Post on 06-Jan-2017
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
CENTRO DE INVESTIGACION Y DESARROLLO
DE TECNOLOGIA DIGITAL
MAESTRIA EN CIENCIAS EN SISTEMAS DIGITALES
“CONTROL DE UN MOTOR DE CORRIENTE DIRECTASIN ESCOBILLAS”
TESIS
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE
MAESTRIA EN CIENCIAS EN SISTEMAS DIGITALES
PRESENTA
ING. YAJAIRA SELENE QUEVEDO PILLADO
BAJO LA DIRECCION DE
DR. EDUARDO JAVIER MORENO VALENZUELA
DICIEMBRE 2013 TIJUANA, B.C., MEXICO
Control un motor de corriente
directa sin escobillas
Resumen
En este trabajo de tesis se presenta el desarrollo y diseno de controladores adapta-
bles para el seguimiento de trayectoria de un motor de corriente directa sin escobillas.
El funcionamiento de los esquemas de control comprendidos en este documento son com-
probados con la realizacion de simulaciones y experimentos. Ası mismo, se hace uso de
proyectores para mejorar las estimaciones de algunos parametros, y evitar que tomen
valores negativos.
Los controladores estudiados en este trabajo son un controlador por modelo exacto pa-
ra el seguimiento de trayectoria que requiere el conocimiento de todos los parametros del
motor, seguido de un controlador adaptable para seguimiento de trayectoria con la esti-
macion de 14 parametros del motor. Ademas, se expone una modificacion del controlador
adaptable logrado una reduccion del numero de parametros estimados a 9 y finalmente
se introduce un nuevo controlador adaptable para el seguimiento de trayectoria con la
estimacion de 7 parametros con su correspondiente analisis de estabilidad.
Ademas, se muestra el desarrollo de una plataforma experimental para el ensayo
de controladores en un motor de corriente directa sin escobillas, y la descripcion de
los componentes de la misma, la cual se utilizo para demostrar en forma practica los
controladores estudiados en este trabajo.
Palabras Clave: Motor de corriente directa sin escobillas, control adaptable, control
de motores, experimentos, inversor trifasico.
Brushless direct current motor
control
Abstract
This thesis presents the development and design of adaptive controllers for trajectory
tracking for brushless direct current motors. The performance of control schemes included
in this document is evaluated by executing numerical simulations and real-time experi-
ments. Two of the adaptive controller studied in this document incorporate projectors in
the adaptation laws.
The controllers involved in this work are an exact model controller for trajectory
tracking, adaptive controller for trajectory tracking with the adaptation of 14 parameters;
adaptive controller with the adaptation of 9 parameters; and finally, a new adaptive
controller for trajectory tracking with the adaptation of 7 parameters.
In addition, this document provides the description of an experimental platform
for the testing of controllers in a brushless direct current motor, which was used to
implement in real-time the studied controllers.
Keywords: Brushless direct current motor, adaptive controller, motor control, expe-
riments, three-phase inverter.
Dedicatoria
A los pilares de mi vida, Marıa de Jesus Pillado Cordero y Angel Rafael Quevedo
Camacho, por su incondicional apoyo, motivacion, confianza y carino. Por ser un ejemplo
de fortaleza, bondad y dedicacion.
A mis hermanos Charity, Corina y Kevin por estar siempre ha mi lado y por compartir
conmigo tantos buenos momentos.
Agradecimientos
A mi director de tesis, Dr. Eduardo Javier Moreno Valenzuela, quien con su
dedicacion, sus conocimientos, su experiencia y su motivacion, hizo posible lograr la
culminacion de este trabajo.
A mi comite tutorial, Dr. Roberto Sepulveda, Dr. Juan Jose Tapia, Dr. Luis A.
Gonzalez y M.C. David Saucedo, por enriquecer mi trabajo con sus diversos puntos de
vista y por dedicar parte de su tiempo en cada avance de tesis.
A mis companeros Regino Perez, Carlos Aguilar, Jorge Guzman, Octavio Garcıa,
Fatsin Cota, Daniel Gutierrez, Gerardo Diaz, Kenia Picos, Ulises Orozco, Leopoldo
Gaxiola y companeros de generaciones cercanas, por su amena compania durante en este
camino, por su linda amistad, ayuda y apoyo.
A mi companero y amigo Rafael Fernando quien siempre me motivo a seguir adelante
y me apoyo incondicionalmente.
Al Instituto Politecnico Nacional a traves del Centro de Investigacion y Desarrollo
de Tecnologıa Digital, CITEDI-IPN por abrirme las puertas para continuar con mi
preparacion profesional.
Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologıa, CONACYT por el apoyo economico
brindado.
Contenido
1. Introduccion 1
1.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2. Objetivos especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4. Aportaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5. Organizacion del contenido por capıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Preliminares 7
2.1. Control adaptable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. Teorıa de proyectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1. Proyectores para evitar valores negativos o cero en la estimacion de
los parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2. Proyectores para mantener el valor de la estimacion de parametros
en un rango de valores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3. Estabilidad en sentido de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3. Modelo del motor de corriente directa sin escobillas 15
3.1. Modelo abc del motor de corriente directa sin escobillas . . . . . . . . . . . 15
3.1.1. Parte mecanica del modelo trifasico del motor . . . . . . . . . . . . 15
3.1.2. Parte electrica del modelo trifasico del motor . . . . . . . . . . . . . 16
3.2. Modelo d-q del motor de corriente directa sin escobillas . . . . . . . . . . . 19
4. Controladores no lineales para seguimiento de trayectoria con compara-
cion de desempeno 21
4.1. Controlador por modelo exacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.1.1. Diseno del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
i
CONTENIDO ii
4.1.2. Simulaciones numericas para el CME . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2. Controlador adaptable simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2.1. Diseno del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2.2. Simulaciones numericas para CAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3. Controlador adaptable con reduccion de sobre-parametrizacion . . . . . . . 36
4.3.1. Diseno del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3.2. Experimentos para el controlador adaptable con reduccion de sobre-
parametrization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4. Controlador adaptable propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4.1. Controlador adaptable de la parte electrica . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4.2. Controlador adaptable de la parte mecanica . . . . . . . . . . . . . 53
4.4.3. Experimentos para el controlador adaptable propuesto . . . . . . . 56
4.5. Comparacion y desempeno de controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5. Conclusiones y trabajo futuro 63
A. Publicaciones 66
B. Transformaciones matriciales de Clarke y Park 67
B.1. Transformada de Clarke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
B.2. Transformada de Park . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
C. Modulacion por espacios vectoriales 70
D. Inversor trifasico para el motor de CD sin escobillas 77
E. Plataforma experimental 80
E.1. Computadora-PC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
E.2. Tarjetas para la adquisicion de datos Sensorayr 626 . . . . . . . . . . . . . 81
E.3. Inversor trifasico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
E.4. Tarjeta para monitoreo de las corrientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
E.5. Tarjeta de filtro de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
E.6. Motor de cd sin escobillas con encoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Indice de figuras
1.1. Diagrama de un motor trifasico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Diagrama a bloques del sistema de control para el motor de CD sin escobillas. 5
2.1. Diagrama de basico de un sistema adaptable. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2. Grafica de estimacion de un parametro con proyectores. . . . . . . . . . . . 9
2.3. Grafica de estimacion de un parametro con proyectores. . . . . . . . . . . . 10
2.4. Concepto de equilibrio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5. Nocion de estabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1. Circuito equivalente del motor de CD sin escobillas. . . . . . . . . . . . . . 16
4.1. Diagrama a bloques del controlador por modelo exacto . . . . . . . . . . . 25
4.2. Seguimiento de posicion del controlador CME. . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3. Seguimiento de velocidad del controlador CME. . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4. Seguimiento de las corrientes del controlador CME. . . . . . . . . . . . . . 27
4.5. Diagrama a bloques del control adaptable simple. . . . . . . . . . . . . . . 32
4.6. Seguimiento de posicion del controlador adaptable simple. . . . . . . . . . 34
4.7. Seguimiento de velocidad del controlador adaptable simple. . . . . . . . . . 34
4.8. Seguimiento de corrientes del controlador adaptable simple. . . . . . . . . . 35
4.9. Parametros estimados de la parte mecanica del controlador adaptable simple. 35
4.10. Parametros estimados de la parte electrica del controlador adaptable simple. 36
4.11. Diagrama a bloques del control con reduccion de sobre-parametrizacion. . . 41
4.12. Seguimiento de posicion del controlador con reduccion de sobre-
parametrizacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.13. Seguimiento de velocidad del controlador con reduccion de sobre-
parametrizacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.14. Seguimiento de corrientes del controlador con reduccion de sobre-
parametrizacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.15. Estimacion de parametros parte mecanica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
iii
INDICE DE FIGURAS iv
4.16. Estimacion de parametros parte electrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.17. Estimacion de parametros parte electrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.18. Estimacion de parametros parte electrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.19. Diagrama a bloques del controlador propuesto. . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.20. Seguimiento de posicion del controlador propuesto. . . . . . . . . . . . . . 58
4.21. Seguimiento de velocidad del controlador propuesto. . . . . . . . . . . . . . 59
4.22. Seguimiento de corrientes del controlador propuesto. . . . . . . . . . . . . . 59
4.23. Estimacion de parametros parte mecanica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.24. Estimacion de parametros parte electrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.25. Estimacion de parametros parte electrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
B.1. Diagrama vectorial de Iabc y Iαβ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
C.1. Inversor trifasico de dos niveles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
C.2. Estados de conmutacion de un inversor trifasico representado en forma de
vectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
C.3. Diagrama vectorial obtenidos a partir de los estados de conmutacion trifasico. 72
C.4. Sector I del diagrama vectorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
C.5. Secuencia de conmutacion del sector I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
C.6. Secuencia de conmutacion de los vectores para los seis sectores. . . . . . . . 76
C.7. Modulacion de onda caracterizada por el interruptor S1. . . . . . . . . . . 76
D.1. Inversor trifasico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
D.2. Inversor trifasico con proteccion de sobre corriente tomado de [1]. . . . . . 79
E.1. Diagrama a bloques de la plataforma experimental . . . . . . . . . . . . . . 81
E.2. Fotografıa de la plataforma experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
E.3. Diagrama de conexiones tıpicas de tarjeta Sensoray 626. . . . . . . . . . . 83
E.4. Diagrama a bloques del inversor trifasico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
E.5. Diagrama de conexiones del circuito inversor. . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
E.6. Diagrama de conexiones del circuito inversor. . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
E.7. Diagrama de conexiones del sensor de corriente NT-5. . . . . . . . . . . . . 87
E.8. Diagrama de conexiones del sensor de corriente NT-5. . . . . . . . . . . . . 87
E.9. Filtros para corrientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
E.10.Motor de CD sin escobillas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
E.11.Motor de CD sin escobillas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Indice de tablas
4.1. Valores de los parametros del motor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2. Ganancias de control para control por modelo exacto. . . . . . . . . . . . . 26
4.3. Indices de desempeno para la simulacion del controlador CME en las ecua-
ciones (4.19) y (4.23). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.4. Ganancias de control para control adaptable simple. . . . . . . . . . . . . . 33
4.5. Ganancias de adaptacion para control adaptable simple. . . . . . . . . . . 33
4.6. Indices de desempeno para la simulacion del controlador CAS en las ecua-
ciones (4.41). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.7. Ganancias para el controlador con reduccion de sobre-parametrizacion. . . 41
4.8. Ganancias de adaptacion para control adaptable con reduccion de sobre-
parametrizacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.9. Condiciones iniciales de los parametros estimados. . . . . . . . . . . . . . . 42
4.10. Tabla de valores de cotas inferiores para proyectores. . . . . . . . . . . . . 43
4.11. Indices de desempeno para el controlador adaptable con reduccion de sobre-
parametrizacion en las ecuaciones (4.62)-(4.63). . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.12. Ganancias de control para el controlador propuesto en experimento. . . . . 57
4.13. Ganancias de adaptacio para control adaptable propuesto en experimento. 57
4.14. Tabla de valores de cotas inferiores para proyectores. . . . . . . . . . . . . 58
4.15. Indices de desempeno del controlador adaptable propuesto en las ecuaciones
(4.91) y (4.92). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.16. Comparacion de desempeno de controladores adaptables CAR y CAP. . . 62
C.1. Tiempo de encendido de vectores para cada seccion. . . . . . . . . . . . . . 74
E.1. Componentes del circuito inversor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
E.2. Conexiones de terminales de encoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
1
Capıtulo 1
Introduccion
Avances a finales de los ochenta en sistemas roboticos, maquinas de control numerico,
maquinas de ensamble, y microprocesadores, permitieron el desarrollo de motores electri-
cos [2].
En la actualidad, los motores electricos son una parte integral de las plantas indus-
triales; no menos de 5 billones de motores son construidos en todo el mundo cada ano.
Debido a la creciente demanda por motores compactos y fiables se popularizo el motor
de corriente directa sin escobillas; esto no hubiera sido posible sin la evolucion de semi-
conductores de potencia de bajo costo y materiales de imanes permanentes. Actualmente,
estos motores estan presentes desde las mas sencillas aplicaciones del hogar, hasta en las
aplicaciones mas vanguardistas de la industria aeroespecial [3].
El motor de corriente directa sin escobillas, tambien conocido como BLDC (por sus
siglas en ingles, brushless direct current) son motores sıncronos trifasicos que cuentan con
dos componentes principales: un rotor de imanes permanentes y un estator con multiples
devanados. Estos motores eliminan las escobillas y los anillos de conmutacion utilizando
un iman permanente que reduce considerablemente la frecuencia del mantenimiento.
Debido a su diseno, el motor CD sin escobillas es tambien conocido por otros nombres
como BLDC, motor sıncrono de imanes permanentes (permanent magnet synchronous
motor, PMSM), motor sin escobillas de iman permanente o simplemente motor de ima-
nes permanentes. La vida util de los imanes que conforman el rotor se ve afectada por
temperaturas elevadas o por la presencia de un campo magnetico externo. El motor se
encuentra cubierto por una carcasa que lo protege contra el medio ambiente y la corrosion;
ademas, sobre la carcasa se montan los soportes del eje del rotor, dispositivos de medicion
de velocidad y otros elementos que brindan una correcta instalacion del mismo.
El movimiento de estos motores se realiza alimentando los devanados con una cierta
secuencia de corrientes, es decir, para lograr cualquier movimiento se debe realizar un
1
2
Figura 1.1: Diagrama de un motor trifasico
control de la corriente de los devanados. Otras caracterısticas destacables de los motores
de CD sin escobillas son la produccion de alto torque, la reduccion significativa de friccion,
tamano reducido (comparado con motores de propiedades similares), una menor inercia
en relacion con los motores de induccion, buena disipacion de calor, y la habilidad de
operar a altas velocidades [4].
Conceptualmente, el motor de CD sin escobillas tiene una estructura como la mostrada
en la figura 1.1. Aquı se muestra un motor de 2 polos y 3 fases; los devanados del estator
(a, b, c) son identicos pero separados entre si 120o (2π3
radianes), cada uno con Ns vueltas y
resistencia r. Los devanados del estator generan campos magneticos, estos se representan
como los ejes a, b y c y los ejes magneticos del rotor d y q [5]. La salida de corriente se
representa por cruces y la entrada por puntos.
El desplazamiento angular electrico es θe define la separacion entre el eje a y q. La ve-
locidad del campo magnetico giratorio es ωe. El motor se alimenta de los voltajes trifasicos
aplicados a los devanados del estator, estos voltajes generan un campo magnetico giratorio
con una velocidad angular ωe dada por:
ωe = 2πf, (1.1)
donde f es la frecuencia de los voltajes en Hertz (Hz). La velocidad angular ωe se relaciona
1.1 Antecedentes 3
con velocidad angular mecanica ωm con:
ωe = npωm, (1.2)
donde np es el numero de pares de polos. De la ecuacion (1.2) se puede decir que los
motores con pocos pares de polos se utilizan para velocidades elevadas y los que cuentan
con muchos pares de polos en aplicaciones de baja velocidad.
1.1. Antecedentes
Existen diversos precedentes en investigaciones en torno al motor de CD sin escobillas,
acerca de diversas clases de controladores, estudio de los modelos del motor y aplicaciones
especıficas. A continuacion se presenta una breve descripcion de la literatura relevante de
trabajos anteriores.
Dawson et al. [6] propone el diseno de tres controladores de seguimiento de trayectoria
para el motor de CD sin escobillas. El primero de ellos introduce el diseno del modelo d-q
del motor de CD sin escobillas junto con un controlador sencillo por modelo exacto para
seguimiento de trayectoria. El segundo es un control adaptable simple cuenta con una es-
timacion de 14 parametros adaptables. El tercer y ultimo controlador es una modificacion
del controlador adaptable simple, reduciendo la sobre-parametrizacion logrando la esti-
macion de 9 parametros adaptables. Estos controladores se exponen usando simulaciones
y experimentos.
