Transcript of Ingenieria de control moderna 5ta
- 1. 5 ed. Ingeniera de control moderna Ingeniera de control
moderna presenta un tratamiento riguroso y completo del anlisis y
diseo de sistemas de control. Los lectores encontrarn, en esta
nueva edicin del ya clsico libro de Ogata, un texto claro y
comprensible escrito para estudian- tes de ingeniera mecnica,
elctrica, aeroespacial o qumica, con numerosos ejemplos de todos
estos campos. En esta quinta edicin se ha ampliado la utilizacin de
MAT- LAB para obtener la respuesta de sistemas de control a dife-
rentes entradas. Se demuestra la utilidad del enfoque de opti-
mizacin computacional con MATLAB. Otra novedad es la inclusin de
nuevos problemas como ejemplos, que facilitan el aprendizaje y el
seguimiento de los conceptos introducidos. Con el fin de
proporcionar espacio a temas ms importantes, se han suprimido
ciertos materiales de ediciones previas que tienen una importancia
secundaria. En su lugar, se presentan las tablas de transformada de
Laplace y el desarrollo en fracciones simples con MATLAB en los
Apn- dices A y B respectivamente. En el Apndice C se da un corto
resumen sobre el anlisis vectorial-matricial.
www.pearsoneducacion.com es un sello editorial de Prentice Hall 5
edicin Katsuhiko Ogata Ingenieradecontrolmoderna Ogata Otros libros
de inters Fundamentos de control con MATLAB Enrique Pinto Bermdez,
Fernando Mata Espada PEArSOn PrEnTiCE HALL iSBn 978-84-832-2651-3
Sistemas de control moderno, 10. edicin richard C. Dorf, robert H.
Bishop PEArSOn PrEnTiCE HALL iSBn 978-84-205-4401-4 ingenieria de
control moderna.indd 1 14/4/10 10:08:03
- 2. Ingeniera de control moderna
- 3. a
- 4. Ingeniera de control moderna Quinta edicin Katsuhiko Ogata
Traduccin Sebastin Dormido Canto Profesor Titular de Ingeniera de
Sistemas y Automtica, UNED Raquel Dormido Canto Profesora Titular
de Ingeniera de Sistemas y Automtica, UNED Revisin tcnica Sebastin
Dormido Bencomo Catedrtico de Ingeniera de Sistemas y Automtica,
UNED Revisin tcnica para Latinoamrica Amadeo Mariani Profesor
Titular de Sistemas de Control Moderno UTN Regional Buenos Aires
Regional/HAEDO Juan Eduardo Picco Profesor Titular de la materia
Sistemas de Control, Departamento de Ingeniera Electrnica
Universridad Tecnolgica Regional Crdoba, Provincia de Crdoba,
Repblica Argentina Profesor Titular de la materia de Teora de
Control, Departamento de Ingeniera Electrnica Instituto
Universitario Aeronutico, Provincia de Crdoba, Repblica Argentina
Ricardo Julin Mantz Profesor Titular Dedicacin Exclusiva, Ctedra
Control Moderno, Ing. Electrnica Universidad Nacional de la Plata,
Facultad de Ingeniera La Plata, Provincia de Buenos Aires,
Argentina Jorge Ral Rossello Profesor Titular de la Ctedra Sistemas
de Control 1 Departamento de Ingeniera, Universidad Nacional de la
Matanza San Justo, Provincia de Buenos Aires, Argentina
- 5. Datos de catalogacin bibliogrfica INGENIERA DE CONTROL
MODERNA Katsuhiko Ogata PEARSON EDUCACIN, S.A., Madrid, 2010 ISBN:
978-84-8322-660-5 Materia: Ingeniera del control automtico, 681.5
Formato: 195 # 250 mm. Pginas: 904 Todos los derechos reservados.
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www.cedro.org), si necesita fotocopiar o escanear algn fragmento de
esta obra. 5 PEARSON EDUCACIN, S.A., 2010 Ribera del Loira, 28
28042 Madrid (Espaa) www.pearsoneducacion.com ISBN:
978-84-8322-660-5 Depsito legal: M Authorized translation from the
English language edition, entitlet INTRODUCTION TO MATERIALS
SCIENCE FOR ENGINEERS, 7th Edition by JAMES SHACKELFORD, published
by Pearson Education, Inc, publishing as Prentice Hall, Copyright 5
2009. All rights reserved. No part of this book may be reproduced
or transmitted in any form or by any means, electronic or
mechanical, including photocopying, recording or by any information
storage retrieval system, without permission from Pearson
Education, Inc. SPANISH language edition published by PEARSON
EDUCATION S.A., Copyright 5 2010. Equipo editorial: Editor: Miguel
Martn-Romo Tcnico editorial: Esther Martn Equipo de produccin:
Director: Jos Antonio Clares Tcnico: Isabel Muoz Diseo de cubierta:
Equipo de diseo de Pearson Educacin S.A. Composicin: Copibook
Impresin: IMPRESO EN ESPAA - PRINTED IN SPAIN Este libro ha sido
impreso con papel y tintas ecolgicos Nota sobre enlaces a pginas
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S.A. Las referencias se proporcionan en el estado en que se
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implcitas, sobre la informacin que se proporcione en ellas.
- 6. Contenido PRLOGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix CAPTULO 1.
