ∈ V . Por tanto A ∈U

V = P(X ) entonces /0 ∈ V .

⇐Por hipotesis ∀ A⊆ X , A ∈U o X rA ∈U .Supongamos que U no es maximal, entonces ∃V ! U , un filtrotal que ∃B ∈ V y B /∈U .Por tanto, por hipotesis, X rB ∈U ası X rB ∈U ⊆ Vası (X rB)

⋂B = /0 ∈ V

Filtros y Ultrafiltros

Definicion

Se dice que un ultrafiltro Ha es principal si ∃a ∈ X tal que es de laforma

Ha = {Y ⊆ X |a ∈ Y }

En otro caso se dice que es no principal.

Teorema

Sea X un conjunto infinito, entonces existe un ultrafiltro noprincipal

Filtros y Ultrafiltros

Definicion

Se dice que un ultrafiltro Ha es principal si ∃a ∈ X tal que es de laforma

Ha = {Y ⊆ X |a ∈ Y }

En otro caso se dice que es no principal.

Teorema

Sea X un conjunto infinito, entonces existe un ultrafiltro noprincipal

Filtros y Ultrafiltros

Demostracion

Definimos F = {A⊆ X |Card(X rA) < ∞} y veamos que es unfiltro:

Sea A = /0, X r /0 = X luego Card(X r /0) = ∞. Entonces,/0 /∈F .

Sean A,B ∈F , entonces Card(X rA) < ∞ yCard(X rB) < ∞.Luego, por las Leyes de De Morgan:Card((X rA)

⋃(X rB)) = Card(X r (A

⋂B)) es finito. Por

tanto, A⋂

B ∈F .

Sea A ∈F , A⊆ B ⊂ X . EntoncesCard(X rB)≤ Card(X rA) < ∞. Por tanto, B ∈F .

Filtros y Ultrafiltros

DemostracionDefinimos F = {A⊆ X |Card(X rA) < ∞} y veamos que es unfiltro:

Sea A = /0, X r /0 = X luego Card(X r /0) = ∞. Entonces,/0 /∈F .

Sean A,B ∈F , entonces Card(X rA) < ∞ yCard(X rB) < ∞.Luego, por las Leyes de De Morgan:Card((X rA)

⋃(X rB)) = Card(X r (A

⋂B)) es finito. Por

tanto, A⋂

B ∈F .

Sea A ∈F , A⊆ B ⊂ X . EntoncesCard(X rB)≤ Card(X rA) < ∞. Por tanto, B ∈F .

Filtros y Ultrafiltros

DemostracionDefinimos F = {A⊆ X |Card(X rA) < ∞} y veamos que es unfiltro:

Sea A = /0, X r /0 = X luego Card(X r /0) = ∞. Entonces,/0 /∈F .

Sean A,B ∈F , entonces Card(X rA) < ∞ yCard(X rB) < ∞.Luego, por las Leyes de De Morgan:Card((X rA)

⋃(X rB)) = Card(X r (A

⋂B)) es finito. Por

tanto, A⋂

B ∈F .

Sea A ∈F , A⊆ B ⊂ X . EntoncesCard(X rB)≤ Card(X rA) < ∞. Por tanto, B ∈F .

Filtros y Ultrafiltros

DemostracionDefinimos F = {A⊆ X |Card(X rA) < ∞} y veamos que es unfiltro:

Sea A = /0, X r /0 = X luego Card(X r /0) = ∞. Entonces,/0 /∈F .

Sean A,B ∈F , entonces Card(X rA) < ∞ yCard(X rB) < ∞.Luego, por las Leyes de De Morgan:Card((X rA)

⋃(X rB)) = Card(X r (A

⋂B)) es finito. Por

tanto, A⋂

B ∈F .

Sea A ∈F , A⊆ B ⊂ X . EntoncesCard(X rB)≤ Card(X rA) < ∞. Por tanto, B ∈F .

Filtros y Ultrafiltros

DemostracionDefinimos F = {A⊆ X |Card(X rA) < ∞} y veamos que es unfiltro:

Sea A = /0, X r /0 = X luego Card(X r /0) = ∞. Entonces,/0 /∈F .

Sean A,B ∈F , entonces Card(X rA) < ∞ yCard(X rB) < ∞.Luego, por las Leyes de De Morgan:Card((X rA)

⋃(X rB)) = Card(X r (A

⋂B)) es finito. Por

tanto, A⋂

B ∈F .

Sea A ∈F , A⊆ B ⊂ X . EntoncesCard(X rB)≤ Card(X rA) < ∞. Por tanto, B ∈F .

Filtros y Ultrafiltros

Por el Lema de Zorn, ∃ un ultrafiltro U que extiende el filtro F .

Veamos ahora que no es principal.

Supondremos lo contrario, ası, ∃a ∈ X tal que ∀Y ⊆ X : a ∈ Y , loque implica que Y ∈U .

En particular, tomando Y = {a}, obtenemos que Card(X r{a}) esinfinito.

Filtros y Ultrafiltros

Por el Lema de Zorn, ∃ un ultrafiltro U que extiende el filtro F .

Veamos ahora que no es principal.

Supondremos lo contrario, ası, ∃a ∈ X tal que ∀Y ⊆ X : a ∈ Y , loque implica que Y ∈U .

En particular, tomando Y = {a}, obtenemos que Card(X r{a}) esinfinito.

