producto exterior

Formas diferenciales

Jana Rodriguez HertzCálculo 3

IMERL

4 de junio de 2012

producto exterior

intro

formas diferenciales

formas diferenciales¿ qué son?

↓

formas diferencialesun objeto matemático abstracto

producto exterior

intro

formas diferenciales

formas diferenciales¿ qué son?

↓

formas diferencialesun objeto matemático abstracto

producto exterior

intro

formas diferenciales

formas diferenciales¿ qué son?

↓

formas diferencialesun objeto matemático abstracto

producto exterior

intro

formas diferenciales

formas diferenciales¿ para qué sirven?

↓

formas diferenciales

para unificar teoremas de Gauss, Green, Stokes en unasola fórmulay el teorema fundamental del cálculopara generalizar estos teoremas a cualquier dimensión

producto exterior

intro

formas diferenciales

formas diferenciales¿ para qué sirven?

↓

formas diferenciales

para unificar teoremas de Gauss, Green, Stokes en unasola fórmulay el teorema fundamental del cálculopara generalizar estos teoremas a cualquier dimensión

producto exterior

intro

formas diferenciales

formas diferenciales¿ para qué sirven?

↓

formas diferencialespara unificar teoremas de Gauss, Green, Stokes en unasola fórmula

y el teorema fundamental del cálculopara generalizar estos teoremas a cualquier dimensión

producto exterior

intro

formas diferenciales

formas diferenciales¿ para qué sirven?

↓

formas diferencialespara unificar teoremas de Gauss, Green, Stokes en unasola fórmulay el teorema fundamental del cálculo

para generalizar estos teoremas a cualquier dimensión

producto exterior

intro

formas diferenciales

formas diferenciales¿ para qué sirven?

↓

formas diferencialespara unificar teoremas de Gauss, Green, Stokes en unasola fórmulay el teorema fundamental del cálculopara generalizar estos teoremas a cualquier dimensión

producto exterior

intro

formas diferenciales

cómo se definenlas definiremos axiomáticamente

producto exterior

0-formas

0-formas

0-formauna 0-forma sobre Ω ⊂ R3 abierto

es una funciónf : Ω→ R suave (C1 o más)

producto exterior

0-formas

0-formas

0-formauna 0-forma sobre Ω ⊂ R3 abiertoes una función

f : Ω→ R suave (C1 o más)

producto exterior

0-formas

0-formas

0-formauna 0-forma sobre Ω ⊂ R3 abiertoes una funciónf : Ω→ R suave (C1 o más)

producto exterior

0-formas

suma y producto de 0-formas

suma y producto de 0-formasf ,g : Ω→ R 0-formas

⇒ f + g 0-forma

⇒ f .g 0-forma

producto exterior

0-formas

suma y producto de 0-formas

suma y producto de 0-formasf ,g : Ω→ R 0-formas

⇒ f + g 0-forma

⇒ f .g 0-forma

producto exterior

0-formas

suma y producto de 0-formas

suma y producto de 0-formasf ,g : Ω→ R 0-formas

⇒ f + g 0-forma

⇒ f .g 0-forma

producto exterior

0-formas

ejemplo 1

ejemplo 1f (x , y , z) = xy + yz 0-forma

g(x , y , z) = y sin xz 0-forma

(f + g)(x , y , z) = xy + yz + y sin xz

(f .g)(x , y , z) = y2x sin xz + y2z sin xz

producto exterior

0-formas

ejemplo 1

ejemplo 1f (x , y , z) = xy + yz 0-formag(x , y , z) = y sin xz 0-forma

(f + g)(x , y , z) = xy + yz + y sin xz

(f .g)(x , y , z) = y2x sin xz + y2z sin xz

producto exterior

0-formas

ejemplo 1

ejemplo 1f (x , y , z) = xy + yz 0-formag(x , y , z) = y sin xz 0-forma

(f + g)(x , y , z) = xy + yz + y sin xz

(f .g)(x , y , z) = y2x sin xz + y2z sin xz

producto exterior

0-formas

ejemplo 1

ejemplo 1f (x , y , z) = xy + yz 0-formag(x , y , z) = y sin xz 0-forma

(f + g)(x , y , z) = xy + yz + y sin xz

(f .g)(x , y , z) = y2x sin xz + y2z sin xz

producto exterior

1-formas

1-formas básicas

1-forma básicauna 1-forma básica se define como:

