Post on 24-Jul-2015
description
[ A p l i c a c i o n e s c o n
T e x a s I n s t r u m e n t s
V o y a g e 2 0 0 ]
2 0 1 0
M a t e r i a p a r a :
I n g e n i e r í a I n d u s t r i a l
B u s i n e s s S u i t e
& E c o n o m í a
I n v i e r n o 2 0 0 9
EELLAABBOORRAADDOO PPOORR::
II..II.. ÁÁNNGGEELL GGAARRCCÍÍAAFFIIGGUUEERROOAA HHEERRNNÁÁNNDDEEZZ [En este manual podrás encontrar aplicaciones para
diversos temas de Ingeniería Económica 2, todas las
aplicaciones necesarias sustitutos de una calculadora
financiera, así como programas especializados para ésta
materia]
Ingeniería Económica 2
LEER NOTA IMPORTANTE
EN PÁGINA SIGUIENTE
NOTA IMPORTANTE: Para usar las aplicaciones completas contenidas en éste
manual para la materia de Ingeniería Económica 1 debes haber instalado los
programas “Businesssuite92”, “Economía” y “simplex2” con anterioridad en
la calculadora, así como las funciones adicionales contenidas en la carpeta
“EKO2” todo esto se encuentra en la versión en DVD del MANUAL DE
INSTALACIÓN DE SOFTWARE PARA CALCULADORAS TEXAS INSTRUMENTS
VOYAGE 200 ó dirígete a la página de internet www.texasfcqei.com donde
también puedes descargar los programas y está explicado el cómo
transferirlos a tu calculadora, además en este sitio se encuentra éste mismo
curso en línea con video tutoriales y ejercicios interactivos. Es muy sencillo
instalar el programa y te tomará poco tiempo. Asegúrate de solicitar un cable
TI-USB Silver Link para transferir exitosamente los programas, éste se
encuentra de igual forma en donde solicitaste tu calculadora.
La razón por la cual no instalé los programas en todas las calculadoras es
porque esta materia es exclusiva de la etapa disciplinaria de las carreras de
Ingeniería Industrial por respeto a los estudiantes de otras carreras que
pudieran llegar a ocupar las calculadoras no les sería grato encontrar
calculadoras con programas ajenos a sus carreras y dejarlas sin memoria
disponible para otros programas especializados en su área. Es por esto que
también te pido que cuando termines el préstamo de tu calculadora
desinstales los programas ya que la memoria de la calculadora es limitada.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Tabla de funciones matemáticas poco usadas para la TI-V200 Página 3
Tabla de funciones matemáticas poco usadas para la TI-V200
Función Forma de
escritura en HOME
Descripción simple Ejemplo.
Valor absoluto
abs(expr)
Sólo debes teclear esta combinación de letras seguido de los respectivos paréntesis de apertura y cierre con la expresión dentro.
Logaritmo log(expr) ó log(expr,base)
Sólo debes teclear esta combinación de letras seguido de los respectivos paréntesis de apertura y cierre con la expresión dentro, seguido de una coma y la base del logaritmo, si se omite se toma como base 10.
Raíz de cualquier
orden
�������
(expr)^(n/m)
Debes teclear primero la expresión que va a elevarse a la raíz dada, luego el símbolo de potencia y entre paréntesis la división correspondiente de la raíz que tengas.
Cosecante csc(expr) Sólo debes teclear esta combinación de letras seguido de los respectivos paréntesis de apertura y cierre con la expresión dentro.
Secante sec(expr)
Cotangente cot(expr)
arc coseno cos-1(expr)
Para las primeras tres funciones simplemente teclea “2nd” + tecla seno coseno ó tangente correspondiente. Para las últimas 3 debes entrar al menú de funciones trigonométrica con “2nd” + número 5 de la parte numérica y entrar al submenú Trig. y dar ENTER sobre la opción deseada.
arc seno sen-1(expr)
arc tangente
tan-1(expr)
arc cosecante
csc-1(expr)
arc secante sec-1(expr)
arc cotangente
cot-1(expr)
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Índice General Página 4
Índice General
I. Introducción…………………………………………………………………………….5
II. Detalle Técnico………………………………………………………………………..7
III. Detalle General de Teclas………………………………………………………..9
IV. Introduciendo datos y expresiones correctamente…………………11
V. Índice de Ingeniería Económica 2………….……………………………….21
VI. Contenido…………………………………………………………………………23-90
VII. Ejercicios propuestos……………………………………………………………..91
VIII. Bibliografía……………………………………………………………………………..96
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Introducción Página 5
Introducción
Bienvenido al curso Texas Instruments Voyage200, éste curso tiene la finalidad de que aprendas
el manejo eficiente y práctico de esta calculadora graficadora muy poderosa, ya que posee un gran
campo de aplicación en todas las ingenierías y por ende en la mayoría de las materias que verás a
lo largo de tu carrera, para que estudies como ingeniero y trabajes como tal.
Esta calculadora si bien tiene mucha funcionalidad y gran ventaja, es importante dejar en claro
que no debe ser usada como un medio de hacer trampa o como un sustituto del aprendizaje
impartido por el maestro, sino de un apoyo claro y específico en cada materia para agilizar
cálculos y para entender mejor los temas vistos en clase. Las materias en las que te puede ayudar
grandemente de tronco común (1°, 2° y 3° semestre) son las siguientes:
1. Química General
2. Algebra Lineal
3. Calculo Diferencial
4. Calculo Integral
5. Ecuaciones Diferenciales
6. Probabilidad y Estadística 1
7. Probabilidad y Estadística 2
8. Física 1
9. Física 2
10. Física 3
11. Fisicoquímica
12. Termodinámica
Y de las demás materias disciplinarias
(Programa Académico de Ingeniería Industrial):
13. Diseño de Experimentos
14. Computación 2
15. Resistencia de Materiales 1
16. Circuitos Eléctricos 1
17. Investigación de Operaciones 1
18. Investigación de Operaciones 2
19. Tecnología de los Materiales
20. Ingeniería Económica 1
21. Ingeniería Económica 2
22. Control Estadístico del Proceso
23. Medición del Trabajo
24. Metrología
25. Administración Financiera
Las materias en Negritas son las
que recomiendo fuertemente para
el uso de esta calculadora porque
facilita mucho el trabajo y también
existen programas específicos y
didácticos para cada una.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Introducción Página 6
PRÉSTAMO
Existen 54 calculadoras TI-V200 disponibles para préstamo en el resguardo de ésta facultad, tú
puedes pedir que se te preste de forma inmediata una calculadora, se te presta gratuitamente por
espacio de 1 mes y puedes renovar el préstamo cuantas veces desees. Para esto debes acudir con
el encargado del material tecnológico y audiovisual, él se encuentra en el segundo piso de la
facultad casi enfrente del centro de cómputo junto a la jefatura de Ingeniería Industrial, se atiende
de 7:00 A.M. a 2:00 P.M., lo único que necesitas para que te presten la calculadora es lo siguiente:
• Copia de tu credencial de la Universidad
• Copia de tu toma de materias actual
• Copia de tu Inscripción/Reinscripción actual
Como verás es muy sencillo y en definitiva recibes a cambio una gran ayuda.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Detalle Técnico Página 7
Detalle Técnico
Cuando pidas prestada una calculadora debes fijarte que contenga:
� 1 Calculadora
� 1 Carcasa
� 4 Pilas AAA recargables ó alcalinas (en caso de estar disponibles)
� 1 Bolsita protectora
Este es el préstamo básico, sin embargo si tú deseas instalarle algún programa desde tu
computadora debes solicitar también:
� 1 Cable TI-USB Silver-Link
Para instalación de programas complementarios ó extras, consultar el MANUAL DE INSTALACIÓN
DE SOFTWARE PARA CALCULADORA TEXAS INSTRUMENTS VOYAGE 200.
Pasos al Iniciar sesión:
1. Coloca las 4 pilas AAA adecuadamente. Estas se encuentran dentro de la bolsa protectora de la
calculadora. La parte donde se colocan las pilas es en la parte posterior de la misma.
IMPORTANTE: No muevas la pila de botón.
2. Retira la carcasa de la calculadora:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Detalle Técnico Página 8
3. Colócala por atrás para protegerla mejor.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Detalle General de Teclas Página 9
Detalle General de Teclas
La tecla DIAMANTE (una tecla verde al lado de la tecla ON), al presionarla una vez activa todas las
teclas que tengan leyenda verde sobre las teclas normales. Su función es múltiple y generalmente
te permite desplazarte entre programas y configurar ciertas aplicaciones de la parte gráfica.
La tecla 2nd (tecla azul al lado de la tecla DIAMANTE), al presionarla una vez activa todas las teclas
que tengan leyenda azul. Su función principal es complementar las expresiones numéricas, y en
algunos casos entrar a menús avanzados.
Las teclas F1-F8, se pueden utilizar cuando en la pantalla aparezcan opciones variadas en la parte
superior, generalmente se usan sólo para abrir menús en los programas.
Las teclas del Cursor sirven para moverte en gráficas, sobre la línea de entrada y en el historial de
Home, así como en otros programas, te irás familiarizando con el poco a poco.
La tecla APPS, despliega el menú general de la calculadora, donde se encuentran todas las
aplicaciones y programas de la misma.
La tecla MODE, despliega la pantalla para modificar la configuración general de la calculadora.
La tecla Shift, tiene la misma funcionalidad que la tecla shift del teclado de una computadora, al
dejarlo presionado y desplazarte con el cursor de un lado a otro puedes seleccionar una serie de
Cursor
Parte Numérica
Teclado Extendido Teclas especiales Shift,
DIAMANTE, 2nd
Teclas F1-F8
Tecla APPS
Tecla CLEAR Tecla ESC
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Detalle General de Teclas Página 10
datos o expresiones para después copiarlos con la combinación DIAMANTE + letra C, y pegarlos en
cualquier otra aplicación con la combinación DIAMANTE + letra V.
La tecla CLEAR sirve de forma general para borrar la línea de entrada de la calculadora y en
algunas otras aplicaciones borra gráficas y elementos marcados para graficar.
La tecla ESC se usa para cancelar opciones hechas o errores cometidos dentro de un programa.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 11
Introduciendo datos y
expresiones
correctamente
Se ha dedicado un capítulo completo a la
explicación de cómo introducir datos y
expresiones correctamente debido a que se
han identificado numerosos errores de
escritura en muchos estudiantes a la hora de
teclear los datos, lo cual es de vital
importancia ya que de teclear
incorrectamente la información nos puede
arrojar resultados incorrectos o muy
diferentes a lo que queremos en realidad,
independientemente del programa en el que
estemos éstas reglas son para cualquier
aplicación en el que se esté trabajando, es
conveniente tomarse un tiempo para
entender y practicar estos sencillos ejercicios
para que escribas correctamente la
información en cada tarea que resuelvas.
Signo Menos
Es importante que a la hora de teclear una
expresión en la calculadora se teclee el signo
menos adecuado en cada caso. Se debe
seguir la siguiente regla:
“Cuando se escriba una expresión en la que
se inicie con signo negativo debe usarse la
tecla con signo negativo entre paréntesis
”. Esto mismo se usa con las
calculadoras científicas habituales. Veremos
un par de ejemplos. Enciende tu calculadora,
tecla ON:
Muévete con el cursor a través de las
aplicaciones y posiciónate en HOME y da
ENTER:
Por ejemplo, si queremos escribir:
�7� 8
Damos ENTER :
Vemos que se despliega correctamente y se
reacomoda en la línea de entrada. Este error
del uso del signo menos es muy común y
debe usarse ya sea en el inicio de una
expresión o en la de un exponente que
queramos a una potencia negativa o después
de que se ha cerrado un paréntesis. Para
borrar la línea de entrada teclea CLEAR.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 12
Si se hubiera puesto el otro signo menos
hubiera salido un resultado completamente
diferente e incorrecto. Otro ejemplo:
��
Vemos que se lee correctamente, si
hubiéramos puesto el signo contrario:
Vemos que nos indica que hay un error de
sintaxis en la línea de entrada.
“En cualquier otra posición de una
expresión que no sea el inicio, el signo
negativo que debe usarse es el de la tecla
blanca .”
Por ejemplo:
��� 8� � 13
Para el primer término como esta al inicio se
usa el signo menos de la tecla negra y para el
último término se usa el signo menos de la
tecla blanca:
Como tip podemos decir que en la línea de
entrada el signo menos de la tecla negra está
un poco más pequeño y más arriba que el de
la tecla blanca.
Paréntesis
El uso correcto de los paréntesis es muy
importante ya que de igual manera va a
definir nuestras expresiones. Los paréntesis
dividen expresiones completas en la línea de
entrada de la calculadora, hay algunas
funciones como la función exponencial,
logaritmo natural o las trigonométricas que
cuando lo tecleas inmediatamente te abre un
paréntesis y lo hace con la finalidad de que
definas correctamente lo que va dentro de
esa función. Es importante recordar que
“Todo paréntesis que se abre debe
cerrarse”. Por ejemplo supongamos que
deseamos escribir:
sin 7� 8�� � ln �
Al teclear la función de seno se abre
automáticamente el paréntesis e
inmediatamente después debemos escribir
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 13
el argumento del seno para después cerrarlo
con el paréntesis de cierre:
Es importante también cerrar
ordenadamente cada paréntesis que se abra,
veamos otro ejemplo:
√cos � � sin 2�
Abrimos la raíz dando en 2nd + tecla de
signo de multiplicación y si te fijas se
abre el paréntesis inmediatamente después
del símbolo de la raíz y luego debemos
escribir la expresión de adentro y cerrar con
el paréntesis final para indicar que todo va
dentro de la raíz:
Fíjate en el orden de los paréntesis, el
primero es el que encierra a todos los demás,
damos ENTER:
Signo de División
Este es otro error algo común a la hora de
escribir las expresiones, y hay que seguir otra
regla muy simple cuando usamos el signo de
división:
“Cuando haya más de un término en el
numerador o denominador en una división,
estas expresiones deben encerrarse entre
paréntesis”
Por ejemplo si deseamos escribir:
3�9� 13
Como hay un solo término en la parte de
arriba no es necesario teclear el paréntesis,
pero como en la parte de abajo hay más de
uno, debemos teclear los paréntesis en la
parte de abajo, la forma de escritura se
podría resumir con este tip:
� �� � !é�#$ %&/� �� � !é�#$ %&
Vemos en la pantalla como se ve
correctamente la escritura de la expresión
que queremos. ¿Qué hubiera pasado si no
ponemos los paréntesis? Observa:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 14
Vemos que al dar ENTER la calculadora
entiende otra cosa completamente distinta.
Es un muy buen tip que observes lo que
escribiste al dar ENTER en la parte izquierda
de la pantalla y veas si esa expresión es la
que quieres.
Otro ejemplo:
�� 8��7�� 3� � 15
Como en el numerador y denominador hay
más de un término deben escribirse ambos
paréntesis al inicio y al final de cada
expresión, damos ENTER:
Nótese que en el denominador como la
expresión inicia con un término con signo
negativo se empieza usando el menos de la
tecla negra, y el siguiente es con la tecla
menos blanca. Recordemos que los
paréntesis dividen expresiones completas,
por eso aunque este en medio de la línea de
entrada se usa el signo negativo negro.
También notamos que la calculadora
factoriza la parte de arriba y cambia signos
por comodidad, siendo esto una igualdad
exacta.
Exponentes
Otro error relativamente común son los
exponentes. Por ejemplo si queremos
escribir:
���)
Como veras a simple vista en la calculadora
no existe una tecla con raíz cúbica, solo esta
la de raíz cuadrada, para escribir una raíz del
orden que sea se debe usar el exponente con
la sencilla regla:
√��� * �� +⁄
Cuando se escribe un exponente en
fracciones en la calculadora, de igual
manera debe ponerse entre paréntesis
después del símbolo de exponente:
Al dar ENTER vemos la expresión correcta de
la equis con su exponente. De igual manera
se recalca la importancia de poner entre
paréntesis esta expresión ya que de no
hacerlo la calculadora entenderá otra cosa,
observa:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 15
Vemos que al no ponerlo la calculadora
entiende que se trata de una equis cuadrada
entre tres y no es la expresión adecuada. Por
eso es MUY IMPORTANTE el escribir
correctamente la información en la
calculadora ya que de no hacerlo nos dará
resultados incorrectos.
Listas ó Matrices
Cuando escribas en listas o matrices
(generalmente las usaras en materias como
Algebra Lineal, Investigación de Operaciones
1, Ingeniería Económica 1, Ingeniería
Económica 2) es importante que recuerdes
que las comas “,” también dividen
expresiones y por lo tanto si por ejemplo
escribes un dato con signo negativo es como
si iniciara una nueva expresión y debe
teclearse con el signo menos de la tecla
negra.
Por ejemplo al escribir la lista:
-5, �6,8, �2,10
Se abren y cierran las llaves tecleando “2nd”
+ paréntesis de apertura o cierre
:
Vemos que al dar ENTER la lista se crea con
los datos de signo correctos, de poner el otro
signo menos ocurriría un error de sintaxis.
Funciones solve, factor, expand
Si estás trabajando en materias como calculo
diferencial, cálculo integral, algebra lineal es
posible que te sean útiles éstas funciones. En
general se te explicarán en el curso de la
materia que tomes si es que te son de ayuda.
De todas maneras aquí se te explica un poco
de cómo usarlas. Todas estas funciones están
en el menú F2 Algebra, al dar ENTER sobre
cada una se copia a la línea de entrada para
usarse:
Función Solve
La función solve resuelve igualdades o
inecuaciones en la línea de entrada de HOME
lo único que necesitas es introducir la
ecuación en la línea de entrada, la respectiva
igualdad o inecuación, luego la respectiva
coma e inmediatamente después la variable
que deseas que la calculadora encuentre, de
esta forma:
1%23���4�54$ó , 35�$572�&
Por ejemplo nos piden encontrar los valores
de X que satisfacen la expresión:
�� 6�� 5� 30 * 75
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 16
En la línea de entrada de HOME se debe
introducir de esta forma:
1%23���� 6�� 5� 30 * 75, �&
Ahora simplemente damos ENTER:
Y se llega al resultado.
Función Factor
La función factor como su nombre lo indica
factoriza expresiones (de ser posible) y
devuelve la multiplicación adecuada que
daría como resultado esa expresión. Su
forma de escritura es:
954!%�������1$% &
Como te puedes dar cuenta no tiene ni coma
ni variable a buscar ya que no necesita de
una variable para encontrar, sino que va a
factorizar con las variables que tengas dentro
de la expresión. Por ejemplo te piden
factorizar la siguiente expresión:
�� 9�� � 7� � 63
Para introducirlo en la línea de entrada de
HOME sería así:
954!%���� 9�� � 7� � 6&
Damos ENTER y vemos:
Nos devuelve la factorización adecuada de
binomios que daría como resultado ese
polinomio.