Filtros y Ultrafiltros

Por el Lema de Zorn, ∃ un ultrafiltro U que extiende el filtro F .

Veamos ahora que no es principal.

Supondremos lo contrario, ası, ∃a ∈ X tal que ∀Y ⊆ X : a ∈ Y , loque implica que Y ∈U .

En particular, tomando Y = {a}, obtenemos que Card(X r{a}) esinfinito.

Filtros y Ultrafiltros

Por el Lema de Zorn, ∃ un ultrafiltro U que extiende el filtro F .

Veamos ahora que no es principal.

Supondremos lo contrario, ası, ∃a ∈ X tal que ∀Y ⊆ X : a ∈ Y , loque implica que Y ∈U .

En particular, tomando Y = {a}, obtenemos que Card(X r{a}) esinfinito.

Filtros y Ultrafiltros

Por el Lema de Zorn, ∃ un ultrafiltro U que extiende el filtro F .

Veamos ahora que no es principal.

Supondremos lo contrario, ası, ∃a ∈ X tal que ∀Y ⊆ X : a ∈ Y , loque implica que Y ∈U .

En particular, tomando Y = {a}, obtenemos que Card(X r{a}) esinfinito.

Lımites por ultrafiltros

Definicion (Lımite por ultrafiltro)

Tomamos I un conjunto, H un ultrafiltro en I . Sea X un espaciotopologico y f : I −→ X una aplicacion.Definimos

limH f = a ∈ X

si existe a ∈ X de forma que, para todo U entorno de a se tiene

{i ∈ I / f (i) ∈ U} ∈H

Lımites por ultrafiltros

Teorema

En las hipotesis de la definicion anterior, si X es compacto⇒∃ limH f

Demostracion:Supongamos por reduccion al absurdo que 6 ∃ limH f . Entonces,para cada a ∈ X ∃ Ua entorno de a tal que

{i ∈ I / f (i) ∈ Ua} /∈H

Por la compacidad de X existen a1, . . . ,ak ∈ X satisfaciendo

k⋃m=1

Uam = X ⇒k⋃

m=1

{i ∈ I / f (i) ∈ Uam}= I /∈H

lo cual es una contradiccion.

Lımites por ultrafiltros

Teorema

En las hipotesis de la definicion anterior, si X es compacto⇒∃ limH f

Demostracion:Supongamos por reduccion al absurdo que 6 ∃ limH f . Entonces,para cada a ∈ X ∃ Ua entorno de a tal que

{i ∈ I / f (i) ∈ Ua} /∈H

Por la compacidad de X existen a1, . . . ,ak ∈ X satisfaciendo

k⋃m=1

Uam = X ⇒k⋃

m=1

{i ∈ I / f (i) ∈ Uam}= I /∈H

lo cual es una contradiccion.

Lımites por ultrafiltros

Teorema

En las hipotesis de la definicion anterior, si X es compacto⇒∃ limH f

Demostracion:Supongamos por reduccion al absurdo que 6 ∃ limH f . Entonces,para cada a ∈ X ∃ Ua entorno de a tal que

{i ∈ I / f (i) ∈ Ua} /∈H

Por la compacidad de X existen a1, . . . ,ak ∈ X satisfaciendo

k⋃m=1

Uam = X ⇒k⋃

m=1

{i ∈ I / f (i) ∈ Uam}= I /∈H

lo cual es una contradiccion.

Lımites por ultrafiltros

Proposicion

En la hipotesis de la definicion de lımite por ultrafiltro, si X esHausdorff, entonces limH f , si existe, es unico.

Demostracion:Supongamos que a,b son lımites por el ultrafiltro de f . Como X esHausdorff ∃ U,V entornos de a y b respectivamente con

U ∩V = /0

Lımites por ultrafiltros

Proposicion

En la hipotesis de la definicion de lımite por ultrafiltro, si X esHausdorff, entonces limH f , si existe, es unico.

Demostracion:Supongamos que a,b son lımites por el ultrafiltro de f . Como X esHausdorff ∃ U,V entornos de a y b respectivamente con

U ∩V = /0

Lımites por ultrafiltros

Por definicion de lımite

{i ∈ I / f (i) ∈ U},{i ∈ I / f (i) ∈ V } ∈H

Por ser filtro, existe algun elemento en la interseccion, digamos j .

Entonces

f (j) ∈ U ∩V

lo que contradice la eleccion de U y V .

Lımites por ultrafiltros

Por definicion de lımite

{i ∈ I / f (i) ∈ U},{i ∈ I / f (i) ∈ V } ∈H

Por ser filtro, existe algun elemento en la interseccion, digamos j .Entonces

f (j) ∈ U ∩V

lo que contradice la eleccion de U y V .

Lımites por ultrafiltros

Nota

En el caso particular de `∞, si tenemos f ∈ `∞, entonces

f (N)⊆ [−‖f ‖∞,‖f ‖∞]

por lo que tiene lımite unico fijado un ultrafiltro en N.

Proposicion

Sea H un ultrafiltro en N.

1 La aplicacion limH : `∞ −→ R es lineal y continua.

2 Dado x ∈ `∞ se tiene lımH x ∈ {xn / n ∈ N}

Lımites por ultrafiltros

Nota

En el caso particular de `∞, si tenemos f ∈ `∞, entonces

f (N)⊆ [−‖f ‖∞,‖f ‖∞]

por lo que tiene lımite unico fijado un ultrafiltro en N.

