Límites en Espacios de Banach · L mites en Espacios de Banach Miquel Cueca Ten, UV ... Esquema de...

Lımites en Espacios de Banach

Miquel Cueca Ten, UVAlba Gomez Pachon, USJesus Ocariz Gallego, UM

Mercedes Prado Rodrıguez, USAbraham Rueda Zoca, UGR

III Escuela-Taller y IX Encuentro de Analisis Funcional y Aplicaciones.Abril 9-13, Zafra

Tutor: Jesus M. F. Castillo

Esquema de la Charla

Filtros y ultrafiltros

Lımites por ultrafiltros

Identificacion del espacio de ultrafiltros

Aplicaciones

Filtros y Ultrafiltros

Definicion

Un filtro de un conjunto X no vacıo es un subconjunto U deP(X ) que verifica:

/0 6∈U

A ∈U y A⊆ B ⊆ X ⇒ B ∈U

A,B ∈U ⇒ A∩B ∈U

Ejemplo

Sea X = {1,2,3}, un filtro del conjunto X es:

U = {{1},{1,2},{1,2,3}}

Definicion

/0 6∈U

A ∈U y A⊆ B ⊆ X ⇒ B ∈U

Ejemplo

U = {{1},{1,2},{1,2,3}}

Definicion

/0 6∈U

A ∈U y A⊆ B ⊆ X ⇒ B ∈U

Ejemplo

U = {{1},{1,2},{1,2,3}}

Definicion

Sea U un filtro de X . Se dice que U es un ultrafiltro si esmaximal respecto a la relacion de orden inclusion ⊆

Proposicion

Sea U un filtro de X . U es un ultrafiltro si y solo si ∀A⊆ X , obien A ∈U , o bien X rA ∈U

Definicion

Sea U un filtro de X . Se dice que U es un ultrafiltro si esmaximal respecto a la relacion de orden inclusion ⊆

Proposicion

Sea U un filtro de X . U es un ultrafiltro si y solo si ∀A⊆ X , obien A ∈U , o bien X rA ∈U

Suponemos X rA /∈U .Definimos V = {Y ⊆ X : ∃Z ∈U ,A

⋂Z ⊆ Y } y veamos que es un

filtro:

1 /0 /∈ V

2 Si Y1,Y2 ∈ V , entonces ∃Z1,Z2 ∈U tal que A⋂

Z1 ⊆ Y1 yA⋂

Z2 ⊆ Y2. Luego al ser U filtro, Z1⋂

Z2 ∈U yA⋂

(Z1⋂

Z2)⊆ Y1⋂

Y2. Por tanto, Y1⋂

Y2 ∈ V

3 Si Y1 ∈ V tal que Y1 ⊆ Y2, entonces A⋂

Z1 ⊆ Y1 ⊆ Y2. Por lotanto, Y2 ∈ V

⇒Suponemos X rA /∈U .

Definimos V = {Y ⊆ X : ∃Z ∈U ,A⋂

Z ⊆ Y } y veamos que es unfiltro:

1 /0 /∈ V

Z1 ⊆ Y1 yA⋂

Z2 ∈U yA⋂

(Z1⋂

Z2)⊆ Y1⋂

Y2 ∈ V

⇒Suponemos X rA /∈U .Definimos V = {Y ⊆ X : ∃Z ∈U ,A

filtro:

1 /0 /∈ V

Z1 ⊆ Y1 yA⋂

Z2 ∈U yA⋂

(Z1⋂

Z2)⊆ Y1⋂

Y2 ∈ V

filtro:

1 /0 /∈ V

Z1 ⊆ Y1 yA⋂

Z2 ∈U yA⋂

(Z1⋂

Z2)⊆ Y1⋂

Y2 ∈ V

filtro:

1 /0 /∈ V

Z1 ⊆ Y1 yA⋂

Z2 ∈U yA⋂

(Z1⋂

Z2)⊆ Y1⋂

Y2 ∈ V

filtro:

1 /0 /∈ V

Z1 ⊆ Y1 yA⋂

Z2 ∈U yA⋂

(Z1⋂

Z2)⊆ Y1⋂

Y2 ∈ V

Por construccion U ⊆ V y como U es maximal, solo tenemos dosposibilidades:

V = U : A⋂

X = A, entonces A ∈ V . Por tanto A ∈U

V = P(X ) entonces /0 ∈ V .

