Post on 21-Jul-2015
La raó àurea
“El llibre de la Naturalesa està escrit en el llenguatge matemàtic”
Galileu Galilei (1564-1642)
Tanquem una parella de conills en una habitació. Cada parella de conills, a partir del segon mes de vida, produeix una parella de conills cada mes.El nombre de parelles de conills que tenim cada mes, ens dona la sèrie següent:
Leonardo de Pisa, Fibonacci, (1170-1250)
1-1-2-3-5-8-13-21-34-55...
Cada terme de la sèrie és la suma dels dos anteriors
Fibonacci va descriure la sèrie en 1202
Un altre problema que ens porta a la sèrie de Fibonacci és el del nombre de descendents d’una abella mascle. Una vegada inseminada una abella reina, per una abella mascle d’un altre eixam, l’abella reina resta al seu rusc i no surt més, només es dedicarà a la posta d’ous que ella mateixa va fecundant o no, donant origen a abelles obreres o reines en el primer cas, i a mascles en el segon.El nombre d’abelles mascles en cada generació, és un dels termes de la sèrie de Fibonacci.
També trobem la sèrie de Fibonacci en botànica
La Filotàxia és la part de la botànica que estudia la disposició de les fulles al llarg d’una branca.
Aquesta disposició, normalment, permet a les fulles una captació uniforme de llum i aire, seguint una
trajectòria ascendent en forma d’hèlix.
Si agafem una fulla d’una branca, i contem el nombre de fulles consecutives fins trobar una altra amb la mateixa orientació, aquest nombre (n) és, generalment, un terme de la sèrie de Fibonacci.
A més a més, si mentre contem les fulles anem girant la branca, sempre en el mateix sentit, el
nombre de voltes (m) per arribar a una altra fulla amb la mateixa orientació, és també un membre de
la sèrie.
Anomenem ordre o característica d’aquesta tija a la raó m/n
Aquí tenim uns quants exemples
Om1/2
Àlber2/5
Saüc3/8
Ametller8/13
Trobem en les pinyes del pi, una característica de 5/8 o de 8/13 Les fulles dels enciams
I els pètals d’algunes flors
Lliris Gira-solsMargarites
El nombre auri
Si dividim un segment en dos parts, de manera que
Si fem b=1, obtenim els nombre φ =
L’anomenem φ en honor a Phidias, escultor grec
qui utilitzava molt aquest nombre en les
proporcions de les seves escultures
Si dividim dos termes consecutius de la sèrie de Fibonacci, el resultat tendeix al nombre auri, és a dir:
També l’obtenim de la suma infinita:
I de la següent
Té unes propietats matemàtiques molt interessants
És l’únic nombre real positiu que verifica que
A més a més
Per dibuixar un rectangle de proporcions aures, hem de seguir el procés següent
La raó aurea la podem trobar entre la diagonal
d’un pentàgon regular i el seu costat
És molt conegut el gravat de Leonardo da Vinci per il·lustrar els treballs de
Vitrubi
Consisteix en un home inscrit en un cercle de radi
el nombre d’or
Trobem el nombre d’or en els ous de gallina
Φ =
a
b
c
d
L’espiral logarítmica
La obtenim a partir d’un rectangle auri
La trobem a la naturalesa en formes de galàxies, teles d’aranya, remolins, ullals
d’alguns animals, banyes, la closca d’alguns cargols, etc
Existeix una relació molt directa entre el nombre d’or i algunes espirals, amb relació
amb les formes de creixement
Trobem l'espiral logarítmica en la closca del nautilus
en closques de cargols
en les tempestes
en les plantes
en la forma d'algunes galàxies
en les teles d'aranya
i en la trajectòria d'una arna volant cap a la llum