Proposicion

Sea H un ultrafiltro en N.

1 La aplicacion limH : `∞ −→ R es lineal y continua.

2 Dado x ∈ `∞ se tiene lımH x ∈ {xn / n ∈ N}

Lımites por ultrafiltros

DemostracionVeamos que el limH es aditivo.Sea x ,y ∈ `∞. Llamamos a = limH x , b = limH y .

Dado ε ∈ R+, entonces{n ∈ N / |xn−a|< ε

2

},{

n ∈ N / |yn−b|< ε

2

}∈H

|xn + yn− (a + b)| ≤ |xn−a|+ |yn−b|< ε

para n en la interseccion.Ası el conjunto {n ∈ N / |xn + yn− (a + b)|< ε} contiene a{

n ∈ N / |xn−a|< ε

2

}⋂{n ∈ N / |yn−b|< ε

2

}∈H

Lımites por ultrafiltros

DemostracionVeamos que el limH es aditivo.Sea x ,y ∈ `∞. Llamamos a = limH x , b = limH y .Dado ε ∈ R+, entonces{

n ∈ N / |xn−a|< ε

2

},{

n ∈ N / |yn−b|< ε

2

}∈H

|xn + yn− (a + b)| ≤ |xn−a|+ |yn−b|< ε

para n en la interseccion.

Ası el conjunto {n ∈ N / |xn + yn− (a + b)|< ε} contiene a{n ∈ N / |xn−a|< ε

2

}⋂{n ∈ N / |yn−b|< ε

2

}∈H

Lımites por ultrafiltros

DemostracionVeamos que el limH es aditivo.Sea x ,y ∈ `∞. Llamamos a = limH x , b = limH y .Dado ε ∈ R+, entonces{

n ∈ N / |xn−a|< ε

2

},{

n ∈ N / |yn−b|< ε

2

}∈H

|xn + yn− (a + b)| ≤ |xn−a|+ |yn−b|< ε

para n en la interseccion.Ası el conjunto {n ∈ N / |xn + yn− (a + b)|< ε} contiene a{

n ∈ N / |xn−a|< ε

2

}⋂{n ∈ N / |yn−b|< ε

2

}∈H

Lımites por ultrafiltros

Teorema

H es no principal si, y solamente si, ∀{xn} sucesion convergente setiene que

lim xn = limH x

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

U denotara al conjunto de ultrafiltros de N.

Identificaremos U como un subconjunto de {0,1}P(N) como sigue:Dado U ∈ U se ve de la forma

U : P(N)−→ {0,1}

definiendo, dado A⊆ N por

U (A) :=

{1 A ∈U0 A /∈U

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

U denotara al conjunto de ultrafiltros de N.Identificaremos U como un subconjunto de {0,1}P(N) como sigue:

Dado U ∈ U se ve de la forma

U : P(N)−→ {0,1}

definiendo, dado A⊆ N por

U (A) :=

{1 A ∈U0 A /∈U

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

U denotara al conjunto de ultrafiltros de N.Identificaremos U como un subconjunto de {0,1}P(N) como sigue:Dado U ∈ U se ve de la forma

U : P(N)−→ {0,1}

definiendo, dado A⊆ N por

U (A) :=

{1 A ∈U0 A /∈U

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

U denotara al conjunto de ultrafiltros de N.Identificaremos U como un subconjunto de {0,1}P(N) como sigue:Dado U ∈ U se ve de la forma

U : P(N)−→ {0,1}

definiendo, dado A⊆ N por

U (A) :=

{1 A ∈U0 A /∈U

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

U denotara al conjunto de ultrafiltros de N.Identificaremos U como un subconjunto de {0,1}P(N) como sigue:Dado U ∈ U se ve de la forma

U : P(N)−→ {0,1}

definiendo, dado A⊆ N por

U (A) :=

{1 A ∈U0 A /∈U

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

De esta forma, decimos que f : P(N)−→ {0,1} es un ultrafiltro si,y solamente si, se satisface

f ( /0) = 0

A,B ⊆ N / f (A) = f (B) = 1⇒ f (A∩B) = 1

A⊆ B ⊆ N ∧ f (A) = 1⇒ f (B) = 1

A⊆ N⇒

f (A) = 1∨

f (N\A) = 1

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

De esta forma, decimos que f : P(N)−→ {0,1} es un ultrafiltro si,y solamente si, se satisface

f ( /0) = 0

A,B ⊆ N / f (A) = f (B) = 1⇒ f (A∩B) = 1

A⊆ B ⊆ N ∧ f (A) = 1⇒ f (B) = 1

A⊆ N⇒

f (A) = 1∨

f (N\A) = 1

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

De esta forma, decimos que f : P(N)−→ {0,1} es un ultrafiltro si,y solamente si, se satisface

f ( /0) = 0

A,B ⊆ N / f (A) = f (B) = 1⇒ f (A∩B) = 1

A⊆ B ⊆ N ∧ f (A) = 1⇒ f (B) = 1

A⊆ N⇒

f (A) = 1∨

f (N\A) = 1

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

De esta forma, decimos que f : P(N)−→ {0,1} es un ultrafiltro si,y solamente si, se satisface