⇐Por hipotesis ∀ A⊆ X , A ∈U o X rA ∈U .Supongamos que U no es maximal, entonces ∃V ! U , un filtrotal que ∃B ∈ V y B /∈U .Por tanto, por hipotesis, X rB ∈U ası X rB ∈U ⊆ Vası (X rB)

⋂B = /0 ∈ V

V = U : A⋂

⋂B = /0 ∈ V

V = U : A⋂

Por hipotesis ∀ A⊆ X , A ∈U o X rA ∈U .Supongamos que U no es maximal, entonces ∃V ! U , un filtrotal que ∃B ∈ V y B /∈U .Por tanto, por hipotesis, X rB ∈U ası X rB ∈U ⊆ Vası (X rB)

⋂B = /0 ∈ V

V = U : A⋂

⇐Por hipotesis ∀ A⊆ X , A ∈U o X rA ∈U .

Supongamos que U no es maximal, entonces ∃V ! U , un filtrotal que ∃B ∈ V y B /∈U .Por tanto, por hipotesis, X rB ∈U ası X rB ∈U ⊆ Vası (X rB)

⋂B = /0 ∈ V

V = U : A⋂

⇐Por hipotesis ∀ A⊆ X , A ∈U o X rA ∈U .Supongamos que U no es maximal, entonces ∃V ! U , un filtrotal que ∃B ∈ V y B /∈U .

Por tanto, por hipotesis, X rB ∈U ası X rB ∈U ⊆ Vası (X rB)

⋂B = /0 ∈ V

V = U : A⋂

⋂B = /0 ∈ V

V = U : A⋂

⋂B = /0 ∈ V

Definicion

Se dice que un ultrafiltro Ha es principal si ∃a ∈ X tal que es de laforma

Ha = {Y ⊆ X |a ∈ Y }

En otro caso se dice que es no principal.

Teorema

Sea X un conjunto infinito, entonces existe un ultrafiltro noprincipal

Definicion

Se dice que un ultrafiltro Ha es principal si ∃a ∈ X tal que es de laforma

Ha = {Y ⊆ X |a ∈ Y }

En otro caso se dice que es no principal.

Teorema

Sea X un conjunto infinito, entonces existe un ultrafiltro noprincipal

Demostracion

Definimos F = {A⊆ X |Card(X rA) < ∞} y veamos que es unfiltro:

Sea A = /0, X r /0 = X luego Card(X r /0) = ∞. Entonces,/0 /∈F .

Sean A,B ∈F , entonces Card(X rA) < ∞ yCard(X rB) < ∞.Luego, por las Leyes de De Morgan:Card((X rA)

⋃(X rB)) = Card(X r (A

⋂B)) es finito. Por

tanto, A⋂

B ∈F .

Sea A ∈F , A⊆ B ⊂ X . EntoncesCard(X rB)≤ Card(X rA) < ∞. Por tanto, B ∈F .

DemostracionDefinimos F = {A⊆ X |Card(X rA) < ∞} y veamos que es unfiltro:

tanto, A⋂

B ∈F .

tanto, A⋂

B ∈F .

tanto, A⋂

B ∈F .

tanto, A⋂

B ∈F .

Por el Lema de Zorn, ∃ un ultrafiltro U que extiende el filtro F .

Veamos ahora que no es principal.

Supondremos lo contrario, ası, ∃a ∈ X tal que ∀Y ⊆ X : a ∈ Y , loque implica que Y ∈U .

En particular, tomando Y = {a}, obtenemos que Card(X r{a}) esinfinito.