Función Expand
La función expand es la función inversa de
factor, cuando introduzcas una expresión
elevada a una potencia o una multiplicación
de expresiones lo que va a hacer es
desarrollar esa multiplicación para que la
visualices por completo. Su forma de
escritura es similar a la de factor:
���5 �������1$ó &
Por ejemplo supongamos que necesitas
desarrollar la expresión:
�2�� 9&�
En la línea de entrada de HOME se debe de
introducir así:
���5 ���2�� 9&�&
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 17
Damos ENTER y vemos:
Operador With
El operador “with” es un comando
condicionante, en la calculadora se puede
combinar con varias funciones de la misma
para restringir la búsqueda de una respuesta
ó para sustituir un valor en una variable en
una expresión dada. Su símbolo es |. Tú
puedes combinarlo de la siguiente forma:
1. Pidiéndole que sustituya un valor en una
variable, esto es útil cuando quieres sustituir
un valor cualquiera en una expresión grande
y tendrías que hacer varias operaciones a
mano, por ejemplo:
5� 7��
3�� 12�� � 5�
Y quieres sustituir digamos 7 en donde haya
equis y evaluarlo. Primero debes teclear la
expresión completa en la línea de entrada y
luego teclear este operador, el operador
“with” sale tecleando “2nd” + letra K del
teclado extendido. En la línea de entrada
quedaría así:
Damos ENTER y vemos:
Como puedes ver opera la expresión,
también antes de dar ENTER puedes
presionar DIAMANTE y te devolverá un valor
numérico aproximado.
2. También lo puedes usar para restringir la
búsqueda de respuestas. Por ejemplo buscas
sólo la solución positiva de X para:
�� � 2� � 15 * 0
Para ésta igualdad como sabemos ocupamos
la función solve y al finalizar de escribir la
función restringimos la búsqueda a X>0:
1%23���� � 2� � 15 * 0, �&|� ; 0
En la línea de entrada quedaría así:
Damos ENTER y vemos:
El símbolo de “>” sale con “2nd”+ símbolo de
punto de la parte numérica.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 18
Mensajes de Error Comunes
Los mensajes de error comunes suceden
cuando en la línea de entrada cometiste un
error de sintaxis o que falta una variable o
alguna expresión necesaria.
Uno de los más comunes es el mensaje de
“Missing )”:
Nos indica que falta un paréntesis ya sea de
cierre o apertura en la línea de entrada. Este
error hace referencia a la regla que dice
“Cada paréntesis que se abre debe cerrarse”
Otro error común es el de “Syntax”:
Este error nos indica que hemos escrito algo
mal en la línea de entrada, generalmente se
debe a los signos negativos, es decir que
hemos usado los inadecuados.
También tenemos éste otro error, el de “Too
few arguments”
El cual nos indica que hacen falta
argumentos para la función, esto se explicará
con el uso mismo de los programas y
software para que sepas como y donde
ponerlos.
Un último factor importante en el uso de la
calculadora es que después de que le des
una orden ya sea dando ENTER o con
cualquier otra tecla de resolución dejes que
la calculadora “piense” o resuelva lo que le
has pedido, cuando esta “ocupada” lo dice
en la esquina inferior derecha, aparece el
recuadro de BUSY, lo cual indica que esta
ocupada y no debes teclear nada hasta que
te devuelva una respuesta.
Borrando Variables
Es importante que de cuando en cuando
después de haber usado tu calculadora
elimines las variables con valores asignados
que se hayan podido guardar en la memoria,
esto ocurre algunas veces cuando ocupas la
función solve ó cuando usas el Numeric
Solver, para eliminar las variables estando en
HOME simplemente teclea F6 CleanUp y da
ENTER sobre la primera opción “Clear a-z”:
Al hacer esto borras automáticamente todos
los valores que podrían contener las
variables de la “A” a la “Z”. Es importante
que hagas esto cuando inicias un nuevo
problema.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 19
Multiplicación Implícita de Variables
Otro error bastante común a la hora de
teclear los datos es que nosotros al escribir a
mano damos por hecho la multiplicación
implícita de variables en una expresión, por
ejemplo al escribir:
�< 3�� � 2<=
Nosotros por intuición y por lo que nos han
enseñado sabemos sin problema que en la
primer y último termino hay una
multiplicación de variables X por Y y Y por Z.
En la Texas debemos especificar ésta división
de variables ya que si las tecleamos juntas la
Texas pensará que se trata de una variable
única llamada XY ó YZ:
La forma correcta es teclear el signo de
multiplicación entre ambas variables:
Podemos ver la diferencia, como tip puedes
observar el pequeño punto entre la X y la Y,
así como entre la Y y la Z indicando la
independencia de cada variable. Es
importante teclear esto correctamente, ya
que en el uso de alguna función podría no
reconocer la variable que quieres que
resuelva, por ejemplo:
Podemos ver que al resolver una igualación a
15 y pedirle encontrar Y, no existe ésta
variable ya que para la Texas solo hay
variables X, XY y YZ, lo correcto sería:
Cuando todo falla
Se ha llegado a ver situaciones en donde la
pantalla se “frizea” ó se queda trabada, esto
ocurre generalmente cuando no esperaste
una respuesta de la misma cuando estaba en
estado BUSY, siempre debes esperar
después de darle un comando de resolución
o respuesta (ya sea ENTER o cualquier otro) a
que te devuelva un valor o mensaje, NO LA
FUERCES, se paciente y siempre fíjate en el
estado de la misma, éste se encuentra
siempre activo en la esquina inferior derecha
de la pantalla, da siempre un teclazo a la vez
y ordenadamente. De todas maneras si se te
llegara a trabar presiona al mismo tiempo
estas 3 teclas “2nd” + ON + tecla de mano:
+ + . Esto reiniciará la
calculadora completamente y sin problemas.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 20
Ephy
Pensando en el gran número de usos en el
área de Química y sus modalidades
combinadas (Fisicoquímica, Termodinámica,
Química Orgánica, etc.) instalé en todas las
calculadoras una práctica tabla periódica de
los elementos que puedes consultar. Para
entrar a ella estando en HOME teclea en la
línea de entrada la combinación “EPHY()” y
da ENTER:
Da ENTER nuevamente para continuar:
Y verás:
Y puedes desplazarte por cada elemento, y
para ver su información da ENTER sobre el
símbolo del elemento que deseas ver y verás
su ficha completa:
La desventaja es que está en francés, pero
los símbolos químicos no cambian, son
iguales para todos, además de que es
bastante entendible, la información es
explícita, la información de cada elemento es
la siguiente:
• Nombre
• Masa Atómica
• Electronegatividad
• Densidad (gr/cm3)
• Punto de Ebullición (°C)
• Punto de Fusión (°C)
• Valencia
• Configuración Electrónica
• Radio Atómico
• Por quién fue descubierto y en que
año.
Para salir de la tabla simplemente da ESC:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Índice de Investigación de Operaciones 1 Página 21
Índice de Ingeniería Económica 2
Introducción…………………………………………………………………………………………………………………….23
C a p í t u l o 1 Decisiones de Reemplazo y Conservación
1.1 Vida Útil Económica ……….……………..…….…………………………………………..23
i) Resolviendo con Business Suite…………………………………………………………23
ii) Resolviendo en Cell Sheet………………………………………………………………….28
1.2 Análisis de Reemplazo durante un período de estudio específico ……32
C a p í t u l o 2 Análisis del VP para Selección de Proyectos Independientes
Resolviendo en Business Suite
2.1 Racionamiento de capital utilizando el análisis de VP para proyectos de
vida diferente………………………………………………………………………………………………………42
2.2 Selección de Proyectos Utilizando Programación Lineal (simplex)…….44
C a p í t u l o 3 Análisis del punto de equilibrio
3.1 Análisis del Punto de Equilibrio para un Proyecto………………………………51
3.2 Análisis del Punto de Equilibrio para una o más alternativas……………..60
3.3 Aplicación de Business Suite en lugar de solver de Excel……………………62
C a p í t u l o 4 Efectos de la Inflación
4.1 Cálculo de Factores (VP, VF, A) ajustados por la Inflación…………………..68
C a p í t u l o 5 Depreciaciones
Resolviendo en Business Suite
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Índice de Investigación de Operaciones 1 Página 22
5.1 Línea recta…………………………………………………………………………………………72
5.2 Suma de los dígitos de los años …………………………………………………………74
5.3 SD & SDD (Saldo Decreciente & Saldo Doblemente Decreciente, también
llamados de Porcentaje Fijo)………………………………………………………………………………..76
5.4 MACRS ó SMARC………………………………………………………………………………..81
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
VUE con Business Suite Página 23
Introducción
En la mayoría de los temas y problemas que
resolverás en ésta materia te los pedirán
resolver en Excel, lo cual no se deja de
recomendar, es bueno que aprendas a
resolver éstos problemas en éste programa
de Office que te será de gran ayuda cuando
haces la tarea en tu casa, además de ser un
programa que quizá sigas usando hasta en tu
vida profesional. Sin embargo, la Texas te
puede ayudar a resolver varios de éstos
problemas sobre todo en exámenes donde lo
más probable es que no te dejen usar una
Laptop, y que por fuerza te tienen que dejar
usar una calculadora financiera o como en
éste caso una Texas Instruments. También es
un hecho que con la Texas no necesitas
comprar una calculadora financiera (que
algunos profesores solicitan para esta
materia), ya que con los programas que le
instalas y el software que ya trae es más que
suficiente para todos los temas que verás en
estas materias, tiene mucha más
funcionalidad y eficacia que una financiera y
con éste manual te darás cuenta. Si ya has
leído o visto en DVD el curso de Ingeniería
Económica 1 ya estarás familiarizado con los
programas Business Suite que de nueva
cuenta se usará bastante en éste curso, así
como un uso ya más avanzado de Cell Sheet.
Decisiones de Reemplazo y Conservación
Éste tema es parecido al que se vio en el
primer curso de Ingeniería Económica 1 de
“Análisis del Valor Presente” donde se pedía
encontrar el valor presente de 2 equipos y se
te pedía seleccionar el que representara un
menor desembolso inicial. En éste tema la
situación es parecida, se introduce el
concepto de VUE (Vida Útil Económica) y la
misma situación de seleccionar el equipo que
represente el menor desembolso pero ahora
en análisis de pagos anuales.
Resolviendo con Business Suite
Vida Útil Económica
Es importante que tu profesor te explique
éste concepto económico importante ya que
te podrá ser de utilidad en tu vida
profesional. En la mayoría de los problemas
relacionados a este tema debes hacer una
tabla indicando la VUE del equipo en
cuestión. Tú puedes resolver éste tipo de
problemas en Business Suite y en Cell Sheet.
Primero mostraré como resolverlo en
Business Suite y luego en una hoja de cálculo
preparada en Cell Sheet.
Ejemplo.
Determine la Vida Útil Económica y el VA
correspondiente para una máquina que
tiene los siguientes flujos de efectivo.
Aplicando una tasa de interés de 14% anual.
Año V. de Salvamento Costo de
Operación
0 100,000 -
1 75,000 28,000
2 60,000 31,000 3 50,000 34,000
4 40,000 34,000
5 25,000 34,000
6 15,000 45,000
7 0 49,000
Empezaremos resolviendo con Business
Suite, con éste programa la desventaja es
que deberás hacer columna por columna
cada dato, sin embargo si lo único que te
piden es el resultado, puedes resolver
directamente la columna última y encontrar
el resultado al problema la columna última
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
VUE con Business Suite Página 24
del problema es la más importante y es la
que define cual será la VUE del activo.
Encendemos la calculadora tecla ON:
Nos desplazamos con el cursor y nos
posicionamos en HOME y entramos pulsando
ENTER:
Este es HOME y es el corazón de la
calculadora y es en donde se realizan la
mayoría de los cálculos complejos y difíciles.
Debemos llamar el programa, si lo instalaste
correctamente se encuentra en el folder
MAIN. Damos “2nd” + tecla de signo menos
blanco :
Y verás ésta pantalla que es como el “CPU”
de la calculadora, puedes observar los
diferentes folders que hay, en tu calculadora
si instalaste los programas correctamente
solo deberías tener los folders “ephy, main y
economia”, despliega el folder MAIN
posicionándote sobre él y dando a la derecha
con el cursor:
Desplázate hacia abajo con el cursor y
encuentra el programa “bstest92” y da
ENTER:
Se copia a la línea de entrada de la
calculadora, ahora simplemente cierra el
paréntesis con y da ENTER:
Después de un momento:
Vemos la pantalla de bienvenida y por quién
fue creada y en que fecha. Damos ENTER
para continuar:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
VUE con Business Suite Página 25
Y verás un cambio en la parte superior de los
menús. Para el curso de Ingeniería 2 sólo
usaremos los menús F5 “Sheets” y F3 “Depr”
(Depreciaciones, que se verán más adelante).
Damos en F5:
Damos ENTER en la primera opción “Cash
Flows” (Flujo de Caja):
Y la primer pregunta que nos hace es “Initial
Cash Flow” que es el monto inicial en el año
cero, debes recordar SIEMPRE que los flujos
hacia abajo son con signo negativo y hacia
arriba son positivos, ó como en éste caso la
inversión inicial es negativa ya que simboliza
un desembolso, el signo menos es que
corresponde a tecla negra:
Y damos ENTER 2 veces para continuar. Y
verás un nuevo cambio en la parte superior
de la pantalla que son los submenús para
modificar o cambiar los flujos, para agregar
flujos tecleamos en F1 “Add” (Agregar):
Y de aquí en adelante es simple sentido
común, como vamos a encontrar la columna
última del problema debemos hacerla por
cada año tomando como si en ése año
ocurriera el rescate de la máquina menos el
costo de operación hasta ese momento, para
el primer año quedaría en el flujo 1:
Tú puedes teclear la resta de lo que se
rescata en ése año menos el costo anual en
ése año la calculadora hará la operación
automáticamente, recuerda que el menos es
de tecla blanca ya que no esta al inicio de la
expresión. Damos ENTER para continuar y
nos pregunta la frecuencia:
Es decir cuántas veces ocurre éste monto,
como es el primero damos 1 y ENTER:
Recuerda que lo que se va a calcular cada
año es el PMT y en donde sea menor será el
número de año de VUE del activo. Ahora
bien para calcular éste valor damos en F6 y
damos ENTER en la cuarta opción:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
VUE con Business Suite Página 26
Y nos pregunta el porcentaje, solo lo
tecleamos de acuerdo al problema y damos
ENTER:
Y éste es el primer valor de la columna
última y que se debe anotar
inmediatamente, y que debes ir
construyendo la tabla. Ahora bien para el
segundo año de igual forma debemos
tomarlo como si se rescatara el activo en ese
año. Debemos corregir el primer flujo dando
en F4 Correct. Nos pregunta que número de
flujo es el que deseamos corregir, le decimos
que es el primero (1) y damos ENTER:
Nos pregunta el nuevo valor, le decimos que
ahora sólo es “–28000” y damos ENTER:
Nos aparece el mensaje de “Ok it’s changed”
y cambia el flujo que teníamos, agregamos
un segundo flujo con F1 Add, y hacemos lo
mismo, suponiendo que se recatara en ese
año el activo vemos la tabla y restamos
60000-31000:
Y damos ENTER, y frecuencia 1 nuevamente:
Y nuevamente para ver el nuevo valor PMT
en el segundo año damos en F6 y cuarta
opción:
Y nuevamente tecleamos el porcentaje del
problema, damos ENTER y vemos el valor
PMT en ése año, se anota y se continúa. Tú
puedes observar en cualquier momento los
flujos dando en F5 View:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
VUE con Business Suite Página 27
Y podrás ver los flujos que has introducido,
para continuar da ENTER. Y se continúa el
problema para el tercer año, nuevamente se
tiene que ir corrigiendo el año último, por lo
tanto damos en F4 Correct, e indicamos el
flujo 2 para corregir a -31000 y damos
ENTER:
Y damos en F1 Add y agregamos el nuevo
flujo del tercer año:
Y lo mismo, F6 y cuarta opción:
Y se anota la cantidad y se continúa así hasta
el año 7. Al final la tabla debe quedarte así:
Año VA Total
1 -67,000
2 -62,093
3 -59,275
4 -57,593 5 -57,148
6 -57,300
7 -58,120
Ahora solo se debe hacer una comparación
sencilla, el valor más positivo indicará el año
que corresponde al número de VUE del
activo.
Año VA Total
1 -67,000
2 -62,093
3 -59,275 4 -57,593
5 -57,140
6 -57,300
7 -58,120
El año 5 corresponde al VUE, con esto
interpretamos que la Vida Útil Económica del
activo es de 5 años con -$57,140. Haciéndolo
así nos saltamos de hacer la tabla completa
que muestra el libro de Tarquin que son las
columnas de Reparación de Capital y VA del
COA, con esto hacemos directo la columna
resultado que es la columna VA Total. Esto es
muy bueno en un examen o en tareas si solo
solicitan el resultado del VUE.
Para salir da en F7 Exit y luego en F6 y
segunda opción “I’m Done”:
A continuación se verá como resolver en un
programa alternativo que ya viene con el
software de la Texas y es el Cell Sheet.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
VUE en Cell Sheet Página 28
Resolviendo en Cell Sheet
Veremos esta hoja de cálculo en Cell Sheet
que es un programa tipo “mini Excel” muy
poderosa y que te puede ser de gran ayuda
en exámenes y tareas.
Pensando en éste tipo de problemas (y otros
que verás más adelante) desarrollé una hoja
de cálculo en la cual solo debes introducir el
Costo Inicial, la tasa de interés, la tabla que
nos da el problema y nos devolverá la tabla
final. Para trabajar en la hoja de cálculo (que
debiste instalar previamente de la carpeta
“EKO2”) debes desarchivar la hoja de cálculo
para poderla manipular, para hacer esto
estando en HOME teclea “2nd” + signo
menos de tecla blanca :
Da a la derecha con el cursor sobre el folder
“EKO2” y posiciónate sobre el archivo “vue”
(Vida Útil Económica):
Da en F4 para marcar el archivo:
Ahora da en F1 “Manage” y da ENTER en la
opción 9 “Unarchive Variable”
Si lo hiciste correctamente debe desaparecer
el asterisco que esta del lado izquierdo del
nombre del archivo. Ahora da en tecla APPS
y da ENTER sobre el programa “Cell Sheet”
Da ENTER sobre la opción “Open”:
Cambia el folder a “EKO2” dando a la
derecha con el cursor, luego posicionándote
sobre el folder y da ENTER:
Y automáticamente verás los archivos de Cell
Sheet existentes en ese folder, cambia el
archivo a “vue” y da ENTER:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
VUE en Cell Sheet Página 29
Y verás:
Éste es el Cell Sheet, como puedes apreciar
es muy parecido a una hoja de Excel, claro
está que no se compara con Excel para nada,
sin embargo la ventaja de esta pequeña hoja
de cálculo es que admite operaciones,
expresiones y ecuaciones matemáticas de
cualquier índole, cosa que no se puede en
Excel. En ésta hoja ya hay un ejemplo
muestra de hasta 10 períodos ó n = 10 (que
en realidad es un número bastante decente
para un problema hecho a mano). Lo único
que debes hacer es cambiar la información
de la celda B1 y B2 que es la tasa y el Costo
Inicial y las columnas B y C correspondientes
a los que nos da el problema, para modificar
un valor nos posicionamos sobre la celda que
queremos cambiar y tecleamos el nuevo
valor seguido de un ENTER, por ejemplo nos
posicionamos sobre B1 y tecleamos “14” que
es la tasa de nuestro problema y damos
ENTER:
Y así modificamos cada valor por los que
tenemos en el problema. Recuerda que V.C.
es el Valor Comercial o Valor de Salvamento
del problema, también recuerda que la
columna C de COA debe tener los valores en
negativo, el signo menos es el de tecla
NEGRA:
Ya que has tecleado hasta los 7 años
cambiando los valores de columna B y C
debes teclear sobre los años que no se
ocupan (8, 9 y 10) una expresión de “x” en la
columna B indicando que no se usarán, las
comillas salen con “2nd” + letra L del teclado
extendido:
Damos ENTER y si lo hiciste correctamente
debe aparecer una letra equis ajustada al
lado izquierdo de la celda:
Y hacemos lo mismo para los otros años
restantes que no se usan:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
VUE en Cell Sheet Página 30
Ahora solo damos en F8 ReCalc y empezará a
hacer el re cálculo de toda la hoja, verás una
barra de avance en la parte inferior de la
pantalla y después de unos momentos verás
ya toda la hoja calculada, desplázate a la
parte derecha superior para ver los
resultados:
Aquí puedes ver ya los resultados completos
de toda la tabla del problema, la columa D
es la Recuperación de Capital, la columna E
es el VA del COA y la columna F es la VA total
(que es la misma que calculamos en Business
Suite), el resultado del VUE está en la celda
G1:
Y la columna G indica el lugar donde se
encuentra el VUE:
Que corresponde al año 5 (desplazándote a
la izquierda):
Ésta es una excelente herramienta para
comprobar tus resultados y de gran ayuda
definitiva en un examen, también como
puedes observar los valores cuando son muy
grandes pueden aparecer expresados con E4
ó E5 etc, es por esto que debes desplazarte en
cada celda para ver el valor completo en la
línea inferior. Ésta hoja esta hecha para que
funcione correctamente, porfavor no
modifiques nada del contenido de cada
fórmula ya que de hacer algún cambio
podría arrojar un error a la hora de re
calcular la hoja. Sólo debes cambiar las
celdas de Tasa, Costo Inicial y columnas B y C
de Valor de Salvamento y COA
respectivamente y tal como se te indica.