f ( /0) = 0

A,B ⊆ N / f (A) = f (B) = 1⇒ f (A∩B) = 1

A⊆ B ⊆ N ∧ f (A) = 1⇒ f (B) = 1

A⊆ N⇒

f (A) = 1∨

f (N\A) = 1

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

De esta forma, decimos que f : P(N)−→ {0,1} es un ultrafiltro si,y solamente si, se satisface

f ( /0) = 0

A,B ⊆ N / f (A) = f (B) = 1⇒ f (A∩B) = 1

A⊆ B ⊆ N ∧ f (A) = 1⇒ f (B) = 1

A⊆ N

⇒

f (A) = 1∨

f (N\A) = 1

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

De esta forma, decimos que f : P(N)−→ {0,1} es un ultrafiltro si,y solamente si, se satisface

f ( /0) = 0

A,B ⊆ N / f (A) = f (B) = 1⇒ f (A∩B) = 1

A⊆ B ⊆ N ∧ f (A) = 1⇒ f (B) = 1

A⊆ N⇒

f (A) = 1∨

f (N\A) = 1

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

De esta forma, decimos que f : P(N)−→ {0,1} es un ultrafiltro si,y solamente si, se satisface

f ( /0) = 0

A,B ⊆ N / f (A) = f (B) = 1⇒ f (A∩B) = 1

A⊆ B ⊆ N ∧ f (A) = 1⇒ f (B) = 1

A⊆ N⇒

f (A) = 1∨

f (N\A) = 1

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Lema

U es un cerrado en {0,1}P(N).

En virtud del teorema de Tychonoff, U es un subconjunto cerradodentro de un compacto, luego es compacto.

Lema

El conjunto de filtros principales es denso en U.

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Lema

U es un cerrado en {0,1}P(N).

En virtud del teorema de Tychonoff, U es un subconjunto cerradodentro de un compacto, luego es compacto.

Lema

El conjunto de filtros principales es denso en U.

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Lema

U es un cerrado en {0,1}P(N).

En virtud del teorema de Tychonoff, U es un subconjunto cerradodentro de un compacto, luego es compacto.

Lema

El conjunto de filtros principales es denso en U.

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Demostracion:

Sea F ∈ U, y sea O un entorno de F .Entonces

∃ A1, . . . ,An,B1, . . . ,Bm ⊆ N de forma que

G ∈ O⇔{

Ai ∈ G ∀i ∈ {1, . . . ,n}Bj /∈ G j ∈ {1, . . . ,m}

Como F es un ultrafiltro que pertenece a O se tiene que

A1, . . . ,An,N\B1, . . . ,N\Bm ∈F

Por lo que

∃ k ∈ ∩ni=1Ai

⋂∩mj=1N\Bj

Ası Hk ∈ O.

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Demostracion: Sea F ∈ U, y sea O un entorno de F .

Entonces

∃ A1, . . . ,An,B1, . . . ,Bm ⊆ N de forma que

G ∈ O⇔{

Ai ∈ G ∀i ∈ {1, . . . ,n}Bj /∈ G j ∈ {1, . . . ,m}

Como F es un ultrafiltro que pertenece a O se tiene que

A1, . . . ,An,N\B1, . . . ,N\Bm ∈F

Por lo que

∃ k ∈ ∩ni=1Ai

⋂∩mj=1N\Bj

Ası Hk ∈ O.

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Demostracion: Sea F ∈ U, y sea O un entorno de F .Entonces

∃ A1, . . . ,An,B1, . . . ,Bm ⊆ N de forma que

G ∈ O⇔{

Ai ∈ G ∀i ∈ {1, . . . ,n}Bj /∈ G j ∈ {1, . . . ,m}

Como F es un ultrafiltro que pertenece a O se tiene que

A1, . . . ,An,N\B1, . . . ,N\Bm ∈F

Por lo que

∃ k ∈ ∩ni=1Ai

⋂∩mj=1N\Bj

Ası Hk ∈ O.

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Demostracion: Sea F ∈ U, y sea O un entorno de F .Entonces

∃ A1, . . . ,An,B1, . . . ,Bm ⊆ N de forma que

G ∈ O⇔{

Ai ∈ G ∀i ∈ {1, . . . ,n}Bj /∈ G j ∈ {1, . . . ,m}

Como F es un ultrafiltro que pertenece a O se tiene que

A1, . . . ,An,N\B1, . . . ,N\Bm ∈F

Por lo que

∃ k ∈ ∩ni=1Ai

⋂∩mj=1N\Bj

Ası Hk ∈ O.

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Demostracion: Sea F ∈ U, y sea O un entorno de F .Entonces

∃ A1, . . . ,An,B1, . . . ,Bm ⊆ N de forma que

G ∈ O⇔{

Ai ∈ G ∀i ∈ {1, . . . ,n}Bj /∈ G j ∈ {1, . . . ,m}

Como F es un ultrafiltro que pertenece a O se tiene que

A1, . . . ,An,N\B1, . . . ,N\Bm ∈F

Por lo que

∃ k ∈ ∩ni=1Ai

⋂∩mj=1N\Bj

Ası Hk ∈ O.