Definicion (Lımite por ultrafiltro)

Tomamos I un conjunto, H un ultrafiltro en I . Sea X un espaciotopologico y f : I −→ X una aplicacion.Definimos

limH f = a ∈ X

si existe a ∈ X de forma que, para todo U entorno de a se tiene

{i ∈ I / f (i) ∈ U} ∈H

Teorema

En las hipotesis de la definicion anterior, si X es compacto⇒∃ limH f

Demostracion:Supongamos por reduccion al absurdo que 6 ∃ limH f . Entonces,para cada a ∈ X ∃ Ua entorno de a tal que

{i ∈ I / f (i) ∈ Ua} /∈H

Por la compacidad de X existen a1, . . . ,ak ∈ X satisfaciendo

k⋃m=1

Uam = X ⇒k⋃

{i ∈ I / f (i) ∈ Uam}= I /∈H

lo cual es una contradiccion.

Teorema

{i ∈ I / f (i) ∈ Ua} /∈H

k⋃m=1

Uam = X ⇒k⋃

{i ∈ I / f (i) ∈ Uam}= I /∈H

Teorema

{i ∈ I / f (i) ∈ Ua} /∈H

k⋃m=1

Uam = X ⇒k⋃

{i ∈ I / f (i) ∈ Uam}= I /∈H

Proposicion

En la hipotesis de la definicion de lımite por ultrafiltro, si X esHausdorff, entonces limH f , si existe, es unico.

Demostracion:Supongamos que a,b son lımites por el ultrafiltro de f . Como X esHausdorff ∃ U,V entornos de a y b respectivamente con

U ∩V = /0

Proposicion

En la hipotesis de la definicion de lımite por ultrafiltro, si X esHausdorff, entonces limH f , si existe, es unico.

Demostracion:Supongamos que a,b son lımites por el ultrafiltro de f . Como X esHausdorff ∃ U,V entornos de a y b respectivamente con

U ∩V = /0

Por definicion de lımite

{i ∈ I / f (i) ∈ U},{i ∈ I / f (i) ∈ V } ∈H

Por ser filtro, existe algun elemento en la interseccion, digamos j .

Entonces

f (j) ∈ U ∩V

lo que contradice la eleccion de U y V .

Por definicion de lımite

{i ∈ I / f (i) ∈ U},{i ∈ I / f (i) ∈ V } ∈H

Por ser filtro, existe algun elemento en la interseccion, digamos j .Entonces

f (j) ∈ U ∩V

lo que contradice la eleccion de U y V .

En el caso particular de `∞, si tenemos f ∈ `∞, entonces

f (N)⊆ [−‖f ‖∞,‖f ‖∞]

por lo que tiene lımite unico fijado un ultrafiltro en N.

Proposicion

Sea H un ultrafiltro en N.

1 La aplicacion limH : `∞ −→ R es lineal y continua.

2 Dado x ∈ `∞ se tiene lımH x ∈ {xn / n ∈ N}

En el caso particular de `∞, si tenemos f ∈ `∞, entonces

f (N)⊆ [−‖f ‖∞,‖f ‖∞]

por lo que tiene lımite unico fijado un ultrafiltro en N.

Proposicion

Sea H un ultrafiltro en N.

1 La aplicacion limH : `∞ −→ R es lineal y continua.

2 Dado x ∈ `∞ se tiene lımH x ∈ {xn / n ∈ N}

DemostracionVeamos que el limH es aditivo.Sea x ,y ∈ `∞. Llamamos a = limH x , b = limH y .

Dado ε ∈ R+, entonces{n ∈ N / |xn−a|< ε

n ∈ N / |yn−b|< ε

|xn + yn− (a + b)| ≤ |xn−a|+ |yn−b|< ε

para n en la interseccion.Ası el conjunto {n ∈ N / |xn + yn− (a + b)|< ε} contiene a{

n ∈ N / |xn−a|< ε

}⋂{n ∈ N / |yn−b|< ε

DemostracionVeamos que el limH es aditivo.Sea x ,y ∈ `∞. Llamamos a = limH x , b = limH y .Dado ε ∈ R+, entonces{

n ∈ N / |xn−a|< ε

n ∈ N / |yn−b|< ε

|xn + yn− (a + b)| ≤ |xn−a|+ |yn−b|< ε

para n en la interseccion.