1 dx2 dy3 dz

producto exterior

1-formas

1-formas básicas

1-forma básicauna 1-forma básica se define como:

1 dx

2 dy3 dz

producto exterior

1-formas

1-formas básicas

1-forma básicauna 1-forma básica se define como:

1 dx2 dy

3 dz

producto exterior

1-formas

1-formas básicas

1-forma básicauna 1-forma básica se define como:

1 dx2 dy3 dz

producto exterior

1-formas

1-formas

1-formasuna 1-forma sobre Ω

es una combinación lineal:

ω = Pdx + Qdy + Rdz

con P,Q,R : Ω→ R

producto exterior

1-formas

1-formas

1-formasuna 1-forma sobre Ω

es una combinación lineal:

ω = Pdx + Qdy + Rdz

con P,Q,R : Ω→ R

producto exterior

1-formas

1-formas

1-formasuna 1-forma sobre Ω

es una combinación lineal:

ω = Pdx + Qdy + Rdz

con P,Q,R : Ω→ R

producto exterior

1-formas

suma de 1-formas

suma de 1-formasω1 = P1dx + Q1dy + R1dz

ω2 = P2dx + Q2dy + R2dzsuma de ω1 y ω2

ω1 + ω2 = (P1 + P2)dx + (Q1 + Q2)dy + (R1 + R2)dz

producto exterior

1-formas

suma de 1-formas

suma de 1-formasω1 = P1dx + Q1dy + R1dzω2 = P2dx + Q2dy + R2dz

suma de ω1 y ω2

ω1 + ω2 = (P1 + P2)dx + (Q1 + Q2)dy + (R1 + R2)dz

producto exterior

1-formas

suma de 1-formas

suma de 1-formasω1 = P1dx + Q1dy + R1dzω2 = P2dx + Q2dy + R2dzsuma de ω1 y ω2

ω1 + ω2 = (P1 + P2)dx + (Q1 + Q2)dy + (R1 + R2)dz

producto exterior

1-formas

suma de 1-formas

suma de 1-formasω1 = P1dx + Q1dy + R1dzω2 = P2dx + Q2dy + R2dzsuma de ω1 y ω2

ω1 + ω2 = (P1 + P2)dx + (Q1 + Q2)dy + (R1 + R2)dz

producto exterior

1-formas

producto por una 0-forma

producto por una 0-formaω = Pdz + Qdy + Rdz

f 0-formaproducto de f por ω

f .ω = fPdx + fQdy + fRdz

producto exterior

1-formas

producto por una 0-forma

producto por una 0-formaω = Pdz + Qdy + Rdzf 0-forma

producto de f por ω

f .ω = fPdx + fQdy + fRdz

producto exterior

1-formas

producto por una 0-forma

producto por una 0-formaω = Pdz + Qdy + Rdzf 0-formaproducto de f por ω

f .ω = fPdx + fQdy + fRdz

producto exterior

1-formas

producto por una 0-forma

producto por una 0-formaω = Pdz + Qdy + Rdzf 0-formaproducto de f por ω

f .ω = fPdx + fQdy + fRdz

producto exterior

1-formas

ejemplo 2

ejemplo 2

ω1 = (x + y2)dx + zydy + exyzdz

ω2 = sin ydx + sin xdy⇒

ω1 + ω2 = (x + y2 + sin y)dx + (zy + sin x)dy + exyzdz