Langarica [5] muestra aspectos generales del motor de CD sin escobillas. Establece
el modelo dinamico trifasico del sistema, el circuito equivalente del motor, una breve
introduccion de las transformaciones entre el modelo trifasico y el modelo d-q.
Salas [2] se presenta el modelo trifasico y el modelo d-q del motor de CD sin escobillas
junto a una breve descripcion de la transformada de Park y Clarke.
Campa et al. [7] se describe en primer lugar las principales caracterısticas y el modelo
electromecanico completo de un sistema de motor de CD sin escobillas, incluyendo 3
esquemas de control:
control de posicion PID,
control de posicion PI + Control de velocidad P, y
control de posicion P + Control de velocidad PI.
Ademas, este trabajo es complementado con resultados experimentales.
1.2 Objetivos 4
1.2. Objetivos
Los objetivos de este trabajo de investigacion se presentan por medio de un objetivo
general y un conjunto de objetivos especıficos que dejan en claro la finalidad de esta
investigacion y los cuales se muestran a continuacion.
1.2.1. Objetivo general
Estudio e implementacion de diferentes tecnicas de control para un motor de corriente
directa sin escobillas en tiempo real.
1.2.2. Objetivos especıficos
Estudio y analisis detallado del motor de CD sin escobillas.
Estudio del modelo matematico trifasico del motor de CD sin escobillas.
Estudio del modelo matematico transformado d− q del motor de CD sin escobillas.
Estudio y estimacion de parametros de un motor de CD sin escobillas.
Estudio y analisis de algoritmos de control y simulaciones numericas.
Construccion de driver inversor para el motor de CD sin escobillas.
Construccion de plataforma experimental.
Diseno, implementacion y evaluacion de controladores de controladores adaptables
para el seguimiento de trayectoria.
1.3. Motivacion
El motor de CD sin escobillas cuenta con un funcionamiento peculiar, ya que una de las
caracterısticas principales es el requerimiento de un controlador para su funcionamiento.
En la figura 1.2 se muestra el diagrama a bloques del sistema de control para el motor
trifasico, en donde se observa que ademas del controlador existen transformadas vectoria-
les para simplificar el diseno de control, un bloque de modulacion de senal denominado
SVM (por sus siglas en ingles vector space modulation) y un inversor trifasico, originando
conjuntamente un problema de control compuesto.
El presente tema de tesis considera estudiar y analizar un conjunto de controladores
adaptables que cuentan con la forma presentada en el la figura 1.2.
1.4 Aportaciones 5
Figura 1.2: Diagrama a bloques del sistema de control para el motor de CD sin escobillas.
1.4. Aportaciones
Las aportaciones del presente trabajo de tesis son
Diseno de un nuevo controlador adaptable de seguimiento de trayectoria para el
motor de CD sin escobillas.
Prueba de estabilidad del nuevo controlador adaptable.
Construccion de plataforma experimental para la prueba de controladores.
Comparacion por medio de experimentos del nuevo controlador adaptable con res-
pecto a un controlador ya reportado en la literatura.
Construccion de un inversor trifasico para el control de un motores.
1.5. Organizacion del contenido por capıtulo
La organizacion de este documento esta compuesta de la siguiente manera.
El capıtulo 2 presenta un conjunto de temas que sirven como preambulo para el desa-
rrollo de tesis, entre los cuales se encuentran conceptos de control adaptable, teorıa de
proyectores para estimacion de parametros en controladores adaptables y conceptos im-
portantes del la teorıa de estabilidad de Lyapunov.
1.5 Organizacion del contenido por capıtulo 6
En el capıtulo 3 se presentan 2 modelos matematicos del motor de CD sin escobi-
llas. El primero de ellos es el modelo trifasico abc, obtenido mediante la ecuacion que
describe el voltaje que pasa por los devanados del motor. Seguido a esto se proporciona
el modelo transformado d-q, obtenido con la aplicacion de dos transformaciones conoci-
das como transformada de Clarke y transformada de Park las cuales permiten pasar del
modelo trifasico abc a un modelo simplificado d-q, facilitando el diseno y aplicacion de
controladores para el motor de CD sin escobillas.
El capıtulo 4 es la parte mas relevante de este documento, aquı se muestran 4 diferen-
tes controladores para el motor de CD sin escobillas. El primero de ellos es un controlador
por modelo exacto para el seguimiento de trayectoria donde el controlador conoce cada
uno de los parametros con los que cuenta el motor. El segundo y tercero son controladores
adaptables para seguimiento de trayectoria con la estimacion de 14 y 9 parametros del
motor, respectivamente. El cuarto y ultimo es un controlador adaptable para seguimien-
to de trayectoria propuesto con la estimacion de 7 parametros del motor. Los 2 primeros
controladores se encuentra acompanados de simulaciones y los siguientes de experimentos.
Finalmente, se presenta una evaluacion de desempeno y comparacion entre los controla-
dores.
Por ultimo, en el capıtulo 5 se presentan las conclusiones de la investigacion y el
trabajo futuro que se puede realizar en torno a este tema.
Capıtulo 2
Preliminares
En este capıtulo, se presentan los conceptos fundamentales necesarios para comprender
con claridad el desarrollo y analisis de los controladores desarrollados en este trabajo de
investigacion.
2.1. Control adaptable
El control adaptable es una tecnica de diseno destinada para aplicaciones de alto
desempeno en control de sistemas dinamicos con incertidumbre, la cual se supone carac-
terizada por un conjunto de parametros constantes desconocidos. Aun ası, el diseno de los
controladores adaptables requiere del conocimiento preciso de la estructura del sistema a
controlar, sin embargo a diferencia del control robusto, el control adaptable no necesita
informacion sobre los lımites de estos parametros inciertos o variables en el tiempo [8].
Una ventaja de esta clase de control es que si los parametros de la planta cambian
durante el funcionamiento, el controlador se ajusta a estos cambios permitiendo con ello un
mejor desempeno del sistema. En un sistema no adaptable donde el controlador se disena
suponiendo los parametros de la planta constantes, los cambios en los parametros pueden
llegar afecta negativamente el desempeno de la planta y/o del controlador. Otra ventaja
de los sistemas de control adaptable es que no se requiere conocimiento de los parametros
exactos de la planta para el diseno del controlador. Es decir, el control adaptable incluye
un conjunto de tecnicas que permiten sistematicamente un ajuste automatico del control
en tiempo real, con la finalidad de lograr o mantener un nivel deseado de rendimiento
en el sistema de control cuando en el modelo dinamico los parametros de la planta se
desconoce y/o cambia en el tiempo.
Existen 2 posibles escenarios que se pueden presentar en un control adaptables:
7
2.1 Control adaptable 8
Figura 2.1: Diagrama de basico de un sistema adaptable.
En primer lugar, es cuando los parametros del modelo dinamico de la planta son
desconocidos pero constantes (por lo menos en una cierta region de la operacion).
En tales casos, aunque la estructura del controlador no dependera en general de los
valores particulares de los parametros del modelo, el ajuste correcto de la parametros
del controlador no se puede hacer sin el conocimiento de sus valores.
El segundo caso, es que los parametros del modelo dinamico de la planta cambian
imperceptiblemente en el tiempo. Estas situaciones se producen por cambios en el
medio ambiente o porque el modelo no lineal se ha simplificado a un modelo lineal.
Con el fin de alcanzar y mantener un nivel aceptable del rendimiento del sistema
de control cuando los cambios grandes y desconocidos en los parametros del modelo
se producen, un enfoque de control adaptable tiene que ser considerado. En tales
casos, la adaptacion operara la mayor parte del tiempo, razon por la cual tambien
es llamado adaptacion continua. En la figura 2.1 se muestra un diagrama basico de
control adaptable.
Un fundamento importante del control adaptable es la estimacion de parametros. Entre
los metodos comunes para la estimacion de parametros se encuentran: mınimos cuadrados
recursivos y gradiente descendente. Ambos metodos, proporcionan leyes de actualizacion
que se utilizan para modificar las estimaciones en tiempo real. La estabilidad de Lyapunov
se utiliza para derivar las leyes de actualizacion y el criterio de convergencia. La proyeccion
(matematica) y la normalizacion se utilizan comunmente para mejorar la robustes de los
algoritmos de estimacion [9].
2.2 Teorıa de proyectores 9
Figura 2.2: Grafica de estimacion de un parametro con proyectores.
2.2. Teorıa de proyectores
Debido a la convergencia de los parametros del motor, es posible implementar el uso
de proyectores, herramienta presentada en [10] y [11], que ayuda a que la convergencia de
los parametros sea mas rapida y se mantenga acotada en un rango de valores permisibles
o que ayuden a que la estimacion de los parametros no llegue a un valor negativo o cero,
evitando con ello singularidades.
2.2.1. Proyectores para evitar valores negativos o cero en la es-
timacion de los parametros
Para evitar que la estimacion de un parametro sea negativa o en un caso particular
llegue a ser cero, se implementa el uso de un proyector sencillo presentado en [11], el cual
consiste en limitar la estimacion del parametro a una cota minima, es decir, se determinan
las condiciones necesarias para que la solucion de un valor estimado θi no descienda de
un valor deseado, tal como se muestra a continuacion
˙θi = − ˙θi =
γiφi, si ai < θi,
−γiφi, si θi ≤ ai y φi ≤ 0,
γiφi, si θi < ai y φi > 0,
(2.1)
donde, ai es la cota inferior de los valores posibles a tomar por θi, γi es una ganancia de
adaptacion positiva, φi es la ley de adaptacion para calcular la estimacion del parametro
θi. En la figura 2.2 se ilustra la estimacion de un parametro con el uso de esta clase de
proyectores.
2.2 Teorıa de proyectores 10
Figura 2.3: Grafica de estimacion de un parametro con proyectores.
2.2.2. Proyectores para mantener el valor de la estimacion de
parametros en un rango de valores
Otra clase de proyectores son los presentados en [10], usados cuando se tiene nocion
de un rango de valores que debe de tener el parametro estimado. Basicamente la imple-
mentacion de los proyectores se hace en cada uno de los estados en que se calculan los
parametros, basados en la regla de la ley de adaptacion dada por
˙θi = [proj(θ, φ)]i =
γiiφi, si ai < θi < bi o
si θi ≥ bi < bi y φi ≤ 0 o
si θi ≤ ai y φi ≥ 0,
γii(1 + bi−θiδ
)φi, si θi ≥ bi y φi ≥ 0,
γii(1 + θi−aiδ
), si θi ≤ ai y φi ≤ 0,
(2.2)
donde γii es una ganancia positiva, θi es el parametro estimado, ai es la cota inferior de
los valores posibles a tomar por θi, bi es la cota superior de los posibles valores a tomar
por θi, δ > 0 es un numero suficientemente pequeno y φi es la ley de adaptacion para los
parametros.
Para los controladores adaptables las estimaciones algunas veces llegan a un valor
aceptable en un periodo corto de tiempo, por lo que la implementacion de proyectores no
es estrictamente necesaria, sin embargo para algunos otros, el uso de proyectores ayuda
significativamente a la adaptacion de los parametros. En la figura 2.3 se muestra una
grafica ejemplificado una estimacion de un parametro con sus limites inferior ai y superior
bi [9].
2.3 Estabilidad en sentido de Lyapunov 11
2.3. Estabilidad en sentido de Lyapunov
Uno de los conceptos primarios en control es la estabilidad. Sin la estabilidad, el resto
de especificaciones como: convergencia, rapidez del transitorio, oscilaciones reducidas,
rechazo de perturbaciones, robustes, carecerıan de sentido.
Para el caso de sistemas lineales el concepto de estabilidad es claro, es decir, es la
condicion necesaria y suficiente bien conocida, parte real negativa de todos los polos de
la funcion de transferencia o de los valores propios de la matriz de transicion de estados.
Ademas existen criterios sencillos que permiten analizarla, tales como los criterios de
Routh-Hurwitz y de Nyquist. Sin embargo cuando se tratan sistemas no lineales, estos
metodos no tienen validez [12].
La riqueza dinamica de los sistemas no lineales presenta ciertos fenomenos que no
se evidencian al estudiar los sistemas lineales. Uno de estos fenomenos es la existencia
de multiples puntos de equilibrio aislados. Un sistema lineal puede tener un solo punto
de equilibrio aislado, y por lo tanto un solo estado de regimen estacionario. En cambio,
los sistemas no lineales pueden tener varios puntos de equilibrio, y la convergencia a uno
estable depende del estado inicial. Debido a esto, resulta importante estudiar la estabilidad
de los diferentes puntos de equilibrio de los sistemas no lineales para comprender su
comportamiento.
Entre las teorıas que realizan el analisis de estabilidad de sistemas no lineales, se
encuentra la teorıa basada en Lyapunov, que tiene un lugar destacado por la riqueza en
la descripcion de los diversos conceptos y los metodos para el analisis de estabilidad que
establecen condiciones suficiente para un sistema conserve la estabilidad [13].
Para complementar la adecuadamente los conceptos de estabilidad, el resto de la pre-
sente seccion se basa en las referencias [13] y [14].
La teorıa de estabilidad de Lyapunov, tiene como principal objetivo estudiar el com-
portamiento de sistemas dinamicos descritos por ecuaciones diferenciales ordinarias de la
forma.
xxx = fff(t,xxx), xxx ∈ IRn, t ∈ IR+, (2.3)
donde, xxx ∈ IRn corresponde al estado del sistema representado en la ecuacion (2.3). Entre
los conceptos basicos de la teorıa de estabilidad de Lyapunov destacan los siguientes:
Definicion 2.1 (Equilibrio) Un vector constante xe ∈ IRn es un equilibrio del sistema
(2.3) si:
f(t,xe) = 0, ∀t ≥ 0.
De la definicion anterior se tiene que si la condicion inicial x(t0) es un equilibrio, se tiene
2.3 Estabilidad en sentido de Lyapunov 12
Figura 2.4: Concepto de equilibrio.
que:
x(t) = xe, ∀ t ≥ t0 ≥ 0,
x(t) = 0, ∀ t ≥ t0 ≥ 0.
En la figura 2.4, se representa el caso de x(t0) ∈ IR2. El estado inicial x(t0) es precisamente
xe, ası la evolucion de la solucion x(t) corresponde exactamente al valor constante xe para
todo tiempo t ≥ t0.
Otra definicion importante es la estabilidad que es definida bajo las consideraciones
del equilibrio de ecuaciones diferenciales y no por las propias ecuaciones. Para introducir
esta definicion suponga que x = 0 es un equilibrio de (2.3).
Definicion 2.2 (Estabilidad) El origen es un equilibrio estable (en sentido de Lyapu-
nov) de la ecuacion (2.3), si para cada numero ε > 0 se puede encontrar un numero δ > 0
tal que:
‖ x(0) ‖< δ ⇒‖ x(t) ‖< ε, ∀ t ≥ 0, (2.4)
entonces el origen del espacio de estados es estable.
La definicion de estabilidad requiere la existencia de un δ > 0 para cada ε > 0 y no
para algun ε > 0. En la figura 2.5, se ilustra el concepto de estabilidad, la trayectoria
con un estado inicial x(t0) ∈ IRn de tal manera que el origen de estados x = 0 ∈ IRn es
un equilibro estable. Tambien se observa en la figura 2.4, donde ε y δ deben satisfacer la
condicion de la definicion de estabilidad, esto es, ‖x(t0)‖ < δ implica que ‖x(t)‖ < ε para
todo t ≥ t0 ≥ 0.
Definicion 2.3 (Estabilidad uniforme) El origen es un equilibro estable en sentido de
Lyapunov, si para cada numero ε > 0 existe δ = δ(ε) > 0 tal que (2.4) se cumpla.
2.3 Estabilidad en sentido de Lyapunov 13
Figura 2.5: Nocion de estabilidad.
Definicion 2.4 (Estabilidad asintotica) El origen del espacio de estados es un equi-
librio asintoticamente estable del sistema (2.3) si:
1. El origen estable.
2. El origen es atractivo, es decir, existe un numero δ′ = δ′(t0) > 0 tal que:
‖ x(0) ‖< δ′ ⇒‖ x(t) ‖→ 0 cuando t→∞. (2.5)
Definicion 2.5 (Estabilidad asintotica uniforme) El origen del espacio de estados
es un equilibrio uniforme asintoticamente estable del sistema (2.3) si:
1. El origen es uniformemente estable.
2. El origen es uniformemente atractivo, esto es que existe un numero δ′ > 0 tal que
(2.5) se mantiene con una velocidad de convergencia independiente a t0.