Ası el conjunto {n ∈ N / |xn + yn− (a + b)|< ε} contiene a{n ∈ N / |xn−a|< ε

}⋂{n ∈ N / |yn−b|< ε

DemostracionVeamos que el limH es aditivo.Sea x ,y ∈ `∞. Llamamos a = limH x , b = limH y .Dado ε ∈ R+, entonces{

n ∈ N / |xn−a|< ε

n ∈ N / |yn−b|< ε

|xn + yn− (a + b)| ≤ |xn−a|+ |yn−b|< ε

para n en la interseccion.Ası el conjunto {n ∈ N / |xn + yn− (a + b)|< ε} contiene a{

n ∈ N / |xn−a|< ε

}⋂{n ∈ N / |yn−b|< ε

Teorema

H es no principal si, y solamente si, ∀{xn} sucesion convergente setiene que

lim xn = limH x

Identificacion del Espacio de Ultrafiltros

U denotara al conjunto de ultrafiltros de N.

Identificaremos U como un subconjunto de {0,1}P(N) como sigue:Dado U ∈ U se ve de la forma

U : P(N)−→ {0,1}

definiendo, dado A⊆ N por

U (A) :=

{1 A ∈U0 A /∈U

U denotara al conjunto de ultrafiltros de N.Identificaremos U como un subconjunto de {0,1}P(N) como sigue:

Dado U ∈ U se ve de la forma

U : P(N)−→ {0,1}

U (A) :=

{1 A ∈U0 A /∈U

U denotara al conjunto de ultrafiltros de N.Identificaremos U como un subconjunto de {0,1}P(N) como sigue:Dado U ∈ U se ve de la forma

U : P(N)−→ {0,1}

U (A) :=

{1 A ∈U0 A /∈U

U : P(N)−→ {0,1}

U (A) :=

{1 A ∈U0 A /∈U

U : P(N)−→ {0,1}

U (A) :=

{1 A ∈U0 A /∈U

De esta forma, decimos que f : P(N)−→ {0,1} es un ultrafiltro si,y solamente si, se satisface

f ( /0) = 0

A,B ⊆ N / f (A) = f (B) = 1⇒ f (A∩B) = 1

A⊆ B ⊆ N ∧ f (A) = 1⇒ f (B) = 1

A⊆ N⇒

f (A) = 1∨

f (N\A) = 1

f ( /0) = 0

A,B ⊆ N / f (A) = f (B) = 1⇒ f (A∩B) = 1

A⊆ B ⊆ N ∧ f (A) = 1⇒ f (B) = 1

A⊆ N⇒

f (A) = 1∨

f (N\A) = 1

f ( /0) = 0

A,B ⊆ N / f (A) = f (B) = 1⇒ f (A∩B) = 1

A⊆ B ⊆ N ∧ f (A) = 1⇒ f (B) = 1

A⊆ N⇒

f (A) = 1∨

f (N\A) = 1

f ( /0) = 0

A,B ⊆ N / f (A) = f (B) = 1⇒ f (A∩B) = 1

A⊆ B ⊆ N ∧ f (A) = 1⇒ f (B) = 1

A⊆ N⇒

f (A) = 1∨

f (N\A) = 1

f ( /0) = 0

A,B ⊆ N / f (A) = f (B) = 1⇒ f (A∩B) = 1

A⊆ B ⊆ N ∧ f (A) = 1⇒ f (B) = 1

A⊆ N

f (A) = 1∨

f (N\A) = 1

f ( /0) = 0

A,B ⊆ N / f (A) = f (B) = 1⇒ f (A∩B) = 1

A⊆ B ⊆ N ∧ f (A) = 1⇒ f (B) = 1

A⊆ N⇒

f (A) = 1∨

f (N\A) = 1

f ( /0) = 0

A,B ⊆ N / f (A) = f (B) = 1⇒ f (A∩B) = 1

A⊆ B ⊆ N ∧ f (A) = 1⇒ f (B) = 1

A⊆ N⇒

f (A) = 1∨

f (N\A) = 1

U es un cerrado en {0,1}P(N).