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Demostracion: Sea F ∈ U, y sea O un entorno de F .Entonces

∃ A1, . . . ,An,B1, . . . ,Bm ⊆ N de forma que

G ∈ O⇔{

Ai ∈ G ∀i ∈ {1, . . . ,n}Bj /∈ G j ∈ {1, . . . ,m}

Como F es un ultrafiltro que pertenece a O se tiene que

A1, . . . ,An,N\B1, . . . ,N\Bm ∈F

Por lo que

∃ k ∈ ∩ni=1Ai

⋂∩mj=1N\Bj

Ası Hk ∈ O.

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Demostracion: Sea F ∈ U, y sea O un entorno de F .Entonces

∃ A1, . . . ,An,B1, . . . ,Bm ⊆ N de forma que

G ∈ O⇔{

Ai ∈ G ∀i ∈ {1, . . . ,n}Bj /∈ G j ∈ {1, . . . ,m}

Como F es un ultrafiltro que pertenece a O se tiene que

A1, . . . ,An,N\B1, . . . ,N\Bm ∈F

Por lo que

∃ k ∈ ∩ni=1Ai

⋂∩mj=1N\Bj

Ası Hk ∈ O.

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Demostracion: Sea F ∈ U, y sea O un entorno de F .Entonces

∃ A1, . . . ,An,B1, . . . ,Bm ⊆ N de forma que

G ∈ O⇔{

Ai ∈ G ∀i ∈ {1, . . . ,n}Bj /∈ G j ∈ {1, . . . ,m}

Como F es un ultrafiltro que pertenece a O se tiene que

A1, . . . ,An,N\B1, . . . ,N\Bm ∈F

Por lo que

∃ k ∈ ∩ni=1Ai

⋂∩mj=1N\Bj

Ası Hk ∈ O.

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Definimos

L := {L ∈ `∗∞ / L(x) ∈ x(N) ∀x ∈ `∞}

Definimos la siguiente aplicacion

Φ : U −→ LU 7−→ Φ(U ) : `∞ −→ R

Φ(U )(x) 7−→ limU x

Φ−1 : L −→ UL 7−→ {A⊆ N / L(χA) = 1}

Fijamos L ∈L .

Φ(Φ−1(L)) = lim{A⊆N / L(χA)=1}

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Definimos

L := {L ∈ `∗∞ / L(x) ∈ x(N) ∀x ∈ `∞}

Definimos la siguiente aplicacion

Φ : U −→ LU 7−→ Φ(U ) : `∞ −→ R

Φ(U )(x) 7−→ limU x

Φ−1 : L −→ UL 7−→ {A⊆ N / L(χA) = 1}

Fijamos L ∈L .

Φ(Φ−1(L)) = lim{A⊆N / L(χA)=1}

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Definimos

L := {L ∈ `∗∞ / L(x) ∈ x(N) ∀x ∈ `∞}

Definimos la siguiente aplicacion

Φ : U −→ LU 7−→ Φ(U ) : `∞ −→ R

Φ(U )(x) 7−→ limU x

Φ−1 : L −→ UL 7−→ {A⊆ N / L(χA) = 1}

Fijamos L ∈L .

Φ(Φ−1(L)) = lim{A⊆N / L(χA)=1}

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Definimos

L := {L ∈ `∗∞ / L(x) ∈ x(N) ∀x ∈ `∞}

Definimos la siguiente aplicacion

Φ : U −→ LU 7−→ Φ(U ) : `∞ −→ R

Φ(U )(x) 7−→ limU x

Φ−1 : L −→ UL 7−→ {A⊆ N / L(χA) = 1}

Fijamos L ∈L .

Φ(Φ−1(L)) = lim{A⊆N / L(χA)=1}

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Sea A⊆ N.

Veamos que coinciden sobre las funcionescaracterısticas.

1 L(χA) = 1⇒ A ∈ {B ⊆ N / L(χB) = 1}A⊆ {n ∈ N / |χA(n)−1|< ε}, ∀ε ∈ R+

⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χA = 1

2 L(χA) = 0⇒ L(χN\A) = 1⇒⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χN\A = 1como {1}= χN = χA + χN\A por linealidadlım{A⊆N / L(χA)=1} χA = 0

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Sea A⊆ N.Veamos que coinciden sobre las funcionescaracterısticas.

1 L(χA) = 1

⇒ A ∈ {B ⊆ N / L(χB) = 1}A⊆ {n ∈ N / |χA(n)−1|< ε}, ∀ε ∈ R+

⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χA = 1

2 L(χA) = 0⇒ L(χN\A) = 1⇒⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χN\A = 1como {1}= χN = χA + χN\A por linealidadlım{A⊆N / L(χA)=1} χA = 0

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Sea A⊆ N.Veamos que coinciden sobre las funcionescaracterısticas.

1 L(χA) = 1⇒ A ∈ {B ⊆ N / L(χB) = 1}A⊆ {n ∈ N / |χA(n)−1|< ε}, ∀ε ∈ R+

⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χA = 1

2 L(χA) = 0⇒ L(χN\A) = 1⇒⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χN\A = 1como {1}= χN = χA + χN\A por linealidadlım{A⊆N / L(χA)=1} χA = 0

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Sea A⊆ N.Veamos que coinciden sobre las funcionescaracterısticas.

