Ecuaciones de segundo grado

¿Cómo resolverlas?

Los pasos a seguir son los siguientes:

• Pasar todos los elementos a un lado.

• Identificar los coeficientes.

• Aplicar la fórmula.

• Cosas a tener en cuenta.

Pasar todos los elementos a un lado

¿Cómo hacerlo?

¿Cómo debe quedar la ecuación?

¿Cómo hacerlo?

Los elementos pasan de un lado al otro de la igualdad cambiandosu signo.

A un lado de la igualdad debe quedar únicamente un cero.

Ver ejemplo:

Como ejemplo resolvamos la siguiente ecuación:

4·x2 - 5·x + 1 = 3·x2 - 7·x + 4

Los elementos 3·x2, - 7·x y 4 pasan al otro lado cambiados designo, es decir, - 3·x2, + 7·x y - 4

La ecuación quedará así:

4·x2 - 5·x + 1 - 3·x2 + 7·x + 4 = 0

Pasar a otro punto

¿Cómo debe quedar la ecuación?

A continuación debemos realizar las sumas o restas pertinentescon el objetivo de dejar la ecuación en la forma:

a·x2 + b·x + c = 0

donde a, b y c son números reales.

Ver ejemplo:

En el ejemplo anterior 4·x2 - 5·x + 1 - 3·x2 + 7·x + 4 = 0hemos de hacer las operaciones siguientes:

4·x2 - 3·x2 = x2

- 5·x + 7·x = 2·x

1 + 4 = 5

con lo que la ecuación quedaría:

x2 + 2·x - 3 = 0

Pasar a otro punto:

Identificar los coeficientes

Vamos a poner nombre a los coeficientes de las indeterminadas, llamando:

a al coeficiente de x2

b al coeficiente de x

c al término independiente

En el ejemplo:

La ecuación estaba de la forma:x2 + 2·x - 3 = 0, por tanto:

a = 1

b = 2

c = - 3

Puntos que hay que tener en cuenta

Observaciones

Hay que tener en cuenta el signo de los coeficientes.

Cuando el coeficiente no está escrito explícitamente,

dicho coeficiente es 1 ó - 1, según el signo.

Si x o el término independiente no aparecen en la

ecuación, sus coeficientes son cero.

Pasar a otro punto

Aplicar la fórmulaLa fórmula con la que se resuelven todas las ecuacionesde segundo grado es la siguiente:

- b b2 - 4·a·c 2·a

En esta fórmula sustituimos a, b y c por sus valorescorrespondientes.

Ver ejemplo

En nuestra ecuación x2 + 2·x - 3 = 0 teníamos a = 1, b = 2 yc = - 3, con lo que la fórmula quedaría:

- 2 22 - 4·1·(-3) 2·1

Lo único que resta es hacer las operaciones

22 - 4·1·(-3) = 4 - (-12) = 4 + 12 = 16

16 = 4

Significado del signo ±

Seguir con el ejemplo

Significado del signo ±

En las ecuaciones de segundo grado vamos a tener dossoluciones, una la obtendremos usando el signo + y otrausando el signo -.Las soluciones se obtienen por separado.

Volver

Una de las soluciones será:

- 2 + 4 es decir, 2/2 = 1 2

La otra solución será:

- 2 - 4 es decir, -6/2 = -3 2

Pasar a otro punto

Cosas a tener en cuenta

Las ecuaciones de segundo grado pueden tener una, dos oninguna solución. Cuando no hay término en x, la ecuación se puede resolverpasando el término independiente al otro lado y tomandoraíces cuadradas. Cuando no hay término independiente, la ecuación se puederesolver sacando factor común la x (con lo cual una soluciónes x = 0) y reduciendo la ecuación a una de primer grado.

La ecuación x2 + x - 2 = 0 tiene dos soluciones, x = 1 y

x = - 2.

La ecuación x2 - 6·x + 9 = 0 tiene una única solución,

x = 3.

La ecuación x2 + 1 = 0 no tiene soluciones reales.

Por ejemplo, resolvamos x2 - 16 = 0.

Pasamos - 16 al otro lado, obteniendo x2 = 16, y tomandoraíces cuadradas en ambos lados nos queda x = 4, portanto las dos soluciones son + 4 y - 4.

Por ejemplo, resolvamos la ecuación x2 + 3·x = 0.

Sacando x factor común obtenemos x·(x + 3) = 0.

Para que un producto de números reales sea cero

uno de los dos debe ser cero, así que tenemos dos

posibilidades: o bien x = 0 (que es una solución)

o bien x + 3 = 0, en cuyo caso x = - 3, que es la otra

solución de la ecuación inicial.