producto exterior

1-formas

ejemplo 2

ejemplo 2

ω1 = (x + y2)dx + zydy + exyzdzω2 = sin ydx + sin xdy

⇒

ω1 + ω2 = (x + y2 + sin y)dx + (zy + sin x)dy + exyzdz

producto exterior

1-formas

ejemplo 2

ejemplo 2

ω1 = (x + y2)dx + zydy + exyzdzω2 = sin ydx + sin xdy⇒

ω1 + ω2 = (x + y2 + sin y)dx + (zy + sin x)dy + exyzdz

producto exterior

1-formas

ejemplo 3

ejemplo 3ω2 = sin ydx + sin xdy

f (x , y , z) = x⇒

fω2 = x sin ydx + x sin xdy

producto exterior

1-formas

ejemplo 3

ejemplo 3ω2 = sin ydx + sin xdyf (x , y , z) = x

⇒fω2 = x sin ydx + x sin xdy

producto exterior

1-formas

ejemplo 3

ejemplo 3ω2 = sin ydx + sin xdyf (x , y , z) = x⇒

fω2 = x sin ydx + x sin xdy

producto exterior

2-formas

2-formas básicas

2-formas básicas

una 2-forma básica es:

1 dxdy2 dydz3 dzdx

producto exterior

2-formas

2-formas básicas

2-formas básicas

una 2-forma básica es:1 dxdy

2 dydz3 dzdx

producto exterior

2-formas

2-formas básicas

2-formas básicas

una 2-forma básica es:1 dxdy2 dydz

3 dzdx

producto exterior

2-formas

2-formas básicas

2-formas básicas

una 2-forma básica es:1 dxdy2 dydz3 dzdx

producto exterior

2-formas

2-formas

2-formauna 2-forma

es una combinación lineal

η = Fdxdy + Gdydz + Hdzdx

con F ,G,H : Ω→ R

producto exterior

2-formas

2-formas

2-formauna 2-formaes una combinación lineal

η = Fdxdy + Gdydz + Hdzdx

con F ,G,H : Ω→ R

producto exterior

2-formas

2-formas

2-formauna 2-formaes una combinación lineal

η = Fdxdy + Gdydz + Hdzdx

con F ,G,H : Ω→ R

producto exterior

2-formas

suma de 2-formas

suma de 2-formasη1 = F1dxdxy + G1dydz + H1dzdx

η2 = F2dxdxy + G2dydz + H2dzdxsuma de 2-formas

η1 + η2 = (F1 + F2)dxdy + (G1 + G2)dydz + (H1 + H2)dzdx

producto exterior

2-formas

suma de 2-formas

suma de 2-formasη1 = F1dxdxy + G1dydz + H1dzdxη2 = F2dxdxy + G2dydz + H2dzdx

suma de 2-formas

η1 + η2 = (F1 + F2)dxdy + (G1 + G2)dydz + (H1 + H2)dzdx

producto exterior

2-formas

suma de 2-formas

suma de 2-formasη1 = F1dxdxy + G1dydz + H1dzdxη2 = F2dxdxy + G2dydz + H2dzdxsuma de 2-formas

η1 + η2 = (F1 + F2)dxdy + (G1 + G2)dydz + (H1 + H2)dzdx

producto exterior

2-formas

suma de 2-formas

suma de 2-formasη1 = F1dxdxy + G1dydz + H1dzdxη2 = F2dxdxy + G2dydz + H2dzdxsuma de 2-formas