Definicion 2.6 (Estabilidad asintotica global) El origen del espacio de estados es
un equilibrio global y asintoticamente estable del sistema (2.3) si:
1. El origen estable.
2. El origen es atractivo para todo x(0) ∈ IRn, es decir:
‖ x(t) ‖→ 0 cuando t→∞, ∀ x(t0) ∈ IRn, t0 ≥ 0.
Un equilibrio global asintoticamente estable implica que dicho equilibrio es tambien
asintoticamente estable, pero lo contrario, es falso.
2.3 Estabilidad en sentido de Lyapunov 14
Definicion 2.7 ( Estabilidad global asintotica uniforme) El origen de espacios de
estados es un equilibro global asintoticamente estable de la ecuacion (2.3) si:
1. El origen es uniformemente estable con δ(ε) en la definicion de estabilidad uniforme
que satisfaga δ(ε)→∞ cuando ε→∞ (uniformemente acotada) y
2. El origen del espacio de estados es globalmente atractivo, esto es para todo x(t0) ∈IRn y todo t0 ≥ 0
‖ x(t) ‖ cuando t→∞ (2.6)
con una velocidad de convergencia independiente a t0.
Definicion 2.8 ( Estabilidad exponencial global) El origen del sistema (2.3) es glo-
balmente exponencialmente estable, si existe una constante positiva α y β, independiente
de t0 tal que:
‖ x(t) ‖< α ‖ x(t0) ‖ e−β(t−t0), ∀t ≥ t0 ≥, ∀x(t0) ∈ IRn (2.7)
Capıtulo 3
Modelo del motor de corriente
directa sin escobillas
En este capıtulo, se presentan dos modelos matematicos del motor de CD sin escobillas,
el primero de ellos es el modelo trifasico tambien conocido como el modelo abc, que se
obtiene mediante el circuito equivalente del motor de CD sin escobillas, posteriormente
se describe el modelo transformado, popularmente llamado el modelo d-q.
El presente capıtulo esta inspirado de la referencias [5], [6] y [15].
3.1. Modelo abc del motor de corriente directa sin
escobillas
El modelo del motor de corriente directa sin escobillas se puede dividir en su parte
mecanica y electrica, presentado a continuacion.
3.1.1. Parte mecanica del modelo trifasico del motor
El modelo dinamico de la parte mecanica del motor con carga pendular, esta dado
por:
Mq +Bq +N sin(q) = τ, (3.1)
donde, M es una constante positiva relacionada a la inercia mecanica del sistema (incluida
la inercia del motor), N es una constante positiva relacionada con la masa de la carga y el
coeficiente de gravedad y B es un coeficiente positivo de la friccion viscosa y τ representa
el torque electromecanico.
15
3.1 Modelo abc del motor de corriente directa sin escobillas 16
Figura 3.1: Circuito equivalente del motor de CD sin escobillas.
3.1.2. Parte electrica del modelo trifasico del motor
En este apartado, se desarrollaran las ecuaciones del modelo matematico trifasico del
motor de CD sin escobillas. El circuito equivalente del motor se muestra en la figura
3.1. Por construccion los devanados tienen la misma resistencia representada por rs, las
corrientes de los devanados son dadas por ia, ib y ic y los voltajes para cada fase del
estator estan dados por Va, Vb y Vc, los subındices a, b y c se usa para referirse a cada uno
de los devanados. Las ecuaciones del motor se deducen bajo las siguientes suposiciones
segun [15]:
La distribucion espacial de los devanados por fase del estator se asume que es sinu-
soidal, por lo tanto, la fuerza magnetomotriz producida por el estator se considera
sinusoidal.
No existe ningun efecto termico sobre las resistencias del estator ni sobre el iman
permanente.
El material magnetico se supone lineal, es decir, que no existe efecto de saturacion.
No existen perdidas en el entre hierro de la maquina.
Con estas suposiciones es posible obtener las ecuaciones del voltaje para los devanados
del estator. En la representacion matricial de las ecuaciones, el subındice s hace referencia
3.1 Modelo abc del motor de corriente directa sin escobillas 17
al estator y la ecuacion de los voltajes trifasicos del motor es dada por
Vabcs = RsIabcs +d
dtλabcs, (3.2)
donde, el vector Vabcs es el voltaje del estator por fase, Rs es la matriz de resistencias de
las bobinas del estator, iabcs es el vector de corrientes por fase del estator, y λabcs es el
vector del flujo concatenado del estator, definidos explıcitamente como
Vabcs =
Va
Vb
Vc
, (3.3)
Rs =
rs 0 0
0 rs 0
0 0 rs
, (3.4)
iabcs =
ias
ibs
ics
, (3.5)
λabcs =
λas
λbs
λcs
. (3.6)
El flujo concatenado del estator es creado por el mismo flujo del estator y por el flujo de
los imanes permanentes del rotor, por este motivo existen dos subındices: r referente al
rotor y s al estator. El flujo concatenado creado por el estator se obtiene de la matriz de
inductancias de las bobinas del estator y el vector corriente del estator, ademas el flujo
concatenado creado por el rotor se obtiene de un vector que contempla el angulo electrico
del rotor (θr) y la amplitud del flujo vista desde el estator, que es creada por los imanes del
rotor. La ecuacion que define el flujo concatenado del motor esta dada por (3.7), definida
bajo la suma del flujo concatenado del estator y del rotor dados por las ecuaciones (3.8)
y (3.9), respectivamente. Esto es,
λabcs = λabcs(s) + λabcs(r), (3.7)
3.1 Modelo abc del motor de corriente directa sin escobillas 18
donde
λabcs(s) =
Laas Labs Lacs
Lbas Lbbs Lbcs
Lcas Lcbs Lccs
iabcs, (3.8)
λabcs(r) =
sin(θr)
sin(θr − 2π3
)
sin(θr + 2π3
)
. (3.9)
Por medio de las ecuaciones (3.10) se permite el calculo de las auto-inductancias e induc-
tancias de los devanados del estator y del rotor respectivamente, donde las inductancias
son dadas en funcion de la posicion del rotor o angulo electrico del rotor (θr).
Laas = Lls + LA − LB cos(2θr), (3.10)
Lbbs = Lls + LA − LB cos
(2θr +
2π
3
),
Lccs = Lls + LA − LB cos
(2θr −
2π
3
),
Labs = Lbas = −1
2LA − LB cos
(2θr −
2π
3
),
Lacs = Lcas = −1
2LA − LB cos
(2θr +
2π
3
),
Lbcs = Lcbs = −1
2LA − LB cos(2θr),
donde Lls es la inductancia de dispersion, es decir son las lıneas de flujo que se cierran
sin pasar por otro devanado, tambien consideradas perdidas de flujo. De manera similar
se realiza el mismo procedimiento para cada una de las tres fases del estator. La senal θr
es el angulo electrico del rotor o angulo mecanico, siempre y cuando el numero de polos
sea el mismo. Los terminos LA y LB son las inductancias de los devanados, dadas por
LA =
(Ns
2
)2
πµ0rlε1, (3.11)
LB =1
2
(Ns
2
)2
πµ0rlε2, (3.12)
3.2 Modelo d-q del motor de corriente directa sin escobillas 19
donde
ε1 =1
2
(1
gmin+
1
gmax
), (3.13)
ε2 =1
2
(1
gmin− 1
gmax
),
Ns es el numero de vueltas en las bobinas, r es el radio del devanado desde el centro hasta
la circunferencia interior del estator, l es la longitud axial del entre hierro del devanado,
µ0 corresponde a la permeabilidad del aire, gmin y gmax son el grosor maximo y mınimo
del entre hierro, respectivamente.
De acuerdo a (3.2) y sustituyendo los terminos correspondientes, se obtiene la siguiente
ecuacion matricial del modelo del motor: Va
Vb
Vc
=
Rs 0 0
0 Rs 0
0 0 Rs
Ia
Ib
Ic
+d
dt
Laas Labs Lacs
Lbas Lbbs Lbcs
Lbcs Lcbs Lccs
Ia
Ib
Ic
+ λm
sin(θr)
sin(θr − 2π3 )
sin(θr + 2π3 )
.
(3.14)
Sin embargo, este sistema cuenta con algunas dificultades para su uso como
el sistema de ecuaciones diferenciales es no lineal, y
existen terminos que dependen del angulo θr.
Para poder resolver estos problemas es posible transformar el sistema y obtener un modelo
del motor, que sera representado por ecuaciones mas sencillas de analizar y de tratar.
Para lograr el objetivo se requiere usar dos transformaciones matriciales de llamadas
transformada de Clark y transformada de Park, presentadas en el apendice B, obteniendo
como resultado el modelo de ecuaciones transformadas y simplificadas a 2 fases, conocido
como modelo d-q.
3.2. Modelo d-q del motor de corriente directa sin
escobillas
El modelo del motor de CD sin escobillas mostrado a continuacion fue propuesto por
[6], el cual asume que el circuito magnetico es lineal, los devanados del motor se encuentran
conectados en estrella, y el eje del motor se encuentra ensamblado a un brazo robotico de
un solo enlace. El modelo del motor de CD sin escobillas procedente de la simplificacion
del sistema de ecuaciones trifasicas abc dado en (3.1) y (3.14) es conocido como: modelo
transformado d-q, en donde se simplifica las 3 ecuaciones electricas del modelo trifasico
3.2 Modelo d-q del motor de corriente directa sin escobillas 20
abc, a un modelo compuesto por una ecuacion que representa la parte mecanica del motor
y dos mas que representan la parte electrica del motor.
El modelo d-q es representado por las siguientes ecuaciones, en donde con un abuso
de la notacion, el subındice ′′a′′ refiere a la fase ′′d′′ y el subıncice ′′b′′ refiere a la fase ′′q′′,
resultantes de las transformaciones de Park y Clarke. Especıficamente, el modelo d-q del
motor de corriente directa sin escobillas es dado por
Mq +Bq +N sin(q) = (KbIb + 1)Ia, (3.15)
LaIa = −RIa − npLbIbq −Kτ2q + Va, (3.16)
LbIb = −RIb + npLaIaq + Vb, (3.17)
donde Kτ2 y Kb son dos constantes positivas de transmision de torque, M es una constante
positiva relacionada a la inercial mecanica del sistema (incluida la inercia del motor), N
es una constante positiva relacionada con la masa de la carga y el coeficiente de gravedad
y B es un coeficiente positivo de la friccion viscosa. Los subındices a y b hacen referencia
a los ejes de cuadratura (o bien, a los ejes de cuadratura d-q). Los parametros y variables
del motor se definen de la siguiente manera: La y Lb representa las inductancias de los
devanados ya transformadas, R es una constante positiva de resistencia en los devanados,
np es el numero de pares de polos de imanes permanentes en el rotor, q(t), q(t) y q(t)
representan la posicion, velocidad y aceleracion respectivamente, Ia(t) e Ib(t) representan
las corrientes transformadas en los devanados. Finalmente, Va(t) y Vb(t) simbolizan los
voltajes en los devanados ya transformados.
El modelo simplificado d-q es el que se estara manejando para el desarrollo y analisis
de los controladores estudiados en este trabajo.
El apendice B describe las transformaciones de Clarke y Park, con las cuales el modelo
(3.14) se transforma en (3.15)-(3.17).
Capıtulo 4
Controladores no lineales para
seguimiento de trayectoria con
comparacion de desempeno
En este capıtulo se introduce la aportacion mas importante en este documento, com-
prendido por el desarrollo de 4 controladores para el motor de CD sin escobillas. Prime-
ramente se presenta un controlador por modelo exacto denominado por sus siglas como
CME, seguido por el desarrollo de tres controladores adaptables para el seguimiento de
trayectoria. El primero de ellos se denomina controlador adaptable simple, tambien de-
nominado por sus siglas como CAS, con una estimacion de 14 paraametros del motor.
El segundo controlador estudiado es una modificacion de este controlador conocido como
controlador adaptable con reduccion de sobre−parametrizacion, denominado por sus siglas
como CAR, el cual cuenta con una estimacion de 9 parametros del motor. Finalmente, se
presenta el controlador adaptable propuesto, conocido por sus siglas como CAP con una
estimacion de 7 parametros del motor.
Con la medicion de la posicion q(t), velocidad q(t) y las corrientes de las fases del
motor Ia(t) y Ib(t), el objetivo de control es lograr el seguimiento de trayectoria, es decir,
se pretende que el error de seguimiento entre una trayectoria deseada qd(t) y la trayectoria
del motor q(t) tienda a cero cuando el tiempo tiende a infinito, tal como se muestra en la
ecuacion
lımt→∞
e(t) = 0, (4.1)
donde el error de posicion esta dado por
e = qd − q. (4.2)
21
4.1 Controlador por modelo exacto 22
Para simplificar el diseno y analisis del control se define un error de seguimiento filtrado
dado por r(t) como
r = e+ αe, (4.3)
donde, α es una ganancia de control positiva, y e se refiere al error de velocidad, rescri-
biendo la ecuacion se tiene que la derivada del error filtrado es
r = (qd + αe)− q. (4.4)
4.1. Controlador por modelo exacto
El control por modelo exacto es una tecnica de diseno de control de sistemas. Este
controlador es presentado en la literatura por Dawson et al. [6], y en este trabajo este
controlador es denominado sus siglas como CME. Una caracterıstica importante de esta
tecnica es que se requiere del conocimiento preciso de la estructura del sistema a controlar
y de los parametros exactos del motor para su implementacion. Una desventaja de este
esquema de control es que pueden verse afectado facilmente cuando se presentan cambios
en los valores de los parametros, perjudicando directamente el funcionamiento de la planta.
4.1.1. Diseno del controlador
Basado en el objetivo de control mencionado anteriormente y conociendo la estructura
del sistema y los parametros del motor, se requiere disenar un controlador para el segui-
miento de trayectoria del sistema dinamico dado por las ecuaciones (3.15)-(3.17) reescritas
en terminos del estado[r ηa ηb
]∈ IR3 como
Mr = Wτθτ − Ida + ηa −KbIaIdb + 1 +KbIaηb, (4.5)
Laηa = LaIda +RIa + npLbIbq +Kτ2q − Va, (4.6)
Lbηb = LbIdb +RIb − npLaIaq − Vb, (4.7)
donde Wτ (q, q, t) ∈ IR1×3 es la matriz de regresion
Wτ =[qd + αe q sin(q)
], (4.8)
el vector de parametros θτ ∈ IR3 es
θτ =[M B N
]T, (4.9)
4.1 Controlador por modelo exacto 23
ηa y ηb representan el error de seguimiento en las corrientes de las fases transformadas del
motor dados por
ηa = Ida − Ia, (4.10)
ηb = Idb − Ib,
donde las trayectorias deseadas de la corriente a y b se disenan de forma que permitan el
seguimiento de la trayectoria deseada, y son representadas por Ida y Idb,
Ida = Wτθτ + ksr, (4.11)
Idb = 0,
y sus derivadas son
Ida = Wτθτ + ksr, (4.12)
Idb = 0,
donde, ks es una ganancia de control positiva y r es la derivada del error filtrado definido
en la ecuacion (4.4).
Sustituyendo las corrientes deseadas Ida y Idb en las ecuaciones de la dinamica de la
parte mecanica (4.5) se tiene
Mr = −ksr + ηa +KbIaηb. (4.13)
Ademas, sustituyendo la derivada de la matriz de regresion Wτ y la derivada del error
filtrado r en la ecuacion (4.12) se tiene
Ida = M (...q d + α(qd − q)) +Bq +Nq + ks(qd − q + αe), (4.14)
donde se cuenta con las senales medibles q y q, sin embargo, se requiere el termino de
la aceleracion q, el cual se obtiene de la ecuacion (3.15) y con ayuda de los parametros
conocidos M , N , B y Kb, es posible calcular q de la siguiente forma
q = − BMq − N
Msin(q) +
1
M(KbIb + 1) Ia, (4.15)
4.1 Controlador por modelo exacto 24
sustituyendo la aceleracion q dada por la ecuacion (4.15) en la ecuacion (4.14) se obtiene
Ida = M(...q d + αqd) +Nq cos(q) + ks(qd + αe) (4.16)
+(B −Mα− ks)(− BMq − N
Msin(q) +
1
M(KbIb + 1)Ia
).
Pasando al desarrollo de la parte electrica del controlador, se realiza la sustitucion de Ida
dada en la ecuacion (4.16) en la ecuacion (4.6)
Laηa = wa − Va, (4.17)
donde se utiliza la variable auxiliar wa(q, q, Ia, Ib, t) dada por
wa = La (M(...q d + αqd) +Nq cos(q) + ks(qd + αe)) (4.18)
+La(B −Mα− ks)(− BMq − N
Msin q +
1
M(KbIb + 1)Ia
)+RIa + npLbIbq +Kτ2q.