En virtud del teorema de Tychonoff, U es un subconjunto cerradodentro de un compacto, luego es compacto.

El conjunto de filtros principales es denso en U.

Demostracion:

Sea F ∈ U, y sea O un entorno de F .Entonces

∃ A1, . . . ,An,B1, . . . ,Bm ⊆ N de forma que

G ∈ O⇔{

Ai ∈ G ∀i ∈ {1, . . . ,n}Bj /∈ G j ∈ {1, . . . ,m}

Como F es un ultrafiltro que pertenece a O se tiene que

A1, . . . ,An,N\B1, . . . ,N\Bm ∈F

Por lo que

∃ k ∈ ∩ni=1Ai

⋂∩mj=1N\Bj

Ası Hk ∈ O.

Demostracion: Sea F ∈ U, y sea O un entorno de F .

Entonces

G ∈ O⇔{

Ai ∈ G ∀i ∈ {1, . . . ,n}Bj /∈ G j ∈ {1, . . . ,m}

A1, . . . ,An,N\B1, . . . ,N\Bm ∈F

Por lo que

∃ k ∈ ∩ni=1Ai

⋂∩mj=1N\Bj

Ası Hk ∈ O.

Demostracion: Sea F ∈ U, y sea O un entorno de F .Entonces

G ∈ O⇔{

Ai ∈ G ∀i ∈ {1, . . . ,n}Bj /∈ G j ∈ {1, . . . ,m}

A1, . . . ,An,N\B1, . . . ,N\Bm ∈F

Por lo que

∃ k ∈ ∩ni=1Ai

⋂∩mj=1N\Bj

Ası Hk ∈ O.

G ∈ O⇔{

Ai ∈ G ∀i ∈ {1, . . . ,n}Bj /∈ G j ∈ {1, . . . ,m}

A1, . . . ,An,N\B1, . . . ,N\Bm ∈F

Por lo que

∃ k ∈ ∩ni=1Ai

⋂∩mj=1N\Bj

Ası Hk ∈ O.

G ∈ O⇔{

Ai ∈ G ∀i ∈ {1, . . . ,n}Bj /∈ G j ∈ {1, . . . ,m}

A1, . . . ,An,N\B1, . . . ,N\Bm ∈F

Por lo que

∃ k ∈ ∩ni=1Ai

⋂∩mj=1N\Bj

Ası Hk ∈ O.

G ∈ O⇔{

Ai ∈ G ∀i ∈ {1, . . . ,n}Bj /∈ G j ∈ {1, . . . ,m}

A1, . . . ,An,N\B1, . . . ,N\Bm ∈F

Por lo que

∃ k ∈ ∩ni=1Ai

⋂∩mj=1N\Bj

Ası Hk ∈ O.

G ∈ O⇔{

Ai ∈ G ∀i ∈ {1, . . . ,n}Bj /∈ G j ∈ {1, . . . ,m}

A1, . . . ,An,N\B1, . . . ,N\Bm ∈F

Por lo que

∃ k ∈ ∩ni=1Ai

⋂∩mj=1N\Bj

Ası Hk ∈ O.

G ∈ O⇔{

Ai ∈ G ∀i ∈ {1, . . . ,n}Bj /∈ G j ∈ {1, . . . ,m}

A1, . . . ,An,N\B1, . . . ,N\Bm ∈F

Por lo que

∃ k ∈ ∩ni=1Ai

⋂∩mj=1N\Bj

Ası Hk ∈ O.

Definimos

L := {L ∈ `∗∞ / L(x) ∈ x(N) ∀x ∈ `∞}

Definimos la siguiente aplicacion

Φ : U −→ LU 7−→ Φ(U ) : `∞ −→ R

Φ(U )(x) 7−→ limU x

Φ−1 : L −→ UL 7−→ {A⊆ N / L(χA) = 1}

Fijamos L ∈L .