1 L(χA) = 1⇒ A ∈ {B ⊆ N / L(χB) = 1}A⊆ {n ∈ N / |χA(n)−1|< ε}, ∀ε ∈ R+

⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χA = 1

2 L(χA) = 0⇒ L(χN\A) = 1⇒⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χN\A = 1como {1}= χN = χA + χN\A por linealidadlım{A⊆N / L(χA)=1} χA = 0

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Sea A⊆ N.Veamos que coinciden sobre las funcionescaracterısticas.

1 L(χA) = 1⇒ A ∈ {B ⊆ N / L(χB) = 1}A⊆ {n ∈ N / |χA(n)−1|< ε}, ∀ε ∈ R+

⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χA = 1

2 L(χA) = 0

⇒ L(χN\A) = 1⇒⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χN\A = 1como {1}= χN = χA + χN\A por linealidadlım{A⊆N / L(χA)=1} χA = 0

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Sea A⊆ N.Veamos que coinciden sobre las funcionescaracterısticas.

1 L(χA) = 1⇒ A ∈ {B ⊆ N / L(χB) = 1}A⊆ {n ∈ N / |χA(n)−1|< ε}, ∀ε ∈ R+

⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χA = 1

2 L(χA) = 0⇒ L(χN\A) = 1

⇒⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χN\A = 1como {1}= χN = χA + χN\A por linealidadlım{A⊆N / L(χA)=1} χA = 0

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Sea A⊆ N.Veamos que coinciden sobre las funcionescaracterısticas.

1 L(χA) = 1⇒ A ∈ {B ⊆ N / L(χB) = 1}A⊆ {n ∈ N / |χA(n)−1|< ε}, ∀ε ∈ R+

⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χA = 1

2 L(χA) = 0⇒ L(χN\A) = 1⇒⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χN\A = 1

como {1}= χN = χA + χN\A por linealidadlım{A⊆N / L(χA)=1} χA = 0

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Sea A⊆ N.Veamos que coinciden sobre las funcionescaracterısticas.

1 L(χA) = 1⇒ A ∈ {B ⊆ N / L(χB) = 1}A⊆ {n ∈ N / |χA(n)−1|< ε}, ∀ε ∈ R+

⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χA = 1

2 L(χA) = 0⇒ L(χN\A) = 1⇒⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χN\A = 1como {1}= χN = χA + χN\A por linealidadlım{A⊆N / L(χA)=1} χA = 0

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Luego {χA / A⊆ N} ⊆ {x ∈ `∞ / L(x) = lim{A⊆N / L(χA)=1} x}

Usando

Teorema

El conjunto de las funciones caracterısticas generan un espaciodenso en `∞.

por linealidad y continuidad del lımite por ultrafiltro

L(x) = Φ(Φ−1(L(x))) ∀x ∈ `∞

Obteniendose la biyectividad.Es continua considerandose en L la topologıa debil∗.Como es unaaplicacion continua de un compacto en un Hausdorff⇒ Φ es unhomeomorfismo.

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Luego {χA / A⊆ N} ⊆ {x ∈ `∞ / L(x) = lim{A⊆N / L(χA)=1} x}Usando

Teorema

El conjunto de las funciones caracterısticas generan un espaciodenso en `∞.

por linealidad y continuidad del lımite por ultrafiltro

L(x) = Φ(Φ−1(L(x))) ∀x ∈ `∞

Obteniendose la biyectividad.Es continua considerandose en L la topologıa debil∗.Como es unaaplicacion continua de un compacto en un Hausdorff⇒ Φ es unhomeomorfismo.

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Luego {χA / A⊆ N} ⊆ {x ∈ `∞ / L(x) = lim{A⊆N / L(χA)=1} x}Usando

Teorema

El conjunto de las funciones caracterısticas generan un espaciodenso en `∞.

por linealidad y continuidad del lımite por ultrafiltro

L(x) = Φ(Φ−1(L(x))) ∀x ∈ `∞

Obteniendose la biyectividad.Es continua considerandose en L la topologıa debil∗.Como es unaaplicacion continua de un compacto en un Hausdorff⇒ Φ es unhomeomorfismo.

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Luego {χA / A⊆ N} ⊆ {x ∈ `∞ / L(x) = lim{A⊆N / L(χA)=1} x}Usando

Teorema

El conjunto de las funciones caracterısticas generan un espaciodenso en `∞.

por linealidad y continuidad del lımite por ultrafiltro

L(x) = Φ(Φ−1(L(x))) ∀x ∈ `∞

Obteniendose la biyectividad.Es continua considerandose en L la topologıa debil∗.Como es unaaplicacion continua de un compacto en un Hausdorff⇒ Φ es unhomeomorfismo.

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Luego {χA / A⊆ N} ⊆ {x ∈ `∞ / L(x) = lim{A⊆N / L(χA)=1} x}Usando

Teorema

El conjunto de las funciones caracterısticas generan un espaciodenso en `∞.

por linealidad y continuidad del lımite por ultrafiltro

L(x) = Φ(Φ−1(L(x))) ∀x ∈ `∞

Obteniendose la biyectividad.Es continua considerandose en L la topologıa debil∗.

Como es unaaplicacion continua de un compacto en un Hausdorff⇒ Φ es unhomeomorfismo.

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Luego {χA / A⊆ N} ⊆ {x ∈ `∞ / L(x) = lim{A⊆N / L(χA)=1} x}Usando

Teorema

El conjunto de las funciones caracterısticas generan un espaciodenso en `∞.

por linealidad y continuidad del lımite por ultrafiltro

L(x) = Φ(Φ−1(L(x))) ∀x ∈ `∞

Obteniendose la biyectividad.Es continua considerandose en L la topologıa debil∗.Como es unaaplicacion continua de un compacto en un Hausdorff⇒ Φ es unhomeomorfismo.