η1 + η2 = (F1 + F2)dxdy + (G1 + G2)dydz + (H1 + H2)dzdx

producto exterior

2-formas

producto por 0-forma

producto por 0-formaη = Fdxdy + Gdydz + Hdzdx

f 0-formaproducto de η por f

f .η = fFdxdxy + fGdydz + fHdzdx

producto exterior

2-formas

producto por 0-forma

producto por 0-formaη = Fdxdy + Gdydz + Hdzdxf 0-forma

producto de η por f

f .η = fFdxdxy + fGdydz + fHdzdx

producto exterior

2-formas

producto por 0-forma

producto por 0-formaη = Fdxdy + Gdydz + Hdzdxf 0-formaproducto de η por f

f .η = fFdxdxy + fGdydz + fHdzdx

producto exterior

2-formas

producto por 0-forma

producto por 0-formaη = Fdxdy + Gdydz + Hdzdxf 0-formaproducto de η por f

f .η = fFdxdxy + fGdydz + fHdzdx

producto exterior

2-formas

ejemplo 4

ejemplo 4

η1 = x2dxdy + y3xdydz + sin zydzdx

η2 = ydydz⇒

η1 + η2 = x2dxdy + (y3x + y)dydz + sin zydzdx

producto exterior

2-formas

ejemplo 4

ejemplo 4

η1 = x2dxdy + y3xdydz + sin zydzdxη2 = ydydz

⇒

η1 + η2 = x2dxdy + (y3x + y)dydz + sin zydzdx

producto exterior

2-formas

ejemplo 4

ejemplo 4

η1 = x2dxdy + y3xdydz + sin zydzdxη2 = ydydz⇒

η1 + η2 = x2dxdy + (y3x + y)dydz + sin zydzdx

producto exterior

2-formas

ejemplo 5

ejemplo 5η2 = ydydz

f (x , y , z) = xy⇒

fη2 = xy2dydz

producto exterior

2-formas

ejemplo 5

ejemplo 5η2 = ydydzf (x , y , z) = xy

⇒fη2 = xy2dydz

producto exterior

2-formas

ejemplo 5

ejemplo 5η2 = ydydzf (x , y , z) = xy⇒

fη2 = xy2dydz

producto exterior

3-formas

3-formas básicas

3-formas básicasla 3-forma básica

esdxdydz

producto exterior

3-formas

3-formas básicas

3-formas básicasla 3-forma básicaes

dxdydz

producto exterior

3-formas

3-formas

3-formauna 3-forma

es una expresiónν = fdxdydz

donde f : Ω→ R suave

producto exterior

3-formas

3-formas

3-formauna 3-formaes una expresión

ν = fdxdydz

donde f : Ω→ R suave

producto exterior

3-formas

3-formas

3-formauna 3-formaes una expresión

ν = fdxdydz

donde f : Ω→ R suave

producto exterior

3-formas

suma de 3-formas

suma de 3-formasν1 = f1dxdydz

ν2 = f2dxdydz

ν1 + ν2 = (f1 + f2)dxdydz

producto exterior

3-formas

suma de 3-formas

suma de 3-formasν1 = f1dxdydzν2 = f2dxdydz

ν1 + ν2 = (f1 + f2)dxdydz

producto exterior

3-formas

suma de 3-formas

suma de 3-formasν1 = f1dxdydzν2 = f2dxdydz

ν1 + ν2 = (f1 + f2)dxdydz

producto exterior

3-formas

producto por una 0-forma

producto por una 0-formaν = fdxdydz

g 0-forma

gν = gf dxdydz

producto exterior

3-formas

producto por una 0-forma

producto por una 0-formaν = fdxdydzg 0-forma

gν = gf dxdydz

producto exterior

3-formas

producto por una 0-forma

producto por una 0-formaν = fdxdydzg 0-forma

gν = gf dxdydz

producto exterior

3-formas

ejemplo 6

ejemplo 6ν1 = ydxdydz

ν2 = ex2dxdydz

⇒ν1 + ν2 = (y + ex2

)dxdydz

producto exterior

3-formas

ejemplo 6

ejemplo 6ν1 = ydxdydzν2 = ex2

dxdydz

⇒ν1 + ν2 = (y + ex2

)dxdydz

producto exterior

3-formas

ejemplo 6

ejemplo 6ν1 = ydxdydzν2 = ex2

dxdydz⇒

ν1 + ν2 = (y + ex2)dxdydz

producto exterior

3-formas

ejemplo 7

ejemplo 7ν1 = ydxdydz

f (x , y , z) = xyz⇒

fν1 = xy2zdxdydz

producto exterior

3-formas

ejemplo 7

ejemplo 7ν1 = ydxdydzf (x , y , z) = xyz

⇒fν1 = xy2zdxdydz

producto exterior

3-formas

ejemplo 7

ejemplo 7ν1 = ydxdydzf (x , y , z) = xyz⇒

fν1 = xy2zdxdydz

producto exterior

3-formas

observación

observaciónno se puede sumar una i-forma con una j-forma

si i 6= j

producto exterior

3-formas

observación 2

observacióncada forma tiene un espacio natural de acción

0-formas↔ puntos1-formas↔ curvas2-formas↔ superficies3-formas↔ subregiones elementales de R3

producto exterior

3-formas

observación 2

observacióncada forma tiene un espacio natural de acción0-formas↔ puntos

1-formas↔ curvas2-formas↔ superficies3-formas↔ subregiones elementales de R3

producto exterior

3-formas

observación 2

observacióncada forma tiene un espacio natural de acción0-formas↔ puntos1-formas↔ curvas

