J. Mauricio López R.J. Mauricio López R.

Centro Nacional de Metrología Centro Nacional de Metrología CENAMCENAM

Varianza de AllanVarianza de Allan

ContenidoContenido

1. Introducción

3. Varianza de Allan

4. Barras de Incertidumbre

5. Ejemplos

2. Mediciones de Tiempo y Frecuencia

IntroducciónIntroducción

El uso de la varianza estándar en el análisis de la dispersión de variables dependendientes del tiempo puede conducir a problemas de divergencia cuando el número de mediciones tiende a infinito. Dicha divergencia puede ser originada por una fuerte correlación entre mediciones que introduce ruidos no blancos en las series de mediciones. En el caso de la metrología de tiempo y frecuencia, por ejemplo, la presencia de ruidos no blancos como el llamado ruido en frecuencia de paso aleatorio (Random Walk Frequency Noise) introduce una rápida divergencia en el análisis de estabilidad de frecuencia cuando se usa la varianza estándar. El uso de la llamada Varianza de Allan se ha generalizado a nivel internacional para expresar la estabilidad de osciladores ya que es convergente para los principales ruidos no blancos presentes en señales de frecuencia y en series de tiempo.

VARIANZA ESTÁNDAR vs

VARIANZA DE ALLAN

Mediciones de Tiempo y FrecuenciaMediciones de Tiempo y Frecuencia

Pa tró n d e re fe re nc ia

Instrum e nto b a jo

c a lib ra c ió n

Ad q u isic ió n d e d a to s a uto m a tiza d o

PC

Frecuencia Frecuencia BajoBajo

CalibraciónCalibración

InterfaseInterfasedede

ComunicaciónComunicación

Frecuencia Patrón Frecuencia Patrón para amarrar en para amarrar en

frecuencia al frecuencia al contadorcontador

Frecuencia Patrón Frecuencia Patrón para la calibraciónpara la calibración

MEDICIONES DE DIFERENCIA DE FASE

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

0 20 40 60 80 100 120

DATOS t=1S)

Mediciones de Diferencia de FaseMediciones de Diferencia de Fase

Método de medición de diferencia de faseMétodo de medición de diferencia de fase

Contador de Intervalos de

Tiempo

MEDICIONES DE DIFERENCIA DE FASE

-180

-150

-120

-90

-60

-30

0

30

60

90

120

150

180

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

DATOS(=1 s)

GR

AD

OS

MEDICIONES DE DIFERENCIA DE FASE

-180

-150

-120

-90

-60

-30

0

30

60

90

120

150

180

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

DATOS(=1 s)

GR

AD

OS

4-16

Frecuencia estable (oscilador ideal)

Unstable Frequency (Real Oscillator)

Time

(t)

Time

(t)

V1-1

T1 T2 T3

1-1

T1 T2 T3

V(t) = V0 sin(20t)

V(t) =[V0 + (t)] sin[20t + (t)]

(t) = 20t

(t) = 20t + (t)

V(t) = salida del oscilador, V0 = Amplitud nominal pico-a-pico(t) = amplitud de ruido, 0 = frecuencia nominal(t) = fase , and (t) =ruido de fase

t d)t(d

21= t d

)t(d21 = )t( 0

π

Φπ

frequency, ousInstantane

V

Inestabilidad en frecuencia (ruido)

Las señales eléctricas no son Las señales eléctricas no son puraspuras

Ruido de amplitud

Inestabilidad en frecuencia

Ruido de fase

-Vo

ltage

+0

Tiempo

Voltage de salida de un oscilador

4-23

0.1 s tiempo de promediación3 X 10-11

0

-3 X 10-11

ff

100 s

1.0 s tiempo de promediación3 X 10-11

0

-3 X 10-11

ff

100 s

0.01 0.1 1 10 100Tiempo de promediación, , s

10-10

10-11

10-12

y()

Ruido en frecuencia y Ruido en frecuencia y yy(())

4-26

Las graficas muestran las fluctuaciones de la variable z(t), la cual puede ser, por ejemplo, la salida de un contador (f vs. t), o la medición de fase ([t] vs. t). Los gráficos muestran tanto la dependencia temporal como la dependencia en frecuencia; h es el coeficiente de amplitud.