Φ(Φ−1(L)) = lim{A⊆N / L(χA)=1}

Definimos

L := {L ∈ `∗∞ / L(x) ∈ x(N) ∀x ∈ `∞}

Φ : U −→ LU 7−→ Φ(U ) : `∞ −→ R

Φ−1 : L −→ UL 7−→ {A⊆ N / L(χA) = 1}

Fijamos L ∈L .

Φ(Φ−1(L)) = lim{A⊆N / L(χA)=1}

Definimos

L := {L ∈ `∗∞ / L(x) ∈ x(N) ∀x ∈ `∞}

Φ : U −→ LU 7−→ Φ(U ) : `∞ −→ R

Φ−1 : L −→ UL 7−→ {A⊆ N / L(χA) = 1}

Fijamos L ∈L .

Φ(Φ−1(L)) = lim{A⊆N / L(χA)=1}

Definimos

L := {L ∈ `∗∞ / L(x) ∈ x(N) ∀x ∈ `∞}

Φ : U −→ LU 7−→ Φ(U ) : `∞ −→ R

Φ−1 : L −→ UL 7−→ {A⊆ N / L(χA) = 1}

Fijamos L ∈L .

Φ(Φ−1(L)) = lim{A⊆N / L(χA)=1}

Sea A⊆ N.

Veamos que coinciden sobre las funcionescaracterısticas.

1 L(χA) = 1⇒ A ∈ {B ⊆ N / L(χB) = 1}A⊆ {n ∈ N / |χA(n)−1|< ε}, ∀ε ∈ R+

⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χA = 1

2 L(χA) = 0⇒ L(χN\A) = 1⇒⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χN\A = 1como {1}= χN = χA + χN\A por linealidadlım{A⊆N / L(χA)=1} χA = 0

Sea A⊆ N.Veamos que coinciden sobre las funcionescaracterısticas.

1 L(χA) = 1

⇒ A ∈ {B ⊆ N / L(χB) = 1}A⊆ {n ∈ N / |χA(n)−1|< ε}, ∀ε ∈ R+

⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χA = 1

2 L(χA) = 0

⇒ L(χN\A) = 1⇒⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χN\A = 1como {1}= χN = χA + χN\A por linealidadlım{A⊆N / L(χA)=1} χA = 0

⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χA = 1

2 L(χA) = 0⇒ L(χN\A) = 1

⇒⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χN\A = 1como {1}= χN = χA + χN\A por linealidadlım{A⊆N / L(χA)=1} χA = 0

⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χA = 1

2 L(χA) = 0⇒ L(χN\A) = 1⇒⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χN\A = 1

como {1}= χN = χA + χN\A por linealidadlım{A⊆N / L(χA)=1} χA = 0

⇒ lim{A⊆N / L(χA)=1} χA = 1

Luego {χA / A⊆ N} ⊆ {x ∈ `∞ / L(x) = lim{A⊆N / L(χA)=1} x}

Usando

Teorema

El conjunto de las funciones caracterısticas generan un espaciodenso en `∞.

por linealidad y continuidad del lımite por ultrafiltro

L(x) = Φ(Φ−1(L(x))) ∀x ∈ `∞

Obteniendose la biyectividad.Es continua considerandose en L la topologıa debil∗.Como es unaaplicacion continua de un compacto en un Hausdorff⇒ Φ es unhomeomorfismo.

Luego {χA / A⊆ N} ⊆ {x ∈ `∞ / L(x) = lim{A⊆N / L(χA)=1} x}Usando

Teorema

L(x) = Φ(Φ−1(L(x))) ∀x ∈ `∞

Teorema

L(x) = Φ(Φ−1(L(x))) ∀x ∈ `∞

Teorema

L(x) = Φ(Φ−1(L(x))) ∀x ∈ `∞

Teorema

L(x) = Φ(Φ−1(L(x))) ∀x ∈ `∞

Obteniendose la biyectividad.Es continua considerandose en L la topologıa debil∗.

Como es unaaplicacion continua de un compacto en un Hausdorff⇒ Φ es unhomeomorfismo.