2-formas↔ superficies3-formas↔ subregiones elementales de R3

producto exterior

3-formas

observación 2

observacióncada forma tiene un espacio natural de acción0-formas↔ puntos1-formas↔ curvas2-formas↔ superficies

3-formas↔ subregiones elementales de R3

producto exterior

3-formas

observación 2

observacióncada forma tiene un espacio natural de acción0-formas↔ puntos1-formas↔ curvas2-formas↔ superficies3-formas↔ subregiones elementales de R3

producto exterior

integral de 1-formas sobre curvas

integral de 1-formas sobre curvas

integral de 1-formas sobre curvasω = Pdx + Qdy + Rdz

C curva ∫Cω =

∫C

Pdx + Qdy + Rdz

producto exterior

integral de 1-formas sobre curvas

integral de 1-formas sobre curvas

integral de 1-formas sobre curvasω = Pdx + Qdy + RdzC curva

∫Cω =

∫C

Pdx + Qdy + Rdz

producto exterior

integral de 1-formas sobre curvas

integral de 1-formas sobre curvas

integral de 1-formas sobre curvasω = Pdx + Qdy + RdzC curva ∫

Cω =

∫C

Pdx + Qdy + Rdz

producto exterior

integral de 1-formas sobre curvas

integral de 1-formas sobre curvas

integral de 1-formas sobre curvasω = Pdx + Qdy + RdzC curva ∫

Cω =

∫C

Pdx + Qdy + Rdz

producto exterior

integral de 1-formas sobre curvas

ejemplo 8

ejemplo 8

ω = xydx + y2dy + dz

C parametrizada por (t2, t3,1) con t ∈ [0,1]

evaluar∫C ω

∫Cω =

∫ 1

0(t52t + t63t2)dt =

1321

producto exterior

integral de 1-formas sobre curvas

ejemplo 8

ejemplo 8

ω = xydx + y2dy + dzC parametrizada por (t2, t3,1) con t ∈ [0,1]

evaluar∫C ω

∫Cω =

∫ 1

0(t52t + t63t2)dt =

1321

producto exterior

integral de 1-formas sobre curvas

ejemplo 8

ejemplo 8

ω = xydx + y2dy + dzC parametrizada por (t2, t3,1) con t ∈ [0,1]

evaluar∫C ω

∫Cω =

∫ 1

0(t52t + t63t2)dt =

1321

producto exterior

integral de 1-formas sobre curvas

ejemplo 8

ejemplo 8

ω = xydx + y2dy + dzC parametrizada por (t2, t3,1) con t ∈ [0,1]

evaluar∫C ω

∫Cω =

∫ 1

0(t52t + t63t2)dt =

1321

producto exterior

integral de 1-formas sobre curvas

ejemplo 8

ejemplo 8

ω = xydx + y2dy + dzC parametrizada por (t2, t3,1) con t ∈ [0,1]

evaluar∫C ω

∫Cω =

∫ 1

0(t52t + t63t2)dt

=1321

producto exterior

integral de 1-formas sobre curvas

ejemplo 8

ejemplo 8

ω = xydx + y2dy + dzC parametrizada por (t2, t3,1) con t ∈ [0,1]

evaluar∫C ω

∫Cω =

∫ 1

0(t52t + t63t2)dt =

1321

producto exterior

integral de 2-formas sobre superficies

integral de 2-formas sobre superficies

integral de 2-formas sobre superficiesη = Fdxdy + Gdydz + Hdzdx

S superficie parametrizada por Φ : D → R3

∫∫Sη =

∫∫S

Fdxdy + Gdydz + Hdzdx

producto exterior

integral de 2-formas sobre superficies

integral de 2-formas sobre superficies

integral de 2-formas sobre superficiesη = Fdxdy + Gdydz + HdzdxS superficie parametrizada por Φ : D → R3