También te recomiendo que el formato en el
que tengas siempre la hoja de cálculo sea la
siguiente, da F1 y opción 9 Format:
Que este AutoCalc en OFF, Cursor Mvmt en
DOWN y Show en VALUE.
También es importante que rearchives la
hoja de cálculo cuando ya no la ocupes ya
que al quedarte sin baterías se podría perder
el archivo y tendrías que pasarlo de nuevo.
Para rearchivar primero regresa a HOME con
DIAMANTE + letra Q del teclado extendido.
Luego da “2nd” + signo menos de tecla
blanca y has la operación inversa, marca el
archivo con F4 y selecciona la opción 8
“archive variable”:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
VUE en Cell Sheet Página 31
Si lo hiciste correctamente debe aparecer un
“asterisco” al lado de la variable, con esto
aunque apagues la calculadora o le quites las
pilas no se perderá la información.
Te recomiendo que realices los ejercicios que
se dejan al final del manual con el fin de que
practiques y tengas habilidad a la hora de
resolver algún examen o tarea.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Análisis de Reemplazo durante un período de estudio específico Página 32
Análisis de Reemplazo durante un período
de estudio específico
Resolviendo en Business Suite
Si leíste o viste en DVD el curso de Ingeniería
Económica 1 verás que este tema tiene
mucha similitud con el tema de “Análisis del
Valor Presente” en realidad es casi igual, con
la diferencia que en ésta ocasión se analiza
ahora con respecto (en la mayoría de los
casos) al VA o PMT. De igual forma lo más
sencillo es hacerlo en Business Suite.
Ejemplo.
Una empresa de biotecnología que hace
planes para la expansión de una planta
intenta determinar si debería mejorar las
instalaciones de ambiente controlado ó
comprar nuevas. Las que ahora mismo se
poseen se compraron hace 4 años por
$250,000. Su valor actual de “venta rápida”
es de $20,000, aunque con una inversión de
$100,000 ahora, serían adecuadas para
otros 4 años, después de los cuales se
venderían por $40,000. Por otra parte, se
podrían comprar nuevas instalaciones de
ambiente controlado a un costo de
$300,000. Se espera que tengan una vida de
10 años con un valor de salvamento de
$50,000 en ese tiempo. Determine si la
compañía debería mejorar las instalaciones
que ahora tiene ó comprar nuevas a una
TMAR de 20%.
Para éste tipo de problemas debes prestar
especial atención sobre todo en lo que se
pide del problema, generalmente hay 2 tipos
de situaciones que se pueden presentar,
uno de ellos es en el que la máquina se
pueda reemplazar inmediatamente por otra
y hacer ése análisis económico (como en éste
caso), y otro en la que se pueda reemplazar
la máquina después de cierto tiempo ya sea
por otra máquina o por la misma que se
planeaba reemplazarla desde el inicio ó en su
defecto mejorarla. En éste problema con la
expresión “debería mejorar las instalaciones
que ahora tiene” nos dice claramente que se
debe hacer, el análisis de VA para cada caso
por separado.
Como ya te debió haber explicado tu
profesor estos problemas (la mayoría) se
pueden visualizar como un flujo de efectivo
en un período de tiempo y después
simplemente calcular PMT. Claro está que
debes entender y extraer la información
necesaria del problema:
Actualizar Retador
C. Inicial -$120,000 -$300,000
COA 0 0
Salvamento $40,000 $50,000
N 4 10
Y simplemente hacer el análisis para cada
caso y escoger el que represente menor
desembolso anual.
Estando en HOME y en el folder de trabajo
MAIN teclea sobre la línea de entrada
“bstest92()”
Y da ENTER para iniciar el programa. Da en
F5 Sheets y ENTER en la primera opción
“Cash
Flows”:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Análisis de Reemplazo durante un período de estudio específico Página 33
El Cash Flow Inicial para la opción de
actualizar es de -100,000-20,000. Cien mil de
la inversión de mejorar más veinte mil del
valor comercial actual:
Puedes dejar expresada la resta, la
calculadora hará la operación
automáticamente, recuerda que el primer
signo menos es de tecla negra y el segundo
de tecla blanca. Da ENTER para continuar.
Ahora damos En F1 Add y tecleamos el flujo
de efectivo en los primeros 3 años, como en
el problema no dice que haya ningún costo
operativo anual en ninguno de los 2 casos, se
toma como cero y da ENTER:
En frecuencia tecleamos 3 porque en los
primero 3 años así ocurre, en el cuarto año
se dará un valor de rescate de 40,000.
Damos ENTER y luego F1 Add para agregar el
flujo del año 4:
Recuerda que es positivo porque es un valor
de rescate o salvamento, damos ENTER para
continuar y tienes la opción de ver los flujos
que introdujiste dando en F5 View:
Ésta es una buena herramienta para
visualizar errores que se pudieran haber
cometido a la hora de introducir datos, para
ver los flujos completos solo desplázate hacia
abajo con el cursor. Damos ENTER para
continuar.
Si te hubieras equivocado en algún flujo
puedes corregirlo con F4 “Correct” y tendrías
que indicarle que flujo quieres corregir para
después reasignarle el nuevo monto.
Ahora para calcular el PMT o VA damos en F6
“Calc” y damos ENTER en la cuarta opción
“Equiv Ann. Flow”:
Nos pregunta el porcentaje, tecleamos 20 y
damos ENTER:
Y éste es el primer valor y resultado que
debemos anotar. Damos en F7 Exit e
inmediatamente después en F5 nuevamente
y primera opción “Cash Flows”:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Análisis de Reemplazo durante un período de estudio específico Página 34
Y se hace lo mismo para la opción del
retador:
Y se agregan los flujos con F1 Add:
En los primeros 9 años, recuerda que
siempre en el año último se realiza el valor
de rescate:
Y se calcula de nueva cuenta con F6 Calc el
valor PMT:
Podemos ver que ésta segunda opción es
mucho más cara y debe desecharse, la
opción sería invertir en actualizar el sistema
actual y conservarlo por 4 años más.
Para salir damos en F7 Exit y luego en F6 y
segunda opción “I’m Done”:
Veamos otro ejemplo un tanto distinto.
Ejemplo.
Se estima que una máquina que se compró
hace 9 años por $45,000 tenga los valores
de salvamento y costos de operación que se
indican a continuación. Ahora se podría
vender a un valor comercial de $8,000. Una
máquina de reemplazo costaría $125,000 y
tendrá un valor de salvamento de $10,000
después de su vida de 10 años. Se espera
que su costo de operación anual sea de
$31,000. A una tasa de interés de 15%
anual, determine cuantos años más, si es el
caso, debería la compañía conservar la
máquina.
Año V. S. al final del año
COA Anual
1 6,000 50,000
2 4,000 53,000
3 1,000 60,000
De nueva cuenta el problema indica que
existe la posibilidad de reemplazar la
máquina ahora, por lo tanto se debe hacer el
análisis del retador a PMT ó VA. En la línea
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Análisis de Reemplazo durante un período de estudio específico Página 35
de entrada de HOME tecleamos “bstest92()”
y damos ENTER:
Y se hace la misma idea que el problema
anterior, empezaremos analizando al
retador, damos en F5 Sheets y damos ENTER
en la primera opción “Cash Flows”:
El Cash Flow Inicial debe ser siempre el valor
del flujo en el año 0, como simboliza
inversión va con signo negativo y es el signo
menos de tecla negra. Damos ENTER para
continuar y agregamos flujos con F1 Add:
Los Costos operativos anuales son -31,000,
simbolizan gasto por esto van con signo
negativo, y ocurren normalmente los
primeros 9 años. Damos en F1 Add y
agregamos el último flujo:
Se puede simbolizar el último costo
operativo de -31,000 más el valor de
salvamento de 10,000 que se realiza en ése
último año. Damos ENTER para continuar y
calculamos los flujos uniformes PMT con F6
Calc y dando ENTER en cuarta opción:
Tecleamos la tasa como se hizo
anteriormente y vemos el resultado:
Y vemos el resultado VA del retador que es
$-55,413.99. y que se debe anotar para luego
compararlo con la máquina actual.
Damos en F7 Exit e inmediatamente F5
Sheets y primera opción “Cash Flows”:
Éste es el costo Inicial en la serie, recuerda
que como el activo actual tiene un tiempo de
vida restante se debe sacar el VA de cada
año y encontrar el que represente su VUE y
compararlo con el VA del retador, en el año
que sea menor determinará el tiempo de
vida restante que debe permanecer antes de
ser reemplazado ó en su defecto si llegara a
ser mayor que el VA calculado del retador,
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Análisis de Reemplazo durante un período de estudio específico Página 36
debe reemplazarse inmediatamente la
máquina. Esto mismo se podría hacer el la
hoja Cell Sheet que se uso anteriormente,
pero como se trata de un tiempo de vida
muy corto se puede hacer aquí mismo sin
mucho problema al final de cuentas es tu
elección.
Damos ENTER para continuar y agregamos
flujo para el primer año con F1 Add,
calculamos el valor de VA en el primer año
suponiendo que se rescatara en el año 1 el
activo y se gastara el COA:
Damos ENTER para continuar y calculamos el
VA dando en F6 Calc y dando ENTER en la
cuarta opción:
Y calculamos el primer valor que es -53,200,
debemos calcular para los 2 años restantes a
fin de encontrar la VUE del activo, damos en
F4 Correct y tecleamos el flujo a corregir que
es el 1 y le reasignamos el COA de ése primer
año normalmente:
Y agregamos el flujo para el segundo año con
F1 Add suponiendo que se rescatara en ese
año el activo:
Y de nueva cuenta calculamos el PMT con F6
Calc y cuarta opción:
Anotamos el valor del VA de éste año y
hacemos lo mismo para calcular el último
año, corregimos con F4 el último flujo y
agregamos el del tercer año:
Y vemos que el valor menor de los 3
corresponde a -$53,200, ésta es la Vida Útil
Económica del activo, y como es ligeramente
menor que el VA del retador ($-55,413.99)
debe permanecer un año más en la empresa
y luego reemplazarlo por el retador.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Análisis de Reemplazo durante un período de estudio específico Página 37
Veamos un último ejemplo un poco más
complejo que los anteriores.
Ejemplo.
Un activo que una compañía de máquinas y
herramientas compró hace 12 años por
$75,000 puede utilizarse hasta 3 años más.
SI el activo se vende ahora, la compañía
puede obtener $20,000. De otra manera, se
aplicarán los valores comerciales y costos de
operación estimados que se muestran. Un
retador tendrá un costo de $130,000 y una
vida máxima de 6 años. Sus estimaciones
del valor comercial y del costo de operación
se muestran a continuación. Sobre la base
de dichas estimaciones ¿en que año debería
reemplazarse el activo existente dado un
horizonte de planeación de 8 años? Utilice
una tasa de interés de 15% anual.
Actual Retador
Año V.C. COA V.C COA
1 $9,000 $52,000 $95,000 $30,000
2 $2,000 $61,000 $75,000 $32,000
3 $1,000 $68,000 $45,000 $35,000
4 - - $35,000 $40,000
5 - - $30,000 $47,000
6 - - $15,000 $56,000
En los ejemplos anteriores se no se ponía un
periodo de estudio específico, es por esto
que se evaluaban las opciones por separado,
pero ahora para un estudio en un periodo
específico de tiempo donde el tiempo es
relativamente corto se debe hacer una
combinación de años para determinar las
posibles formas en que se haga la planeación
a 8 años, ya sea manteniendo el activo actual
por 3 años (hasta el término de su vida útil) y
el retador por 5 sumando así 8 ó
manteniendo el activo actual por 2 años más
y reemplazarlo al tercer año con el retador
con sus 6 años de vida completos, estas 2
combinatorias deben considerarse en el
cálculo de VA y elegir como ya sabemos el
que represente el menor desembolso.
Para empezar debemos considerar al retador
como si entrara al juego de flujos ya sea en el
año 3 ó en el año 4 y como toda la
evaluación es respecto a PMT debemos
encontrar el VA del retador que equivaldría a
flujos iguales todos los años de su vida
suponiendo un tiempo de vida de 5 o 6 años.
Para esto podemos usar la hoja del Cell Sheet
preparada y calcular rápidamente los VA en
los años 5 y 6. Damos en tecla APPS y
entramos a Cell Sheet:
Seleccionamos opción Abrir “Open”,
seleccionamos folder EKO2 y a continuación
el archivo VUE:
Y vemos:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA
Análisis de Reemplazo durante un período de estudio específico
E igual que antes solo cambiamos la
información necesaria ajustada al retador.
Cambiamos la tasa a 15, Costo Inicial a
130,000, y columnas B y C de Valor comercial
y COA, recuerda que los COA van con signo
negativo porque representan gasto:
Recuerda que los años que ya no se ocupan
en la tabla debes teclear “x” en la columna B
para indicar que ése periodo no se usará:
El signo de comillas sale con “2nd” + letra L
del teclado extendido. Ahora simplemente
damos F8 ReCalc y esperamos un momento a
ver toda la hoja ya calculada. Desplázate a la
derecha con el cursor y los valores que nos
interesan para el estudio son de la columna
VA Total los años 5 y 6:
INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ]
Análisis de Reemplazo durante un período de estudio específico
igual que antes solo cambiamos la
información necesaria ajustada al retador.
Cambiamos la tasa a 15, Costo Inicial a
130,000, y columnas B y C de Valor comercial
y COA, recuerda que los COA van con signo
negativo porque representan gasto:
los años que ya no se ocupan
en la tabla debes teclear “x” en la columna B
para indicar que ése periodo no se usará:
El signo de comillas sale con “2nd” + letra L
del teclado extendido. Ahora simplemente
damos F8 ReCalc y esperamos un momento a
toda la hoja ya calculada. Desplázate a la
derecha con el cursor y los valores que nos
interesan para el estudio son de la columna
Estos valores debemos copiarlos para luego
usarlos en el juego de flujos. Para 6 años =
-$70,619.82, y para 5 años =
primer juego de flujos suponiendo un uso del
primer activo de 2 años y retador por 6 años
quedaría así:
Y por el contrario para un uso de 3 años del
primer activo y un uso de 5 para el retador
quedaría así:
Simplemente hacemos Cash Flow con estos
flujos y encontramos PMT ó VP y el que
represente menor desembolso será
seleccionado. Damos DIAMANTE + letra Q
del teclado extendido para regresar a HOME
y entramos a Business Suite:
Invierno 2009
Página 38
Estos valores debemos copiarlos para luego
usarlos en el juego de flujos. Para 6 años =
$70,619.82, y para 5 años = -$69,990.42. El
primer juego de flujos suponiendo un uso del
primer activo de 2 años y retador por 6 años
Y por el contrario para un uso de 3 años del
primer activo y un uso de 5 para el retador
Simplemente hacemos Cash Flow con estos
flujos y encontramos PMT ó VP y el que
represente menor desembolso será
seleccionado. Damos DIAMANTE + letra Q
del teclado extendido para regresar a HOME
y entramos a Business Suite:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Análisis de Reemplazo durante un período de estudio específico Página 39
Empezaremos con el de 2 y 6 años:
Recuerda que los flujos hacia abajo son
negativos y hacia arriba positivos. Damos con
F1 Add y agregamos el primer flujo
normalmente:
Para el flujo 2 se puede representar la resta
sin problemas, recuerda que como
suponemos un rescate del activo en el año 2
se suman 2000 al COA de ese año:
Y por último para la última serie de flujos:
Éste flujo ocurre 6 veces. Ahora solo
tecleamos F6 Calc y seleccionamos cuarta
opción:
Tecleamos el porcentaje del problema y
damos ENTER:
Éste es un primer valor a comparar.
Calculamos también el NPV ó Valor Presente
Neto:
Anotamos éstos 2 valores que sujetaremos a
comparación con el otro flujo. Damos F7 Exit
e inmediatamente después F5 para iniciar
una nueva serie de flujos:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Análisis de Reemplazo durante un período de estudio específico Página 40
Y calculamos Con F6 Calc el PMT:
Y el Valor Presente Neto:
Y simplemente comparamos ambos valores,
$69,510>$69,008, por lo tanto la mejor
opción es mantener al defensor por 3 años y
entonces reemplazarlo por el retador por 5
años.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Racionamiento de capital utilizando el análisis de VP p/proyectos de vida diferente Página 41
Análisis del VP para Selección de Proyectos
Independientes
Éste tema es bastante sencillo y se usa una
vez más Cash Flow de Business Suite para
resolver la mayoría de los problemas que se
plantean. Luego se usará el programa
simplex que ya debes haber instalado con
anterioridad, si has tomado el curso de
Investigación de Operaciones 1 sabrás para
que es éste programa, en este tema se
puede usar el algoritmo simplex para
seleccionar uno ú otro proyecto
considerando limitaciones de capital para
invertir en dichos proyectos, resolveremos
un par de ejercicios para mostrar su uso.
Racionamiento de capital utilizando el
análisis de VP para proyectos de vida
diferente.
El tipo de ejercicios que te pueden pedir
resolver son de diferentes proyectos con ó
sin limitación presupuestal y que soliciten
encontrar el ó los proyectos que representen
una mayor utilidad o ganancia basándose en
el VP sin rebasar el límite presupuestal
supuesto en el problema. Empezaremos con
éste tipo de problemas.
Ejemplo.
Para una TMAR de 15% por año y limitación
presupuestal de $20,000, seleccione entre
los siguientes proyectos independientes.
Proyecto Inv.
Inicial
Flujo de Efectivo
Neto Anual Vida
A -$8,000 $3,870 6
B -$15,000 $2,930 9
C -$8,000 $2,680 5
D -$8,000 $2,540 4
Como sabemos, debemos sacar el Valor
Presente Neto de cada proyecto y luego
seleccionar la combinación de proyectos que
generarían un mayor beneficio económico
sin rebasar el límite de los 20,000.