Por medio de la ecuacion (4.17) se puede disenar facilmente la entrada de control Va que
logre que ηa(t) tienda a cero,
Va = wa + k1ηa + r, (4.19)
donde k1 es una ganancia de control positiva. Sustituyendo el voltaje Va de la ecuacion
(4.19) en la ecuacion (4.17) se obtiene
Laηa = −k1ηa − r. (4.20)
De forma similar al procedimiento anterior, se hace lo mismo para la ecuacion (4.7), donde
se sustituye Idb dada por (4.11) en (4.7) obteniendo
Lbηb = wb − Vb, (4.21)
donde
wb = RIb − npLaIaq. (4.22)
Basados en (4.21) se disena la entrada de voltaje Vb para garantizar que el error ηb(t)
tienda a cero,
Vb = wb + k2ηb +KbIar, (4.23)
donde k2 es una ganancia de control positiva. Sustituyendo el voltaje Vb de la ecuacion
4.1 Controlador por modelo exacto 25
Figura 4.1: Diagrama a bloques del controlador por modelo exacto
(4.23) en la ecuacion (4.21) se obtiene
Lbηb = k2ηb −KbIar. (4.24)
En resumen la dinamica del sistema de lazo cerrado del control por modelo exacto esta da-
da por las ecuaciones (4.13), (4.20) y (4.24). El controlador por modelo exacto se des-
prende de las ecuaciones (4.11), (4.19) y (4.23), que representan las corrientes deseadas y
las entradas de control representadas por los voltajes de entrada del motor.
4.1.2. Simulaciones numericas para el CME
Para comprobar el funcionamiento del controlador por modelo exacto se realizaron si-
mulaciones numericas con ayuda de la herramienta de computoMATLABr y Simulinkr.
En la figura 4.1 se muestra el diagrama a bloques para las simulaciones del controlador
CME. Para simular el motor de CD sin escobillas real se utilizaron los parametros pro-
puestos mostrados en la tabla 4.1. Ademas, en la tabla 4.2 se presentan las ganancias de
control utilizadas.
La trayectoria deseada para este controlador es
qd = 2 sin(4t) + 1.5 [rad]. (4.25)
Como resultado de estas simulaciones se desprende la figura 4.2 que muestra el seguimiento
de la trayectoria de la posicion q(t). Ademas, en la figura 4.3 se ilustra el seguimiento de la
trayectoria de la velocidad q(t) y finalmente en la figura 4.4 se muestra el seguimiento de
las corrientes de cada fase Ia(t) e Ib(t). Como complemento de la informacion presentada
en la tabla 4.1.2 se muestra el valor RMS del error de posicion e(t), corrientes ηa(t) y ηb(t)
y el valor RMS de voltaje Va(t) y Vb(t) entregado en una ventana de tiempo de 20 [seg]
4.1 Controlador por modelo exacto 26
Parametro Descripcion Valor
Lb Inductancia devanado b 0.00465La Inductancia devanado a 0.00310R Resistencia en devanados 0.93220Kτ2 Constante de torque 0.50600Kb Constante de torque 0.02460M Inercia mecanica 0.02920N Masa de carga y coeficiente de gravedad 2.23870B Coeficiente de friccion viscosa 0.02980np Numero de pares polos 4.0
Tabla 4.1: Valores de los parametros del motor.
Ganancia de control Valor
α 2.0ks 0.7k1 0.5k2 0.5
Tabla 4.2: Ganancias de control para control por modelo exacto.
0 5 10 15 20 25−2
−1
0
1
2
3
4
5
[rad]
Tiempo [s]
Seguimiento de posicion q(t)
q(t) qd(t)
Figura 4.2: Seguimiento de posicion del controlador CME.
4.1 Controlador por modelo exacto 27
0 5 10 15 20 25−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
[rad/seg]
Tiempo [s]
Seguimiento de velocidad q(t)
q(t) qd(t)
Figura 4.3: Seguimiento de velocidad del controlador CME.
0 5 10 15 20 25−20
0
20
[Amp]
Corrientes
Ia(t) Ida(t)
0 5 10 15 20 25
−5
0
5
[Amp]
Tiempo [s]
Ib(t) Idb(t)
Figura 4.4: Seguimiento de las corrientes del controlador CME.
4.2 Controlador adaptable simple 28
Indice Valor Unidad
RMSe(t)∀20 ≤ t ≤ 25 0.01708 [rad]
RMS[ηa(t) ηb(t)
]T∀20 ≤ t ≤ 25 0.005416 [Amp]
RMS[Va(t) Vb(t)
]T∀20 ≤ t ≤ 25 3.2 [V olts]
Tabla 4.3: Indices de desempeno para la simulacion del controlador CME en las ecuaciones(4.19) y (4.23).
a 25 [seg].
Como se puede observar en las figuras anteriores, el seguimiento de posicion, velocidad
y corrientes se realiza adecuadamente. Un punto a resaltar en estas simulaciones es el valor
mınimo de los errores, esto debido a que este controlador usa los valores exactos de los
parametros del motor, lo cual permite una convergencia mas rapida del error.
4.2. Controlador adaptable simple
El segundo controlador que se presenta es el llamado control adaptable simple pro-
puesto en la literatura por Dawson et al. [6]. Denominado en este trabajo por sus siglas
como CAS. Este controlador no tiene conocimiento de los parametros con los que cuen-
ta el motor de CD sin escobillas, ası que se realiza la estimacion de dichos parametros
por medio de leyes de adaptacion. El denominado controlador adaptable simple estima 14
parametros del motor. Una ventaja de este controlador es que al presentarse cambios en
los parametros de motor, no se perjudica el funcionamiento del controlador.
4.2.1. Diseno del controlador
Para el desarrollo del control adaptable simple, se tiene que la dinamica de sistema
esta dada por las ecuaciones (3.15), (3.16) y (3.17), donde se cuenta con incertidumbre en
los parametros del sistemas. La posicion q, la velocidad q y las corrientes de los devanados
Ia e Ib son los estados medibles. Para el desarrollo de este controlador, inicialmente se
disenan la trayectorias deseadas de las corrientes en los devanados, definidas como
Ida = Wτ θτ + ksr, (4.26)
Idb = 0,
4.2 Controlador adaptable simple 29
donde Wτ ∈ IR1×3 es la matriz de regresion definida por la ecuacion (4.8), θτ ∈ IR3 es el
vector de parametros estimados dado por
θτ =[M B N
]T, (4.27)
que representa una aproximacion del vector de parametros definido en (4.9) y ks es una
ganancia de control positiva.
Los parametros estimados θτ son definidos por la ley de adaptacion
θτ =
∫ t
0
ΓτWTτ (σ)r(σ)dσ, (4.28)
donde Γτ ∈ IR3×3 es una matriz diagonal de ganancias adaptables, definida positiva.
Ademas, el error entre los parametros estimados θτ y los parametros reales θτ esta dado
por
θτ = θτ − θτ . (4.29)
La ley de adaptacion (4.28) puede ser escrita en terminos del error de parametros como
˙θτ = −ΓτWTτ r = − ˙
θ. (4.30)
Sustituyendo las ecuaciones de las corrientes deseadas de (4.26) en la dinamica de la-
zo abierto en terminos del error dada por la ecuacion (4.5), produce como resultado la
dinamica en lazo cerrado en terminos del error de la parte mecanica del sistema dada por
Mr = Wτθτ − ksr + ηa +KbIaηb. (4.31)
Ya finalizando el diseno de la dinamica en lazo cerrado de la parte mecanica, se procede
a complementar el diseno con la obtencion de los voltajes de entrada del motor, para esto
se obtienen las derivadas de las corrientes deseadas, de modo que Ida y Idb son dadas por
Ida = Wτ θτ +Wτ˙θτ + ksr, (4.32)
Idb = 0.
Sustituyendo los valores de la matriz de regresion dada por (4.8) y el error de seguimiento
filtrado dado por (4.4) en Ida de la ecuacion (4.32) tenemos
Ida = M( ...q d + α(qd − q)
)+ Bq + N q cos(q) +WτΓτW
Tτ r + ks(qd − q + αe), (4.33)
4.2 Controlador adaptable simple 30
donde, M , B y N son los componentes escalares del vector θτ en (4.27).
Sustituyendo Ida en la ecuacion (4.6) se obtiene la dinamica en lazo cerrado de la parte
electrica a del motor en terminos del error como
Laηa = Waθa − Va, (4.34)
donde Wa(q, q, Ia, Ib, θ, t) ∈ IR1×8 es una matriz de regresion y el vector de parametros
desconocidos esta dado por θa ∈ IR8 y explıcitamente son definidos por
θa =[
La
MLaBM
LaNM
LaKb
MR Kτ2 Lb La
]T, (4.35)
y
Wa =[Wa1 Wa2 Wa3 Wa4 Wa5 Wa6 Wa7 Wa8
], (4.36)
con
Wa1 = (B − αM − ks)Ia,
Wa2 = −(B − αM − ks)q,
Wa3 = −(B − αM − ks) sin(q),
Wa4 = −(B − αM − ks)IaIb,
Wa5 = Ia,
Wa6 = q,
Wa7 = npIbq,
Wa8 = M(...q d + αqd) + N cos q + ks(qd + αe) +WτΓτW
Tτ r.
De forma similar, se utiliza la ecuacion (4.7) para obtener la dinamica del error de segui-
miento de la corriente ηb como
Lbηb = RIb − npLaIaq − Vb, (4.37)
que puede ser reescrita como
Lbηb = Wbθb − Vb −KbIar, (4.38)
donde, el termino KbIar se anadio y substrajo y Wb(q, q, Ia, Ib, t) ∈ IR1×3 es una matriz
de regresion dada por
Wb =[Wb1 Wb2 Wb3
]∈ IR1×3, (4.39)
4.2 Controlador adaptable simple 31
con
Wb1 = Ib,
Wb2 = −npIaq,
Wb3 = Iar,
y θb ∈ IR3 es el vector de parametros dado por
θb =[R La Kb
]∈ IR3. (4.40)
Recordando que el parametro np representa el numero de pares de polos, el cual se asume
conocido. El segundo paso para el diseno del controlador comprende los voltajes Va y Vb,
para el sistema de lazo abierto dado por la estructura de las ecuaciones (4.31), (4.34) y
(4.38) se disena los voltajes de entrada como
Va = Waθa + k1ηa + r, (4.41)
Vb = Wbθb + k2ηb,
donde k1 y k2 son ganancias de control positivas, θa ∈ IR8 y θb ∈ IR3 son vectores de
parametros estimados, los cuales son calculados por las la siguientes leyes de adaptacion
θa =
∫ t
0
ΓaWTa (σ)ηa(σ)dσ, (4.42)
θb =
∫ t
0
ΓbWTb (σ)ηb(σ)dσ,
donde Γa ∈ IR8×8 y Γb ∈ IR3×3 son matrices diagonales de ganancias adaptables que son
definidas positivas. Los errores de los parametros son definidos por
θa = θa − θa, (4.43)
θb = θb − θb,
representando las leyes de adaptacion de la ecuacion (4.42) en terminos de los errores de
estimacion de los parametros se tiene
˙θa = −ΓaWTa ηa = − ˙
θa, (4.44)
˙θb = −ΓaWTa ηa = − ˙
θa.
4.2 Controlador adaptable simple 32
Figura 4.5: Diagrama a bloques del control adaptable simple.
Ahora bien, sustituyendo los voltajes Va y Vb en la dinamica de lazo abierto mostrada en
las ecuaciones (4.34) y (4.38), se obtiene la dinamica en lazo cerrado en terminos de los
errores de corriente ηa y ηb como
Laηa = Waθa − k1ηa − r (4.45)
y
Lbηb = Wbθb − k2ηb −KbIar. (4.46)
En resumen, la dinamica del controlador adaptable simple de Dawson et al. [6] esta dada
por las ecuaciones (4.30), (4.31), (4.44),(4.45) y (4.46), las cuales representan el sistema
electromecanico en lazo cerrado y el control adaptable se compone por las ecuaciones
(4.26), (4.28), (4.41) y (4.42), por medio de las cuales se implementan los voltajes de
entrada del motor.
4.2.2. Simulaciones numericas para CAS
Para comprobar el adecuado funcionamiento del controlador adaptable simple se rea-
lizaron simulaciones numericas. En la figura 4.5 se muestra el diagrama a bloques del
controlador adaptable simple. Los parametros usados para las simular el modelo del mo-
tor de CD sin escobillas real se muestran en la tabla 4.1, ademas en la tabla 4.4 presentan
las ganancias de control y la tabla 4.5 presentan las ganancias de adaptacion para los
parametros del motor.
La trayectoria deseada para el seguimiento de trayectoria utilizada en el control adap-
table simple es
qd(t) = 2 sin(4t) + 1.5 [rad].
Las condiciones iniciales para todos los parametros de adaptacion para el controlador
4.2 Controlador adaptable simple 33
Ganancia de control Valor
α 10.0ks 0.3k1 1.5k2 1.5
Tabla 4.4: Ganancias de control para control adaptable simple.
Ganancia de Valor Ganancia de Valorcontrol control
Γτ1 0.002 Γa6 0.001Γτ2 0.0095 Γa7 0.001Γτ3 0.008 Γa8 0.001Γa1 0.001 Γb1 0.0001Γa2 0.05 Γb2 0.001Γa3 0.001 Γb3 0.001Γa5 0.001
Tabla 4.5: Ganancias de adaptacion para control adaptable simple.
adaptable simple son cero.
Los resultados obtenidos del controlador CAS en simulacion son los mostrados a con-
tinuacion. En la figura 4.6 se muestra el seguimiento de trayectoria de la posicion q(t), en
la figura 4.7 se ilustra el seguimiento de la trayectoria de la velocidad q(t), en figura 4.8
se muestra el seguimiento de las corrientes Ia(t) e Ib(t).
Ademas, en las figuras 4.9 y 4.10 se muestran los parametros estimados de la parte
mecanica del motor M(t), B(t) y N(t) y algunos de los parametros estimados de la parte
electrica del motor tales como La, Kb y R.
Para complementar la informacion presentada, en la tabla 4.6 se muestra los valores
RMS del error de posicion, corrientes y valor de RMS de voltaje entregado, capturados
en una ventana de tiempo de 20 [seg] a 25 [seg].
Indice Valor Unidad
RMSe(t)∀20 ≤ t ≤ 25 0.27 [rad]
RMS[ηa(t) ηb(t)
]T∀20 ≤ t ≤ 25 1.814 [Amp]
RMS[Va(t) Vb(t)
]T∀20 ≤ t ≤ 25 3.2 [V olts]
Tabla 4.6: Indices de desempeno para la simulacion del controlador CAS en las ecuaciones(4.41).
4.2 Controlador adaptable simple 34
0 5 10 15 20 25−2
−1
0
1
2
3
4
5
[rad]
Tiempo [s]
Seguimiento de posicion q(t)
q(t) qd(t)
Figura 4.6: Seguimiento de posicion del controlador adaptable simple.
0 5 10 15 20 25−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
[rad/seg]
Tiempo [s]
Seguimiento de velocidad q(t)
q(t) qd(t)
Figura 4.7: Seguimiento de velocidad del controlador adaptable simple.
4.2 Controlador adaptable simple 35
0 5 10 15 20 25−20
0
20
[Amp]
Corrientes
Ia(t) Ida(t)
0 5 10 15 20 25
−5
0
5
[Amp]
Tiempo [s]
Ib(t) Idb(t)
Figura 4.8: Seguimiento de corrientes del controlador adaptable simple.
0 5 10 15 20 25−0.1
0
0.1
M(t)
Parametros estimados parte mecanica
0 5 10 15 20 250
0.5
B(t)
0 5 10 15 20 250
0.2
0.4
N(t)
Tiempo [s]
Figura 4.9: Parametros estimados de la parte mecanica del controlador adaptable simple.
4.3 Controlador adaptable con reduccion de sobre-parametrizacion 36
0 5 10 15 20 25−0.01
0
0.01
La(t)
Parametros estimados parte electrica
0 5 10 15 20 25−4
−2
0x 10
−4K
b(t)
0 5 10 15 20 25−1
−0.5
0x 10
−6
R(t)
Tiempo [s]
Figura 4.10: Parametros estimados de la parte electrica del controlador adaptable simple.
