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Índice Introducción Estructuras Algebraicas Listas Los Números Enteros Polinomios
Álgebra y Matemática Discreta - 2012
Sesión de Prácticas 1
Leandro Marín
Dpto. de Matemática Aplicada
Facultad de Informática
2012
Índice Introducción Estructuras Algebraicas Listas Los Números Enteros Polinomios
1 Estructuras Algebraicas
2 Listas
3 Los Números Enteros
4 Polinomios
Índice Introducción Estructuras Algebraicas Listas Los Números Enteros Polinomios
El Programa sage
El programa sage es un paquete matemático de software libreque dispone de muchas funcionalidades. Vamos a empezar lasprácticas con él.
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El Programa sage
El programa sage es un paquete matemático de software libreque dispone de muchas funcionalidades. Vamos a empezar lasprácticas con él.
Se puede descargar libremente de la direcciónhttp://www.sagemath.org
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El Programa sage
El programa sage es un paquete matemático de software libreque dispone de muchas funcionalidades. Vamos a empezar lasprácticas con él.
Se puede descargar libremente de la direcciónhttp://www.sagemath.org
Existen multitud de recursos en internet, desde cursos paraestudiantes preuniversitarios hasta programas a nivel deinvestigación.
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La Estructura como Variable
Tenemos una gran cantidad de estructuras algebraicasdefinidas dentro de sage que podemos utilizar.
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La Estructura como Variable
Tenemos una gran cantidad de estructuras algebraicasdefinidas dentro de sage que podemos utilizar.
Una de las más sencillas es el conjunto de los números enterosZ. En sage este conjunto se denota por ZZ.
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La Estructura como Variable
Tenemos una gran cantidad de estructuras algebraicasdefinidas dentro de sage que podemos utilizar.
Una de las más sencillas es el conjunto de los números enterosZ. En sage este conjunto se denota por ZZ.
Si escribimos
ZZ
el programa nos responderá Integer Ring, es decir anillo delos números enteros.
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La Estructura como Variable
Tenemos una gran cantidad de estructuras algebraicasdefinidas dentro de sage que podemos utilizar.
Una de las más sencillas es el conjunto de los números enterosZ. En sage este conjunto se denota por ZZ.
Si escribimos
ZZ
el programa nos responderá Integer Ring, es decir anillo delos números enteros.
ZZ es una variable más del sistema.
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Operaciones con Enteros
Vamos a hacer algunas operaciones básicas en los númerosenteros. La suma, resta y multiplicación se realizan con lossímbolos habituales +, - y *.
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Operaciones con Enteros
Vamos a hacer algunas operaciones básicas en los númerosenteros. La suma, resta y multiplicación se realizan con lossímbolos habituales +, - y *.
Si escribimos
a = 6*7*8*9
print a
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Operaciones con Enteros
Vamos a hacer algunas operaciones básicas en los númerosenteros. La suma, resta y multiplicación se realizan con lossímbolos habituales +, - y *.
Si escribimos
a = 6*7*8*9
print a
obtendremos 3024.
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División
La división requiere un poco más de explicación, porquepodemos hacer la siguiente operación:
print a/16
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División
La división requiere un poco más de explicación, porquepodemos hacer la siguiente operación:
print a/16
y obtenemos 189 porque la división es exacta, pero si hacemos
print a/10
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División
La división requiere un poco más de explicación, porquepodemos hacer la siguiente operación:
print a/16
y obtenemos 189 porque la división es exacta, pero si hacemos
print a/10
obtenemos 15125
. En este caso la división no es exacta y nos hadejado la operación en forma fraccionaria.
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Cociente y Resto
El realidad este operador en los números enteros no es comoen otros lenguajes, el cociente de la división.
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Cociente y Resto
El realidad este operador en los números enteros no es comoen otros lenguajes, el cociente de la división.
Para obtener el cociente de la división tenemos que poner
print a // 10
con lo que obtenemos 302.
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Cociente y Resto
El realidad este operador en los números enteros no es comoen otros lenguajes, el cociente de la división.