Teorema

L(x) = Φ(Φ−1(L(x))) ∀x ∈ `∞

{en / n ∈N}= {Φ(Hn) / n ∈N} y por lo anterior, es denso en L .donde en(x) = xn ∀x ∈ `∞

Definicion

Dado X un espacio topologico, se define la compactificacion deStone-Cech de X como (β X ,δ ) con la propiedad adicional: paratoda funcion f : X −→ R continua y acotada se extiende af β : β X −→ R satisfaciendo

1 f β ◦δ = f

2 f β es continua.

{en / n ∈N}= {Φ(Hn) / n ∈N} y por lo anterior, es denso en L .donde en(x) = xn ∀x ∈ `∞

Definicion

Dado X un espacio topologico, se define la compactificacion deStone-Cech de X como (β X ,δ ) con la propiedad adicional: paratoda funcion f : X −→ R continua y acotada se extiende af β : β X −→ R satisfaciendo

1 f β ◦δ = f

2 f β es continua.

Teorema

βN = L

Demostracion: Sea δ : N−→L dada por

δ (n) = en n ∈ N

Continua inyectiva y con imagen densa. Veamos que es lacompactificacion de Stone-Cech.

Teorema

βN = L

Demostracion:

Sea δ : N−→L dada por

δ (n) = en n ∈ N

Teorema

βN = L

δ (n) = en n ∈ N

Teorema

βN = L

δ (n) = en n ∈ N

Sea f : N−→ R continua y acotada (f ∈ `∞).

Entonces

f β (L) = L(f ) ∀L ∈L

1 f β ◦δ = f

2 f β es continua.

Por la convergencia de la topologıa debil∗ se tiene que f β escontinua.Entonces se tiene la continuidad de f β .

Sea f : N−→ R continua y acotada (f ∈ `∞).Entonces

f β (L) = L(f ) ∀L ∈L

1 f β ◦δ = f

2 f β es continua.

f β (L) = L(f ) ∀L ∈L

1 f β ◦δ = f

2 f β es continua.

f β (L) = L(f ) ∀L ∈L

1 f β ◦δ = f

2 f β es continua.

f β (L) = L(f ) ∀L ∈L

1 f β ◦δ = f

2 f β es continua.

Por la convergencia de la topologıa debil∗ se tiene que f β escontinua.

Entonces se tiene la continuidad de f β .

f β (L) = L(f ) ∀L ∈L

1 f β ◦δ = f

2 f β es continua.

Aplicaciones

Definicion

Sea E es un espacio de Banach.Se dice separablemente inyectivo si para todo espacio de Banachseparable X y cada subespacio Y ⊆ X , todo operador T : Y −→ Ese extiende a un operador T : X −→ E .Si se satisface ademas que ‖T‖ ≤ λ · ‖T‖ se dice que esλ -separablemente inyectivo.

Aplicaciones

Definicion

Sea E es un espacio de Banach.Se dice separablemente inyectivo si para todo espacio de Banachseparable X y cada subespacio Y ⊆ X , todo operador T : Y −→ Ese extiende a un operador T : X −→ E .Si se satisface ademas que ‖T‖ ≤ λ · ‖T‖ se dice que esλ -separablemente inyectivo.

Aplicaciones

Definicion

Sea E es un espacio de Banach.Se dice universalmente separablemente inyectivo si para todoespacio de Banach X y cada subespacio separable Y ⊆ X , todooperador T : Y −→ E se extiende a un operador T : X −→ E .Si se satisface ademas que ‖T‖ ≤ λ · ‖T‖ se dice que esuniversalmente λ−separablemente inyectivo.

Aplicaciones

Teorema

Bajo la hipotesis del continuo todo espacio 1-separablementeinyectivo es universalmente 1-separablemente inyectivo.

Demostracion:

E espacio 1-separablemente inyectivo. X un espacio de Banachcualquiera, Y ⊆ X subespacio separable.T : Y −→ E .Y separable ⇒ ∃H : Y −→ `∞ isometrıa.H = (Hn) con Hn : Y −→ R

Aplicaciones

Teorema

Demostracion:

E espacio 1-separablemente inyectivo. X un espacio de Banachcualquiera, Y ⊆ X subespacio separable.