Nuevamente esto es bastante sencillo en
Business Suite. Estando en HOME iniciamos
el programa Business Suite tecleando
“bstest92()” y damos ENTER:
Iniciaremos con el Proyecto A. Damos F5 y
primera opción Cash Flow:
El costo inicial es con signo negativo:
Agregamos flujos con F1 Add y simplemente
tecleamos el Flujo Efectivo Neto $3870 y
frecuencia 6 de sus respectivos 6 años de
vida:
Ahora solo calculamos el VPN dando F6 Calc
y ENTER en la primera opción:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Racionamiento de capital utilizando el análisis de VP p/proyectos de vida diferente Página 42
Tecleamos el interés y damos ENTER:
Y anotamos el primer valor en una tabla.
Damos F7 Exit y nuevamente F5 Cash Flow y
hacemos lo mismo para los demás proyectos:
Podemos ver por ejemplo que éste proyecto
B tiene signo negativo por lo tanto
representa una pérdida en dinero.
Continuamos con el proyecto C:
Éste proyecto tiene signo positivo pero es
muy poca su ganancia. Continuamos con el
proyecto D:
Y elaboramos una tabla para visualizar los
proyectos posibles:
Proyecto Costo Inicial
VPN
A $8,000 $6,645.95
B $15,000 -$1019.26
C $8,000 $983.78 D $8,000 -$748.35
Límite = $20,000
Ahora bien para saber cual ó cuales
seleccionar se puede hacer de 2 formas, la
primera y más natural y que nos dicta el
sentido común es simplemente hacer por
prueba y error seleccionando proyectos
sumando y verificando que no pase del límite
de $20,000, naturalmente observando y
comparando vemos que los proyectos a
seleccionar son el A y el C, ya que
representan la mayor ganancia
$6,645.95+$983.78 = $7,629.73. y no
rebasan el límite de presupuesto
$8,000+$8,000 = $16,000<$20,000. También
es un hecho que casi nunca se van a
seleccionar los proyectos que resulten con
un VP negativo es por esto que por default
descartamos automáticamente los proyectos
B y D que tienen signo negativo y que
representan pérdida en vez de ganancia (a
menos que lo que se quiera es perder
dinero).
Ésta forma “natural” de elegir los proyectos
es relativamente sencilla cuando no hay
muchos proyectos de donde escoger y se
puede hacer una comparación a simple vista,
sin embargo cuando hay un gran numero de
proyectos y variables lo más adecuado es
usar el algoritmo simplex para encontrar de
forma inequívoca los proyectos a
seleccionar. Para mostrar como se haría éste
mismo problema en simplex lo único que
debemos hacer después de haber
encontrado los VP de cada proyecto es
definir la Función Objetivo y las restricciones
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Racionamiento de capital utilizando el análisis de VP p/proyectos de vida diferente Página 43
a usar. Como ya debiste haber tomado el
curso de Investigación de Operaciones 1 ya
debes estar familiarizado con estos
conceptos. Primero nos salimos del
programa con F7 Exit y luego F6 y segunda
opción “I’m Done”:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Selección de Proyectos usando programación Lineal Algoritmo Simplex Página 44
Selección de Proyectos usando
programación Lineal Algoritmo Simplex
Si ya leíste o viste en DVD el curso para
Investigación de Operaciones 1 quizá ya
sepas como resolverlo, si no aquí lo
mostraremos nuevamente enfocado a éste
tipo de problemas.
Primero vamos a definir basados en la tabla
resultado la F.O. y las restricciones
(Resolviendo el problema de la pág. 41):
Proyecto Costo Inicial
VPN
A $8,000 $6,645.95
B $15,000 -$1019.26
C $8,000 $983.78 D $8,000 -$748.35
La F.O. sería Maximizar el VPN, (Maximizar
beneficios), por comodidad redondeamos los
valores:
> * 6646 �1 � 1019 �2 984 �3 � 748 �4
De las restricciones la primera y la más
importante es la restricción de presupuesto:
8000�1 15000�2 8000�3 8000�4 @ 20000
También es muy importante encontrar las
restricciones binarias (1 ó 0) para cada
proyecto, el 1 ó 0 indicarían si se selecciona o
no se selecciona el proyecto. Aquí es
importante explicar un punto, como en el
programa simplex de la Texas no es posible
aplicar una solución binaria se debe agregar
una restricción para cada variable (de x1 a
x4) para indicar su posible valor con ≤1. Estas
restricciones para cada variable quedarían
como:
1�1 0�2 0�3 0�4 @ 10�1 1�2 0�3 0�4 @ 10�1 0�2 1�3 0�4 @ 10�1 0�2 0�3 1�4 @ 1
Para pasar todo esto a la Texas debemos
crear una matriz, en el programa simplex
tienes la opción de ir creando las
restricciones 1 por 1 ó crear una matriz
desde fuera para luego cargarla en el
programa. La forma más simple es crearla en
Data/Matrix Editor. Antes de introducir la
información es bueno tenerla ya “ideada”
para solo teclearla, también es bueno hacer
una IMPORTANTE aclaración con ésta tabla:
1) La última fila debe contener la función Z u
objetivo y debe tener los signos cambiados a
su contrario.
2) Las primeras filas deben ser siempre las
restricciones, el “<=” va implícito al final de la
penúltima columna.
3) En la tabla solo se puede maximizar.
Nuestra tabla quedaría así:
8000 15000 8000 8000 20000
1 0 0 0 1
0 1 0 0 1
0 0 1 0 1
0 0 0 1 1
-6646 1019 -984 748 0
Damos en tecla APPS y damos ENTER en el
programa:
Damos ENTER en opción New:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Selección de Proyectos usando programación Lineal Algoritmo Simplex Página 45
Cambiamos a opción Matrix y definimos un
nombre cualquiera para esta matriz digamos
“ej1”, y definimos “Row dimension” (filas)
con 6 y “Col dimensión” (columnas) con 5 y
damos ENTER para continuar:
Ahora simplemente tecleamos tal cual
nuestra tabla que elaboramos, recuerda que
los valores negativos van con signo menos de
tecla negra:
Ya ha quedado guardada automáticamente
ahora solo regresamos a HOME con
DIAMANTE + letra Q del teclado extendido:
Y si instalaste correctamente el programa en
el folder MAIN (en el que debes estar
trabajando) solo teclea en la línea de entrada
“simplex()” y da ENTER:
Y el programa Inicia, ahora cambia la primera
opción de “Paso a Paso” a “Solo la solución”,
luego da abajo con el cursor y cambia la
opción de “Crearla” a “Ya tengo una” y da
ENTER para continuar:
En ésta pantalla sólo cambia el archivo por
default de “mat” al que creamos como “ej1”
y da ENTER, en Num. De variables artificiales
déjala con cero:
Damos ENTER para continuar y vemos:
Y vemos la tabla ya creada. Ahora solo da
ENTER para continuar:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Selección de Proyectos usando programación Lineal Algoritmo Simplex Página 46
Y un ENTER más para que procese la
información, después de unos momentos
vemos:
Éste resultado se interpreta así:
A1 0 1 0B�1 �2 �3 �4
Se selecciona el primer y el tercer proyecto,
A y C. Damos ENTER nuevamente y por
último ESC para salir del programa.
NOTA IMPORTANTE:
Recuerda que haciéndolo por la tabla solo se
puede maximizar y solo se pueden usar
restricciones con <= que se toman por
default en la tabla, en general para éstos
problemas siempre se pedirá maximizar y
solo se usan restricciones con <= es por esto
que el uso de la tabla es el más sencillo y el
único que aquí se explica (y que en general
solo verás problemas de éste tipo), sin
embargo si llegaras a tener restricciones con
>= ó problemas de minimización lo que
debes hacer en simplex es hacerlo con la
opción “Crearla” en la que debes teclear
cada restricción adecuadamente, para más
información consulta el manual de
Investigación de Operaciones 1 ó también su
versión en DVD.
Veremos ahora un ejemplo un poco más
complejo.
Ejemplo.
Use el método del VP para evaluar cuatro
proyectos independientes. Seleccione hasta
3 de 4 proyectos usando la TMAR actual de
12% y un límite de capital disponible de a)
$16,000 b) $25,000.
Proyecto 1 2 3 4
Inv. Inicial
-5000 -8000 -9000 -10000
Vida 5 5 3 4 Flujos Efectivos Netos por año
1 1000 500 5000 0
2 1700 500 5000 0
3 2400 500 2000 0
4 3000 500 - 17000
5 3800 10500 - -
De igual forma lo primero que debemos
hacer es encontrar el VPN de cada proyecto,
estando en HOME iniciamos Business Suite
tecleando en la línea de entrada “bstest92()”
y damos ENTER:
Damos en F5 Sheets y ENTER en la primera
opción Cash Flows:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Selección de Proyectos usando programación Lineal Algoritmo Simplex Página 47
Empezaremos con el VP del primer proyecto,
el initial Cash Flow va con signo negativo, es
el signo menos de tecla negra:
Y agregamos normalmente los flujos con F1
Add y su frecuencia de ocurrencia:
Al final los flujos deben quedarte así:
Y calculamos normalmente con F6 Calc y
damos ENTER en la primera opción:
Tecleamos el porcentaje del problema y
anotamos el VP de éste proyecto:
Damos F7 Exit y luego F5 y ENTER en la
primera opción para Iniciar un nuevo flujo
para el proyecto 2 y así sucesivamente hasta
encontrar el VP de todos los proyectos. Y de
igual forma hacemos una tabla con los
valores de cada uno y su restricción para
cada problema. Los VP de cada proyecto
deben darte (redondeado):
1 2 3 4
$3,019 -$523 $874 $804
Y ahora solo creamos F.O. y restricciones
para cada inciso, esto se puede hacer
mentalmente, pero si lo requieres escríbelo,
para el inciso a):
C5�> * 3,019 �1 � 523 �2 874 �3 804 �4D�1!�$44$% �1:
5000 �1 8000 �2 9000 �3 10000 �4 @ 16000
Para el inciso b)
C5�> * 3,019 �1 � 523 �2 874 �3 804 �4D�1!�$44$% �1:
5000 �1 8000 �2 9000 �3 10000 �4 @ 25000
Y para los dos incisos:
1 �1 0 �2 0 �3 0 �4 @ 10 �1 1 �2 0 �3 0 �4 @ 10 �1 0 �2 1 �3 0 �4 @ 10 �1 0 �2 0 �3 1 �4 @ 1
Ideando ya nuestra tabla completa quedaría
así:
5000 8000 9000 10000 16000
1 0 0 0 1 0 1 0 0 1
0 0 1 0 1
0 0 0 1 1
-3019 523 -874 -804 0
Para el inciso a) y luego solo debemos ir
cambiando la celda sombreada que hace la
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Selección de Proyectos usando programación Lineal Algoritmo Simplex Página 48
variación del capital disponible. Recuerda
también que la última fila debe contener la
función objetivo y que debe tener los signos
invertidos.
Salimos de Business Suite con F7 Exit y luego
con F6 y segunda opción “I’m Done”. Damos
en tecla APPS y entramos al programa Data
Matrix Editor:
Damos en opción “New”. Cambiamos a
opción Matrix y definimos un nombre
cualquiera para esta matriz digamos “ej2”, y
definimos “Row dimension” (filas) con 6 y
“Col dimensión” (columnas) con 5 y damos
ENTER para continuar:
Y ahora simplemente tecleamos la
información de la tabla:
Recuerda que el signo menos en cada celda
de ser con el signo menos de tecla negra.
Ahora simplemente damos DIAMANTE +
letra Q del teclado extendido para regresar a
HOME. En la línea de entrada corremos el
programa “simplex()” y damos ENTER:
Cambiamos a la primera opción a “solo la
solución”, y en la segunda opción a “Ya tengo
una”:
Damos ENTER para continuar y tecleamos el
nombre de la matriz que le asignamos como
“ej2” y damos ENTER para continuar:
Y vemos nuestra matriz:
Damos ENTER 2 veces para que opere y
veamos el resultado:
Y de igual forma que en el ejemplo anterior
el resultado se interpreta así:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Selección de Proyectos usando programación Lineal Algoritmo Simplex Página 49
A1 0 1 1/5B�1 �2 �3 �4
NOTA IMPORTANTE.
Estrictamente hablando esto nos dice que
debe seleccionarse el proyecto 1, el proyecto
3 y 1/5 parte del proyecto 4. Sabemos por
sentido común que no es posible seleccionar
fracciones de un proyecto, simplemente se
selecciona o no se selecciona es por esto que
se pide que sea 0 ó 1, sin embargo como el
algoritmo simplex de la Texas no permite
soluciones binarias maximiza lo más posible
es por esto que nos resuelve usando una
fracción del proyecto 4 para optimizar aún
más el resultado, tú simplemente debes
hacer caso omiso de las fracciones que veas y
tomar los que resuelva con valores unitarios.
OJO, en ocasiones puede dar resultados
incorrectos por ésta misma naturaleza de
selección de “fracciones” de proyectos,
haciendo ó tomando proyectos que no valen
tanto por otros que combinándolos en
fracciones den una mayor maximización,
esto en realidad es raro de que ocurra, sin
embargo si llegara a ocurrir debes hacer más
simple el problema y recurrir al sentido
común, como por ejemplo en éste problema
eliminando por default el proyecto 2 ya que
nos da un VP negativo y representa pérdida
en vez de ganancia.
La Maximización Z del inciso a) es
3019+874=$3,893 invirtiendo $14,000
Salimos del programa dando ESC 2 veces:
Regresamos a nuestra matriz dando “2nd”+
tecla APPS:
Ahora solo modificamos la celda que
contiene 16000 por 25000:
Regresamos a HOME con DIAMANTE + letra
Q del teclado extendido y corremos simplex
y hacemos lo mismo, la matriz al cambiarle la
celda se reasigno el nuevo valor y quedo
guardada automáticamente en la misma
variable que tenía:
Puedes observar el cambio en la tabla:
Damos ENTER 2 veces y esperamos el
resultado:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Selección de Proyectos usando programación Lineal Algoritmo Simplex Página 50
Y nos muestra correctamente la solución que
es seleccionar el proyecto 1 el proyecto 3 y el
proyecto 4.
Hacemos las sumas y vemos que nos da una
Maximización Z=3019+874+804=$4,697,
invirtiendo $24,000.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Análisis de punto de equilibrio para un proyecto Página 51
Análisis del punto de equilibrio
En éste tema en particular hay aplicación
variada en la Texas, ya sea para una
alternativa ó para varias alternativas entre
proyectos, nuevamente el programa que más
nos ayudará es Business Suite. Así como
también se mostrará una forma diferente de
resolver similar al “solver” de Excel pero con
Business Suite donde se puede encontrar
parámetros y formas con ecuaciones para
hallar soluciones a problemas varios.
Análisis de punto de equilibrio para un
proyecto.
En forma general el punto de equilibrio no es
más que el punto donde los costos (fijos y
variables) y los ingresos se cruzan ayudando
así a determinar el número de unidades a
vender para llegar a este equilibrio. Esto en
general es simple, sin embargo para los
problemas lo complican mezclando
conceptos de los temas anteriores
dificultando un poco su resolución. También
se puede graficar y resolver ciertos
problemas analíticamente desde HOME.
Empezaremos mostrando ejemplos sencillos
para luego pasar a los complejos.
Ejemplo.
Se tienen los siguientes datos de cierto
artículo a producir:
Costos Fijos: $750,000 mensuales
Costos Variables por unidad: $35,000
Ingreso por unidad: $75,000
Encuentre:
a) Cantidad de Unidades necesarias para
vender para llegar al punto de equilibrio.
b) Utilidad generada al vender 30 unidades.
c) ¿A que precio tendría que vender cada
unidad para llegar al punto de equilibrio si
la producción ha fabricado actualmente 22
unidades?
Cuando hay problemas así de sencillos hay
varias formas de resolverlos. Para explicarlo
de la forma más simple lo haremos en
Business Suite.
Estando en HOME entramos a Business Suite
tecleando en la línea de entrada “bstest92()”
y damos ENTER:
Damos en F5 “Sheets” y damos ENTER en la
tercera opción “Breakeven” (punto de
equilibrio):
Al dar ENTER verás un cambio en la parte
superior de los menús:
Ahora lo que debemos hacer es primero
introducir los costos del problema. Damos en
F1 “Costs”:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Análisis de punto de equilibrio para un proyecto Página 52
La primera ventana “Variable” hace
referencia como su nombre lo indica a los
costos variables del problema, simplemente
tecleamos la cantidad citada de dicho
problema:
Bajamos con el cursor y la segunda ventana
“Fixed” hace referencia a los Costos Fijos del
problema, simplemente los tecleamos y
damos ENTER 2 veces para continuar:
Y nos regresa al menú general del punto de
equilibrio, ahora simplemente tecleamos en
F2 Calc y damos ENTER en la primera opción
“# of units needed”:
Y nos pregunta el precio de venta por
unidad, lo tecleamos y damos ENTER:
Y vemos el resultado:
El número de unidades que se necesitan
vender es de 18.75 (inciso a)) para llegar al
punto de equilibrio. Ahora bien aquí mismo
podemos resolver el inciso c), damos
nuevamente en F2 Calc y ahora damos
ENTER en la segunda opción “Needed sales
Price”:
Esta opción hace referencia a la pregunta “¿a
que precio necesario debo vender cada
unidad para llegar al punto de equilibrio?”,
suponiendo claro está una cantidad de
unidades producida actualmente, tecleamos
las unidades que marca el problema que son
22 y damos ENTER para ver el resultado:
El precio de venta mínimo es de $69,090.91
para 22 unidades producidas. Damos en F3
Finish para salir de ésta parte del programa y
luego en F6 y segunda opción “I’m Done”
para salir por
completo del
programa:
Ahora bien el
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Análisis de punto de equilibrio para un proyecto Página 53
inciso b) es tan sencillo que se puede hacer a
mano, sin embargo si quieres seguir usando
la Texas para terminar de resolver el
problema, he creado una ecuación que
resuelve la utilidad y se encuentra en el
folder EKO2, debemos abrirla desde el
Numeric Solver. Damos en tecla APPS y
damos ENTER sobre éste programa:
Damos en F1 y primera opción “Open”:
Cambiamos al folder EKO2 y seleccionamos
el archivo llamado “util”:
Damos ENTER para continuar y vemos la
ecuación de utilidad, damos hacia abajo con
el cursor y llenamos la información del
problema:
“u” es la utilidad, “q” es la cantidad de
unidades producida, “p” es el precio de
venta, “f” es costo Fijo, “v” es el costo
variable. Una vez que se ha llenado la
información nos posicionamos sobre “u” y
damos F2 Solve:
Y vemos la utilidad de producir 30 unidades
que es igual a $450,000 pesos.
Éste problema fue extremadamente simple
por ser de los primeros que se resuelven,
iremos subiendo de dificultad.
Ejemplo.
Un ingeniero metalurgista calcula que la
inversión de capital para la recuperación de
metales valiosos (níquel, plata, oro,
etcétera) de un cauce de aguas residuales
de una refinería de cobre será de $15
millones. El equipo tendrá una vida útil de
10 años sin valor de salvamento. La
cantidad de metales que actualmente se
descargan es de 12,000 libras al mes. El
costo de operación mensual se representa
por $4,100,000 E1.8 , donde E es la eficiencia
de la recuperación del metal expresada en
forma decimal. Determine la eficiencia
mínima de eliminación que se requiere para
que la compañía alcance el punto de
equilibrio, si el precio de venta promedio de
los metales es de $250 cada libra. Utilice
una tasa de interés de 1% mensual.