∫∫Sη =

∫∫S

Fdxdy + Gdydz + Hdzdx

producto exterior

integral de 2-formas sobre superficies

integral de 2-formas sobre superficies

integral de 2-formas sobre superficiesη = Fdxdy + Gdydz + HdzdxS superficie parametrizada por Φ : D → R3

∫∫Sη =

∫∫S

Fdxdy + Gdydz + Hdzdx

producto exterior

integral de 2-formas sobre superficies

integral de 2-formas sobre superficies

integral de 2-formas sobre superficiesη = Fdxdy + Gdydz + HdzdxS superficie parametrizada por Φ : D → R3

∫∫Sη =

∫∫S

Fdxdy + Gdydz + Hdzdx

producto exterior

integral de 2-formas sobre superficies

integral de 2-formas sobre superficies

integral de 2-formas sobre superficies

∫∫S

Fdxdy + Gdydz + Hdzdx

=

∫∫S

(F ,G,H).ndS = (∗)

(∗) =

∫∫S

(F∂(x , y)

∂(u, v)+ G

∂(y , z)

∂(u, v)+ H

∂(z, x)

∂(u, v)

)dudv

producto exterior

integral de 2-formas sobre superficies

integral de 2-formas sobre superficies

integral de 2-formas sobre superficies

∫∫S

Fdxdy + Gdydz + Hdzdx =

∫∫S

(F ,G,H).ndS = (∗)

(∗) =

∫∫S

(F∂(x , y)

∂(u, v)+ G

∂(y , z)

∂(u, v)+ H

∂(z, x)

∂(u, v)

)dudv

producto exterior

integral de 2-formas sobre superficies

ejemplo 9

ejemplo 9

η = z2dxdy

S semiesfera superior de radio 1 en R3

encontrar∫∫

S η

Φ(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)(u, v) ∈ [0, π2 ]× [0,2π]∫∫

S η =∫∫

D dudv

= −2π cos4 u4

∣∣∣π20

= π2

producto exterior

integral de 2-formas sobre superficies

ejemplo 9

ejemplo 9

η = z2dxdyS semiesfera superior de radio 1 en R3

encontrar∫∫

S η

Φ(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)(u, v) ∈ [0, π2 ]× [0,2π]∫∫

S η =∫∫

D dudv

= −2π cos4 u4

∣∣∣π20

= π2

producto exterior

integral de 2-formas sobre superficies

ejemplo 9

ejemplo 9

η = z2dxdyS semiesfera superior de radio 1 en R3

encontrar∫∫

S η

Φ(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)(u, v) ∈ [0, π2 ]× [0,2π]∫∫

S η =∫∫

D dudv

= −2π cos4 u4

∣∣∣π20

= π2

producto exterior

integral de 2-formas sobre superficies

ejemplo 9

ejemplo 9

η = z2dxdyS semiesfera superior de radio 1 en R3

encontrar∫∫

S η

Φ(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)(u, v) ∈ [0, π2 ]× [0,2π]

∫∫S η =

∫∫D dudv

= −2π cos4 u4

∣∣∣π20

= π2

producto exterior

integral de 2-formas sobre superficies

ejemplo 9

ejemplo 9

η = z2dxdyS semiesfera superior de radio 1 en R3

encontrar∫∫

S η

Φ(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)(u, v) ∈ [0, π2 ]× [0,2π]∫∫

S η =∫∫

D cos2 u ∂(x ,y)∂(u,v)dudv

= −2π cos4 u4

∣∣∣π20

= π2

producto exterior

integral de 2-formas sobre superficies

ejemplo 9

ejemplo 9

η = z2dxdyS semiesfera superior de radio 1 en R3

encontrar∫∫

S η

Φ(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)(u, v) ∈ [0, π2 ]× [0,2π]∫∫

S η =∫∫

D cos2 u ∂(x ,y)∂(u,v)dudv

= −2π cos4 u4

∣∣∣π20

= π2

∂(x , y)