Sz(f) = hf

= 0

= -1

= -2

= -3

nombre

White

Flicker

Randomwalk

Dependencia temporal

Ruido en frecuenciaRuido en frecuencia

Varianza de AllanVarianza de Allan

La Varianza de Allan es la herramienta usada para el análisis de La Varianza de Allan es la herramienta usada para el análisis de mediciones de Tiempo y Frecuencia siendo un estimador de la mediciones de Tiempo y Frecuencia siendo un estimador de la dispersión de las mediciones, determinando así, la estabilidad dispersión de las mediciones, determinando así, la estabilidad del oscilador bajo calibración.del oscilador bajo calibración.

22y 2

1σ iy 222

2y 2

1σ ix

Frecuencia Fase

iii yyy 1 iiii xxxx 122 2

Concepto de la Varianza de Allan

ii

ixxy 1

Varianza de Allan para Mediciones de FrecuenciaVarianza de Allan para Mediciones de Frecuencia

1N

1i

2i1i

0

2y yy

1N21σ

donde:donde:

Es la varianza de AllanEs la varianza de Allan

Es el número de datos espaciados Es el número de datos espaciados 00

Es la i-ésimaEs la i-ésima medición de fase medición de fase

2y

N

iy

Es el tiempo de observación = mEs el tiempo de observación = m00

m = 2= 2nn cálculos posibles cálculos posibles

mN

iimimiy xxx

mN

2

1

222

2 222

1

donde:donde:

Varianza de AllanVarianza de Allan

Número de datos espaciados Número de datos espaciados 00

Tiempo de observación = mTiempo de observación = m00

i-ésimai-ésima medición de fase medición de fase

2y

Nix

m =2=2nn cálculos posibles cálculos posibles

Varianza de Allan para Mediciones de Diferencia de FaseVarianza de Allan para Mediciones de Diferencia de Fase

Barras de IncertidumbreBarras de Incertidumbre

Distribución Distribución 22

Para df < 100Para df < 100

2

22 )(

y

ysdf

2ys Estimado de la Varianza de AllanEstimado de la Varianza de Allan

df Número de grados de libertadNúmero de grados de libertad

Varianza de Allan verdaderaVarianza de Allan verdadera2

y

Distribución X

2

Barras de incertidumbreBarras de incertidumbre

2

22 )(

y

ysdf

025,0975.0 2

22

2

2

dfsdfs y

yy

Tablas XTablas X22

Barra InferiorBarra Inferior Barra SuperiorBarra Superior

Tabla Tabla XX22

Para df > 100Para df > 100

Barras de incertidumbreBarras de incertidumbre

22 96,121025,0 h

Barras de incertidumbreBarras de incertidumbre

Para df > 100Para df > 100

22 96,121975,0 h

12 dfhdonde:donde:

Barra InferiorBarra Inferior

Barra SuperiorBarra Superior

Número de Grados de LibertadNúmero de Grados de Libertad

White Phase ModulationWhite Phase Modulation

Flicker Phase ModulationFlicker Phase Modulation

White Frquency ModulationWhite Frquency Modulation

mN

mNNdf

2

21

4112ln

21lnexp Nm

nNdf

54

4222

132

2

mm

NN

mNdf

NBS Technical note 679NBS Technical note 679

Flicker Frequency ModulationFlicker Frequency Modulation

Random-Walk Frequency Random-Walk Frequency ModulationModulation

234

5

19,43,2

22

2

mparamNm

Ndf

mparaNNdf

2

22

341312

NmNmN

mNdf

Número de Grados de LibertadNúmero de Grados de Libertad Continuación…Continuación…

NBS Technical note 679NBS Technical note 679

Por debajo del ruido “fliker”, los cristales de cuarzo tipicamente tienen una dependencia -1 (white phase noise). Los patrones atómicos de frecuencia muestran una dependencia del tipo -1/2 (white frequency noise) para tiempos de promediación cercanos al tiempo de ataque del lazo de amarre, y -1 para tiempos menores del tiempo de ataque. Tipicamente los ’s para el ruido flicker son: 1 s para osciladores de cuarzo, 103s para relojes de rubidio y 105s para Cesio.

y()-1

-1

0

Tipo de ruido:

Whitephase

Flickerphase

Whitefreq.

Flickerfreq.

Randomwalk freq.

-12 12

Dependencia temporal de Dependencia temporal de yy(())

Ejemplos de cálculo de varianza de AllanEjemplos de cálculo de varianza de Allan

Varianza de AllanVarianza de Allan

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