4.3. Controlador adaptable con reduccion de sobre-
parametrizacion
El control adaptable simple con reduccion de sobre-parametrizacion de Dawson et
al. [6], es denominado en este documento como controlador CAR, este controlador es una
modificacion del controlador adaptable simple el cual cuenta con una reduccion del numero
de parametros estimados. El controlador CAR es un controlador para el seguimiento de
trayectoria que realiza la estimacion de 9 parametros del motor de CD sin escobillas.
4.3.1. Diseno del controlador
Comenzando con el desarrollo del controlador adaptable presentado en la literatura
por [6], el cual toma la dinamica del motor dado por las ecuaciones (3.15), (3.16) y (3.17),
donde se observa que existen 9 parametros desconocidos para el controlador, tomando en
cuenta que el numero de pares polos np es conocido. Para simplificar la formulacion del
control y el analisis de estabilidad, se define un error de seguimiento filtrado r(t) dado
por la ecuacion (4.4). Otra definicion de gran utilidad para el desarrollo del controlador
es el error de seguimiento de las corrientes representado por ηa(t) y ηb(t), dado por las
ecuaciones mostradas en (4.10).
4.3 Controlador adaptable con reduccion de sobre-parametrizacion 37
El primer paso para el desarrollo del controlador CAR es disenar las trayectorias de
corrientes deseadas Ida y Idb
Ida = Wτ θτ + ksr, (4.47)
Idb = 0, (4.48)
donde Wτ ∈ IR1×3 es conocida como la matriz de regresion y esta dada por
Wτ =[qd + αe q sin(q)
], (4.49)
θτ ∈ IR3 es el vector de parametros dado por
θτ =[M B N
]T, (4.50)
y ks es una ganancia de control positiva. Un factor que sera de suma utilidad para la
presentacion de este controlador son las matrices de regresion Wa ∈ IR1×8 y Wb ∈ IR1×3
que se definen a continuacion como
Wa = [ Wa1 Wa2 Wa3 Wa4 Wa5 Wa6 Wa7 Wa8 ], (4.51)
con
Wa1 = (B − αM − ks)Ia,
Wa2 = −(B − αM − ks)q,
Wa3 = −(B − αM − ks) sin(q),
Wa4 = −(B − αM − ks)IaIb,
Wa5 = Ia,
Wa6 = q,
Wa7 = npIbq,
Wa8 = M(...q d + αqd) + N cos q + ks(qd + αe)
+WτΓτ (WTτ r + Y T
a ηa + Y Tb ηb),
y
Wb =[Wb1 Wb2 Wb3
], (4.52)
4.3 Controlador adaptable con reduccion de sobre-parametrizacion 38
en donde
Wb1 = Ib,
Wb2 = −npIaq,
Wb3 = Iar.
El error de adaptacion θτ de la parte mecanica es dada en (4.29). La ley de adaptacion
para estimar el vector θτ ∈ IR3 ahora es definida como
˙θτ = Γτ [W
Tτ r + Y T
a ηaYTb ηb] = − ˙θτ , (4.53)
donde ηa y ηb son los errores de corriente definido en (4.10), y los vectores auxiliares Ya y
Yb son
Ya =[
0 Wa2 Wa3
]∈ IR1×3, (4.54)
Yb =[Wb2 0 0
]∈ IR1×3, (4.55)
donde Wa2 y Wa3 se encuentra previamente descritas en (4.51) y Wb2 en (4.52).
Para lograr el seguimiento de la parte electrica del motor, se procede a reescribir la
dinamica de los errores de seguimiento de corriente ηa y ηb de la siguiente manera
Laηa = Wa1b+ Ye1θe + bWa4θk + bYaθτ − Va, (4.56)
donde
b =LaM, (4.57)
θe =[La Lb R Kτ2
]T∈ IR4×1, (4.58)
θk = Kb, (4.59)
Ye1 =[Wa8 Wa7 Wa5 Wa6
]∈ IR4×1, (4.60)
Wa8, Wa7, Wa6 y Wa5 se encuentran definidas en (4.51). Para la corriente de la fase b, en
referencia al de error de corriente ηb, se describe la siguiente dinamica
Lbηb = Ye2θe + bYbθτ + bWb3θk − Vb − bKbIar, (4.61)
donde r esta definida en (4.4), Yb esta definida en (4.55), Wb3 es definida en (4.52), b, θe,
4.3 Controlador adaptable con reduccion de sobre-parametrizacion 39
y θk son definidos en (4.57), (4.58) y (4.59), respectivamente, y finalmente Ye2 es
Ye2 =[
0 0 Wb1 0]∈ IR1×4.
Las entradas de voltajes de control para el motor de corriente directa sin escobillas estan
dadas por
Va = b[Yaθτ +Wa1 + r
]Ye1θe + k1ηa + bWa4θk, (4.62)
Vb = bYbθτ + Ye2θe + k2ηb + bWb3θk, (4.63)
donde k1 y k2 son ganancias de control positivas y b, θτ , θk y θe son las estimaciones
de los parametros de la dinamica del motor, que se obtienen con las siguientes leyes de
adaptacion
˙b = Γb( (Wa1 + r)ηa + Yaθτηa + Ybθτηb +Wa4θkηa +Wb3θkηb ) = − ˙b, (4.64)
˙θe = Γe(Y
Te1ηa + Y T
e2ηb) = − ˙θe, (4.65)˙θk = Γk(Wa4ηa +Wb3ηb) = − ˙θk, (4.66)˙θτ = Γτ [W
Tτ r + Y T
a ηaYTb ηb] = − ˙θτ , (4.67)
donde Γb > 0 y Γk 0 son ganancias de adaptacion positivas, y Γe ∈ IR4×4 y Γτ ∈ IR3×3son
matrices diagonales de ganancias de adaptacion definidas positivas.
Con las leyes de adaptacion definidas en (4.64), (4.65), (4.66) y (4.67) es posible obtener
las estimaciones de parametros del motor, definidos a continuacion
˙θτ1 =
d
dtM = Γτ1[W
Tτ1r + Y T
a1ηaYTb1ηb], (4.68)
˙θτ2 =
d
dtB = Γτ2[W
Tτ2r + Y T
a2ηaYTb2ηb],
˙θτ3 =
d
dtN = Γτ3[W
Tτ3r + Y T
a3ηaYTb3ηb],
˙θe1 =
d
dtLa = Γe1[Y
Te11ηa + Y T
e21ηb],
˙θe2 =
d
dtLb = Γe2[Y
Te12ηa + Y T
e22ηb],
˙θe3 =
d
dtR = Γe3[Y
Te13ηa + Y T
e23ηb],
˙θe4 =
d
dtKτ2 = Γe4[Y
Te14ηa + Y T
e24ηb],
˙θk =
d
dtKb = Γk[Wa4ηa +Wb3ηb].
4.3 Controlador adaptable con reduccion de sobre-parametrizacion 40
Finalmente las ecuaciones de lazo cerrado del sistema estan dadas por
Mr = Wτ θτ − ks + ηa +KbIaηb, (4.69)
Mdηadt
=1
b
(−k1ηa + Ye1θe + (Wa1 + r)b+ bWa4θk + bYaθτ
)+Wa4θk + Yaθτ − r, (4.70)
Lbb
dηbdt
=1
b
(−k2ηb + Ye2θe + bYbθτ + bWb3θk
)+ Ybθτ
+Wb3θk −KbIar, (4.71)
d
dtθτ = −Γτ (W
Tτ r + Y T
a ηa + Y Tb ηb) = − ˙
θτ , (4.72)
d
dtθe = −Γe(Y
Te1ηa + Y T
e2ηb) = − ˙θe, (4.73)
d
dtb = −Γ((Wa1 + r)ηa + Yaθτηa + Ybθτηb +Wa4θkηa +Wb3θkηb) = − ˙
b, (4.74)
d
dtθk = −Γk(Wa4ηa +Wb3ηb) =
˙θk. (4.75)
Ahora, para establecer la estabilidad del sistema, Dawson et al. [6] proponen la funcion
de energıa
U =1
2Mr2 +
1
2Mη2a +
1
2b−1Lbη
2b +
1
2θTτ Γ−1τ θτ +
1
2bθTe Γ−1e θe (4.76)
+1
2bΓ−1b b2 +
1
2Γ−1k θ2k.
La derivada temporal de U en (4.76) a lo largo de las trayectorias del sistema de lazo
cerrado (4.69)-(4.75) dado por
U = −ksr2 −1
bk1η
2a −
1
bk2η
2b ,
la cual es semidefinida negativa. Invocando el lema de Barbalat [13] es posible asegurar
que el error filtrado r(t) tiende a cero, cuando el tiempo t tiende a infinito.
En resumen, usando las ecuaciones en lazo cerrado del sistema dadas por (4.69), (4.70)
y (4.71) y las leyes de adaptacion de los parametros dadas por las ecuaciones (4.68) es
posible garantizar que
lımt→∞
e(t) = 0. (4.77)
4.3 Controlador adaptable con reduccion de sobre-parametrizacion 41
Figura 4.11: Diagrama a bloques del control con reduccion de sobre-parametrizacion.
Ganancia de control Valor
α 6.0ks 1.5k1 0.1k2 0.7
Tabla 4.7: Ganancias para el controlador con reduccion de sobre-parametrizacion.
4.3.2. Experimentos para el controlador adaptable con reduc-
cion de sobre-parametrization
Para comprobar el funcionamiento del controlador adaptable con reduccion de sobre-
parametrizacion planteado teoricamente por las ecuaciones (4.62) y (4.63) se realizaron
experimentos. El diagrama a bloques que representa el sistema se muestra en la figura
4.11.
Para el desarrollo de los experimentos se hizo uso de las ganancias de control mostradas
en la tabla 4.7 y las ganancias de adaptacion presentadas en la tabla 4.8. Ademas tabla
4.9 muestra las condiciones iniciales de los parametros de adaptacion.
Ganancia de Valor Ganancia de Valorcontrol control
Γτ1 0.001 Γe3 0.002Γτ2 0.001 Γe4 0.001Γτ3 0.001 Γk 0.0065Γe1 0.001 Γb 0.007Γe2 0.005
Tabla 4.8: Ganancias de adaptacion para control adaptable con reduccion de sobre-parametrizacion.
4.3 Controlador adaptable con reduccion de sobre-parametrizacion 42
Parametro Condicion inicial
M 0.0009
B 0.45
N 0.045
La 0.000875
Lb 0.03
R 0.7
Kτ2 0.03
Kb 0.08
b 0.0972
Tabla 4.9: Condiciones iniciales de los parametros estimados.
La trayectoria deseada para el controlador con reduccion de sobre-parametrizacion es
qd(t) = 2 sin(4t) + 1.5 [rad]. (4.78)
Para la implementacion de forma experimental del controlador adaptable con reduccion
de sobre-parametrizacon, se hizo uso de proyectores, esto debido a que algunos parametros
estimados como Kb, Kτ2, La Lb, B y M llegan a ser menores a cero, es imprescindible
que el valor de estas estimaciones nunca sea menor a cero para mejorar el desempeno del
controlador en el calculo de los voltajes (4.62) y (4.63) y garantizar que el error de posicion
e(t) tienda a cero. Ası que es posible garantizar que las estimaciones de los parametros
θτ1 = M , θτ2 = B, θe1 = La, θe2 = Lb, θe4 = Kτ2 y θk = Kb permanezcan en el rango
deseado usando
˙θτ1 = − ˙θτ1 =
γτ1φτ1, si am < M,
−γτ1φτ1, si M ≤ am y φtau1 ≤ 0,
γτ1φτ1, si M < am y φtau1 > 0,
(4.79)
donde am es la cota inferior de los valores posibles a tomar por la estimacio θτ1(t) y θτ1
corresponde al primer elemento del vector definido en (4.53), asegurando que θτ1(t) > 0,
para todo t ≥ 0.
Analogamente se obtienen las condiciones a aplicar en la solucion de θτ1 = B, θe1 = La,
θe2 = Lb, θe4 = Ktau2 y θk = Kb
˙θτ2 = − ˙θτ2 =
γτ2φτ2, si ab < B,
−γτ2φτ2, si B ≤ ab y φtau2 ≤ 0,
γτ2φτ2, si B < ab y φtau2 > 0,
(4.80)
4.3 Controlador adaptable con reduccion de sobre-parametrizacion 43
Cota inferior Valor
am 0.0001ab 0.45ala 0.000001alb 0.1akt2 0.03akb 0.00001
Tabla 4.10: Tabla de valores de cotas inferiores para proyectores.
˙θe1 = − ˙θe1 =
γe1φe1, si ala < La,
−γe1φe1, si La ≤ ala y φe1 ≤ 0,
γe1φe1, si La < ala y φe1 > 0,
(4.81)
˙θe2 = − ˙θe2 =
γe2φe2, si alb < Lb,
−γe2φe2, si Lb ≤ alb y φe2 ≤ 0,
γe2φe2, si Lb < alb y φe2 > 0,
(4.82)
˙θe4 = − ˙θe4 =
γe4φe4, si akt2 < Kτ2,
−γe4φe4, si Kτ2 ≤ akt2 y φe4 ≤ 0,
γe4φe4, si Kτ2 < akt2 y φe4 > 0,
(4.83)
˙θk = − ˙θk =
γkφk, si akb < Kb,
−γkφk, si Kb ≤ akb y φk ≤ 0,
γkφk, si Kb < akb y φk > 0.
(4.84)
Las cotas inferiores para cada estimacion se muestran en la tabla 4.10.
Los resultados obtenidos con el controlador (4.62) y (4.63) son los mostrados en la
figura 4.12 que ilustra la evolucon temporal de la trayectoria actual del motor q(t) y
la trayectoria deseada qd(t), en la figura 4.13 se presenta la evolucion temporal de la
velocidad actual del motor q(t) y la velocidad deseada qd(t) y en la figura 4.14 se muestran
las corrientes Ia(t) e Ib(t), y las corrientes deseadas Ida(t) e Idb(t) .
Finalmente en las figuras 4.15, 4.16, 4.17 y 4.18 se muestra la estimacion de los parame-
tros del motor, obtenidos en forma experimental.
En la tabla 4.11 se muestra el valor RMS del error de posicion e(t), el vector de error
de corriente η(t) =[ηa(t) ηb(t)
]Ty el vector de voltajes V (t) =
[Va(t) Vb(t)
]Ten
una ventana de tiempo de 20 [s] a 25 [s].
Se puede observar que este controlador adaptable con reduccion de sobre-
parametrizacion logra el seguimiento de trayectoria adecuado. Ademas, los parametros
4.3 Controlador adaptable con reduccion de sobre-parametrizacion 44
0 5 10 15 20 25−2
−1
0
1
2
3
4
5
[rad]
Tiempo [s]
Seguimiento de posicion q(t)
q(t) qd(t)
Figura 4.12: Seguimiento de posicion del controlador con reduccion de sobre-parametrizacion.
0 5 10 15 20 25−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
[rad/seg]
Tiempo [s]
Seguimiento de velocidad q(t)
q(t) qd(t)
Figura 4.13: Seguimiento de velocidad del controlador con reduccion de sobre-parametrizacion.
4.3 Controlador adaptable con reduccion de sobre-parametrizacion 45
0 5 10 15 20 25−20
0
20
[Amp]
Corrientes
Ia(t) Ida(t)
0 5 10 15 20 25
−5
0
5
[Amp]
Tiempo [s]
Ib(t) Idb(t)
Figura 4.14: Seguimiento de corrientes del controlador con reduccion de sobre-parametrizacion.
0 5 10 15 20 25−0.1
0
0.1
M(t)
Parametros estimados parte mecanica
0 5 10 15 20 250.2
0.4
B(t)
0 5 10 15 20 250
0.1
0.2
N(t)
Tiempo [s]
Figura 4.15: Estimacion de parametros parte mecanica.
4.3 Controlador adaptable con reduccion de sobre-parametrizacion 46
0 5 10 15 20 25
0
0.1
0.2
La(t)
Parametros estimados parte electrica
0 5 10 15 20 250
0.1
0.2
Lb(t)
Tiempo [s]
Figura 4.16: Estimacion de parametros parte electrica.
0 5 10 15 20 250.5
0.6
0.7
0.8
R(t)
Parametros estimados parte electrica
0 5 10 15 20 250
0.05
0.1
Kτ2(t)
Tiempo [s]
Figura 4.17: Estimacion de parametros parte electrica.
4.3 Controlador adaptable con reduccion de sobre-parametrizacion 47
0 5 10 15 20 250
0.1
0.2
0.3K
b(t)
Parametros estimados parte electrica
0 5 10 15 20 250
0.5
1
1.5
b(t)
Tiempo [s]
Figura 4.18: Estimacion de parametros parte electrica.