∂(u, v)=

∣∣∣∣ cos u cos v − sin u sin vcos u sin v sin u cos v

∣∣∣∣ = sin u cos u

producto exterior

integral de 2-formas sobre superficies

ejemplo 9

ejemplo 9

η = z2dxdyS semiesfera superior de radio 1 en R3

encontrar∫∫

S η

Φ(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)(u, v) ∈ [0, π2 ]× [0,2π]∫∫

S η =∫∫

D cos2 u ∂(x ,y)∂(u,v)dudv

= −2π cos4 u4

∣∣∣π20

= π2

∂(x , y)

∂(u, v)=

∣∣∣∣ cos u cos v − sin u sin vcos u sin v sin u cos v

∣∣∣∣

= sin u cos u

producto exterior

integral de 2-formas sobre superficies

ejemplo 9

ejemplo 9

η = z2dxdyS semiesfera superior de radio 1 en R3

encontrar∫∫

S η

Φ(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)(u, v) ∈ [0, π2 ]× [0,2π]∫∫

S η =∫∫

D cos2 u ∂(x ,y)∂(u,v)dudv

= −2π cos4 u4

∣∣∣π20

= π2

∂(x , y)

∂(u, v)=

∣∣∣∣ cos u cos v − sin u sin vcos u sin v sin u cos v

∣∣∣∣ = sin u cos u

producto exterior

integral de 2-formas sobre superficies

ejemplo 9

ejemplo 9

η = z2dxdyS semiesfera superior de radio 1 en R3

encontrar∫∫

S η

Φ(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)(u, v) ∈ [0, π2 ]× [0,2π]∫∫

S η =∫∫

D cos3 u sin ududv

= −2π cos4 u4

∣∣∣π20

= π2

producto exterior

integral de 2-formas sobre superficies

ejemplo 9

ejemplo 9

η = z2dxdyS semiesfera superior de radio 1 en R3

encontrar∫∫

S η

Φ(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)(u, v) ∈ [0, π2 ]× [0,2π]∫∫

