Introducción Modelo factorial ortogonal Construcción del modelo factorial: método de componentes principales Construcción del modelo factorial: método de máxima verosimilitud Análisis factorial y componentes principales

1

4. ANÁLISIS FACTORIAL

ANÁLISIS FACTORIAL

Introducción

2

Las variables dependen de factores inobservables.

Los factores latentes explican comportamientosvisibles en las variables.

El objetivo es analizar si hay factores (menosque variables) que expliquen dichas variables.

Modelo factorial ortogonal

Sea

Factores comunes:

3

mF

F

F 1

VX

EXcon

X

X

X

p

1

Factores específicos o errores:

m

1

Matriz de cargas:

pmpxmpmpp

m

m

lll

lll

lll

L

21

22221

11211

ANÁLISIS FACTORIAL

Nota:lij=carga de Xi sobre Fj

Modelo factorial ortogonal

Matricialmente, el modelo factorial es:

4ANÁLISIS FACTORIAL

LFX

Escribiéndolo de forma desarrollada, quedaría

pmpmpppp

mm

mm

FlFlFlX

FlFlFlX

FlFlFlX

2211

2222212122

1121211111

Modelo factorial ortogonal

5ANÁLISIS FACTORIAL

IFFEFVyFEi )'()(0)()(

Si se cumplen estas tres condiciones se dice que el modelo es factorial ortogonal.

Requisitos:

m

EVyEii

0

0

)'()(0)()(1

),cov(0''

:osincorreladson )(

FEFFE

Fyiii

Modelo factorial ortogonal

6ANÁLISIS FACTORIAL

iiiimiiii hlll

LLi

222

221

')(

Observaciones:

La variabilidad de la variable i se descompone enparte común (se puede medir) y específica (nose puede medir).

Comunalidad (hi2)

Especificidad

LFXii ),cov( )(

Modelo factorial ortogonal

7ANÁLISIS FACTORIAL

(iii) No siempre existe un modelo factorial ortogonal.

(iv) Si existe modelo factorial no siempre es único (si tiene más de un factor, no es único).

Modelo factorial ortogonal

8ANÁLISIS FACTORIAL

Ejemplo

Analizar si existe un modelo unifactorial paraexplicar estas tres variables:

3

2

1

14,07,0

4,019,0

7,09,01

X

X

X

X

Modelo factorial ortogonal

9ANÁLISIS FACTORIAL

Ejemplo

(i) Número de variables y de factores.(ii) Descomponer VX en comunalidad y especificidad.(iii) cov(X3,X2).(iv) cov(X3,F2).

68472312

473852

2355730

1223019

10EJEMPLOS

Construcción del modelo factorial:método de componentes principales

11ANÁLISIS FACTORIAL

Si tiene los siguientes autovalores y autovectores,

Sea

'.

'''

11

11

222111

LL

e

e

ee

eeeeee

pp

pp

ppp

.;1

LFX

VX

EXy

X

X

X

p

0),(,),,( 111 ppp conee

la descomposición exacta de es

Construcción del modelo factorial:método de componentes principales

12ANÁLISIS FACTORIAL

Si tiene los siguientes autovalores y autovectores:

La descomposición exacta de tiene p factores; se puede utilizar la matriz para disminuir el número de factores.

0),(,),,( 111 ppp conee

Construcción del modelo factorial:método de componentes principales

13ANÁLISIS FACTORIAL

pmxp

mm

pxmmmpxp

e

e

ee

0

0111

11

La descomposición de es:

donde2iiii h

Entonces 'LL

Construcción del modelo factorial:método de componentes principales

14ANÁLISIS FACTORIAL

con y S

Entonces

Modelo factorial muestral

,~

'~~

1

1

111

LLXX

X

X

X

XX

XX

X

pnpn

p

Construcción del modelo factorial:método de componentes principales

15ANÁLISIS FACTORIAL

0ˆˆ)ˆ,ˆ(,),ˆ,ˆ( 111 ppp conee

donde los autovalores y autovectores son

y la matriz de cargas

mmeeL ˆˆˆˆ~

11

Además, 221

2 ~~~imii llh

Nota: Análogamente para R

Construcción del modelo factorial:método de máxima verosimilitud

16ANÁLISIS FACTORIAL

Sea donde

'

),,(~LL

LFXNX p

n

iiinnp

n

iiip

in

xLLxLL

xx

xfxxf

1

12/2/

1

12/12/

1

)()'()'(2

1exp

')2(

1

)()'(2

1exp

)2(

1

)(),,(

Y sea

Sean que maximizan ).,,( ˆ,ˆ,ˆ1 nxxfL

Construcción del modelo factorial:método de máxima verosimilitud

17ANÁLISIS FACTORIAL

Propiedades

No hay óptimo único: se requiere

Para obtener una solución única: Se calcula computacionalmente. Las comunalidades son

)(' 1 diagonalLL

221

2 ˆˆˆinii llh

Construcción del modelo factorial:método de máxima verosimilitud

18ANÁLISIS FACTORIAL

No se obtiene el mismo resultado por el método de máxima verosimilitud que por componentes principales.

La proporción de varianza explicada por el factorj-ésimo calculada por máxima verosimilitud es:

pp

i

ss

h

11

2ˆVarianza total

Nota: Análogamente para R

Análisis factorial y componentes principales

19ANÁLISIS FACTORIAL

El análisis factorial y el análisis de componentes principales están muy relacionados entre sí, peroexisten varias diferencias:

Mientras que el análisis de componentes principales busca hallar combinaciones lineales delas variables originales que expliquen la mayor parte de la varianza total, el análisis factorial pretende hallar un nuevo conjunto de variables no observables, menoren número que las variables originales, que exprese la mayor parte de la varianza común.

Análisis factorial y componentes principales

20ANÁLISIS FACTORIAL

El análisis factorial supone que existen factorescomunes subyacentes a todas las variables, mientrasque el análisis de componentes principales, no.

21EJEMPLOS

23EJEMPLOS

24EJEMPLOS

Solución

26EJEMPLOS

27EJEMPLOS

28EJEMPLOS

29EJEMPLOS

30EJEMPLOS