La raó àurea

“El llibre de la Naturalesa està escrit en el llenguatge matemàtic”

Galileu Galilei (1564-1642)

Tanquem una parella de conills en una habitació. Cada parella de conills, a partir del segon mes de vida, produeix una parella de conills cada mes.El nombre de parelles de conills que tenim cada mes, ens dona la sèrie següent:

Leonardo de Pisa, Fibonacci, (1170-1250)

1-1-2-3-5-8-13-21-34-55...

Cada terme de la sèrie és la suma dels dos anteriors

Fibonacci va descriure la sèrie en 1202

Un altre problema que ens porta a la sèrie de Fibonacci és el del nombre de descendents d’una abella mascle. Una vegada inseminada una abella reina, per una abella mascle d’un altre eixam, l’abella reina resta al seu rusc i no surt més, només es dedicarà a la posta d’ous que ella mateixa va fecundant o no, donant origen a abelles obreres o reines en el primer cas, i a mascles en el segon.El nombre d’abelles mascles en cada generació, és un dels termes de la sèrie de Fibonacci.

També trobem la sèrie de Fibonacci en botànica

La Filotàxia és la part de la botànica que estudia la disposició de les fulles al llarg d’una branca.

Aquesta disposició, normalment, permet a les fulles una captació uniforme de llum i aire, seguint una

trajectòria ascendent en forma d’hèlix.

Si agafem una fulla d’una branca, i contem el nombre de fulles consecutives fins trobar una altra amb la mateixa orientació, aquest nombre (n) és, generalment, un terme de la sèrie de Fibonacci.

A més a més, si mentre contem les fulles anem girant la branca, sempre en el mateix sentit, el

nombre de voltes (m) per arribar a una altra fulla amb la mateixa orientació, és també un membre de

la sèrie.

Anomenem ordre o característica d’aquesta tija a la raó m/n

Aquí tenim uns quants exemples

Om1/2

Àlber2/5

Saüc3/8

Ametller8/13

Trobem en les pinyes del pi, una característica de 5/8 o de 8/13 Les fulles dels enciams

I els pètals d’algunes flors

Lliris Gira-solsMargarites

El nombre auri

Si dividim un segment en dos parts, de manera que

Si fem b=1, obtenim els nombre φ =

L’anomenem φ en honor a Phidias, escultor grec

qui utilitzava molt aquest nombre en les

proporcions de les seves escultures

Si dividim dos termes consecutius de la sèrie de Fibonacci, el resultat tendeix al nombre auri, és a dir:

També l’obtenim de la suma infinita:

I de la següent

Té unes propietats matemàtiques molt interessants

És l’únic nombre real positiu que verifica que

A més a més

Per dibuixar un rectangle de proporcions aures, hem de seguir el procés següent

La raó aurea la podem trobar entre la diagonal

d’un pentàgon regular i el seu costat

És molt conegut el gravat de Leonardo da Vinci per il·lustrar els treballs de

Vitrubi

Consisteix en un home inscrit en un cercle de radi

el nombre d’or

Trobem el nombre d’or en els ous de gallina

Φ =

a

b

c

d

L’espiral logarítmica

La obtenim a partir d’un rectangle auri

La trobem a la naturalesa en formes de galàxies, teles d’aranya, remolins, ullals

d’alguns animals, banyes, la closca d’alguns cargols, etc

Existeix una relació molt directa entre el nombre d’or i algunes espirals, amb relació

amb les formes de creixement

Trobem l'espiral logarítmica en la closca del nautilus

en closques de cargols

en les tempestes

en les plantes

en la forma d'algunes galàxies

en les teles d'aranya

i en la trajectòria d'una arna volant cap a la llum