S η =∫∫

D cos3 u sin ududv = −2π cos4 u4

∣∣∣π20

= π2

producto exterior

integral de 2-formas sobre superficies

ejemplo 9

ejemplo 9

η = z2dxdyS semiesfera superior de radio 1 en R3

encontrar∫∫

S η

Φ(u, v) = (sin u cos v , sin u sin v , cos u)(u, v) ∈ [0, π2 ]× [0,2π]∫∫

S η =∫∫

D cos3 u sin ududv = −2π cos4 u4

∣∣∣π20

= π2

producto exterior

integral de 3-formas sobre regiones de R3

integral de 3-forma sobre región de R3

integral de 3-forma sobre región de R3

ν = fdxdydz

∫∫∫Rν =

∫∫∫R

f (x , y , z)dxdydz

producto exterior

integral de 3-formas sobre regiones de R3

integral de 3-forma sobre región de R3

integral de 3-forma sobre región de R3

ν = fdxdydz ∫∫∫Rν =

∫∫∫R

f (x , y , z)dxdydz

producto exterior

integral de 3-formas sobre regiones de R3

ejemplo 10

ejemplo 10ν = (x + z)dxdydz

R = [0,1]3

calcular∫∫∫

R ν

∫∫∫Rν =

∫ 1

0

∫ 1

0

∫ 1

0(x + z)dxdydz

=

∫ 1

0

∫ 1

0(x + z)dxdz

=

∫ 1

0

(xz +

z2

2

)1

0dx

=

∫ 1

0

(z +

12

)dz =

(z2

2+

z2

)1

0= 1

producto exterior

integral de 3-formas sobre regiones de R3

ejemplo 10

ejemplo 10ν = (x + z)dxdydzR = [0,1]3

calcular∫∫∫

R ν

∫∫∫Rν =

∫ 1

0

∫ 1

0

∫ 1

0(x + z)dxdydz

=

∫ 1

0

∫ 1

0(x + z)dxdz

=

∫ 1

0

(xz +

z2

2

)1

0dx

=

∫ 1

0

(z +

12

)dz =

(z2

2+

z2

)1

0= 1

producto exterior

integral de 3-formas sobre regiones de R3

ejemplo 10

ejemplo 10ν = (x + z)dxdydzR = [0,1]3

calcular∫∫∫

R ν

∫∫∫Rν =

∫ 1

0

∫ 1

0

∫ 1

0(x + z)dxdydz

=

∫ 1

0

∫ 1

0(x + z)dxdz

=

∫ 1

0

(xz +

z2

2

)1

0dx

=

∫ 1

0

(z +

12

)dz =

(z2

2+

z2

)1

0= 1

producto exterior

integral de 3-formas sobre regiones de R3

ejemplo 10

ejemplo 10ν = (x + z)dxdydzR = [0,1]3

calcular∫∫∫

R ν

∫∫∫Rν =

∫ 1

0

∫ 1

0

∫ 1

0(x + z)dxdydz

=

∫ 1

0

∫ 1

0(x + z)dxdz

=

∫ 1

0

(xz +

z2

2

)1

0dx

=

∫ 1

0

(z +

12

)dz =

(z2

2+

z2

)1

0= 1

producto exterior

integral de 3-formas sobre regiones de R3

ejemplo 10

ejemplo 10ν = (x + z)dxdydzR = [0,1]3

calcular∫∫∫

R ν

∫∫∫Rν =

∫ 1

0

∫ 1

0

∫ 1

0(x + z)dxdydz

=

∫ 1

0

∫ 1

0(x + z)dxdz

=

∫ 1

0

(xz +

z2

2

)1

0dx

=

∫ 1

0

(z +

12

)dz =

(z2

2+

z2

)1

0= 1

producto exterior

integral de 3-formas sobre regiones de R3

ejemplo 10

ejemplo 10ν = (x + z)dxdydzR = [0,1]3

calcular∫∫∫

R ν

∫∫∫Rν =

∫ 1

0

∫ 1

0

∫ 1

0(x + z)dxdydz

=

∫ 1

0

∫ 1

0(x + z)dxdz

=

∫ 1

0

(xz +

z2

2

)1

0dx

=

∫ 1

0

(z +

12

)dz =

(z2

2+

z2

)1

0= 1

producto exterior

integral de 3-formas sobre regiones de R3

ejemplo 10

ejemplo 10ν = (x + z)dxdydzR = [0,1]3

calcular∫∫∫

R ν

∫∫∫Rν =

∫ 1

0

∫ 1

0

∫ 1

0(x + z)dxdydz

=

∫ 1

0

∫ 1

0(x + z)dxdz =

∫ 1

0

(xz +

z2

2

)1

0dx

=

∫ 1

0

(z +

12

)dz =

(z2

2+

z2

)1

0= 1

producto exterior

integral de 3-formas sobre regiones de R3

ejemplo 10

ejemplo 10ν = (x + z)dxdydzR = [0,1]3

calcular∫∫∫

R ν

∫∫∫Rν =

∫ 1

0

∫ 1

0

∫ 1

0(x + z)dxdydz

=

∫ 1

0

∫ 1

0(x + z)dxdz =

∫ 1

0

(xz +

z2

2

)1

0dx

=

∫ 1

0

(z +

12

)dz

=

(z2

2+

z2

)1

0= 1

producto exterior

integral de 3-formas sobre regiones de R3

ejemplo 10

ejemplo 10ν = (x + z)dxdydzR = [0,1]3

calcular∫∫∫

R ν

∫∫∫Rν =

∫ 1

0

∫ 1

0

∫ 1

0(x + z)dxdydz

=

∫ 1

0

∫ 1

0(x + z)dxdz =

∫ 1

0

(xz +

z2

2

)1

0dx

=

∫ 1

0

(z +

12

)dz =

(z2

2+

z2

)1

0

= 1

producto exterior

integral de 3-formas sobre regiones de R3

ejemplo 10

ejemplo 10ν = (x + z)dxdydzR = [0,1]3

calcular∫∫∫

R ν

∫∫∫Rν =

∫ 1

0

∫ 1

0

∫ 1

0(x + z)dxdydz

=

∫ 1

0

∫ 1

0(x + z)dxdz =

∫ 1

0

(xz +

z2

2

)1

0dx

=

∫ 1

0

(z +

12

)dz =

(z2

2+

z2

)1

0= 1