Para obtener el cociente de la división tenemos que poner
print a // 10
con lo que obtenemos 302.
El resto de la división se calcula utilizando el símbolo %.
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El conjunto de los números racionales se denota QQ y el de losnúmeros reales RR.
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El conjunto de los números racionales se denota QQ y el de losnúmeros reales RR.
El conjunto de los números reales RR utiliza representacionesdecimales finitas del número.
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El conjunto de los números racionales se denota QQ y el de losnúmeros reales RR.
El conjunto de los números reales RR utiliza representacionesdecimales finitas del número.
Cuando tenemos un elemento en un conjunto y queremosllevarlo a otro, lo que hacemos es utilizar el nombre de laestructura, así por ejemplo
a = 1/3
b = RR(a)
print a
print b
nos dará los resultados 13
y 0.333333333333333.
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En realidad si escribimos
RR
nos dice Real Field with 53 bits of precision, esdecir, cuerpo de los números reales con 53 bits de precisión.
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En realidad si escribimos
RR
nos dice Real Field with 53 bits of precision, esdecir, cuerpo de los números reales con 53 bits de precisión.
Es una precisión suficientemente buena para la mayoría denuestras necesidades.
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En realidad si escribimos
RR
nos dice Real Field with 53 bits of precision, esdecir, cuerpo de los números reales con 53 bits de precisión.
Es una precisión suficientemente buena para la mayoría denuestras necesidades.
Si en alguna ocasión necesitamos ampliarla (o reducirla) esposible.
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Si intentamos forzar a que un elemento esté dentro de unaestructura en la que no puede estar, obtenemos un error, porejemplo, si ponemos ZZ(2/3) lo que obtenemos es un error
---------------------------------------------------------------------------
TypeError Traceback (most recent call last)
/home/leandro/docencia/AMD12/quickref/<ipython console> in <module>()
/usr/local/sage-5.0.beta6/local/lib/python2.7/site-packages/sage/structure/parent.so
/in sage.structure.parent.Parent.__call__ (sage/structure/parent.c:7886)()
/usr/local/sage-5.0.beta6/local/lib/python2.7/site-packages/sage/rings/rational.so
/in sage.rings.rational.Q_to_Z._call_ (sage/rings/rational.c:23746)()
TypeError: no conversion of this rational to integer
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Listas
Los objetos en sage se pueden agrupar en listas.
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Listas
Los objetos en sage se pueden agrupar en listas.
Una lista no es mas que una estructura en la que tenemosunos objetos en posiciones concretas. Por ejemplo
milista = [1,2,3]
asigna a la variable milista la lista formada por los números1, 2 y 3.
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Listas
Los objetos en sage se pueden agrupar en listas.
Una lista no es mas que una estructura en la que tenemosunos objetos en posiciones concretas. Por ejemplo
milista = [1,2,3]
asigna a la variable milista la lista formada por los números1, 2 y 3.
Los elementos están numerados desde 0, así milista[0 ]tendrá el valor 1, milista[1 ] tendrá el valor 2 ymilista[2 ] tendrá el valor 3.
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Listas
Los objetos en sage se pueden agrupar en listas.
Una lista no es mas que una estructura en la que tenemosunos objetos en posiciones concretas. Por ejemplo
milista = [1,2,3]
asigna a la variable milista la lista formada por los números1, 2 y 3.
Los elementos están numerados desde 0, así milista[0 ]tendrá el valor 1, milista[1 ] tendrá el valor 2 ymilista[2 ] tendrá el valor 3.
Los valores milista[n ] se pueden usar como variablesordinarias y hacer cualquier operación sobre ellas.
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Recorriendo Listas
La gran ventaja de tener los números en una lista, es quepodemos recorrer los elementos de la lista.
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Recorriendo Listas
La gran ventaja de tener los números en una lista, es quepodemos recorrer los elementos de la lista.
Si ponemos
minuevalista = [1,4,7,-1]
for x in minuevalista:
print x*x
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Recorriendo Listas
La gran ventaja de tener los números en una lista, es quepodemos recorrer los elementos de la lista.