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Nota

{en / n ∈N}= {Φ(Hn) / n ∈N} y por lo anterior, es denso en L .donde en(x) = xn ∀x ∈ `∞

Definicion

Dado X un espacio topologico, se define la compactificacion deStone-Cech de X como (β X ,δ ) con la propiedad adicional: paratoda funcion f : X −→ R continua y acotada se extiende af β : β X −→ R satisfaciendo

1 f β ◦δ = f

2 f β es continua.

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Nota

{en / n ∈N}= {Φ(Hn) / n ∈N} y por lo anterior, es denso en L .donde en(x) = xn ∀x ∈ `∞

Definicion

Dado X un espacio topologico, se define la compactificacion deStone-Cech de X como (β X ,δ ) con la propiedad adicional: paratoda funcion f : X −→ R continua y acotada se extiende af β : β X −→ R satisfaciendo

1 f β ◦δ = f

2 f β es continua.

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Teorema

βN = L

Demostracion: Sea δ : N−→L dada por

δ (n) = en n ∈ N

Continua inyectiva y con imagen densa. Veamos que es lacompactificacion de Stone-Cech.

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Teorema

βN = L

Demostracion:

Sea δ : N−→L dada por

δ (n) = en n ∈ N

Continua inyectiva y con imagen densa. Veamos que es lacompactificacion de Stone-Cech.

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Teorema

βN = L

Demostracion: Sea δ : N−→L dada por

δ (n) = en n ∈ N

Continua inyectiva y con imagen densa. Veamos que es lacompactificacion de Stone-Cech.

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Teorema

βN = L

Demostracion: Sea δ : N−→L dada por

δ (n) = en n ∈ N

Continua inyectiva y con imagen densa. Veamos que es lacompactificacion de Stone-Cech.

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Sea f : N−→ R continua y acotada (f ∈ `∞).

Entonces

f β (L) = L(f ) ∀L ∈L

1 f β ◦δ = f

2 f β es continua.

Por la convergencia de la topologıa debil∗ se tiene que f β escontinua.Entonces se tiene la continuidad de f β .

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Sea f : N−→ R continua y acotada (f ∈ `∞).Entonces

f β (L) = L(f ) ∀L ∈L

1 f β ◦δ = f

2 f β es continua.

Por la convergencia de la topologıa debil∗ se tiene que f β escontinua.Entonces se tiene la continuidad de f β .

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Sea f : N−→ R continua y acotada (f ∈ `∞).Entonces

f β (L) = L(f ) ∀L ∈L

1 f β ◦δ = f

2 f β es continua.

Por la convergencia de la topologıa debil∗ se tiene que f β escontinua.Entonces se tiene la continuidad de f β .

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Sea f : N−→ R continua y acotada (f ∈ `∞).Entonces

f β (L) = L(f ) ∀L ∈L

1 f β ◦δ = f

2 f β es continua.

Por la convergencia de la topologıa debil∗ se tiene que f β escontinua.Entonces se tiene la continuidad de f β .

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Sea f : N−→ R continua y acotada (f ∈ `∞).Entonces

f β (L) = L(f ) ∀L ∈L

1 f β ◦δ = f

2 f β es continua.

Por la convergencia de la topologıa debil∗ se tiene que f β escontinua.

Entonces se tiene la continuidad de f β .

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

Sea f : N−→ R continua y acotada (f ∈ `∞).Entonces

f β (L) = L(f ) ∀L ∈L

1 f β ◦δ = f

2 f β es continua.

Por la convergencia de la topologıa debil∗ se tiene que f β escontinua.Entonces se tiene la continuidad de f β .

Aplicaciones

Definicion

Sea E es un espacio de Banach.Se dice separablemente inyectivo si para todo espacio de Banachseparable X y cada subespacio Y ⊆ X , todo operador T : Y −→ Ese extiende a un operador T : X −→ E .Si se satisface ademas que ‖T‖ ≤ λ · ‖T‖ se dice que esλ -separablemente inyectivo.

Aplicaciones

Definicion

Sea E es un espacio de Banach.Se dice separablemente inyectivo si para todo espacio de Banachseparable X y cada subespacio Y ⊆ X , todo operador T : Y −→ Ese extiende a un operador T : X −→ E .Si se satisface ademas que ‖T‖ ≤ λ · ‖T‖ se dice que esλ -separablemente inyectivo.

Aplicaciones

Definicion

Sea E es un espacio de Banach.Se dice universalmente separablemente inyectivo si para todoespacio de Banach X y cada subespacio separable Y ⊆ X , todooperador T : Y −→ E se extiende a un operador T : X −→ E .Si se satisface ademas que ‖T‖ ≤ λ · ‖T‖ se dice que esuniversalmente λ−separablemente inyectivo.

Aplicaciones

Teorema

Bajo la hipotesis del continuo todo espacio 1-separablementeinyectivo es universalmente 1-separablemente inyectivo.