Indice Valor UnidadRMSe(t)∀20 ≤ t ≤ 25 0.37 [rad]
RMS[ηa(t) ηb(t)
]T∀20 ≤ t ≤ 25 2.32 [Amp]
RMS[Va(t) Vb(t)
]T∀20 ≤ t ≤ 25 1.31 [V olts]
Tabla 4.11: Indices de desempeno para el controlador adaptable con reduccion de sobre-parametrizacion en las ecuaciones (4.62)-(4.63).
4.4 Controlador adaptable propuesto 48
del motor permanecen acotados.
4.4. Controlador adaptable propuesto
El control adaptable propuesto denominado por sus siglas como CAP, es un nuevo
controlador adaptable para el seguimiento de trayectorias de un motor de CD sin escobi-
llas. Este controlador realiza la estimacion de 7 parametros del motor y su desarrollo se
divide en la parte electrica y la parte mecanica.
4.4.1. Controlador adaptable de la parte electrica
Esta seccion se enfoca a la parte electrica de los devanados de la dinamica del motor,
designados por los subındices a y b.
La ecuacion 3.16 que describe la parte electrica a puede escribirse como
Weaθea = Va, (4.85)
donde, la matriz de regresion Wea ∈ IR1×4 y el vector de parametros desconocidos θea ∈IR4, son dados por
Wea =[Ia Ia npIbq q
], (4.86)
θea =[La R Lb Kτ2
]T. (4.87)
De forma similar la parte electrica b, en la ecuacion 3.17 puede ser reescrita como
Webθeb = Vb, (4.88)
donde, Web ∈ IR1×3 y el vector de parametros desconocidos θea ∈ IR3 que explıcitamente
se encuentran dados por
Web =[Ib Ib −npIaq
], (4.89)
θeb =[Lb R La
]T. (4.90)
Los voltajes propuestos para el control de motor de CD sin escobillas con carga gra-
4.4 Controlador adaptable propuesto 49
vitacional descrito en (3.15)-(3.17) son definidos por
Va = W deaθea +Kpaηa +Kiaξa, (4.91)
Vb = W debθeb +Kpbηb +Kibξb, (4.92)
donde Va es el voltaje del devanado a, Vb es el voltaje del devanado b, W dea es dada por
W dea =
[Ida Ida npIbq Ida
]∈ IR1×4, (4.93)
θea ∈ IR4 es el vector de parametros estimados de la fase a, Kpa y Kpb son ganancias
proporcionales positivas, Kia y Kib son ganancias integrales positivas, W deb dada por
W deb =
[Idb Idb −npIbq
]∈ IR1×3, (4.94)
θeb ∈ IR3 es el vector de parametros estimados de la fase b y las senales ξa y ξb son
obtenidas de
ξa = ηa, (4.95)
ξb = ηb. (4.96)
Es posible reducir el numero de parametros de adaptacion de la fase b si se define la
corriente deseada de la fase b igual a cero, esto es,
Idb = 0, (4.97)
por lo tanto el voltaje Vb en la ecuacion (4.92) queda explıcitamente dado por
Vb = −npLaIaq +Kpbηb +Kibξb
= [−npIaq]La +Kpbηb +Kibξb
= W ∗ebθ∗eb +Kpbηb +Kibξb,
(4.98)
donde np, Ia y q son definidas en (3.15),
W ∗eb = −npIaq,
θ∗eb = La,
la cual se refiere a la estimacion de la inductancia de la fase a.
4.4 Controlador adaptable propuesto 50
De momento se asumira que la corriente deseada de la fase a dada por Ida y su derivada
Ida son funciones suaves y son calculables usando las mediciones de posicion q(t), velocidad
q(t) y corrientes Ia(t) e Ib(t).
Los errores de los parametros de adaptacion de la parte electrica se definen como
θea = θea − θea, (4.99)
θ∗eb = θ∗eb − θeb. (4.100)
Notese que
θ∗ea = θea1 = La.
Sustituyendo el voltaje de la fase a dado en (4.91), en la ecuacion electrica de la fase
a del modelo del motor (3.16), se tiene
LaIa +RIa + npLbIbq +Kτ2q = W deaθea +Kpaηa +Kiaξa −Weaθea (4.101)
= IdaLa + IdaR + npLbIbq +Kτ2q
+Kpaηa +Kiaξa −W deaθea.
Simplificando la ecuacion (4.101) con el error de corriente ηa y su derivada ξa, se tiene
Laηa +Rηa +Kpaηa +Kiaξa −W deaθea = 0. (4.102)
De forma similar, para la fase b se usa el error de corriente ηb y su derivada ξb y se
tiene
LbIb +RIb − npLaIaq = W ∗ebθ∗eb +Kpbηb +Kibξb −W ∗
ebθ∗eb,
= −npIaqLa +Kpbηb +Kibξb −W ∗ebθ∗eb,
observandose que ηb = −Ib, por lo tanto
Lbηb +Rηb +Kpbηb +Kibξb −W ∗ebθ∗eb. (4.103)
Recuerdese que θ∗eb = θea1 = La.
Se propone la ley de adaptacion de modo que se pueda probar que los errores de
corriente ηa(t) y ηb(t) tienden a cero asintoticamente, por lo que plantean las siguientes
funciones de energıa
Ua =1
2Laη
2a +
1
2Kiaξ
2a +
1
2θTeaΓ
−1ea θea, (4.104)
4.4 Controlador adaptable propuesto 51
donde Γea ∈ IR4×4 es una matriz diagonal definida positiva, cuya derivada temporal
esta dada por
Ua = Laηaηa +Kiaξaξa + θTeaΓ−1ea
˙θea. (4.105)
Sustituyendo la ecuacion de lazo cerrado (4.102), y usando (4.95), se obtiene
Ua = ηa[−(R +Kpa)ηa −Kiaξa +W deaθea]
+Kiaξaηa + θTeaΓ−1ea
˙θea
= −(R +Kpa)η2a + ηaW
deaθea + θTeaΓ
−1ea
˙θea
= −(R +Kpa)η2a + θTeaW
dTea ηa + θTeaΓ
−1ea
˙θea
= −(R +Kpa)η2a + θTea [W dT
ea ηa + Γ−1ea˙θea]︸ ︷︷ ︸
≤0
,
por lo que se propone la ley de adaptacion
˙θea = − ˙θea = −ΓeaW
Teaηa. (4.106)
Finalmente, se obtiene
Ua = −[R +Kpa]η2a, (4.107)
la cual es semidefinida negativa.
Para la fase b se propone la siguiente funcion de energıa
Ub =1
2Lbη
2b +
1
2Kibξ
2b +
1
2Γ−1eb θ
∗2eb , (4.108)
donde, Γeb ∈ IR3 es una matriz diagonal definida positiva, cuya derivada temporal es dada
por
Ub = Lbηbηb +Kiξbξb + Γ−1b θ∗eb˙θ∗eb. (4.109)
Sustituyendo la ecuacion (4.103) y la ecuacion (4.96), en la derivada temporal de funcion
energıa Ub, se tiene
Ub = ηb[−(R +Kpb)ηb] + ηbW∗ebθ∗eb + Γ−1b θ∗eb
˙θ∗eb,
donde θ∗eb es un escalar. Por lo tanto,
Ub = −(R +Kpb)η2b + θ∗eb [ηbW
∗eb + ηbW
∗eb
˙θ∗eb]︸ ︷︷ ︸≤0
.
4.4 Controlador adaptable propuesto 52
Se propone la ley de adaptacion
˙θ∗eb = − ˙θ∗eb = −ΓebW
∗ebηb. (4.110)
y finalmente, Ub queda dada por
Ub = −[R +Kpb]η2b , (4.111)
la cual es semidefinida negativa. Dado que θ∗eb = θea1, es posible integrar la adaptacion de
θeb = La y θea1 = La de la siguiente manera
˙θea1 =
d
dtLa = Γa1[Idaηa − npIaq], (4.112)
mientras que los otros parametros son adaptados por
˙θea2 =
d
dtR = Γa2Idaηa, (4.113)
˙θea3 =
d
dtLb = Γa3npIbqηa, (4.114)
˙θea4 =
d
dtKb = Γa4qηa. (4.115)
Como anteriormente se establecio, las derivadas de las funciones de energıa Ua(t)
y Ub(t) dadas por las ecuaciones (4.107) y (4.111), respectivamente, son semidefinidas
negativas, por lo que es posible invocar el lema de Barbalat [13] para probar que
lımt→∞
[ηa(t)
ηb(t)
]=
[0
0
]. (4.116)
Por lo tanto, los errores de corrientes ηa(t) y ηb(t) tienden a cero cuando el tiempo incre-
menta.
Para tener un adecuado funcionamiento del controlador, se recomienda que las ganan-
cias Γa1, Γa2, Γa3 y Γa4 sean iguales.
4.4 Controlador adaptable propuesto 53
4.4.2. Controlador adaptable de la parte mecanica
De las ecuaciones dadas en (4.10), se tiene Ib = −ηb e Ia = Ida−ηa, sustituyendo estas
expresiones en la ecuacion mecanica del modelo del motor dada por (3.15), se obtiene
Mq +Bq +N sin(q) = [−Kbηb + 1][Ida − ηa],
= Ida +Kbηbηa −KbIdaηb − ηa.
Es posible asumir que ηa(t) y ηb(t) tienden a cero muy rapido, dado que la dinami-
ca electrica puede hacerse mas rapida que la dinamica mecanica utilizando valores de
ganancias proporcional integral suficientemente grandes, ası que la ecuacion de la parte
mecanica se simplifica
Mq +Bq +N sin(q) = Ida. (4.117)
Se propone la corriente deseada para la fase a de la siguiente forma
Ida = M qd + Bqd + N sin qd +Kpe+Kdϑ, (4.118)
= Wτ θτ +Kpe+Kdϑ,
donde Wτ (qd, qd, qd) ∈ IR1×3 es la matriz de regresion dada por
Wτ =[qd qd sin(qd)
], (4.119)
el vector de parametros θτ ∈ IR3 es dado por
θτ =[M B N
]T, (4.120)
y ϑ se obtiene de˙ϑ = −Kf [ϑ− e], (4.121)
donde Kf > 0. Explıcitamente las estimaciones de la parte mecanica son
˙θτ1 =
d
dtM = Γτ1qd[e+ αe], (4.122)
˙θτ2 =
d
dtB = Γτ2qd[e+ αe], (4.123)
˙θτ3 =
d
dtN = Γτ3 sin(qd)[e+ αe]. (4.124)
De la ecuacion mostrada en (4.117), se sustituye el error de adaptacion de la parte
4.4 Controlador adaptable propuesto 54
mecanica θτ = θτ − θτ y la corriente Ida,
Mq +Bq +N sin(q) = Wτ [θτ − θτ ] +Kpe+Kdϑ
= Wτθτ −Wτ θτ +Kpe+Kdϑ
= Mqd +Bqd +N sin(qd)
+Kpe+Kdϑ−Wτ θτ . (4.125)
Simplificando la ecuacion (4.125) y agrupando terminos, se tiene
Me+Be+N [sin(qd)− sin(q)] +Kpe+Kdϑ−Wτ θτ = 0. (4.126)
Se propone la siguiente funcion de energıa Uτ (t)
Uτ =1
2Me2 +
1
2Kpe
2 +1
2KdK
−1f ϑ+
1
2θTτ Γ−1τ θτ , (4.127)
donde Γτ ∈ IR3×3 es una matriz diagonal de ganancias positivas. Que puede ser reescrita
como
Uτ =1
2
[e
e
]T [Kp Mα
Mα M
][e
e
]+
1
2KdK
−1f ϑ2 +
1
2θTτ Γ−1τ θτ , (4.128)
la cual es positiva definida para KpM − α2M > 0 y α2 < Kp
M, con α > 0. La derivada
temporal de Uτ (t), es dada por
Uτ = Mee+Kpee+KdK−1f ϑ ˙ϑ+ θTτ Γ−1τ
˙θτ + αMe2 +Mαee
= e[−Be−N(sin(qd)− sin(q))−Kpe−Kdϑ
+Wτ θτ ] +Kpee+KdK−1f ϑ[−Kf ϑ+Kf e]
+θTτ Γ−1τ˙θTτ + αMe2 + αe[−Be−N [sin(qd)
− sin(q)]−Kpe−Kdϑ+Wτ θτ ]. (4.129)
Agrupando terminos comunes, se tiene
Uτ = −[B − αM ]e2 −N [sin(qd)− sin(q)]e
+Wτ θτ e−Kdϑ2 + θTτ Γ−1τ
˙θTτ − αN
[sin(qd)− sin(q)]e− αKpe2 − αKdeϑ
−αBee+ αWτ θτe. (4.130)
4.4 Controlador adaptable propuesto 55
Se debe satisfacer
θTτ Γ−1τ θτ +Wτ θτ e+Wτ θαe ≤ 0, (4.131)
por lo que se propone la ley de adaptacion
˙θτ = − ˙θτ = −ΓτW
Tτ [e+ αe]. (4.132)
Usando el hecho de que | sin(qd)− sin(q) |≤ e se tiene que
Uτ ≤ −
| e || e || ϑ |
T Q11 Q12 Q13
Q21 Q22 Q23
Q31 Q32 Q33
︸ ︷︷ ︸
Q
| e || e || ϑ |
, (4.133)
donde los elementos de la matriz Q son
Q11 = αKp − αN,
Q12 = −1
2N,
Q13 = −1
2αKd,
Q21 = −1
2N,
Q22 = B − αM,
Q23 = 0,
Q31 = −1
2αKd,
Q32 = 0,
Q34 = Kd.
Usando el criterio de Sylvester [14] es posible demostrar que Q es definida positiva, y
en consecuencia, el lado derecho de (4.133) es una funcion semidefinida negativa. Ası,
invocando el lema de Barbalat [13], se demuestra que
lımt→∞
| e(t) || e(t) || ϑ(t) |
=
0
0
0
. (4.134)
Finalmente, las ecuaciones en lazo cerrado para el controlador adaptable propuesto
4.4 Controlador adaptable propuesto 56
Figura 4.19: Diagrama a bloques del controlador propuesto.
son
Mde
dt= −Be−N [sin(qd)− sin(q)]−Kp −Kdϑ+Wτ θτ , (4.135)
Ladηadt
= −Rηa −Kpaηa +Kiξa +W deaθea, (4.136)
Lbdηbdt
= −Rηb −Kpbηb +W ∗ebθ∗eb, (4.137)
˙θτ1 = −Γτ1WTτ1[e+ αe], (4.138)
˙θea = −ΓeaWTeaηa, (4.139)
˙θeb = −ΓebWTebηb. (4.140)
4.4.3. Experimentos para el controlador adaptable propuesto
Se realizaron experimentos para comprobar el funcionamiento del controlador adapta-
ble propuesto dado por las ecuaciones (4.91) y (4.92), en donde se obtuvieron los resultados
siguientes. En la figura 4.19 se muestra el diagrama a bloques del controlador propuesto.
Para realizar los experimentos se utilizaron las ganancias de control mostradas en la
tabla 4.12 y la ganancias de adaptacion son las mostradas en la tabla 4.13. Las condiciones
iniciales de los parametros son las mismas que para el controlador adaptable con reduccion
de sobre-parametrizacion dadas en la tabla 4.9.
La trayectoria deseada para este controlador es
qd(t) = 2 sin(4t) + 1.5 [rad], (4.141)
y ademas para la implementacion de forma experimental del controlador adaptable pro-
puesto se hizo uso de proyectores, esto con el fin de que los parametros estimados como
M y La no sean menores a cero. La aplicacion de proyectores permite que las estimaciones
4.4 Controlador adaptable propuesto 57
Ganancia de control Valor
α 0.1kd 0.4kp 11.0kf 1000.0kDa 0.5kDb 0.5kIa 0.5kIb 0.5
Tabla 4.12: Ganancias de control para el controlador propuesto en experimento.
Ganancia de control Valor
Γτ1 0.0006Γτ2 0.006Γτ3 0.006Γe1 0.0003Γe2 0.03Γe3 0.03Γe4 0.03
Tabla 4.13: Ganancias de adaptacio para control adaptable propuesto en experimento.
de los parametros θτ1 = M , y θea1 = La, se mantengan en un rango deseado de valores.
Especıficamente se uso
˙θτ1 = − ˙θτ1 =
γτ1φτ1, si am < M,
−γτ1φτ1, si M ≤ am y φtau1 ≤ 0,
γτ1φτ1, si M < am y φtau1 > 0,
(4.142)
donde am es la cota inferior de los valores posibles a tomar por la estimacion θτ1(t), con
lo que se asegura que θτ1(t) > 0 para todo t ≥ 0.