T : Y −→ E .Y separable ⇒ ∃H : Y −→ `∞ isometrıa.H = (Hn) con Hn : Y −→ R

Aplicaciones

Teorema

Demostracion:

E espacio 1-separablemente inyectivo. X un espacio de Banachcualquiera, Y ⊆ X subespacio separable.T : Y −→ E .

Y separable ⇒ ∃H : Y −→ `∞ isometrıa.H = (Hn) con Hn : Y −→ R

Aplicaciones

Teorema

Demostracion:

E espacio 1-separablemente inyectivo. X un espacio de Banachcualquiera, Y ⊆ X subespacio separable.T : Y −→ E .Y separable ⇒ ∃H : Y −→ `∞ isometrıa.

H = (Hn) con Hn : Y −→ R

Aplicaciones

Teorema

Demostracion:

E espacio 1-separablemente inyectivo. X un espacio de Banachcualquiera, Y ⊆ X subespacio separable.T : Y −→ E .Y separable ⇒ ∃H : Y −→ `∞ isometrıa.H = (Hn) con Hn : Y −→ R

Aplicaciones

Por el teorema de Hahn-Banach, extendemos Hn a X∼

Hn : X −→ R lineal, continua y ‖∼

Hn ‖= ‖Hn‖

∼H = (

∼Hn)

Hn(x)| ≤ ‖∼

Hn ‖‖x‖= ‖Hn‖‖x‖ ≤ ‖H‖‖x‖=⇒

∼Hn ∈ `∞ =⇒

∼H ∈ `∞

Aplicaciones

Hn ‖= ‖Hn‖∼H = (

∼Hn)

Hn(x)| ≤ ‖∼

Hn ‖‖x‖= ‖Hn‖‖x‖ ≤ ‖H‖‖x‖

=⇒∼

Hn ∈ `∞ =⇒∼H ∈ `∞

Aplicaciones

Hn ‖= ‖Hn‖∼H = (

∼Hn)

Hn(x)| ≤ ‖∼

Hn ‖‖x‖= ‖Hn‖‖x‖ ≤ ‖H‖‖x‖=⇒

∼Hn ∈ `∞ =⇒

∼H ∈ `∞

Aplicaciones

∃Y0 = Y ⊆ Y1 ⊆ Y2 ⊆ . . .⊆⋃α

Yα = `∞

∃∼T : `∞ −→ E∼T x = Tα x

=⇒‖∼T ‖= ‖Tα‖= ‖T‖

T =∼H ◦

∼T =⇒‖T‖= ‖T‖

Entonces E es universalmente-1-separablemente inyectivo.

Aplicaciones

∃Y0 = Y ⊆ Y1 ⊆ Y2 ⊆ . . .⊆⋃α

Yα = `∞

∃∼T : `∞ −→ E∼T x = Tα x

=⇒‖∼T ‖= ‖Tα‖= ‖T‖

T =∼H ◦

∼T =⇒‖T‖= ‖T‖

Aplicaciones

∃Y0 = Y ⊆ Y1 ⊆ Y2 ⊆ . . .⊆⋃α

Yα = `∞

∃∼T : `∞ −→ E∼T x = Tα x

=⇒‖∼T ‖= ‖Tα‖= ‖T‖

T =∼H ◦

∼T =⇒‖T‖= ‖T‖

Aplicaciones

∃Y0 = Y ⊆ Y1 ⊆ Y2 ⊆ . . .⊆⋃α

Yα = `∞

∃∼T : `∞ −→ E∼T x = Tα x

=⇒‖∼T ‖= ‖Tα‖= ‖T‖

T =∼H ◦

∼T =⇒‖T‖= ‖T‖

Aplicaciones

∃Y0 = Y ⊆ Y1 ⊆ Y2 ⊆ . . .⊆⋃α

Yα = `∞

∃∼T : `∞ −→ E∼T x = Tα x

=⇒‖∼T ‖= ‖Tα‖= ‖T‖

T =∼H ◦

∼T =⇒‖T‖= ‖T‖

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