Éste es uno de los problemas que en el libro
de Tarquin los resuelven por “prueba y
error”, lo cual es bastante “corriente” para
mi gusto, con la Texas puedes tener
exactitud sin recurrir estar probando
cantidades al azar haciendo que te cuadren,
ésta es una ventaja que te acompañará en
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Análisis de punto de equilibrio para un proyecto Página 54
ésta y otras materias de tu carrera siempre
que uses una Texas Instruments.
Éste problema lo primero que hace es
querernos confundir ya que los datos sobre
la inversión inicial y el tiempo de vida lo
expresan en años y todos los demás datos se
encuentran en forma mensual, tanto el
interés, la producción y el costo operativo. Es
importante en cualquier problema que se te
presente que se cuadre siempre la
información a los tiempos que se van a
trabajar, como la mayoría de los datos están
en forma mensual, lo mejor es hacerlo todo a
meses.
Lo primero que debemos hacer es sacar el
PMT ó A mensual de todo el activo en el que
se invierte, como todo es a meses serán 120
períodos ya que el activo dura 10 años.
Estando en HOME entramos primero a
Business Suite. Damos en F5 Sheets y damos
ENTER en la primera opción Cash Flow:
Y tecleamos la inversión Inicial del activo que
son -15 millones, pero para no manejar
cantidades tan grandes en Business Suite
vamos a dividir todo en 1 millón, ó en otras
palabras a quitarle 6 ceros a todas las
cantidades:
Damos ENTER para continuar y agregamos
flujos con F1 Add:
Y agregamos el COM (Costo operativo
mensual), recuerda que va con signo
negativo ya que representa gasto, no
importa que haya una variable como “E” la
dejamos tal cual lo marca el problema, sól o
que nosotros la manejaremos como “x”,
también recuerda que a esta cantidad le
quitamos 6 ceros:
En frecuencia son 120 porque lo estamos
manejando en meses, quizá veas que tarde
un poco por la cantidad de flujos que se
agregaron. Luego damos en F6 Calc y damos
ENTER en la cuarta opción:
Tecleamos el porcentaje del problema que es
1% y damos ENTER para ver el resultado,
esto quizá tome unos segundos por la
cantidad de flujos:
Ésta ecuación representa el costo fijo más el
costo variable de la producción del
problema. Es importante copiarla. Nos
salimos de Business
Suite con F7 Exit y
luego con F6 y
segunda opción “I’m
Done”:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Análisis de punto de equilibrio para un proyecto Página 55
Ya afuera en HOME lo que se tiene que hacer
es una igualación de términos. En casi todo
lo que se verá en éste tema es hacer
igualación, igualación de los ingresos con los
gastos y encontrar la cantidad “X” que
permita esa igualdad, en general son 3
variables:
FG FH · J * K · J
CF = Costo Fijo, se debe expresar en un
período de tiempo específico.
CV = Costo variable, debe estar ajustado al
costo fijo
Q = Cantidad de unidades producidas
P = Precio de venta.
En general en todos los problemas así es, con
ligeras variaciones como en éste caso. La
ecuación que encontramos representa el
lado izquierdo de la igualdad, y el lado
derecho lo da el problema. Construimos la
ecuación así:
4.1MN · �O.P 0.22MN * 250 · 12000 · �
En ésta igualación ya regresamos a millones.
También cambiamos a signos positivos del
lado izquierdo ya que así debe de expresarse
en la ecuación, no importa si es gasto, debe
quedar con signos positivos de ambos lados,
la variable “x” representa la eficiencia, los
250 es el precio de venta, los 12000 son la
cantidad de libras mensuales que se sacan de
la mina y “x” nuevamente es el factor
(eficiencia) de la extracción de esas 12000
libras.
Para resolver esta ecuación la podemos
hacer en HOME fácilmente. Borramos la
línea de entrada con tecla CLEAR. Luego
damos en F2 Algebra y damos ENTER en la
función “solve(“:
Se copia a la línea de entrada y simplemente
tecleamos tal cual la ecuación:
El símbolo de “E” sale con “2nd” + número 1
de la parte numérica, recuerda que el
símbolo “E” representa “x10^”, también
debe haber un signo de multiplicación *
entre cada valor que se multiplique. Luego
de teclear la parte derecha de la ecuación
terminamos poniendo una coma “,” e
inmediatamente después la variable que
queremos que encuentre, en este caso “x” y
cerramos paréntesis :
Damos ENTER y después de unos segundos
vemos:
Y vemos los resultados posibles, da arriba
con el cursor y te puedes desplazar para ver
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Análisis de punto de equilibrio para un proyecto Página 56
el resultado completo de izquierda a
derecha:
Hay resultados que por sentido común se
deben de descartar inmediatamente, el
primero que tiene signo negativo
representaría una eficiencia negativa y esto
no es posible, la primera eficiencia de .0919
es algo baja y solo aplica en los inicios de la
ecuación, la eficiencia adecuada es la de
0.5696, recuerda que el problema planteaba
la eficiencia en forma decimal, por lo tanto el
resultado es 56.96% que es aprox. 57%.
Veamos otro problema un poco más difícil.
Ejemplo.
Rod, gerente de ingeniería industrial de
Zema Corporation, determinó con el
método de mínimos cuadrados que el costo
total anual de producir una caja de latas de
un refresco muy exitoso en ventas está bien
descrito por la ecuación cuadrática
CT=0.001Q2+3Q+2, y que el ingreso es
aproximadamente lineal con r=$25 por caja.
Rod pide al lector que haga lo siguiente:
a) Grafique la función de utilidad.
b) Calcule la máxima ganancia y la cantidad
en la que se presenta.
Éste tipo de problemas como los anteriores
se puede hacer gráficamente y
analíticamente en HOME. Veremos primero
como hacerse en HOME. Lo primero al igual
que en los ejercicios anteriores es identificar
ambas ecuaciones tanto la que representa
costo como la que representa el ingreso,
igualarlas y encontrar Q para el punto de
equilibrio.
Ingreso: 25J
Costo: 0.001J� 3J 2
La función que puede representar la utilidad
y que podemos usar a lo largo de todo el
problema es Ingreso – Costo = 0 (punto de
equilibrio)
25J � �0.001J� 3J 2 & * 0
Y al igual que en el ejemplo anterior se iguala
a cero y se encuentra el valor Q que acepte
ésta igualdad. Borramos la línea de entrada
en HOME con tecla CLEAR y nuevamente
usamos la función “solve(“ del menú F2 de
Algebra:
Se copia a la línea de entrada y tecleamos tal
cual la ecuación:
Recuerda que debe haber paréntesis entre la
expresión completa de costo ya que el signo
menos anterior afecta a toda esta expresión
de gasto, se iguala a cero y al final “,” y “q”
que es la variable a buscar, damos ENTER y
vemos:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Análisis de punto de equilibrio para un proyecto Página 57
Y vemos que hay 2 puntos de equilibrio
matemáticamente hablando, sin embargo
claro está que tú debes tomar siempre los
datos que se asemejen a la realidad como en
éste ejemplo, la cantidad de Q de 0.0909 es
irreal ya que estaríamos diciendo que el
punto de equilibrio se encuentra
produciendo ni una caja, el punto de
equilibrio correcto es produciendo 21,999.9
es decir aproximadamente 22,000 cajas.
Ahora bien esto responde el primer inciso, el
segundo inciso se puede responder aquí
mismo. Borramos la línea de entrada con
tecla CLEAR y del menú F3 Calc damos ENTER
en la función “fmax(“:
Se copia igualmente a la línea de entrada y
ahora hacemos lo mismo, tecleamos la
misma función de Q con la diferencia que
con ésta función “fmax” no tenemos que
poner una igualdad, simplemente
terminamos con “,” y la variable de la
función que es “q”:
Completamos con el paréntesis de cierre y
damos ENTER:
Y encontramos la maximización de la utilidad
que se encuentra produciendo 11,000 cajas.
Si tienes problemas al teclear las expresiones
por favor consulta el manual de
“Introducción de datos y expresiones
correctamente” ó también su versión en
video.
Ahora bien para encontrar cual es esa
utilidad máxima borramos primero la línea
de entrada con tecla CLEAR, volvemos a
teclear la función de Q y al terminar
llamamos al operador “with” que sale con
“2nd”+ letra K del teclado extendido:
Verás una pequeña barrita al final de la línea,
luego tecleamos simplemente damos arriba
con el cursor sombreando el resultado antes
obtenido y damos ENTER para que se copie
inmediatamente y ENTER nuevamente para
ver el resultado:
La utilidad es de aproximadamente $121,000
pesos. El operador “with” es un
condicionante, después de llamarlo se puede
usar para sustituir como en éste caso ó para
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Análisis de punto de equilibrio para un proyecto Página 58
buscar rangos de respuesta usando < ó > en
funciones como “solve(“ u otras. Tú puedes
ver gráficamente todo esto de forma gráfica
en el graficador de funciones de la Texas,
damos DIAMANTE + letra W del teclado
extendido. Damos ENTER sobre y1 y
tecleamos la función de ingreso 25X y damos
ENTER:
Damos ENTER sobre y2 y tecleamos la
función de costo y damos ENTER:
Si lo hiciste correctamente debe aparecer
una palomita marcando ambas funciones,
puedes marcar y desmarcar la que ya no
ocupes posicionándote sobre ella y dando
F4. Ahora vamos a configurar la ventana de
gráfica para ver las funciones lo mejor
posible, damos DIAMANTE + letra E del
teclado extendido:
Éstos son los parámetros de la ventana de
graficación en los ejes X e Y positivos y
negativos, como los resultados que
deseamos ver son positivos solo veremos el
cuadrante I, por lo tanto tecleamos en
“xmin” y “ymin” con cero y en “xmax” con
30000 (considerando el punto de equilibrio
en 22000) y en “ymax” con 700,000
(considerando la utilidad máxima calculada
de 121000):
Y ahora para ver la gráfica damos DIAMANTE
+ letra R del teclado extendido:
Puedes aquí ver la recta que representa el
ingreso y la curva que es el costo, el punto
donde la distancia entre la recta y la curva
sea más largo será la utilidad máxima. Tú
puedes moverte a través de la gráfica dando
en F3 Trace y luego simplemente tecleando
un valor seguido de un ENTER:
También puedes encontrar la intersección
entre las 2 curvas con F5 Math y en la quinta
opción “Intersection”:
Da 2 veces ENTER y luego da un ENTER antes
del punto de intersección y luego un ENTER
después del punto de intersección:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Análisis de punto de equilibrio para un proyecto Página 59
Y vemos la intersección que coincide con lo
calculado en HOME con unas unidades de
22,000 cajas aproximadamente y una
igualdad en dinero de $550,000
aproximadamente, recuerda que X
representa la cantidad de unidades y Y es
dinero.
Para regresar a HOME da DIAMANTE + letra
Q del teclado extendido.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Análisis del punto de equilibrio entre alternativas Página 60
Análisis del punto de equilibrio entre
alternativas
En ésta parte del tema se hace “casi” lo
mismo pero ahora en general se pedirá
igualar alternativas para visualizar las
características económicas necesarias de una
ú otra opción para justificar la compra de
una máquina sobre otra así como la
producción necesaria.
Ejemplo.
Se pueden utilizar 2 bombas para bombear
líquido corrosivo. Una bomba con motor de
bronce cuesta $800 y se espera que dure 3
años. Una bomba con motor de acero
inoxidable cuesta $1,900 y tiene una
duración de 5 años. Se requerirá un costo de
reconstrucción para el motor de bronce de
$300 después de 2000 hrs de operación,
mientras que el motor de acero inoxidable
requerirá una reparación mayor a un costo
de $700 después de 8000 hrs de operación.
Si el costo de operación de cada bomba es
de $1 por hora, ¿cuántas horas por año se
requerirán para justificar la compra de la
bomba más cara? Aplique una tasa de
interés de 10% anual.
De nueva cuenta la razón de la solución es
una igualación simple, debemos construir la
ecuación de costo respectiva de cada
máquina. Sacamos PMT para cada máquina
con sus respectivos tiempos de vida. Se
puede hacer esto fácilmente en Finance,
damos en tecla APPS y damos ENTER en
Finance:
Tecleamos la información de la primera
máquina y damos F2 sobre PMT:
Anotamos el valor y procedemos a cambiar
la información para la segunda máquina y a a
pedir una solución para PMT:
Anotamos el valor para la segunda máquina.
Regresamos a HOME con DIAMANTE + letra
Q del teclado extendido. Ahora debemos
construir la igualación de costos para ambas
máquinas, acabamos de calcular los costos
fijos de ambas ajustada en años, la incógnita
que nos preguntan son horas ó X horas. Debe
sacarse un factor simple de $/hr para ambas
máquinas con sus respectivas horas de
operación y su costo de reparación:
C%!%� �� Q�% 4� *$300
2000S�1* 0.15
$S�
C%!%� �� T4��% *$700
8000S�1* 0.0875
$S�
Con el puro factor de $ sobre hora podemos
ver que el costo por hora de mantenimiento
del motor de acero es mucho más barato
que el de bronce. Recuerda que la empresa
quiere comprar lo mejor es decir el motor de
acero, pero quiere ver cuantas horas de
operación al año son necesarias para
justificar su compra aunque sea más cara, ya
que de operarla menos horas resultaría en
una pérdida de dinero y hubiera sido mejor
comprar la de bronce, por último se agrega
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Análisis del punto de equilibrio entre alternativas Página 61
de ambos lados el costo de operación de
cada bomba $1x y se construye la
igualación:
321.69 0.15� � * 501.21 0.0875� �
Matemáticamente hablando podemos
eliminar el factor de costo de operación de
las bombas ya que son iguales en ambas y se
eliminan a la hora de hacer el despeje.
Se despeja X y se encuentra el número de
horas necesarias. Ésta ecuación tan simple se
puede hacer a mano, pero si quieres puedes
usar “solve(“ como en los ejemplos
anteriores:
El resultado son 2872.32 hrs de trabajo del
motor para justificar la compra de uno de
acero inoxidable.
En sí casi todos los problemas de éste tema
son del estilo con ligeras variaciones en lo
que se pide, por ejemplo:
Ejemplo.
La máquina A tiene un costo fijo de $40,000
anuales y un costo variable de $60 por
unidad. De la máquina B se desconoce su
costo fijo, pero con este proceso se pueden
producir 200 unidades mensuales a un costo
total variable de $2,000. Si los costos totales
de las 2 máquinas alcanzan el punto de
equilibrio a una razón de producción de
2000 unidades anuales, ¿Cuál es el costo fijo
de la máquina B?
En éste caso ya nos dan las unidades X del
punto de equilibrio y nos piden hallar el
costo fijo, nuevamente se construye la
ecuación de un lado y de otro, de la máquina
A nos dan todo:
$40,000 $60U
· 2000 U
FG FH J
Y de la segunda máquina tenemos:
G $2000 200 U
· 2000 U
Se saca el factor de igual manera del costo
por unidad, se igualan ambas y se despeja F:
El costo Fijo de B es de $140,000.
En realidad son bastante simples los
problemas de punto de equilibrio, solo hay
que prestar atención a lo que se pide y
cuadrarse siempre a los mismo tiempos que
maneje el problema. En el siguiente tema se
verá una forma extra de resolver problemas
similares son el solver de Excel pero de
forma un poco más simple en Business Suite.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Aplicación de Business Suite en lugar de solver de Excel Página 62
Aplicación de Business Suite en lugar de
solver de Excel
Al final de éste tema te dejarán en la mayoría
de los problemas solucionar con Excel
algunos problemas que pueden parecer
complicados de hacer a mano. En Business
Suite con las ecuaciones que resultan de los
cálculos se puede hacer despejes y encontrar
los mismos resultados si no tienes una laptop
ó PC cerca para resolverlos.
Ejemplo.
Cheryl es una ingeniera de proyectos en la
división ANCO de Federal Mogul. Ella busca
un reemplazo para una antigua máquina de
prueba para plumas de parabrisas que
saldrán a la venta. Uno de sus técnicos
localizó dos máquinas equivalentes que
esencialmente poseen las mismas
estimaciones, salvo en lo referente a la vida
esperada.
Máquina 1 Máquina 2
Costo Inicial -$9,000 -$9,000
FEN/año $3,000 $3,000
Valor de S. 200 300
Vida 4 6
Cheryl sabe que la máquina 2 es la mejor
opción debido a que su vida es la más larga.
Sin embargo, considera que las
características de la alternativa 1 son mucho
mejores. Ella decide llevar a cabo un análisis
de punto de equilibrio para determinar las
modificaciones necesarias en los valores
calculados con el propósito de que resulte
indiferente desde un punto de vista
económico la elección de cualquiera de las
máquinas. La TMAR es de 10% en la división
ANCO. Determinar los valores del punto de
equilibrio para:
a) El costo inicial de la máquina1 y
b) el flujo de efectivo neto para la maquina
1.
Éste tipo de problemas puede resolverse de
varias maneras, el que explican en el libro de
Tarquin sacan el MCM (mínimo común
múltiplo) para la vida de ambas máquinas y
evaluarlos en 2 y 3 ciclos respectivamente,
con Business Suite esto no es necesario.
Como puedes observar en el problema lo
que se pide básicamente son 2 formas ó
condiciones en las que la máquina 1 pueda
ser igual a la máquina 2 económicamente
hablando, en un primer escenario haciendo
que el costo inicial de la máquina 1 baje a un
valor desconocido X y en otro segundo
escenario haciendo que los flujos efectivos
netos durante la vida de la máquina 1
aumenten para que ambos sean iguales.
Como la máquina 2 es el punto de
comparación vamos a encontrar primero el
VA de la máquina 2.