Analogamente, se obtienen las condiciones a aplicar en la estimacion de θea1 = La,
˙θea1 = − ˙θea1 =
γea1φea1, si ala < La,
−γea1φea1, si La ≤ ala y φea1 ≤ 0,
γea1φea1, si La < ala y φea1 > 0,
(4.143)
donde las cotas inferiores para cada proyector se muestran en la tabla 4.14.
Los resultados obtenidos se muestran en las figuras descritas a continuacion. La figura
4.20 se muestra la trayectoria de la posicion q(t) y la trayectoria deseada qd(t), en la figura
4.21 se ilustra la trayectoria de la velocidad q(t) y la trayectoria de la velocidad deseada
4.4 Controlador adaptable propuesto 58
Cota inferior Valor
am 0.0001ala 0.000001
Tabla 4.14: Tabla de valores de cotas inferiores para proyectores.
0 5 10 15 20 25−2
−1
0
1
2
3
4
5
[rad]
Tiempo [s]
Seguimiento de posicion q(t)
q(t) qd(t)
Figura 4.20: Seguimiento de posicion del controlador propuesto.
qd(t) y finalmente en la figura 4.22 se muestra las corrientes de cada fase Ia(t) e Ib(t) y
las corrientes deseadas de cada fase Ida(t) e Idb(t).
Ademas, en las figuras 4.23, 4.24 y 4.25 se presentan las estimaciones de los parametros.
Complementando la informacion presentada, la tabla 4.15 muestra los valores RMS
del error de posicion e(t) y corrientes η(t) =[ηa(t) ηb(t)
]Ty el vector de voltajes
V (t) =[Va(t) Vb(t)
]Ten una ventana de tiempo de 20 [s] a 25 [s]. Como se observa
el controlador propuesto cuenta con un adecuado funcionamiento, logrando el seguimien-
to de la trayectoria en experimento en un tiempo pertinente. Ademas los parametros
permanecen acotados.
4.4 Controlador adaptable propuesto 59
0 5 10 15 20 25−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
[rad/seg]
Tiempo [s]
Seguimiento de velocidad de q(t)
q(t) qd(t)
Figura 4.21: Seguimiento de velocidad del controlador propuesto.
0 5 10 15 20 25−20
0
20
[Amp]
Corrientes
Ia(t) Ida(t)
0 5 10 15 20 25
−5
0
5
[Amp]
Tiempo [s]
Ib(t) Idb(t)
Figura 4.22: Seguimiento de corrientes del controlador propuesto.
4.4 Controlador adaptable propuesto 60
0 5 10 15 20 25−0.1
0
0.1
M(t)
Parametros estimados parte mecanica
0 5 10 15 20 250.2
0.4
B(t)
0 5 10 15 20 250
0.1
0.2
N(t)
Tiempo [s]
Figura 4.23: Estimacion de parametros parte mecanica.
0 5 10 15 20 25
0
0.1
0.2
La(t)
Parametros estimados parte electrica
0 5 10 15 20 250
0.1
0.2
Lb(t)
Tiempo [s]
Figura 4.24: Estimacion de parametros parte electrica.
4.4 Controlador adaptable propuesto 61
0 5 10 15 20 250.5
0.6
0.7
0.8
R(t)
Parametros estimados parte electrica
0 5 10 15 20 250
0.05
0.1
Kτ2(t)
Tiempo [s]
Figura 4.25: Estimacion de parametros parte electrica.
Indice Valor Unidad
RMSe(t)|∀20 ≤ t ≤ 25 0.0748 [rad]
RMS[ηa(t) ηb(t)
]T∀20 ≤ t ≤ 25 0.04782 [Amp]
RMS[Va(t) Vb(t)
]T∀20 ≤ t ≤ 25 1.31 [V olts]
Tabla 4.15: Indices de desempeno del controlador adaptable propuesto en las ecuaciones (4.91)y (4.92).
4.5 Comparacion y desempeno de controladores 62
Controlador Controlador
Indice CAR CAP Unidades
RMSe(t)∀ 20 ≤ t ≤ 25 [seg] 0.37 0.0748 [rad]
RMS[ηa(t) ηb(t)
]T∀ 20 ≤ t ≤ 25 [seg] 2.320 0.04782 [Amp]RMS
[Va(t) Vb(t)
]∀ 20 ≤ t ≤ 25 [seg] 1.310 1.310 [Volts]
Tabla 4.16: Comparacion de desempeno de controladores adaptables CAR y CAP.
4.5. Comparacion y desempeno de controladores
La comparacion de desempeno de controladores se llevo acabo con el controlador
adaptable con reduccion de sobre-parametrizacion descrito en (4.62) y (4.63) y el control
adaptable propuesto expresado en (4.91) y (4.92), donde el valor RMS de los voltajes
de control dado por ambos controladores es igual con el fin de realizar una comparacıon
equitativa entre ambos controladores. En la tabla 4.16 se muestran los valores RMS del
vector de voltajes V (t) =[Va(t) Vb(t)
], error de posicion e(t) y vector de error de
corrientes η(t) =[ηa ηb
]en una ventana de tiempo de 20 [s] a 25 [s].
Capıtulo 5
Conclusiones y trabajo futuro
Como se menciono con anterioridad, este trabajo de tesis presenta un conjunto de
esquemas de control por modelo exacto y adaptables para la solucion del problema de
seguimiento de trayectoria en el motor de CD sin escobillas. Se destaca la inclusion de
un nuevo esquema de control que permite una convergencia aun mas rapida con respecto
a los controladores reportados en la literatura. Ademas, dicho controlador realiza una
estimacion menor de parametros del motor de CD sin escobillas. Ası mismo, el desem-
peno mostrado por simulaciones numericas ha sido verificado con la implementacion de
los controladores en forma experimental, presentando ası resultados favorables para el
seguimiento de las trayectorias deseadas y la disminucion del error en cada uno de los
controladores.
Otra de las principales aportaciones de la presente investigacion es la construccion
de un inversor trifasico que permite la implementacion de los controladores en forma
experimental, acondicionando la senal de control para su implementacion al motor, del
cual se habla a detalle en el apendice E. Para perfeccionar la parte experimental para
la demostracion del correcto funcionamiento de los controladores, se puede aumentar
el procesamiento del equipo de computo o realizar la implementacion de un procesador
digital que permitira el aumento de la velocidad en el proceso de calculo de las operaciones
numericas para el control del motor de CD sin escobillas.
A partir de esta investigacion se puede dar inicio al desarrollo de otros trabajos, como
son el uso de inversores trifasicos en motores de induccion, la aplicacion de otras tecnicas
de control en motores de CD sin escobillas, control de motores de CD sin escobillas con el
uso de procesadores digitales de senal, uso de motores de CD sin escobillas en los sistemas
aereos no tripulados (conocidos como VANT o drones), la implementacion de motores de
CD en robots, entre algunos otros que brindan una oportunidad de trabajo futuro.
63
Referencias
[1] J. Catt. 3-Phase Bridge Drive With Overcurrent Protection. International Rectifier,
2002.
[2] F. Salas. Modelado y control de motores de CD sin escobillas: evaluacion experimen-
tal. Tesis de maestrıa, Instituto Tecnologico de la Laguna, diciembre 2007.
[3] A. Paul y M. George. Brushless DC Motor Control Using Digital PWM Techniques.
En memorias del International Conference on Signal Processing, Communication,
Computing and Networking Technologies, pp. 733-738, 2011.
[4] X. Huangsheng y J. Yashvant. Understanding Sensorless Vector Control for Brushless
DC Motors. Renesas Technology America, Embedded Systems Conference, Silicon
Valley, 2008.
[5] D. Langarica. Control de un motor brushless para aplicacion a vehiculos electricos.
Tesis de maestrıa, Centro Nacional de Investigacion y Desarrollo Tecnologico, octubre
2010.
[6] D. Dawson, J. Hu, y T. Burg. Nonlinear Control of Electric Machinery. Marcel
Dekker, New York, 1998.
[7] R. Campa, E. Torres, F. Salas, y V. Santibanez. On Modeling and Parameter Esti-
mation of Brushless DC Servoactuators for Position Control Tasks. En memorias del
Proceedings of the 17th World International Federation of Automatic Control, Julio,
2008.
[8] S. H. Zak. Systems and control. Oxford University Press, New York, 2003.
[9] I. Landau, R. Lozano, A. Karimi, y M. M’Saad. Adaptive Control Algorithms, Analy-
sis and Applications. Springer, New York, 2011.
64
REFERENCIAS 65
[10] K. W. Lee y H. K. Khalil. Adaptive output feedback control of robot manipulators
using high-gain observer. International Journal of Control, Vol. 67, No. 6, pp. 869-
886, 1997.
[11] S. Sastry y M. Bodson. Adaptive Control. Prentice-Hall, Berkeley, 1989.
[12] F. Gordillo. Estabilidad de sistemas no lineales basada en teorıa de Lyapunov. Revista
Iberoamericana de Automatica e Informatica Industrial, Vol. 2, pp. 5-16, 2013.
[13] H. Khalil. Nonlinear systems. Prentice-Hall, 1996.
[14] R. Kelly, V. Santibanez, y A. Loria. Control of robot manipulators in joint space.
Springer, 2005.
[15] P. Krause, O. Wasynczuk, y D. Scott. Analysis of electric machinery and drive
systems. John Wiley, 2002.
[16] J. Hidalgo. Diseno y simulacion de un inversor trifasico de 5.0kW aplicando la tecnica
de modulacion de ancho de pulso de vector espacial. Tesis de maestrıa, Pontificia
Universidad Catolica de Peru, 2011.
[17] V. Iribe, J. Perez, J. Beristain, y A. Alejandro. Implementacion de la Tecnica de
Modulacion de Vectores Espaciales utilizando un Controlador Digital de Senal ds-
PIC30F3010. RIEE&C, Revista de Ingenierıa Electria, Electronica y Computacion,,
Vol. 6, No.12, pp. 16-24., 2009.
[18] D. Novotny y T. Lipo. Vector control and dynamics of AC drives. Oxford, 1996.
[19] Inc. Sensoray Co. Sensoray Model 626 Instruction Manual. Sensoray Co., Inc., Julio
2004.
Apendice A
Publicaciones
C. Aguilar-Avelar, Y. Quevedo-Pillado, J. Guzman-Guemez y J. Moreno-Valenzuela.
Control por modelo de referencia adaptable para un motor de CD con carga pen-
dular. En memorias del XIV Congreso Mexicano de Robotica, 2012.
Y. Quevedo y J. Moreno-Valenzuela. Comparacion de controladores adaptables para
motores de corriente directa sin escobillas. En memorias del AMCA 2013, 2013.
66
Apendice B
Transformaciones matriciales de
Clarke y Park
Este apartado se presentan dos transformaciones de suma utilidad para la simplifi-
cacion del modelo trifasico del motor de CD sin escobillas. Basados en [5], [6] y [15] las
transformadas vectoriales para el motor de CD sin escobillas son descritas a continuacion.
B.1. Transformada de Clarke
El vector Is mostrado en la figura B.1 representa el vector de la corriente del estator,
el cual se encuentra conformado por 3 componentes sinusoidales, las cuales estan com-
prendidas dentro de un plano formado por los ejes a, b y c, los cuales no son ortogonales.
Con la finalidad de simplificar las ecuaciones del motor se realizan dos transformacio-
nes, la primera de ellas es llamada transformada de Clarke, que transforma un sitema no
ortogonal a un sistema ortogonal. En esta caso en particular se transforma el vector de
las corrientes del motor Iabc de tres componentes en un vector vector con componentes α
y β, con un valor numerico diferente a cero, puesto que la tercer componente es cero.
La transformada de Clarke se realiza utilizando las ecuaciones
I0 = Ia + Ib + Ic = 0, (B.1)
Iα =2
3
(Ia −
1
2Ib −
1
2Ic
),
Iβ =2
3
(√3
2Ib −
√2
2Ic
),
67
B.1 Transformada de Clarke 68
Figura B.1: Diagrama vectorial de Iabc y Iαβ
donde
I0 = 0, (B.2)
Iα = Ia,
Iβ =2Ib + Ia√
2,
que convierten las corrientes Iabc → Iαβ ya pertenecientes a un sistema ortogonal.
La transformacion de Clarke dada por las ecuaciones anteriores ha convertido un
sitema trifasico de 120 en un plano a un sistema trifasico ortogonal. Ademas, la transfor-
macion no modifica el modulo del vector y no elimina la dependencia del angulo de giro
del rotor dada por θr que presenta el modelo trifasico del motor de CD sin escobillas.
Para eliminar la dependencia de θr se hace girar el sistema de referencia α y β, con
el angulo θr. Para realizar esto se aplica una matriz de giro a los ejes de referencia α y β
dada por la ecuacion
ρ(θr) =
1 0 0
0 cos(θr) sin(θr)
0 − sin(θr) cos(θr)
. (B.3)
Se observa en la figura B.1 que a partir de aquı los ejes se manejar con el nombre de
d y q que son conocidos como los ejes magneticos del rotor, es decir cuando los ejes α y
β se mueven entorno a la matriz de giro pasa a denominarse d y q.
B.2 Transformada de Park 69
B.2. Transformada de Park
La transformada de Park es la combinacion de la transformada de Clarke y la apli-
cacion de la matriz de giro. Es decir, permite la transformacion de un sistema trifasico
en estado estacionario en un sistema ortogonal que gira en sincronıa con el giro del rotor
denotado por θr. Ademas esta transformacion se aplica a cualquier variable de voltaje (V )
o corriente (I). Las ecuaciones de la transformacion de Park se encuentran dadas por las
ecuaciones
Idq0 = Pθ−1r Iabc, (B.4)
Id
Iq
I0
=
√2
3
cos(θ) cos(θr − 2π3
) cos(θr + 2π3
)
sin(θ) sin(θr − 2π3
) sin(θr + 2π3
)1√2
1√2
1√2
Ia
Ib
Ic
. (B.5)
De forma similar, para transformar un voltaje trifasico a un voltaje d-q se usa la ecuacion
dada por (B.6), que especıficamente queda como Vd
Vq
V0
=
√2
3
cos(θ) cos(θr − 2π3
) cos(θr + 2π3
)
sin(θ) sin(θr − 2π3
) sin(θr + 2π3
)1√2
1√2
1√2
Va
Vb
Vc
. (B.6)
Aplicando estas transformaciones al modelo trifasico presentado en el capıtulo III por las
ecuaciones 3.3 se obtiene el modelo d-q del motor de CD con escobillas.
Apendice C
Modulacion por espacios vectoriales
En esta secccion se describe la tecnica de modulacion por espacios vectoriales aplicada
en el control del motor de CD sin escobillas.
La tecnica de modulacion por espacios vectoriales (por sus siglas en ingles SVM -
Space Vector Modulation) es un algoritmo para el control de modulacion por ancho de
pulso (PWM). Los motores trifasicos de CA accionado a diferentes velocidades de DC es
uno de sus principales usos.
La principal caracterıstica de la SVM es que sustituye todo el sistema trifasico por
un solo vector llamado vector de referencia, en el que la frecuencia queda reflejada en su
velocidad de giro con respecto al tiempo [16].
Para comprender mejor el concepto de SVM, en la figura D.1 se muestra un inversor
trifasico con 8 posibles estados de conmutacion, cada transistor S1, S2, S3, S4, S5 y S6 se
considera un interruptor que cuando esta abierto causa un estado logico de 0 (Sn = 0),
y cuando esta cerrado un 1 (Sn = 1), donde n = 1, 2, 3...6. Tomando como interruptores
principales a S1, S3 y S5 se encuentran 8 estados de conmutacion, donde cada una de las
combinaciones se puede representar en forma vectorial como ~Vx =(S1 S2 S3
), donde
x = 0, 1, 2, ..., 7. En la representacion vectorial de los estados de conmutacion existen
dos vectores denominados vectores nulos ~V0 y ~V7, donde los transistores S1, S3 y S5 se
encuentran todos abiertos ~V0 = (000) o todos cerrados ~V7 = (111), el resto de los vectores
son llamados vectores activos. La figura C.2 muestran explıcitamente los ocho estados de
conmutacion del inversor trifasico, que se representaran en su forma vectorial. A partir
de los vectores de conmutacion se traza un diagrama vectorial mostrado en la figura C.3,
donde se muestra las diferentes posiciones de los vectores sobre el plano α − β, donde
existe una separacion de 60 entre cada vector para cubrir un espacio de 360 en partes
iguales. Conforme al diagrama vectorial mostrado anteriormente, el vector de salida ~V (t)
70
71
Figura C.1: Inversor trifasico de dos niveles.