Si ponemos
minuevalista = [1,4,7,-1]
for x in minuevalista:
print x*x
Nos escribirá los elementos 1,16,49 y 1.
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for,in,:,etc.
Hay varios puntos importantes en el código:
minuevalista = [1,4,7,-1]
for x in minuevalista:
print x*x
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for,in,:,etc.
Hay varios puntos importantes en el código:
minuevalista = [1,4,7,-1]
for x in minuevalista:
print x*x
Utilizamos for para recorrer la lista y decimos cómo queremosllamar a los elementos: los llamaremos x.
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for,in,:,etc.
Hay varios puntos importantes en el código:
minuevalista = [1,4,7,-1]
for x in minuevalista:
print x*x
Utilizamos for para recorrer la lista y decimos cómo queremosllamar a los elementos: los llamaremos x.
Por tanto x irá recorriendo cada uno de los valores de la lista.
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for,in,:,etc.
Hay varios puntos importantes en el código:
minuevalista = [1,4,7,-1]
for x in minuevalista:
print x*x
Utilizamos for para recorrer la lista y decimos cómo queremosllamar a los elementos: los llamaremos x.
Por tanto x irá recorriendo cada uno de los valores de la lista.
Después ponemos : y la siguiente línea tiene que estardesplazada a la derecha un número de espacios. Esedesplazamiento hace a sage reconocer que esas intruccionesestán en el bucle.
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El comando range
Las listas de números [ 0,1,2,3,...,n-1] se puedengenerar con el comando range(n)
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El comando range
Las listas de números [ 0,1,2,3,...,n-1] se puedengenerar con el comando range(n)
Si escribimos range(10) nos devolverá la lista[ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
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El comando range
Las listas de números [ 0,1,2,3,...,n-1] se puedengenerar con el comando range(n)
Si escribimos range(10) nos devolverá la lista[ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
Podemos usarlo directamente
for j in range(10):
print j
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El comando range
Las listas de números [ 0,1,2,3,...,n-1] se puedengenerar con el comando range(n)
Si escribimos range(10) nos devolverá la lista[ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
Podemos usarlo directamente
for j in range(10):
print j
Nos escribirá todos los números desde el 0 al 9.
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El comando range (II)
Si escribimos range(3,6) nos devolverá [ 3,4,5].
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El comando range (II)
Si escribimos range(3,6) nos devolverá [ 3,4,5].
Notemos que el número 6 no se alcanza, en range(a,b) elprimer valor de la lista será a y el último b − 1.
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El comando range (II)
Si escribimos range(3,6) nos devolverá [ 3,4,5].
Notemos que el número 6 no se alcanza, en range(a,b) elprimer valor de la lista será a y el último b − 1.
También podemos hacer listas que en cada paso sumen unacantidad distinta de 1, por ejemplo
range(7,12 ,2)
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El comando range (II)
Si escribimos range(3,6) nos devolverá [ 3,4,5].
Notemos que el número 6 no se alcanza, en range(a,b) elprimer valor de la lista será a y el último b − 1.
También podemos hacer listas que en cada paso sumen unacantidad distinta de 1, por ejemplo
range(7,12 ,2)
Nos escribirá [ 7,9,11].
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El comando range (II)
Si escribimos range(3,6) nos devolverá [ 3,4,5].
Notemos que el número 6 no se alcanza, en range(a,b) elprimer valor de la lista será a y el último b − 1.
También podemos hacer listas que en cada paso sumen unacantidad distinta de 1, por ejemplo
range(7,12 ,2)
Nos escribirá [ 7,9,11].