Antes de iniciar es bueno borrar las variables
que pudieran haber sido asignadas de
ejercicios anteriores, estando en HOME da
en F6 Clean Up y da ENTER 2 veces:
Parecerá que no hizo nada, pero en realidad
borró el contenido de cualquier variable de
la A a la Z que pudiera haber contenido
información guardada.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Aplicación de Business Suite en lugar de solver de Excel Página 63
Estando en HOME tecleamos en la línea de
entrada “bstest92()” y damos ENTER para
iniciar el programa:
Damos en F5 Sheets y damos ENTER en la
primera opción Cash Flow:
E introducimos el Cash Flow Inicial de la
máquina 2 que es la inversión de -9000,
recuerda que el signo menos es el de tecla
negra:
Damos ENTER para continuar y agregamos
flujos con F1 Add:
Agregamos normalmente los primeros 5
años con frecuencia igual a 5, el año sexto
será de 3000 más los 300 de rescate, lo
agregamos con F1 Add:
Frecuencia con 1 porque solo ocurre ese
último año, ahora calculamos PMT con F6
Calc y damos ENTER en la cuarta opción:
Tecleamos el interés 10 y damos ENTER para
ver el valor PMT:
Y anotamos éste valor. Damos en F7 Exit y
luego nuevamente en F5 y ENTER en primera
opción Cash Flow, vamos a calcular el flujo
para el primer escenario (inciso a)), en Initial
Cash Flow vamos a teclear “X”:
Se teclea X porque ésta es la incógnita que se
desea encontrar del problema, el Initial Cash
Flow representa el Costo Inicial de la
máquina, la inversión. Damos ENTER para
continuar, y agregamos los flujos de efectivo
normalmente de la máquina 1 con F1 Add,
en el año cuarto será de 3200 por el valor de
rescate:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Aplicación de Business Suite en lugar de solver de Excel Página 64
Y ahora calculamos el valor presente neto
con F6 Calc y primera opción:
Ingresamos el porcentaje y damos ENTER:
Ésta ecuación representa el Valor Presente
Neto del flujo completo considerando una
incógnita X en el inicio del flujo, debemos
anotar ésta ecuación. Damos F7 Exit para
salir y nuevamente F5 Sheets y damos ENTER
en la primera opción Cash Flow, ya que
estamos aquí también sacaremos de una vez
las ecuaciones para el segundo escenario, el
Initial Cash Flow es -9000:
Y agregamos flujos con F1 Add, para el
segundo escenario lo que se desea es
encontrar un flujo X para los años de vida de
la máquina 1, por lo tanto agregamos un
flujo X durante los primeros 3 años:
Y agregamos el último flujo con F1 Add, el
último flujo del año cuatro será la misma
incógnita X más los 200 de salvamento en
ese año:
Y ahora calculamos el Valor Presente Neto
con éstos flujos, damos en F6 Calc y damos
ENTER en la primera opción:
Asignamos el interés y damos ENTER:
Y anotamos ésta ecuación que representa el
VPN de éste flujo, damos en F6 Calc y
calculamos también el PMT ó A para éste
flujo:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Aplicación de Business Suite en lugar de solver de Excel Página 65
Y anotamos también ésta ecuación de PMT
que representa el pago cada año para el flujo
del segundo escenario. Damos en F7 Exit y
luego en F6 y segunda opción “I’m done”
para salir del programa por completo:
Resumiendo se encuentran 2 ecuaciones
para cada escenario ó inciso del problema:
a) VP = X+9646.20, X es el Costo Inicial de la máquina 1
b) VP = 3.17X-8863.40, X es el Flujo Efectivo Neto de la máquina 1 PMT = X-2796.14, X es el Flujo Efectivo Neto de la máquina 1
Ahora lo que debemos hacer es usar una
ecuación extra para resolver éste problema.
Primero entramos al Numeric Solver,
presiona tecla APPS y entra al programa:
Ya en el programa teclea F1 y primera opción
Open:
Luego da a la derecha con el cursor sobre el
apartado de folder y selecciona el folder
EKO2 y da ENTER:
Ahora desplázate abajo con el cursor y da a
la derecha nuevamente para que veas las
opciones que tienes:
Pensando en este tipo de problemas hice
una serie de ecuaciones que simbolizan las 6
combinaciones posibles de problemas de
éste tipo que verás en ésta materia ajustado
a las ecuaciones que resultan con Business
Suite, los nombres de los archivos dicen
primero la variable objetivo y luego la
variable que tienes, por ejemplo el primer
archivo es “ADADOF” lo que significa que
buscas A y que tienes la ecuación F para
resolver, debes entender claro está que A es
PMT, P es NPV, y F es NFV, dependiendo de
la ecuación que tengas. En éste primer
escenario del inciso a) tenemos la ecuación
de P (NPV) y tenemos A para resolver (de la
máquina 2). Damos ENTER en la opción
“ADADOP”:
Y nos sale:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Aplicación de Business Suite en lugar de solver de Excel Página 66
Damos una vez abajo con el cursor y
simplemente llenamos la información que
tenemos:
Recuerda que la expresión “k*x+y” es la
ecuación encontrada con Business Suite, por
lo tanto queda así:
1 � 9646.20V W � <
La variable “a” son los 972.42 que queremos
que sea igual en todos los años con respecto
a la máquina 2, la ecuación “k*x+y” es la
ecuación de NPV. También es importante
mencionar que el interés debe estar
expresado en decimales. Ahora solo nos
posicionamos sobre X y damos F2 Solve:
Y vemos el resultado de X que significa que
para que sean iguales los valores presente las
máquinas 1 y 2, X debe valer -$6563.75 y X
en éste escenario es el Costo Inicial de la
máquina 1, y éste es el resultado.
NOTA IMPORTANTE. Siempre que tengas
problemas con vidas diferentes en los activos
(ó vidas iguales) lo mejor es comparar con
PMT que su equivalente es “ADADOP” ó
“ADADOF”, ya que si lo comparas con P ó F
“PDADOA” ó “FDADOA” deberás ajustar
primero al VP y/o el VF correspondiente al
número de ciclos de vida de cada máquina
con su respectiva cantidad, esto ya debes
saber como hacerlo si pasaste Ingeniería
Económica 1, puedes consultar nuevamente
éste manual si lo has olvidado. También es
importante mencionar que es posible que
encuentres ligeras variaciones en los
resultados si lo comparas con F ó P, de más
menos 2%, es poca variación, pero
considerable si se tratase de grandes
cantidades, es por esto que lo mas
recomendable es siempre compararlo con A
(PMT).
Ahora bien para el segundo escenario
ocupamos esta misma ecuación, para limpiar
nuevamente la pantalla de las variables
damos en F6 Clear a-z y damos ENTER:
Damos abajo con el cursor y llenamos
nuevamente la información del segundo
escenario:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Aplicación de Business Suite en lugar de solver de Excel Página 67
Nos posicionamos sobre X y damos F2 Solve:
Es importante que recuerdes que el signo
negativo de la variable “y” debe ir con el
signo menos de tecla negra.
Y vemos el resultado X que es $3768.40. Este
resultado expresa de igual forma que para
que el VP de ambas máquinas sean iguales el
Flujo Efectivo Neto de la máquina 1 debe ser
de $3768.40 en sus 4 años de vida (+$200 de
rescate en el año último) y éste es el
resultado.
Para finalizar se puede crear una tabla para
observar como sería esta comparación para
que fueran iguales ambas máquinas desde
un punto de vista económico:
Escenario 1:
Año Máquina 1 Máquina 2
0 -$6,563.75 -$9,000
1 $3,000 $3,000
2 $3,000 $3,000
3 $3,000 $3,000
4 $3,200 $3,000
5 - $3,000
6 - $3,300 VPN $6,626 $6,626
Y para el escenario 2:
Año Máquina 1 Máquina 2
0 -$9,000 -$9,000
1 $3768.40 $3,000
2 $3768.40 $3,000
3 $3768.40 $3,000
4 $3968.40 $3,000
5 - $3,000 6 - $3,300
VPN $6,626 $6,626
Esto significa que para que se pueda comprar
ó preferir comprar la Máquina 1 hay 2
soluciones: 1) Comprando la máquina a
menor precio (de $9000 a $6,563.75) ó 2)
Haciendo que la Máquina 1 nos genere un
mayor flujo de efectivo a lo largo de su vida
(de $3,000 a $3,768.40).
Para calcular el VPN de las máquinas desde
este punto de vista, debe ajustarse a 12 años
a su mínimo común múltiplo debido a sus
períodos de vida distintas.
Como los VA son iguales ahora para ambas
máquinas ($972.42) puede calcularse con
éste factor:
Y será lo mismo para ambas máquinas desde
este punto de vista económico.
Ésta es otra forma de resolver tus ejercicios
si no tienes una laptop cerca. Te recomiendo
que resuelvas los ejercicios que te dejan para
ésta materia para que adquieras habilidad a
la hora de resolverlos.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Cálculo de Factores ajustados por la Inflación Página 68
Efectos de la Inflación
Éste tema es en particular bastante simple,
ya que la mayoría de los problemas pueden
resolverse en Finance, ya que se hace
referencia en la mayoría de los problemas a
la antigua formula del interés compuesto con
un pequeño ajuste en la tasa de interés
debido a la inflación, en ésta parte solo se
agregan un par de funciones en Numeric
Solver en el folder EKO2 que te ayudarán a
encontrar estas tasas de interés ya sea
inflada, de valor de poder de compra e
inflación e interés real, dependiendo de los
problemas que tengas.
Cálculo de Factores ajustados por la
Inflación
Vamos a mostrar primero las funciones que
se agregaron para éste tema y el nombre del
archivo al que hace referencia. Da en tecla
APPS y entra al programa Numeric Solver:
Ya en el programa teclea F1 y primera opción
Open:
Luego da a la derecha con el cursor sobre el
apartado de folder y selecciona el folder
EKO2 y da ENTER:
Ahora desplázate abajo con el cursor y da a
la derecha nuevamente para que veas las
opciones que tienes:
Las funciones que se agregaron para este
tema son “INFLA” y “VCPC”:
Los cuales hacen referencia a las siguientes
ecuaciones respectivamente:
Nombre Ecuación
INFLA $��52 *
$# � $ 91 $ 9
VCPC 9 * � ·
�1 $&�
�1 V&�
Leyenda:
ireal = Tasa de Interés real
inf = Tasa de inflación
im = Tasa de interés del mercado (en
ocasiones nombrada como tasa de interés
inflada)
f = Valor Futuro
p = Valor Presente
i = Tasa de interés actual ó de mercado
k = Tasa interés de inflación
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Cálculo de Factores ajustados por la Inflación Página 69
Vamos a resolver solo algunos ejercicios ya
que éste tema es bastante simple y si has
seguido correctamente los temas anteriores
no tendrás dificultad en este tema.
Ejemplo.
¿Qué tasa de inflación anual corresponde a
una tasa de interés de mercado de 13%
anual, cuando la tasa de interés real es de
5% anual?
Entramos en la función “infla” y damos hacia
abajo con el cursor para introducir la
información:
Como puedes observar aquí las tasas las
puedes introducir en enteros sin problema,
nos posicionamos sobre “inf” y damos F2
Solve:
Y vemos el resultado de 7.61% de tasa de
interés de inflación anual.
Como puedes observar la tasa de interés real
se reduce cuando la inflación es muy grande,
si la tasa de inflación es mas grande que la
tasa de mercado verás una tasa de interés
real negativa lo cual resultaría en perdida en
lugar de ganancia, es por esto que es
importante este tema ya que los factores
económicos externos afectan el poder
adquisitivo del dinero a través del tiempo.
Ejemplo.
Su padre compartió con usted que él tenía
un total de $100,000 en su fondo de retiro
hace 20 años. La tasa de inflación ha
promediado 4% anual durante los años
intermedios.
a) ¿Cuál es la cantidad de incremento
requerida en el total de la cuenta con la
finalidad de tener el mismo poder de
compra que hace 20 años?
b) Si el rendimiento promedio de la
inversión ha sido la tasa de mercado de 10%
anual, ¿Cuál es la cantidad total de la
cuenta ahora? ¿Cuál ha sido el aumento en
la cantidad de dólares durante el lapso de
20 años?
c) Si una inversión segura ha promediado
una tasa real de 3.5% anual, ¿Cuánto ha
ganado sobre esta tasa la cuenta de retiro,
en términos de una tasa real?
El inciso a) se resuelve fácilmente en
Finance, la tasa de interés se toma como la
inflación, ya que solo se pregunta el poder de
compra, el dinero sigue estando en la cuenta
con un incremento de 10% anual, pero el
poder de compra baja con respecto al
tiempo, al solucionar con F2 Compute el FV
vemos:
Esos $219,112.314 nos dicen y representan
que para tener el mismo poder de compra
con $100,000 hace 20 años ahora se
requerirían $219,112.314, es decir ése dinero
guardado “perdió” parte de su poder de
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Cálculo de Factores ajustados por la Inflación Página 70
compra durante 20 años debido a la
inflación, en éste inciso no se analiza el
interés a favor del dinero que generó el
banco o institución financiera en la que
estaba guardado, sino simplemente el poder
de compra que le afectó.
Para el inciso b) de igual forma piden calcular
la cantidad de dinero a favor que se generó a
lo largo de los 20 años, se puede hacer aquí
mismo en Finance, sólo cambiamos la
información:
Se cambia solo el interés a 10% y vemos el
dinero en la cuenta actual, ésta cantidad de
$672,749.99 es la cantidad de dinero actual
en la cuenta, sin embargo ha perdido parte
de su poder de compra que tenía hace 20
años. Siempre y cuando la tasa de interés a
favor sea mayor que la tasa de inflación la
inversión generará utilidades.
En el inciso c) nos preguntan la comparación
entre una tasa de interés real de otra
inversión aparte de 3.5% con el interés a
favor generado por la inversión de éste
problema. Debemos sacar la tasa de interés
real, con 10% a favor menos el 4% de
inflación, para esto entramos a Numeric
Solver y entramos a la función “infla”:
Damos una vez abajo con el cursor y
llenamos la información, nos posicionamos
sobre “ireal” y damos F2 Solve:
Y ésta es la tasa de interés real de la cuenta
tomando en cuenta la pérdida de poder de
compra generado por la inflación.
Para sacar la diferencia entre cada tasa se
hace una simple resta:
5.77% � 3.5% * 2.27%
La inversión del padre tiene una ventaja de
2.27% sobre la “inversión segura”.
Ejemplo.
Convierta $100,000 dólares actuales en
dólares de valor constante en el año 10,
cuando la tasa de deflación sea de 2% anual
Aquí el único truco es que la tasa debe ser
negativa ya que representa una ganancia
(deflación, mayor poder de compra):
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Cálculo de Factores ajustados por la Inflación Página 71
Ejemplo.
¿Cuál sería el poder de compra, en términos
de dólares de hoy, de una inversión de
$25,000 que gana una tasa de interés de
mercado de 10% anual durante 4 años,
cuando la tasa de inflación es de 6% anual?
Entramos a Numeric Solver, damos F1 Open,
folder EKO2 y entramos a VCPC:
Bajamos con el cursor e introducimos la
información, y pulsamos F2 sobre F:
El poder de compra a pesar de la tasa de
ganancia positiva, se ve mermada un poco
por la tasa de inflación, el poder de compra
es de $28,992.608. Ahora para conocer el
valor futuro del dinero simplemente
tecleamos 0 en “k” que es el porcentaje de
inflación y volvemos a encontrar F:
Y vemos el resultado, el dinero en la
inversión al final de cuatro años es de
$36,602.5, pero el poder de compra real de
éste dinero equivale a $28,992.608.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Método de Línea Recta Página 72
Depreciaciones
El tema de depreciaciones es algo variado,
algunos profesores imparten éste tema en la
materia de Ingeniería Económica 1 y algunos
lo dan hasta Ingeniería Económica 2, de
cualquier manera aquí se explicará los 4
métodos y como funcionan en la Texas, así
como sus peculiaridades para cada tema.
Todos estos temas se verán en Business
Suite. En la mayoría de los problemas de
depreciación te darán un costo inicial, un
valor de salvamento, un periodo (en años
generalmente) de vida útil y en ocasiones un
porcentaje de depreciación, y lo que debes
hacer es encontrar la cantidad depreciada
por cada año y el valor final (valor en libros)
de cada año y hace una tabla completa. Con
Business Suite puedes hacer todo esto
fácilmente.
Método de Línea Recta
Éste es el método más sencillo ya que todos
los años se deprecia la misma cantidad.
Ejemplo.
Si un activo tiene un costo de $50,000 con
un valor de salvamento de$10,000 y una
vida útil de 5 años, calcular la cantidad
depreciada por año y el valor final en libros
cada año.
Iniciamos Business Suite como ya sabemos y
seleccionamos el menú F3 “Depr”
(Depreciaciones) y seleccionamos la primera
opción “Straight Line” (Línea recta):
Y podemos ver que lo único que se necesita
es teclear la información necesaria. “Cost $”
es el costo del activo, “Salvage Value” es el
valor de salvamento, y por último “Life” es el
número de años o de vida útil del activo,
tecleamos ésta información:
Es importante mencionar que en ésta parte
de Business Suite no es necesario teclear el
cambio de signo que representa inversión (-)
y el valor de salvamento (+), aquí todos los
valores deben ser positivos. Damos ENTER
para continuar y vemos:
La Texas hace la pregunta de cómo se va a
guardar la tabla , es decir, automáticamente
hará la tabla final y la guardará como una
matriz con el nombre que tú le pongas,
puede ser cualquier combinación de letras
que no pase de 8 caracteres, ponemos
“tabla”:
Ahora bien antes de continuar en la parte
superior está la explicación de la tabla
misma, la primera columna es el año (Year),
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Método de Línea Recta Página 73
la segunda columna es la cantidad
depreciada por año (Depr),la tercer columna
es la suma acumulada por año “ΣDepr” y la
última columna es el valor en libros al final
de cada año (Book). Damos ENTER y vemos
la tabla:
Con esto puedes comprobar los resultados
de tus tareas o exámenes. Damos ENTER
para regresar al menú general de Business
Suite.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Método de Suma de Dígitos de los Años Página 74
Método de Suma de Dígitos de los Años
A diferencia del método anterior éste
deprecia cada año cantidades diferentes.
Ejemplo.
Una casa que cuesta $320,000 se espera que
tenga una vida útil de 30 años y un valor de
salvamento del 25%, calcular el valor de la
depreciación para los años 4, 9, 18 y 26 con
el método de suma de los dígitos de los
años.
Nuevamente damos en el menú F3 “Depr” de
depreciaciones seleccionamos la segunda
opción “Sum Yrs. Digits” (Suma de dígitos de
los años) y damos ENTER:
Y al igual que en el método anterior se debe
llenar la información necesaria. “Cost $” es el
costo del activo, “Salvage Value” es el valor
de salvamento (se puede teclear en la
ventana la multiplicación del activo por el
porcentaje salvado sin necesidad de hacer
antes la multiplicación), y por último “Life” es
el número de años o de vida útil del activo,
tecleamos ésta información:
La Texas hace la pregunta de cómo se va a
guardar la tabla , es decir, automáticamente
hará la tabla final y la guardará como una
matriz con el nombre que tú le pongas,
puede ser cualquier combinación de letras
que no pase de 8 caracteres, ponemos
“tabla”:
Ahora bien antes de continuar en la parte
superior está la explicación de la tabla
misma, la primera columna es el año (Year),
la segunda columna es la cantidad
depreciada por año (Depr), la tercer columna
es la suma acumulada por año “ΣDepr” y la
última columna es el valor en libros al final
de cada año (Book). Damos ENTER y después
de unos momentos vemos la tabla:
Puedes desplazarte y ver toda la tabla
moviéndote con el cursor de arriba abajo:
Y vemos las primeras 2 respuestas, en al año
4 la depreciación fue de $13,935.48 y el valor
en libros de $261,161.29; en el año 9 la
depreciación fue de $11,354.84 y el valor en
libros de $199,225.81. Seguimos bajando y
encontramos las demás respuestas:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Método de Suma de Dígitos de los Años Página 75
En el año 18 la depreciación fue de
$6,709.68 y el valor en libros al final de ese
año fue de $120,258.06 y por último en el
año 26 la depreciación fue de $2580.65 y el
valor en libros al final de ese año fue de
$85,161.29. Como puedes ver esta es una
forma fácil y muy segura de comprobar tus
respuestas. Damos ENTER para regresar al
menú general de Business Suite.
Es IMPORTANTE hacer una aclaración,
debido a que Business Suite ajusta todas las
cantidades que maneja a 2 decimales (pero
toma todos los decimales para multiplicar) es
probable que notes una ligera diferencia
entre los resultados que hagas a mano y los
que muestran la Texas, esta diferencia
debería ser poco importante, sin embargo
hay profesores que lo toman muy en serio,
por ejemplo si tu manejas las cifras a 4
decimales puede haber una diferencia de
mas menos 1 dólar. Por ejemplo una
cantidad ajustada a 4 decimales contra una
cantidad tomando infinitos decimales:
Puedes ver que hay una ligera diferencia, la
Texas toma todos los decimales en Business
Suite y por lo tanto es más exacta.