Demostracion:

E espacio 1-separablemente inyectivo. X un espacio de Banachcualquiera, Y ⊆ X subespacio separable.T : Y −→ E .Y separable ⇒ ∃H : Y −→ `∞ isometrıa.H = (Hn) con Hn : Y −→ R

Aplicaciones

Teorema

Bajo la hipotesis del continuo todo espacio 1-separablementeinyectivo es universalmente 1-separablemente inyectivo.

Demostracion:

E espacio 1-separablemente inyectivo. X un espacio de Banachcualquiera, Y ⊆ X subespacio separable.

T : Y −→ E .Y separable ⇒ ∃H : Y −→ `∞ isometrıa.H = (Hn) con Hn : Y −→ R

Aplicaciones

Teorema

Bajo la hipotesis del continuo todo espacio 1-separablementeinyectivo es universalmente 1-separablemente inyectivo.

Demostracion:

E espacio 1-separablemente inyectivo. X un espacio de Banachcualquiera, Y ⊆ X subespacio separable.T : Y −→ E .

Y separable ⇒ ∃H : Y −→ `∞ isometrıa.H = (Hn) con Hn : Y −→ R

Aplicaciones

Teorema

Bajo la hipotesis del continuo todo espacio 1-separablementeinyectivo es universalmente 1-separablemente inyectivo.

Demostracion:

E espacio 1-separablemente inyectivo. X un espacio de Banachcualquiera, Y ⊆ X subespacio separable.T : Y −→ E .Y separable ⇒ ∃H : Y −→ `∞ isometrıa.

H = (Hn) con Hn : Y −→ R

Aplicaciones

Teorema

Bajo la hipotesis del continuo todo espacio 1-separablementeinyectivo es universalmente 1-separablemente inyectivo.

Demostracion:

E espacio 1-separablemente inyectivo. X un espacio de Banachcualquiera, Y ⊆ X subespacio separable.T : Y −→ E .Y separable ⇒ ∃H : Y −→ `∞ isometrıa.H = (Hn) con Hn : Y −→ R

Aplicaciones

Por el teorema de Hahn-Banach, extendemos Hn a X∼

Hn : X −→ R lineal, continua y ‖∼

Hn ‖= ‖Hn‖

∼H = (

∼Hn)

|∼

Hn(x)| ≤ ‖∼

Hn ‖‖x‖= ‖Hn‖‖x‖ ≤ ‖H‖‖x‖=⇒

∼Hn ∈ `∞ =⇒

∼H ∈ `∞

Aplicaciones

Por el teorema de Hahn-Banach, extendemos Hn a X∼

Hn : X −→ R lineal, continua y ‖∼

Hn ‖= ‖Hn‖∼H = (

∼Hn)

|∼

Hn(x)| ≤ ‖∼

Hn ‖‖x‖= ‖Hn‖‖x‖ ≤ ‖H‖‖x‖

=⇒∼

Hn ∈ `∞ =⇒∼H ∈ `∞

Aplicaciones

Por el teorema de Hahn-Banach, extendemos Hn a X∼

Hn : X −→ R lineal, continua y ‖∼

Hn ‖= ‖Hn‖∼H = (

∼Hn)

|∼

Hn(x)| ≤ ‖∼

Hn ‖‖x‖= ‖Hn‖‖x‖ ≤ ‖H‖‖x‖=⇒

∼Hn ∈ `∞ =⇒

∼H ∈ `∞

Aplicaciones

∃Y0 = Y ⊆ Y1 ⊆ Y2 ⊆ . . .⊆⋃α

Yα = `∞

∃∼T : `∞ −→ E∼T x = Tα x

=⇒‖∼T ‖= ‖Tα‖= ‖T‖

T =∼H ◦

∼T =⇒‖T‖= ‖T‖

Entonces E es universalmente-1-separablemente inyectivo.

Aplicaciones

∃Y0 = Y ⊆ Y1 ⊆ Y2 ⊆ . . .⊆⋃α

Yα = `∞

∃∼T : `∞ −→ E∼T x = Tα x

=⇒‖∼T ‖= ‖Tα‖= ‖T‖

T =∼H ◦

∼T =⇒‖T‖= ‖T‖

Entonces E es universalmente-1-separablemente inyectivo.

Aplicaciones

∃Y0 = Y ⊆ Y1 ⊆ Y2 ⊆ . . .⊆⋃α

Yα = `∞

∃∼T : `∞ −→ E∼T x = Tα x

=⇒‖∼T ‖= ‖Tα‖= ‖T‖

T =∼H ◦

∼T =⇒‖T‖= ‖T‖

Entonces E es universalmente-1-separablemente inyectivo.

Aplicaciones

∃Y0 = Y ⊆ Y1 ⊆ Y2 ⊆ . . .⊆⋃α

Yα = `∞

∃∼T : `∞ −→ E∼T x = Tα x

=⇒‖∼T ‖= ‖Tα‖= ‖T‖

T =∼H ◦

∼T =⇒‖T‖= ‖T‖

Entonces E es universalmente-1-separablemente inyectivo.

Aplicaciones

∃Y0 = Y ⊆ Y1 ⊆ Y2 ⊆ . . .⊆⋃α

Yα = `∞

∃∼T : `∞ −→ E∼T x = Tα x

=⇒‖∼T ‖= ‖Tα‖= ‖T‖

T =∼H ◦

∼T =⇒‖T‖= ‖T‖

Entonces E es universalmente-1-separablemente inyectivo.