También podemos is hacia abajo, por ejemplorange(10,0,-1)
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Comandos para Listas
Hay muchos comandos que podemos usar sobre listas. Vamosa ver algunos:
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Comandos para Listas
Hay muchos comandos que podemos usar sobre listas. Vamosa ver algunos:
Si milista es una variable que contiene una lista, entonces sulongitud es len(milista)
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Comandos para Listas
Hay muchos comandos que podemos usar sobre listas. Vamosa ver algunos:
Si milista es una variable que contiene una lista, entonces sulongitud es len(milista)
Si queremos saber el número de veces que un valor aparece enuna lista, milista.count(x) nos dice el número de veces quex aparece en milista (que también puede ser 0)
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Comandos para Listas
Hay muchos comandos que podemos usar sobre listas. Vamosa ver algunos:
Si milista es una variable que contiene una lista, entonces sulongitud es len(milista)
Si queremos saber el número de veces que un valor aparece enuna lista, milista.count(x) nos dice el número de veces quex aparece en milista (que también puede ser 0)
El comando sum(milista) nos dice cuanto suman todos loselementos de la lista y prod(milista) su producto.
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Una Programación Elegante
Podemos crear listas como sigue:
c = [x^2 for x in range(5)]
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Una Programación Elegante
Podemos crear listas como sigue:
c = [x^2 for x in range(5)]
Esto nos proporciona la lista [ 0, 1, 4, 9, 16] y la asignaa la variable c.
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Una Programación Elegante
Podemos crear listas como sigue:
c = [x^2 for x in range(5)]
Esto nos proporciona la lista [ 0, 1, 4, 9, 16] y la asignaa la variable c.
Podemos incluso añadir condiciones:
c = [sqrt(x^2-7) for x in range(5) if x^2-7 > 0]
asignará a c la lista [ sqrt(2), 3].
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Números en una Base
Dado un número entero, podemos representarlo en diferentesbases. Habitualmente lo representamos en base 10, pero consage podemos transformarlo en cualquier otra base.
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Números en una Base
Dado un número entero, podemos representarlo en diferentesbases. Habitualmente lo representamos en base 10, pero consage podemos transformarlo en cualquier otra base.
Si ponemos
a = ZZ(100)
bin(a)
hex(a)
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Números en una Base
Dado un número entero, podemos representarlo en diferentesbases. Habitualmente lo representamos en base 10, pero consage podemos transformarlo en cualquier otra base.
Si ponemos
a = ZZ(100)
bin(a)
hex(a)
Obtenemos respectivamente las representaciones binarias yhexadecimal del número, 0b1100100 y 64.
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Listas de Cifras
Si queremos la lista de todas las cifras, lo podemos hacer con
lascifras = a.digits(2)
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Listas de Cifras
Si queremos la lista de todas las cifras, lo podemos hacer con
lascifras = a.digits(2)
Las cifras van desde la menos significativa hasta la mássignificativa.
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Listas de Cifras
Si queremos la lista de todas las cifras, lo podemos hacer con
lascifras = a.digits(2)
Las cifras van desde la menos significativa hasta la mássignificativa.
El número de cifras podemos saberlo con len(lascifras) odirectamente a.ndigits(2).
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Listas de Cifras
Si queremos la lista de todas las cifras, lo podemos hacer con
lascifras = a.digits(2)
Las cifras van desde la menos significativa hasta la mássignificativa.
El número de cifras podemos saberlo con len(lascifras) odirectamente a.ndigits(2).
Lo que se ha hecho para la base 2, se puede hacer paracualquier base.
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Divisibilidad
Una de las propiedades más interesantes de los númerosenteros es la divisibilidad.
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Divisibilidad
Una de las propiedades más interesantes de los númerosenteros es la divisibilidad.
Para ver si dos números son divisibles entre sí, podemoscalcular el resto y ver que es cero o utilizar un comandoespecial que nos lo dice:
a = ZZ(10)
b = ZZ(5)
b.divides(a)
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Divisibilidad
Una de las propiedades más interesantes de los númerosenteros es la divisibilidad.
Para ver si dos números son divisibles entre sí, podemoscalcular el resto y ver que es cero o utilizar un comandoespecial que nos lo dice:
a = ZZ(10)
b = ZZ(5)
b.divides(a)
nos devolverá True.
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Divisores de un Número
También podemos calcular la lista de divisores de un número.Nos dará los divisores positivos.
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Divisores de un Número
También podemos calcular la lista de divisores de un número.Nos dará los divisores positivos.