También es importante mencionar que
debes tener buen espacio en tu calculadora
sobre todo con problemas a calcular con
muchos años ya que en ocasiones puede
llegar a haber errores de memoria
“Memory”, asegúrate de borrar programas o
información no necesaria de la calculadora.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Método SD &SDD también llamado de Porcentaje Fijo Página 76
Método de Saldo Decreciente (SD) y Saldo
Doblemente Decreciente (SDD), también
llamado Método de Porcentaje Fijo.
Éste método considera la depreciación con
un porcentaje fijo de depreciación por año y
a veces hay un valor de salvamento y a veces
el valor de salvamento es cero.
Ejemplo.
Un activo tiene un costo inicial de $25,000 y
un Valor de Salvamento de $4,000 después
de 12 años. Calcula su depreciación y valor
en libros usando SDD para:
a) Año 1
b) Año 4
c) El valor implícito de salvamento después
de 12 años utilizando saldo doblemente
decreciente.
Éste método se encuentra de igual manera
en el menú F3 “Depr” y tercera opción “Decl
Balance”:
De igual forma se solicita la información
necesaria; “Cost $” es el costo del activo,
“Life” es el número de años o de vida útil del
activo, y “Declining Rate” es el porcentaje de
depreciación por año que se desea calcular
expresado en porcentaje.
NOTA IMPORTANTE. Específicamente para el
método de saldo doblemente decreciente
(SDD) el porcentaje SIEMPRE será de 200, es
decir en realidad no “importa” el valor de
salvamento que haya en el problema cuando
se trate de SDD. Llenamos la información:
Damos ENTER para continuar.
La Texas hace la pregunta de cómo se va a
guardar la tabla , es decir, automáticamente
hará la tabla final y la guardará como una
matriz con el nombre que tú le pongas,
puede ser cualquier combinación de letras
que no pase de 8 caracteres, ponemos
“tabla”:
Ahora bien antes de continuar en la parte
superior está la explicación de la tabla
misma, la primera columna es el año (Year),
la segunda columna es la cantidad
depreciada por año (Depr), la tercer columna
es la suma acumulada por año “ΣDepr” y la
última columna es el valor en libros al final
de cada año (Book). Damos ENTER y después
de unos momentos vemos la tabla:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Método SD &SDD también llamado de Porcentaje Fijo Página 77
Puedes desplazarte con el cursor hacia abajo
y contestar fácilmente los primeros 2 incisos.
Para el inciso a) el valor de depreciado en el
año uno es de $4,166.67 y el valor en libros
de $20,833.33, para al inciso b) el valor
depreciado es de $2,411.27 y el valor en
libros de $12,056.33. Sólo debes entender
del problema que dado que el valor de
salvamento último es de $4,000, no importa
que el valor en libros al final del año 12 sea
menor de $4,000, éste valor será el límite
aunque el valor en libros sea menor.
Ahora bien el inciso c) hace simplemente la
pregunta de a que valor llega en libros en el
último año sin tomar en cuenta el valor de
salvamento, debemos desplazarnos hasta la
última fila:
El único “inconveniente” de éste programa
es que SIEMPRE ajustará toda la
depreciación a cero en el último año, para
calcular el último valor en libros
simplemente tomamos el valor en libros del
año 11 ($3,364.70) y lo multiplicamos por (1-
.1667).Que nos da $2,803.88, y este es el
valor implícito de salvamento.
Hay que hacer un par de consideraciones
más cuando se trata de un Saldo Decreciente
simple (SD) y se explicará con un par de
ejemplos.
Ejemplo:
Se adquiere un equipo troquelado con valor
de $28,750 y se calcula que su tasa de
depreciación es de 30%. Su esperanza de
vida es de 7 años.
a) Elabórese una tabla de depreciación de
los primeros 4 años
b) Encuéntrese el valor en libros al final del
quinto año.
c) Determínese el cargo de depreciación del
sexto año
d) Determínese el valor teórico de
deshecho.
Bien, lo más importante al resolver este tipo
de ejercicios es IDENTIFICAR que tipo de
problema de depreciación se trata, a
diferencia del ejemplo anterior aquí se da
una tasa inicial de depreciación y no nos dan
valor de salvamento. En Business Suite
(específicamente en la opción de “Decl.
Balance”) no es posible introducir la tasa que
nos da éste problema tal cual para encontrar
la tabla final, es necesario hacer una
conversión simple que se da por la siguiente
fórmula:
� *�
· 100
Donde “d” es la tasa que nos da el problema,
expresada en decimales.
“x” es la tasa equivalente a encontrar.
“n” es el número de períodos.
Seleccionamos entonces
la tercera opción del
menú F3 “Depr”:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Método SD &SDD también llamado de Porcentaje Fijo Página 78
E introducimos la información tal cual como
en el ejercicio anterior, y en la tasa
“Declining rate” podemos introducir el
despeje indicando la multiplicación y la Texas
automáticamente hará la operación, es
importante recordar que la tasa debe estar
en decimales (ó si lo quieres ver de otro
modo puedes dejarlo expresado en
porcentaje y omitir la multiplicación por
100):
Damos ENTER para continuar y ver la tabla:
Y viendo la tabla se puede contestar
fácilmente los primeros 3 incisos del
problema. Para el último inciso recuerda que
la Texas ajusta la depreciación a cero al
termino del último año, éste es el único dato
que tienes que omitir, para encontrar el
valor en libros en el último año debes tomar
el valor en libros del año 6 ($3,382.41) y
multiplicarlo por (1-0.3), lo cual nos da
$2,367.69 que es el valor teórico de
deshecho.
Por último la última consideración final tiene
que ver con problemas donde si dan valor de
salvamento ó dan valor de salvamento igual
a cero.
Ejemplo.
Una compañía compra una camioneta para
el reparto de su mercancía en $75,000.
Calcula que su vida útil será de 5 años y que
al final de ella su valor de deshecho será de
$10,000.
a) Elabórese la tabla de depreciación
correspondiente por año.
b) Elabórese otra tabla de depreciación por
año suponiendo un valor de deshecho de
cero.
En el inciso a) para encontrar la tasa de
depreciación debe usarse una fórmula
parecida al de interés compuesto; pensando
en éste tipo de ejercicios elaboré una
ecuación con la que puedes introducir los
datos y encontrar la tasa equivalente que
debes usar en Business Suite para hallar la
tabla completa de un solo golpe, para ir a ella
sal de Business Suite con F6 y segunda
opción “Im Done” y dirígete al menú de
programas principales con tecla APPS y
posiciónate sobre Numeric Solver y da ENTER
para entrar:
Ya dentro del programa teclea F1 y opción 1
Open:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Método SD &SDD también llamado de Porcentaje Fijo Página 79
Ya en ésta pantalla damos a la derecha con el
cursor para cambiarnos al folder “EKO” en
éste folder guardé la ecuación en todas las
calculadoras, da ENTER para seleccionarlo:
Ahora baja con el cursor sobre la opción de
“Variable” y da a la derecha con el cursor
para encontrar el nombre de la ecuación que
es “tequiv”, y da ENTER para seleccionarlo:
Y ENTER nuevamente para continuar.
Da una vez hacia abajo con el cursor para
que se desplieguen las variables a introducir:
S, Es el valor de Salvamento.
C, Es el costo del activo
N, Es el número de períodos.
D, Es la tasa equivalente para Business Suite.
Introducimos la información del problema y
nos posicionamos sobre la variable a
encontrar que es D pulsamos F2:
Ésta es la tasa que debe usarse para Business
Suite, para copiarlo así sombreado como
esta solo da la combinación DIAMANTE +
letra C del teclado extendido. Regresamos a
HOME con DIAMANTE + letra Q y volvemos a
correr Business Suite.
Seleccionamos como ya sabemos la opción
de “Decl. Balance” y sobre “Declining rate”
tecleamos DIAMANTE + letra V del teclado
extendido para pegar el valor:
Ahora simplemente damos ENTER,
nombramos la tabla como ya sabemos y
vemos los resultados:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Método SD &SDD también llamado de Porcentaje Fijo Página 80
Para la segunda tabla considerando un valor
de salvamento cero, debemos volver a la
ecuación de Numeric Solver pero ahora
poner en la variable S el valor de 1, SIEMPRE
que tengas un valor de salvamento cero
debes poner 1 en el valor de salvamento y
encontramos la tasa equivalente para
Business Suite:
Y calculamos la tabla final en Business Suite:
Podemos ver lo importante que es tener un
valor de rescate, ya que se deprecia muy
rápidamente el activo en los primeros años
con éste método. También que cuando
trabajes en Numeric Solver borres de cuando
en cuando las variables que se usan
tecleando F6 y dando ENTER:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Método SMARC (MACRS) Página 81
Método SMARC (MACRS)
El método SMARC generalmente lo enseñan
hasta Ingeniería Económica 2, sin embargo lo
explicaremos aquí ya que se esta viendo el
tema de depreciaciones.
Éste método de depreciación es el Sistema
Modificado Acelerado de Recuperación de
Costos, ó por sus siglas en inglés MACRS
(Modified Acelerated Cost Recovery System)
como ya te deben haber explicado es un
método que va disminuyendo el capital con
un porcentaje dado, para usar éste método
necesitarías una tabla del porcentaje acorde
con el número de años depreciados del
activo, tabla que se puede encontrar en
libros o en internet, en Business Suite ya
viene éste método, pero solo hasta un
período de 10 años de vida, para activos de
mayor duración (con n=15 ó n=20) he creado
un par de hojas de cálculo en Cell Sheet que
es un programa que ya viene dentro de la
Texas donde puedes simplemente introducir
el costo del activo y realizará las
depreciaciones en todos los años.
Mostraremos como es costumbre un par de
ejemplos antes de pasar a número de
mayores de períodos. También es
importante mencionar que con el método
SMARC la mayoría de los períodos standard
son 3, 5, 7, 10, 15 y 20.
Un nuevo activo de propiedad personal de
$30,000 debe depreciarse utilizando SMARC
durante 7 años. Se espera que el valor de
salvamento sea de $2,000, a) Compare los
valores en libros para la depreciación
SMARC y la depreciación clásica LR durante
7 años. b) Represente gráficamente los
valores en libros usando una hoja de
cálculo.
Entramos como ya sabemos a Business Suite
y tecleamos F3 para el menú de
Depreciaciones y última opción MACRS:
Después de unos instantes vemos:
Aquí solo debemos introducir el costo del
activo (en valor absoluto) y seleccionar el
número de años deseado. Recuerda que tal
como en los ejercicios de saldo decreciente
el valor de salvamento no se toma en cuenta.
Bajamos con el cursor damos a la derecha
para ver las opciones de períodos y
seleccionamos el 7 dando ENTER sobre él:
Y damos ENTER para continuar y como en los
métodos anteriores nombramos la tabla
resultante con un nombre que recordemos
para después usarla para graficar:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Método SMARC (MACRS) Página 82
De nueva cuenta la tabla es exactamente
igual que las anteriores; la primera columna
es el año (Year), la segunda columna es la
cantidad depreciada por año (Depr), la
tercera columna es la suma acumulada por
año “ΣDepr” y la última columna es el valor
en libros al final de cada año (Book). Damos
ENTER para continuar y ver los resultados:
Es MUY IMPORTANTE mencionar que en el
método SMARC siempre se toma el valor de
salvamento como cero, aunque haya un
posible valor de salvamento realizable, por lo
tanto se respeta la tabla tal cual sin hacer
ningún ajuste.
Ahora para compararlo con línea recta lo
hacemos por éste método en Straight Line y
nombramos la tabla con un nombre distinto
para después también ver la gráfica:
Damos ENTER y vemos los resultados:
Ahora bien nos salimos de Business Suite con
F6 y segunda opción “I’m Done” para salir:
Ahora debemos transformar las matrices que
guardamos a base de datos “Data”, para esto
estando aquí en HOME tecleamos “2nd”+
número 5 de la parte numérica y se despliega
el siguiente menú:
Ahora desplegamos el menú de “Matrix”,
posicionándonos sobre él y dando a la
derecha con el cursor y nos desplazamos
hasta la última opción “Mat�Data” y damos
ENTER:
Se copia a la línea de entrada y ahora
simplemente tecleamos el nombre de la
matriz seguido de una coma “,” y a
continuación el nuevo nombre que
queremos que se llame la base de datos,
como “tab1” era el método SMARC,
pondremos “sm” (puedes ponerle el nombre
que quieras con una combinación no mayor
de 8 caracteres):
Y damos ENTER:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Método SMARC (MACRS) Página 83
Si lo hiciste correctamente debe aparecer
delante de la operación la expresión “Done”.
Y hacemos lo mismo para “tab2” y le
pondremos “lr”, puedes simplemente quitar
la sombra de la línea de entrada dando a la
derecha con el cursor y borrar sólo lo
necesario:
Ahora debemos ir a visualizar las bases de
datos y seleccionar el rango que queremos
que sea X e Y para graficar, para esto damos
en tecla APPS y nos desplazamos hasta el
programa “Data/Matrix Editor”
Damos ENTER en él y seleccionamos la
opción “Open” Abrir:
Y vemos:
Dejamos las primeras 2 opciones tal cual, la
primera opción es para cambiar el tipo de
datos del Data/Matrix Editor, la primera
opción es la adecuada ya que “Data” hace
referencia a base de datos, en la segunda
opción el folder MAIN es el adecuado ya que
aquí es donde se crearon las bases de datos
que se hicieron e n HOME, y por último en
“Variable” damos a la derecha con el cursor y
vemos automáticamente que identifica los
archivos en ese folder con de tipo de base de
datos y están las 2 opciones que hemos
creado:
Seleccionamos primero la de SMARC:
Damos ENTER para continuar y vemos:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Método SMARC (MACRS) Página 84
Aquí están ya los valores transcritos de la
tabla SMARC que se calculó en Business
Suite, puedes desplazarte con el cursor sobre
las celdas y ver el valor aproximado de cada
calculo, recuerda que la forma como estaba
la tabla queda igual, la primera columna son
los años, la segunda el valor depreciado por
año, la tercera columna la suma acumulada
de depreciación por año y la última columna
el valor en libros. Ahora vamos a crear un
par de listas para las columnas c1 y c4,
damos en F1 y seleccionamos la segunda
opción “Save Copy As”:
Y cambiamos la opción a “List” en la opción
“Type”, lo dejamos en el folder MAIN y le
asignamos un nombre que puedas recordar
como “lx” (haciendo referencia a lista X, del
eje X):
Si te fijas nos pregunta que columna es la
que deseamos guardar como lista, la
columna 1 es la que hace referencia al eje X
la cual ya esta, damos ENTER para continuar.
Y ya ha quedado guardada en la memoria,
hacemos lo mismo para el eje y:
La columna C4 es la que hace referencia al
valor en libros. Generalmente en este tipo de
problemas se pide comparar los años con el
valor en libros resultante de cada año para
comparar los métodos y la cantidad que va
quedando del activo por año. Damos ENTER
para continuar y ahora en F1 y en la primera
opción “Open” para abrir la otra base de
datos de línea recta.
Y cambiamos la última opción de “variable” a
“lr” y damos ENTER para continuar:
Y vemos:
Ahora para configurar la gráfica damos en F2
“Plot Setup”:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Método SMARC (MACRS) Página 85
Ahora damos en F1 “Define”:
La primera opción que dice “Plot Type”, lo
dejaremos con la opción de “xyline”:
Nos desplazamos hacia abajo y en la opción
“Mark” es el tipo de marca es decir como
quieres que la calculadora marque cada
punto de dato, puedes ver que hay 5
opciones, 1: Box (que lo marque cada punto
con una caja), 2: Cross (con una cruz), 3: Plus
(con un signo mas +), 4: Square (con un
cuadro), 5: Dot (con un punto). Por sencillez
dejaremos la primera opción. En “x” e “y”
debemos indicarle las columnas de puntos xy
que deseamos que se grafiquen, los datos de
X son de la columna “c1” que hace referencia
a los años, simplemente tecleamos esta
combinación y nos pasamos al apartado de
Y:
Aquí tu puedes ir comparando ya sea la
depreciación por año de la columna “c2”, la
depreciación acumulada de “c3” ó el valor en
libros correspondiente a la columna “c4”,
generalmente en este tipo de problemas se
pide comparar el valor en libros de cada
método, así que asignamos c4:
Y damos ENTER 2 veces para continuar:
Y verás que ya queda marcado con una
palomita “Plot 1” indicando que ya hay algo
para graficar. Ahora bajamos con el cursor y
nos posicionamos sobre Plot2 y damos
nuevamente en F1 “Define”:
Cambiamos la configuración de “Plot Type” a
“xyline” y en el apartado de X tecleamos la
variable que creamos para la depreciación de
smarc que era “lx” y tecleamos de igual
manera en el apartado de Y la variable que
creamos como “ly”:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Método SMARC (MACRS) Página 86
Damos ENTER 2 veces para continuar:
Y vemos que ya están marcados los 2 Plots
listos para graficar, si te das cuenta en “Plot
2” esta marcada la extensión de donde viene
el archivo que es de MAIN ya que en este
folder es en el que hemos estado trabajando,
la razón por la cual se tuvo que poner una
serie de datos como lista y otra como base
de datos es porque no se puede graficar de 2
bases de datos distintas, para esto todos los
valores deberían haber estado en la misma
base de datos. Damos ENTER para continuar.
Ahora para ver la gráfica damos en
DIAMANTE + letra W del teclado extendido:
Y damos en el menú F2 y damos en la opción
9 “ZoomData”:
Y vemos:
Y se puede observar claramente la diferencia
de métodos; la de línea recta representa
claro esta ésta línea, mientras que el método
SMARC lo deprecia más rápidamente de
forma curva. También es claro que el método
SMARC lo deprecia hasta cero y el método LR
clásico halla un valor de salvamento de
$2,000, tú puedes desplazarte para ver los
puntos dando en F3 “Trace” y te puedes
desplazar de izquierda a derecha sobre los
puntos y ver las coordenadas ó de arriba
abajo para cambiarte de método de
depreciación:
Para salir da en DIAMANTE + letra Q del
teclado extendido.
Claro está que el programa más adecuado
para resolver sobre todo las gráficas es Excel,
sin embargo se muestra que también se
puede hacer aquí.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Método SMARC (MACRS) Página 87
A grandes rasgos, cuando te piden el método
SMARC para años inferiores a n=10 puedes
usar Business Suite sin problemas y ver los
resultados.
NOTA IMPORTANTE. Hay una ligera
variación entre los porcentajes que marca el
libro de Ingeniería Económica de Leland
Blank & Anthony Tarquin y los porcentajes
que usa Business Suite, una forma sencilla
donde puedes ver los porcentajes usados
para cualquier número de períodos es usar
un costo igual a 100 y ver la tabla:
Veamos un ejemplo para períodos
superiores.
Ejemplo.
Un robot de ensamble automatizado, que
cuesta $45,000 instalado, tiene una vida
depreciable de 15 años y valor de
salvamento cero. Elabore una tabla de
depreciación SMARC y compárela con el
método clásico LR.
Para ejemplos de problemas con períodos
superiores como n=15 y n=20 desarrollé una
sencilla hoja de calculo en la calculadora
donde al igual que en Business Suite puedes
simplemente teclear el costo del activo y
automáticamente la hoja calcula la tabla
final.