Figura C.2: Estados de conmutacion de un inversor trifasico representado en forma de vectores.
72
Figura C.3: Diagrama vectorial obtenidos a partir de los estados de conmutacion trifasico.
es la suma total de los vectores tal que
~V (t) =T0TS~V0 +
T1TS~V1 + ...+
T7TS~V7, (C.1)
donde, los tiempos de encendido de los vectores ~V0, ~V1, ..., ~V7, son T0, T1, ..., T7 ≥ 0 y∑7x=0 Tx = TS, donde TS es el periodo de conmutacion. Observando la ecuacion (C.1), el
vector ~V (t) tiene un numero infinito de representaciones usando los vectores ~V0, ~V1, ..., ~V7,
con el fin de reducir el numero de conmutaciones y obtener el voltaje maximo de linea en
la carga, se usa la tecnica de representar al vector ~V (t) usando 2 vectores adyacentes mas
cercanos y los 2 vectores nulos ~V0 y ~V7 en cualquier sector.
De forma demostrativa, considerando como ejemplo que el vector ~V (t) que se encuentra
en la seccion I del diagrama vectorial, en un intervalo de conmutacion el vector puede ser
expresado como
~V (t) =T1TS~V1 +
T2TS~V2 +
T7TS~V7 +
T0TS~V0, (C.2)
donde T7 = T0 = (TS − T1 − T2)/2 ≥ 0. La figura C.4 extraıda del diagrama vectorial de
los 8 vectores de conmutacion, donde aplicando la ley de los senos se calculan los tiempos
73
Figura C.4: Sector I del diagrama vectorial.
T1 y T2 tal queT2TS
1
sin γ=
m∗
sinσ=T1TS
1
sinϑ. (C.3)
Calculando los valores de los angulos σ y ϑ como
σ = π − π
3=
2π
3, (C.4)
ϑ = π − 2π
3− γ =
π
3− γ. (C.5)
Sustituyendo las ecuaciones (C.4) y (C.5) en la ecuacion (C.3) se obtiene la siguiente
ecuacionT2TS
1
sin γ=
m∗
sin(2π/3)=T1TS
1
sin(π/3− γ), (C.6)
despejando T1 y T2 se tiene
T1 =2√3m∗TS sin(
π
3− ωt) =
2√3m∗TS cos(ωt+
π
6), (C.7)
T2 =2√3m∗TS sin(ωt) =
2√3m∗TS cos(ωt+
3π
6), (C.8)
por lo tanto
T0 = T7 = (TS − T1 − T2)/2, (C.9)
donde
2πf ≤ ωt = γ ≤ 2πf + π/3,
m∗ = 3/4m,
74
Sector I Sector II Sector III(0 ≤ ωt ≤ π/3) (π/3 ≤ ωt ≤ 2π/3) (2π/3 ≤ ωt ≤ π)
T1 =√32mTS cos(ωt+ π/6) T2 =
√32mTS cos(ωt+ 11π/6) T3 =
√32mTS cos(ωt+ 3π/2)
T2 =√32mTS cos(ωt+ 3π/2) T3 =
√32mTS cos(ωt+ 7π/6) T4 =
√32mTS cos(ωt+ 5π/6)
T0 = T7 = (TS − T1 − T2)/2 T0 = T7 = (TS − T2 − T3)/2 T0 = T7 = (TS − T3 − T4)/2Sector IV Sector V Sector VI
(π ≤ ωt ≤ 4π/3) (4π/3 ≤ ωt ≤ 5π/3) (5π/3 ≤ ωt ≤ 2π)
T4 =√32mTS cos(ωt+ 7π/6) T5 =
√32mTS cos(ωt+ 5π/6) T6 =
√32mTS cos(ωt+ π/2)
T5 =√32mTS cos(ωt+ π/2) T6 =
√32mTS cos(ωt+ π/6) T1 =
√32mTS cos(ωt+ 11π/6)
T0 = T7 = (TS − T4 − T5)/2 T0 = T7 = (TS − T5 − T6)/2 T0 = T7 = (TS − T6 − T1)/2
Tabla C.1: Tiempo de encendido de vectores para cada seccion.
siendo m∗ el ındice de modulacion del vector V (t), m es el ındice de modulacion para
la region lineal representada por el circulo inscrito en el hexagono mostrado en la figura
C.3, definido de 0 a 1 y TS el perıodo de conmutacion. Para obtener los tiempos del resto
de los sectores se sigue el mismo procedimiento, los tiempos calculados se muestran en la
tabla C.1.
Retomando el ejemplo basado en el sector I, ya obtenidos los tiempos de encendido
T1, T2, T0 y T7 de los vectores ~V1 = 100, ~V2 = 110, ~V0 = 000 y ~V7 = 111, con base en los
interruptores S1, S3 y S5 la secuencia de conmutacion se muestra en la figura C.5. Con
base a los interruptores S1, S3 y S5, la figura C.6 presenta la secuencia de conmutacion
de los vectores ~V0, ~V1,..., ~V7 = 000 para cada uno de los 6 sectores.
El resultado de la modulacion por la tecnica SVM para el interruptor S1 es de la forma
presentada en la figura C.7 en base a esto se cuenta con lo la modulacion requerida para la
implementacion de la corrientes al inversor que alimentara el motor de CD sin escobillas
[17].
75
Figura C.5: Secuencia de conmutacion del sector I.
76
Figura C.6: Secuencia de conmutacion de los vectores para los seis sectores.
Figura C.7: Modulacion de onda caracterizada por el interruptor S1.
Apendice D
Inversor trifasico para el motor de
CD sin escobillas
En este apartado se se presenta la principal informacion del inversor trifasico utilizado
para la prueba de los controladores para el motor de CD sin escobillas.
El proceso de convertir una corriente directa (dc) a una corriente alterna (ac) es
llamada inversion y es el llamado inversor el que crea una frecuencia variable de la
una fuente de corriente directa que es usada para manejar motores de induccion con una
velocidad variable, sistemas de alimentacion interrumpida o variadores de frecuencia entre
otras aplicaciones [18]. Existen diversidad de inversores y en ella se encuentra los inversores
trifasicos que son utilizados para convertir la corriente directa en corriente alterna, con
una magnitud y frecuencia deseadas. El metodo de modulacion mas usados para realizar
el control del circuito inversor trifasico es la modulacion por ancho de pulso (PWM).
En aplicaciones de potencia baja e intermedia esta clase de inversores aceptan voltajes
de onda cuadrada o casi cuadrada, en cambio, para aplicaciones de alta potencia el voltaje
Figura D.1: Inversor trifasico.
77
78
debe ser sinusoidal y con poca distorsion.
Los dispositivos de conmutacion usados en estos circuitos comunmente son BJT, MOS-
FET, IGBT o GTO. Ademas para la generacion de senales de control utilizan generalmente
la modulacion por ancho de pulso (PWM) o modulacion por espacios vectoriales.
Para la construccion de un inversor trifasico existen dos configuraciones
Primero, se puede conectar tres puentes inversores monofasicos medios o completos
en paralelo para formar la configuracion de un inversor trifasico. Las senales de
control de los inversores monofasicos deben adelantarse o atrasarse 120 entre sı para
obtener voltajes trifasicos balaceados.
Segundo, se puede obtener una salida trifasica mediante la configuracion de tres
semi-puentes donde en cada uno de ellos se dispone de dos semiconductores de
potencia (teniendo un total de seis), como lo muestra la figura D.1. Se puede aplicar
dos clases de senales de control a estos semiconductores, conduccion de 180 o de
120 [16].
En referencia a la figura D.1, los numeros 1, 3 y 5 y 6 representan las entradas de
modulacion de los pulsos en alto y los numeros 2, 4, y 6 representan las entradas de
modulacion de los pulsos en bajo. a, b y c son las conexiones a las fases de la carga, para
la aplicacion del motor de CD sin escobillas, es la conexion a cada una de las fases del
motor, n se refiera a el neutro en la conexion de las fases y Vab, Vac y Vbc son los voltajes
diferenciales entre fases.
La base para el desarrollo del driver inversor se tomo del manual del circuito impreso
IR2130, mismo que se uso para la construccion del inversor y es presentado en [1], el cual
presenta el diseno de un circuito inversor ilustrado en la figura D.2.
79
Figura D.2: Inversor trifasico con proteccion de sobre corriente tomado de [1].
Apendice E
Plataforma experimental
En esta secccion se describe a detalle la plataforma experimental usada para el desa-
rrollo de experimentos de controladores para el motor de CD sin escobillas presentados
en este trabajo.
La figura E.1 muestra un diagrama general de la plataforma experimental ubicada en
el laboratorio de sistemas de control del Centro de Investigacion y Desarrollo de Tecno-
logıa Digital - CITEDI usada para realizar los experimentos presentados en este trabajo.
Ademas en la figura E.2 se ilustra una fotografıa de la la plataforma experimental.
A continuacion se presenta una descripcion mas detallada de cada uno de los elementos
que componen la plataforma experimental.
E.1. Computadora-PC
La computadora usada en la plataforma experimental cuenta con un sistema operativo
Windowsr XP y Matlabr 2007a, donde se hace uso de la herramienta Simulinkr para
simplificar la implementacion de los controladores en un sistema de computo, ademas que
permite la interaccion con la tarjeta de adquisicion de datos con ayuda de la librerıa ”Real
Time Windows Target”.
Otras caracterısticas de la computadora son
Procesador AMD Phenom II XL 965.
CPU 3.5 GHz.
Memoria RAM 3GB.
80
E.2 Tarjetas para la adquisicion de datos Sensorayr 626 81
Figura E.1: Diagrama a bloques de la plataforma experimental
E.2. Tarjetas para la adquisicion de datos Sensorayr
626
El modelo de la tarjeta de datos 626 es una tarjeta PCI. Cuenta con seis contado-
res versatiles de 24 bits que admiten encoders incrementales, ası como fuentes de re-
loj, 48 puertos bidireccional de entradas y salidas, salidas digitales, dieciseis entradas
analogicas diferenciales, cuatro salidas analogicas, y un temporizador watchdog. En la
figura E.3 se muestra un diagrama de las conexiones tıpicas de la tarjeta Sensorayr 626.
Codificadores y Contadores
Tres pares de contadores de 24 bits pueden ser configurados por seis encoders incremen-
tales, cada uno con 24 bits de resolucion, cada canal admite dos fases TTL o senales de
puerto RS-422, adicionalmente se usa una senal para rastrear la direccion encoder y el
desplazamiento. Cada entrada esta condicionada y sincronizada con el reloj interno del
la tarjeta 626. A diferencia de los contadores convencionales, los contadores de la 626 no
acumulan los errores cuando encoder cambia de direccion. Ademas cuenta con fuentes de
alimentacion de 5 volts para cada canal de encoder. Todos los contadores son programa-
bles y pueden generar opcionalmente interrupciones.
E.2 Tarjetas para la adquisicion de datos Sensorayr 626 82
Figura E.2: Fotografıa de la plataforma experimental
E.3 Inversor trifasico 83
Figura E.3: Diagrama de conexiones tıpicas de tarjeta Sensoray 626.
Entradas analogicas
16 canales de entradas diferenciales son multiplexadas a una muestra con una aproxima-
cion sucesiva A/D.Cada canal puede ser programado de ±5V o ±10V .
Salidas analogicas
Cuatro salidas de voltaje analogicas pueden ser programadas de ±10V .
Entradas y salidas digitales 48 lıneas digitales, cada lınea se programa por como
entrada o salida. Todas las salidas se desactivan al reiniciar el sistema [19].
E.3. Inversor trifasico
El circuito inversor usado en la plataforma experimental fue construido por alumnos del
centro, y basicamente en la figura E.4 se muestra el diagrama a bloques del circuito, donde,
las entradasH1,H2,H3 se refieren a los pulsos en estado alto provenientes de la modulacion
por espacios vectoriales, L1, L2, L3 son los pulsos en estado bajo de la modulacion por
espacios vectoriales, las salidas denominadas U , V y W son las conexiones a cada una de
las fases del motor de CD sin escobillas. El circuito inversor se alimenta de dos fuentes
de voltaje, la primera de ellas es de 5V que alimenta a los transistores del circuito y la
E.4 Tarjeta para monitoreo de las corrientes 84
Figura E.4: Diagrama a bloques del inversor trifasico.
segunda fuente de alimentacion es el voltaje de alimentacion para la conmutacion y su
correspondiente conexion de tierra (GND). Los componentes que constituyen el circuito
inversor se muestran en la tabla E.1. El diagrama del circuito inversor se muestra en la
figura E.5. Y finalmente, la tarjeta del circuito inversor se ilustra en la figura E.6.
E.4. Tarjeta para monitoreo de las corrientes
La tarjeta para monitorizar la corriente de cada una de las fases del motor se encuentra
constituida por tres sensores de corriente NT-5 de la marca F.W. BELL, el diagrama de
de conexion del sensor se muestra en la figura E.10, estos sensores se alimentan con una
fuente de corriente directa de±10 a±15 [V ] , cuentan con una salida de voltaje diferencial
para el monitoreo de corriente. En la figura E.8 se ilustra la tarjeta para monitorear la
corriente de cada uno de los devanados del motor de CD sin escobillas.
E.5. Tarjeta de filtro de corriente
Para asegurar la estabilidad del lazo de corriente, una inductancia de carga mınima es
esencial para el correcto funcionamiento de las unidades de PWM. La tarjeta de filtro de
corriente Filter se pueden utilizar para anadir inductancia al sistema motor o variador.
E.5 Tarjeta de filtro de corriente 85
Cantidad Componente Numero de parte o Fabricante Proveedordescripcion
1 IC Driver IR2130 International DigikeyRectifier
15 Diodos 1N4937 - Steren6 Transistores IRF640N International Steren
Rectifier9 Capacitores 0.1µF - Steren
ceramicos6 Resistencias 56Ω 1Watt - Steren6 Resistencias 100Ω 1/4Watt - Steren1 Resistencia 1KΩ 1/4Watt - Steren1 Led - - Steren3 Sensores de NT-5 FW-BELL Newark
corriente FW-BELL1 Zocalo 28 pins - Steren2 Zocalos 24 pins - Steren5 Terminal 3 posiciones - Steren
blocks - Frys5 Terminal 3 posiciones -
blocks 6 unidades - Frys
Tabla E.1: Componentes del circuito inversor.
E.5 Tarjeta de filtro de corriente 86
Figura E.5: Diagrama de conexiones del circuito inversor.
E.5 Tarjeta de filtro de corriente 87
Figura E.6: Diagrama de conexiones del circuito inversor.
Figura E.7: Diagrama de conexiones del sensor de corriente NT-5.
Figura E.8: Diagrama de conexiones del sensor de corriente NT-5.
E.6 Motor de cd sin escobillas con encoder 88
Figura E.9: Filtros para corrientes.
En el caso de esta plataforma los filtros inductivos se utilizan para reducir el ruido
PWM de conmutacion que se produce con los voltajes de alimentacion y los tramos largos
de cable. En la figura E.9 se muestra el filtro de corrientes implementado en la plataforma
experimental para el motor de CD sin escobillas.
E.6. Motor de cd sin escobillas con encoder
Para la plataforma experimental se hace uso de un motor de CD sin escobillas de
la marca Anaheim Automation con el modelo BLY172S-24V-4000, algunas de sus carac-
terısticas son:
Torque continuo de 21 oz-in.
Voltaje nominal de alimentacion de 24 volts de corriente directa.
Velocidad nominal de 4000 RPM.
Potencia de 55 W.
Torque pico 54 oz-in.
Una corriente pico de 11 Amp.
Resistencia de linea a linea de 0.8 ohms.
Torque constante de 5.0 oz-in/A.
Inercia del rotor de 0.00068 oz − in/seg2
Peso de 0.94 lbs.
E.6 Motor de cd sin escobillas con encoder 89
Figura E.10: Motor de CD sin escobillas
PIN DESCRIPCION1 Tierra2 Canal A3 Canal -A4 5 VDC5 Canal B6 Canal -B
Tabla E.2: Conexiones de terminales de encoder
Longitud 2.4 in.
Este motor cuenta con una carga pendular tal como se muestra en la figura E.11.
El encoder usado con el motor es de la marca US-Digital y lleva el numero de parte
E8P-500-197-D-H-M-B, este encoder es un encoder optico incremental, es un encoder de
tamano pequeno que sigue la norma NEMA motores a pasos, se alimenta de 5 VDC y
cuenta con dos salidas de cuadratura TTL. Ademas genera 4000 pulsos por revolucion.
Las conexiones para este encoder se ilustran en la tabla E.2.
E.6 Motor de cd sin escobillas con encoder 90
Figura E.11: Motor de CD sin escobillas.