El comando es
150.divisors ()
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Divisores de un Número
También podemos calcular la lista de divisores de un número.Nos dará los divisores positivos.
El comando es
150.divisors ()
Nos devolverá la lista
[1, 2, 3, 5, 6, 10 , 15 , 25 , 30 , 50 , 75 , 150]
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Divisores de un Número
También podemos calcular la lista de divisores de un número.Nos dará los divisores positivos.
El comando es
150.divisors ()
Nos devolverá la lista
[1, 2, 3, 5, 6, 10 , 15 , 25 , 30 , 50 , 75 , 150]
Esta lista se puede asignar a una variable, recorrerla, ocualquier otra operación que queramos hacerle.
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Números Primos
Un número es primo si no es 1 y sus únicos divisores son élmismo y la unidad.
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Números Primos
Un número es primo si no es 1 y sus únicos divisores son élmismo y la unidad.
Podemos preguntarnos si un número es primo de diferentesformas, por ejemplo
1.is_prime ()
2.is_prime ()
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Números Primos
Un número es primo si no es 1 y sus únicos divisores son élmismo y la unidad.
Podemos preguntarnos si un número es primo de diferentesformas, por ejemplo
1.is_prime ()
2.is_prime ()
nos devolverán respectivamente False y True.
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Números Primos
Un número es primo si no es 1 y sus únicos divisores son élmismo y la unidad.
Podemos preguntarnos si un número es primo de diferentesformas, por ejemplo
1.is_prime ()
2.is_prime ()
nos devolverán respectivamente False y True.
Esto es lo mismo que is_prime(1) y is_prime(2).
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Factorización
Podemos descomponer un número en producto de sus factoresprimos, lo que se conce como factorización.
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Factorización
Podemos descomponer un número en producto de sus factoresprimos, lo que se conce como factorización.
Si ponemos por ejemplo
factor(1234567890)
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Factorización
Podemos descomponer un número en producto de sus factoresprimos, lo que se conce como factorización.
Si ponemos por ejemplo
factor(1234567890)
Nos devolverá 2 · 32· 5 · 3607 · 3803.
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El Anillo de Polinomios
Se pueden definir también estructuras más complejas, porejemplo los polinomios.
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El Anillo de Polinomios
Se pueden definir también estructuras más complejas, porejemplo los polinomios.
Podemos asignar a una variable toda una estructuraalgebraica, por ejemplo:
R = PolynomialRing(QQ ,’x’)
S = PolynomialRing(RR ,’x’)
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El Anillo de Polinomios
Se pueden definir también estructuras más complejas, porejemplo los polinomios.
Podemos asignar a una variable toda una estructuraalgebraica, por ejemplo:
R = PolynomialRing(QQ ,’x’)
S = PolynomialRing(RR ,’x’)
nos asignará a R el conjunto de los polinomios con coeficientesen los números racionales y variable x . En el caso de S seránlos polinomios con coeficientes reales.
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Polinomios
Con las anteriores definiciones, podemos poner
p = R(x^2-2)
q = S(x^2-2)
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Polinomios
Con las anteriores definiciones, podemos poner
p = R(x^2-2)
q = S(x^2-2)
Podemos preguntar a sage si p y q son iguales,
p == q
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Polinomios
Con las anteriores definiciones, podemos poner
p = R(x^2-2)
q = S(x^2-2)
Podemos preguntar a sage si p y q son iguales,
p == q
Nos devolverá True, es decir, son el mismo polinomio, pero sucomportamiento es diferente.
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Polinomios (II)
Si escribimos
factor(p)
factor(q)
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Polinomios (II)
Si escribimos
factor(p)
factor(q)
Obtenemos respectivamente
(x2− 2)
(x − 1.41421356237310) · (x + 1.41421356237310)
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Polinomios (II)
Si escribimos
factor(p)
factor(q)
Obtenemos respectivamente
(x2− 2)
(x − 1.41421356237310) · (x + 1.41421356237310)
Eso es porque como polinomio con coeficientes en Q elpolinomio es irreducible, pero como polinomio con coeficientesreales no lo es.