Para trabajar en la hoja de cálculo que
debiste instalar previamente debes
desarchivar la hoja de cálculo para poderla
manipular. Estando en HOME teclea “2nd” +
signo menos de tecla blanca :
Da a la derecha con el cursor sobre el folder
“EKO2” y posiciónate sobre el archivo
“SMARC15” (el número hace referencia a los
años):
Da en F4 para marcar el archivo:
Ahora da en F1 “Manage” y da ENTER en la
opción 9 “Unarchive Variable”:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Método SMARC (MACRS) Página 88
Si lo hiciste correctamente debe desaparecer
el asterisco que esta del lado izquierdo del
nombre del archivo. Ahora da en tecla APPS
y da ENTER sobre el programa “Cell Sheet”
Da ENTER sobre la opción “Open”:
Cambia el folder a “EKO” dando a la derecha
con el cursor, luego posicionándote sobre el
folder y da ENTER:
Y automáticamente verás los archivos de Cell
Sheet existentes smarc15 y smarc20, deja la
opción de smarc 15 y da ENTER:
Éste es Cell Sheet, es un programa de hoja de
calculo parecido a excel en algunos sentidos,
claro está que no se compara con Excel para
nada, sin embargo la ventaja de esta
pequeña hoja de cálculo es que admite
operaciones, expresiones y ecuaciones
matemáticas de cualquier índole.
Como te puedes dar cuenta la hoja ya esta
hecha con los porcentajes tomados del libro
de Tarquin y se dejo un costo de $70,000,
para simplemente cambiar el costo
posiciónate sobre la celda C1 y da ENTER:
Quita la sombra de la línea de entrada dando
a la derecha con el cursor y borra con tecla
y cambia al costo del problema:
Da ENTER para hacer los cambios.
Ahora para recalcular toda la hoja da en F8
“ReCalc”, después de unos momentos verás
una barra que se llena que es el porcentaje y
después de unos momentos vemos:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Método SMARC (MACRS) Página 89
Puedes ver ya la hoja calculada por completo
igual que Business Suite, la columna A son los
años, la columna B es el porcentaje de
depreciación por año tomada del libro de
Tarquin, la columna C es la depreciación por
año ya calculada; la columna D es la
depreciación acumulada por año, y la
columna E es el valor en libros al final de
cada año. Tú puedes desplazarte a través de
toda la hoja con el cursor y ver las
cantidades:
En ocasiones cuando las cantidades son muy
grandes no se pueden ver en la celda, para
esto debemos de cambiar la configuración de
la hoja para poder ver los valores completos.
Para esto damos en F1 y damos ENTER en la
opción A “Format”:
Yo te recomiendo siempre que uses el
“Autocalc” en OFF, el “Cursor Mvmnt” en
DOWN y el “Show” por ahora lo ponemos en
“Value” (para ver los valores y no las
formulas
usadas):
Damos ENTER para guardar los cambios:
Y ahora ya puedes desplazarte a través de las
celdas y ver los valores exactos en la línea de
entrada. Recomiendo el AutoCalc en OFF ya
que cuando cambias la formula de alguna
celda la calculadora recalcula toda la hoja
perdiendo tiempo, siempre es mejor hacer
los cambios de formulas adecuadas y
después dar simplemente dar en ReCalc de
F8 para ver los resultados.
Al igual que con Data/Matrix también puedes
graficar aquí mismo los años contra el valor
en libros, la diferencia es que con éste
programa debemos indicar el rango de datos
de celda para X y el rango de datos en celdas
para Y, al igual que en Excel para indicar un
rango debes teclear la celda de inicio + “:”
(dos puntos) y celda final. En nuestro
ejemplo las celdas de X (años) van de A3 a
A18, y en Y de E3 a E18. Damos en F2 Plot y
damos ENTER en primera opción “Plot
Setup”:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Método SMARC (MACRS) Página 90
Desmarcamos los Plots anteriores que
corresponden al problema anterior
posicionándonos sobre cada uno y tecleando
F4:
Nos posicionamos sobre Plot 3 y damos en
F1 Define:
Al igual que en Data/Matrix cambiamos el
Plot Type a “xyline” y el rango de X queda
como “A3:A18”:
En “Yrange” tecleamos “e3:e18”, los “dos
puntos” salen con “2nd”+ tecla de símbolo
theta θ del teclado extendido, y también es
bueno señalar que no hay diferencia entre
mayúsculas y minúsculas:
Damos ENTER 2 veces para continuar:
Ahora simplemente damos en F5
“ZoomData” y vemos:
Regresamos a HOME con “2nd” + letra Q del
teclado extendido.
Como puedes darte cuenta la calculadora TI-
V200 tiene mucha funcionalidad y no
necesitas comprar una calculadora financiera
para pasar esta materia.
Con esto terminamos el curso para Ingeniería
Económica 2 apoyado con la TI-V200, te
recomiendo que practiques con los ejercicios
que se dejan al final de éste manual ó bien
resuelvas las tareas que te empiezan a dejar
para que adquieras habilidad en la resolución
de éstos y otros ejercicios.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Ejercicios Propuestos Página 91
Ejercicios Propuestos
Vida Útil Económica
Resuelve lo siguiente con ayuda de Business
Suite y/o Cell Sheet.
1. Cierto equipo tiene un costo inicial de
$150,000 y un valor de salvamento que se
describe mediante la expresión S=120,000-
20,000k, donde k es el número de años
desde que se compró. El valor de salvamento
no estará por debajo de cero. Determine su
vida útil económica a una tasa de interés de
15% anual, utilizando estimaciones anuales
marginales de costos. El costo anual de
operación se calcula mediante la ecuación
COA=70,000+2000k, y el equipo tendrá una
vida útil máxima de 8 años.
2. El activo retador tiene un costo inicial de
$70,000, un costo estimado anual de
operación de $20,000, una vida útil máxima
de 5 años y un valor de salvamento de
$10,000 en cualquier momento que se
reemplace. Determina su vida útil económica
y su correspondiente valor VA, a una tasa de
interés de 20% anual.
3. Una empresa de pulpa y papel evalúa si
debería conservar el proceso de blanqueo
actual, que requiere dióxido de cloro o
reemplazarlo con un proceso oxipuro
patentado. Los costos relevantes para cada
proceso se indican a continuación. Aplique
una tasa de interés de 20% anual.
P. Actual P. oxipuro
Costo original -$450,000 -$700,000
V.C. actual $25,000 -
COA -$160,000 -$70,000
Vida 5 10
V.S. 0 $50,000
a) Lleva a cabo un análisis de reemplazo.
4. Se espera que una máquina que se posee
actualmente, cuyo valor comercial es de
$90,000, tenga una vida útil máxima restante
de 5 años. Se estima que su futuro valor
comercial sea de $60,000, que se reducirá
$10,000 anualmente a partir de entonces.
Además se estima que el costo de operación
sea de $50,000 el primer año, $55,000 el
segundo y que las cantidades aumenten
$5,000 en vales de ahí en adelante.
Determina la vida útil económica y el VA
correspondiente para este defensor a una
tasa de interés de 20% anual.
5. Una máquina actualmente en uso tiene un
valor anual equivalente de -$200,000 por
cada año de su vida útil máxima restante de
2 años. Se ha identificado un reemplazo
adecuado cuyos valores anuales equivalentes
son de -$300,000, -$225,000 y -$275,000
anuales, si la máquina se conserva 1, 2 ó 3
años, respectivamente. ¿Cuándo debería la
compañía reemplazar la máquina si aplica un
horizonte de planificación fijo de 3 años?
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Ejercicios Propuestos Página 92
Análisis del VP para Selección de
Proyectos Independientes
Resuelve lo siguiente con ayuda de Business
Suite y Simplex.
1. Determina cual de los siguientes proyectos
independientes debería elegirse para invertir
si están disponibles $325,000 ala TMAR de
10% anual. Para realizar la selección, usa el
método VP para evaluar las alternativas
mutuamente excluyentes.
Proyecto Inv. Inicial FEN Vida
A -$100,000 $50,000 8
B -$125,000 $24,000 8
C -$120,000 $75,000 8
D -$220,00 $39,000 8
E -$200,000 $82,000 8
2. El VP para ingeniería en Wholesome Home
Products se ha limitado a un total de 1 millón
y no más de 2 proyectos en mejora de capital
para el año. Emplee un análisis de VP y un
requerimiento de rendimiento de 15% anual
para responder lo siguiente:
a) ¿Cuáles de los 3 proyectos disponibles a
continuación deberán seleccionarse?
b) ¿Cuál es el flujo de efectivo neto anual
mínimo que se necesita para seleccionar el
conjunto que gaste tanto como sea posible
sin violar la limitación presupuestaria ni la
restricción de máximo 2 proyectos?
Pro Inv. Inicial FEN Vida V.S.
A -$350,000 $120,000 4 $40,000
B -$200,000 $90,000 4 $30,000 C -$700,000 $200,000 4 $20,000
3. El proyecto independiente estimado a
continuación fue desarrollado por los
directores de ingeniería y finanzas. La TMAR
corporativa es de 15% anual, y el límite en la
inversión de capital es de $4 millones. Usa el
método VP para seleccionar los mejores
proyectos, utiliza también el algoritmo
simplex para seleccionarlos.
Proyecto Inv.
In.(millones) Vida FEN
1 -1.5 8 $360,000
2 -3.0 10 $600,000
3 -1.8 5 $520,000
4 -2.0 4 $820,000
4. Resuelve el siguiente problema de
elaboración de presupuesto de capital,
usando Business Suite y simplex. Tres
proyectos van a evaluarse a la TMAR de 12%
anual, no pueden asignarse más de $3.3
millones. Los estimados de los proyectos son
los que se muestran:
Proyecto Costo
(millones) Vida Año 1
FEN, por año, gradiente
después del año 1
1 -$1.5 6 $310,000 +26,000 por
año
2 -$3.0 10 $625,000 -10,000 por
año
3 -$1.6 5 $380,000 +15% por año
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Ejercicios Propuestos Página 93
Análisis de punto de equilibrio
1. Traza una gráfica de CP (costo promedio
por unidad) contra Q para un costo fijo de
$60,000 y un costo variable de $2.00 por
unidad- ¿A qué cantidad se justifica un costo
promedio unitario de $3? Si los costos fijos
se incrementan a $100,000, grafica la nueva
curva de CP en la misma gráfica y calcula la
cantidad que justifica un CP de $3.50 por
unidad.
2. Una empresa dedicada a la edición de
guías telefónicas tiene que decidir si debería
diseñar internamente los anuncios para sus
clientes o pagar a una empresa por el
servicio. Para realizar los anuncios dentro de
la empresa, la compañía tendría que adquirir
computadoras, impresoras y otros
dispositivos periféricos a un costo de
$12,000. El equipo tendrá una vida útil de 3
años, después de los cuales de venderá por
$2,000. Al empleado que diseñe los anuncios
se le pagarán $45,000 anuales. Además, cada
anuncio tendrá un costo promedio de $4. Por
otro lado, la empresa podría solicitar de
manera externa anuncios con una tarifa de
$21 por cada uno. A una tasa de interés de
10% anual. ¿Cuántos anuncios debe vender a
compañía por año para que se equilibren las
alternativas?
3. Una firma de asesoría en ingeniería puede
arrendar un sistema de cómputo por
$15,000. El sistema arrendado no posee
costo de mantenimiento mensual, pero el
equipo que se compre tendrá un costo de
mantenimiento de $40 mensuales. A una
tasa de interés de 0.5% mensual, ¿Cuántos
meses deberá utilizarse el sistema para que
se equilibre?
4. Un gerente de planta ha recibido dos
estimaciones para mejorar el flujo del tráfico
y re pavimentar las áreas de
estacionamiento. La propuesta A incluye
nuevo rebordes, nivelación y pavimentación
con un costo inicial de $250,000. Se espera
que el primer método dure 4 años, con
costos anuales de mantenimiento y pintura
de las líneas de $3,000. En relación con la
propuesta B, el pavimento es de mayor
calidad y se espera que su vida útil sea de 16
años. El costo anual de mantenimiento será
insignificante para el área pavimentada del
estacionamiento, pero los cajones tendrán
que pintarse cada 2 años a un costo de
$5,000. Si la TMAR actual de la compañía es
de 12% anual, ¿cuánto puede gastar en la
proposición B para que las estimaciones se
equilibren?
5. Se estima que el proceso X tenga un costo
fijo de $40,000 anuales y un costo variable
de $60 por unidad en el año 1, con un
decremento anual de $5 por unidad. El
proceso Y tendrá un CF de $70,000 anuales y
un CV de $10 por unidad, con un incremento
anual de $1 por unidad. A una tasa de interés
de 12% anual, ¿cuántas unidades deberán
producirse en el año 3 para que alcanzar el
punto de equilibrio?
6. Hay 2 métodos de pavimentación. La
pavimentación A tendrá un C.I. de $900 mil y
duración de 20 años si con un
mantenimiento de $200 por milla
anualmente. Alternativamente, los caminos
podrían recubrirse con petróleo a un costo
de $28 por barril. Un barril alcanza para 0.1
millas y deberá aplicarse 2 veces al año. A
una tasa de 7% anual, ¿cuántas millas de
camino requerirán pavimentarse para que
los 2 métodos alcancen equilibrio?
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Ejercicios Propuestos Página 94
Efectos de la Inflación
1. Convierte $100,000 dólares futuros del
año 10 a dólares de valor constante de hoy,
si la tasa de interés (de mercado) ajustada a
la inflación es de 12% anual y la tasa de
inflación es de 7% anual.
2. Ford Motor Company anunció que el
precio de sus camionetas pickup F-150
aumentará solo el equivalente a la tasa de
inflación durante los próximos 3 años. Si el
precio actual de una camioneta es $20,000 y
la tasa de inflación ha promediado 2.9%
anual, ¿cuál es el precio esperado de una
camioneta, equipada similarmente, el
próximo año? ¿Y dentro de 3 años?
3. Una máquina comprada por Holzmann
Industries tuvo un costo de $25,000 hace 6
años. Si una máquina similar cuesta $30,000
ahora y su precio aumentó solo en la tasa de
inflación, ¿cuál fue la tasa de inflación anual
durante dicho período de 6 años?
4. Calcula la tasa de interés ajustada a la
inflación, cuando la tasa de inflación es de
4% anual y la tasa de interés real es de 3%
anual
5. Se calcula una suma futura de $20,000
dentro de 10 años. Si la tasa de interés real
es de 5% anual y la tasa de inflación es de 8%
anual, encuentra la cantidad de dinero que
es equivalente ahora a) con ajuste por
inflación y b) sin ajuste por inflación.
6. Una ingeniera debe recomendar una de 2
máquinas para integrarla en una línea de
fabricación mejorada. Ella obtiene
estimaciones de 2 vendedores. El vendedor A
le da los estimados en dólares (actuales) de
valor constante; mientras que la vendedora
B le da los estimados en dólares futuros
(corrientes de entonces). La compañía tiene
una TMAR igual a la tasa de rendimiento real
de 10% anua, y se espera que la inflación sea
de 6% anual. Utiliza un análisis de valor
presente para determinar cuál máquina
deberá recomendar la ingeniera.
Vendedor A
(dólares actuales)
Vendedor B (dólares futuros)
C. Inicial -$60,000 -$95,000 COA/año -$25,000 -$35,000
Vida 10 10
7. Un ingeniero deposita $10,000 en una
cuenta cuando la tasa de interés de mercado
es de 12% anual y la tasa de inflación es de
5% anual. La cuenta queda imperturbable
durante 6 años.
a) ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta?
b) ¿Cuál será el poder de compra en
términos de dólares de hoy?
c) ¿Cuál es la tasa de rendimiento real que se
obtiene sobre el depósito en relación con
una inversión segura que rinde 3.5% anual?
8. En un período de deflación de 2% anual,
¿cuánto costará una máquina dentro de 3
años, si el costo actual es de $40,000 por una
máquina idéntica?
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Ejercicios Propuestos Página 95
Depreciaciones
Resuelve los siguientes problemas con ayuda
de Business Suite.
1. Un equipo comercial que cuesta $12,000
tiene una vida de 8 años con un valor de
salvamento de $2,000. a) Calcula la cuantía
de depreciación en línea recta para cada año.
b) Determina el valor en libros después de 3
años. c) ¿Cuál es la tasa de depreciación?
2. Se supone que se adquiere un automóvil
en $150,000 y estimamos que su valor de
salvamente dentro de cinco años será de
$30,000, se quiere saber como se deprecia a
través de los años y cuál es su depreciación
anual y acumulada correspondiente, por
método de suma de dígitos.
3. Una nueva terminal de computadora para
fines especiales tiene B= $50,000 con un
período de recuperación de 4 años. Tabula y
representa gráficamente los valores para la
depreciación LR, la depreciación acumulada y
el valor en libros para cada año comparado
con la depreciación de Suma de los dígitos de
los años si a) no hay valor de salvamento y b)
S=$16,000.
4. Construir una estructura cuesta $600,000.
Tiene una vida de 25 años con un valor de
reventa estimado en 75% del costo de
construcción. Sin embargo, el edificio será
depreciado a cero durante un período de
recuperación de 30 años. Determina el cargo
de depreciación anual para los 4, 10 y 25,
usando a) depreciación en línea recta y b)
depreciación SDD, c) ¿Cuál es el valor de
salvamento implícito por SDD?
5. Allison y Carl son ingenieros civiles que
poseen un negocio de estudios de suelos y
agua, para el cual han comprado un equipo
de cómputo por $25,000. Ellos os esperan
que las computadoras tengan un salvamento
positivo o valor de comercialización después
de la vida anticipada de 5 años. Con
propósitos de depreciación en libros, quieren
que el valor en libro se calcule usando los
siguientes métodos: LR, SD y SDD. Quieren
usar una tasa de depreciación fija de 25%
anual para el modelo SD.
6. Claude es un ingeniero economista en
Reynolds. Un nuevo activo de propiedad
personal de $30,000 debe depreciarse
utilizando SMARC durante 7 años. Se espera
que el valor de salvamento sea $2,000. a)
Compara los valores en libros para la
depreciación SMARC y la depreciación clásica
LR durante 7 años. b) Representa
gráficamente los valores en libros.
7. Un activo comprado por $20,000, tiene
una vida útil de 10 años y un valor de reventa
excelente, de manera que se estima un S del
20% del costo inicial. El SMARC permite un
período de recuperación abreviado de 5
años. a) Tabula la depreciación por año,
acumulada y valor en libros. B) Compara
estos resultados con la depreciación SDD
durante n=10 años.
8. Un activo comprado por $450,000
instalado tiene una vida depreciable a 15
años con un valor de rescate del 15% de su
costo inicial. Tabula y grafica la comparativa
entre la depreciación SMARC y el método
clásico LR, comparando valor en libros.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009
Bibliografía Página 96
Bibliografía
Sitio Web:
http://www.mitecnologico.com/Main/DepreciacionPorMetodoSumaDeLosDigitosDeLosA%F1os
Libros:
INGENIERÍA ECONÓMICA
Leland Blank-Anthony Tarquin
Quinta Edición, Ed. Mc-Graw Hill
INGENIERÍA ECONÓMICA,
Leland Blank-Anthony Tarquin
Sexta Edición, Ed. Mc-Graw Hill
MATEMÁTICAS FINANCIERAS,
Alfredo Díaz Mata-Victor M. Aguilera Gómez
Tercera Edición, Editorial: Mc-Graw Hill