Introduccin a los sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1-1. Introduccin . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1-2. Ejemplos de
sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 4 1-3. Control en lazo cerrado en
comparacin con control en lazo abierto . . . . 7 1-4. Diseo y
compensacin de sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 9 1-5. Contenido del libro . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 10 CAPTULO 2. Modelado matemtico de sistemas de control
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2-1.
Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2-2.
Funcin de transferencia y de respuesta impulso . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 15 2-3. Sistemas de control automticos .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 17 2-4. Modelado en el espacio de estados . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2-5.
Representacin en el espacio de estados de sistemas de ecuaciones
dife- renciales escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2-6. Transformacin de modelos matemticos con MATLAB . . . . . . . .
. . . . . . . 39 2-7. Linealizacin de modelos matemticos no
lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Ejemplos de
problemas y soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Problemas . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 CAPTULO 3. Modelado
matemtico de sistemas mecnicos y sistemas elctricos . . . . . . . .
63 3-1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63 3-2. Modelado matemtico de sistemas mecnicos . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 63
- 7. 3-3. Modelado matemtico de sistemas elctricos . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Ejemplos de problemas y
soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 86 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 97 CAPTULO 4. Modelado matemtico de
sistemas de fluidos y sistemas trmicos . . . . . . . . . . 100 4-1.
Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4-2. Sistemas de nivel de lquido . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4-3.
Sistemas neumticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4-4.
Sistemas hidrulicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4-5.
Sistemas trmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Ejemplos de problemas y soluciones . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Problemas . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 CAPTULO
5. Anlisis de la respuesta transitoria y estacionaria . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 5-1. Introduccin . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 5-2. Sistemas de primer
orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 161 5-3. Sistemas de segundo orden . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 164 5-4. Sistemas de orden superior . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 179 5-5. Anlisis de la respuesta transitoria con MATLAB . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 5-6. Criterio de
estabilidad de Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 212 5-7. Efectos de las acciones de
control integral y derivativa en el comporta- miento del sistema .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 218 5-8. Errores en estado
estacionario en los sistemas de control con realimenta- cin
unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Ejemplos de problemas y soluciones . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Problemas . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 CAPTULO
6. Anlisis y diseo de sistemas de control por el mtodo del lugar de
las races 269 6-1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 269 6-2. Grficas del lugar de las races . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
6-3. Grficas del lugar de las races con MATLAB . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 290 6-4. Lugar de las races de
sistemas con realimentacin positiva . . . . . . . . . . . . 303
6-5. Diseo de sistemas de control mediante el mtodo del lugar de
las ra- ces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 308 6-6. Compensacin de adelanto . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
6-7. Compensacin de retardo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 6-8.
Compensacin de retardo-adelanto . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 6-9. Compensacin paralela .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 342 Ejemplos de problemas y soluciones . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 347 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 394 CAPTULO 7. Anlisis y diseo de sistemas de control
por el mtodo de la respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 7-1. Introduccin . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 7-2. Diagramas de
Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 7-3. Diagramas polares
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 7-4. Diagramas de magnitud
logartmica respecto de la fase . . . . . . . . . . . . . . . . 443
vi Contenido
- 8. 7-5. Criterio de estabilidad de Nyquist . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 7-6.
Anlisis de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 7-7.
Anlisis de estabilidad relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 7-8. Respuesta en
frecuencia en lazo cerrado de sistemas con realimentacin unitaria .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 7-9.
Determinacin experimental de funciones de transferencia . . . . . .
. . . . . . . 486 7-10. Diseo de sistemas de control por el mtodo
de la respuesta en frecuencia 491 7-11. Compensacin de adelanto . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 493 7-12. Compensacin de retardo . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 502 7-13. Compensacin de retardo-adelanto . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511 Ejemplos de
problemas y soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 Problemas . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561 CAPTULO 8.
Controladores PID y controladores PID modificados . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 567 8-1. Introduccin . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 567 8-2. Reglas de Ziegler-Nichols para
la sintona de controladores PID . . . . . . . . 568 8-3. Diseo de
controladores PID mediante el mtodo de respuesta en fre- cuencia .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577 8-4. Diseo
de controladores PID mediante el mtodo de optimizacin computacional
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582 8-5. Modificaciones de
los esquemas de control PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
590 8-6. Control con dos grados de libertad . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592 8-7. Mtodo de
asignacin de ceros para mejorar las caractersticas de res- puesta .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595 Ejemplos de
problemas y soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 614 Problemas . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 641 CAPTULO 9. Anlisis de sistemas de
control en el espacio de estados . . . . . . . . . . . . . . . .
648 9-1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648
9-2. Representaciones en el espacio de estados de sistemas
definidos por su funcin de transferencia . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649
9-3. Transformacin de modelos de sistemas con MATLAB . . . . . . .
. . . . . . 656 9-4. Solucin de la ecuacin de estado invariante con
el tiempo . . . . . . . . . . 660 9-5. Algunos resultados tiles en
el anlisis vectorial-matricial . . . . . . . . . . 668 9-6.
Controlabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675 9-7.
Observabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682 Ejemplos de
problemas y soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 688 Problemas . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 720 CAPTULO 10. Diseo de sistemas de
control en el espacio de estados . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 722 10-1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722
10-2. Asignacin de polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723 10-3. Solucin
de problemas de asignacin de polos con MATLAB . . . . . . 735 10-4.
Diseo de servosistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739 10-5. Observadores de
estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 751 10-6. Diseo de sistemas reguladores
con observadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778 10-7.
Diseo de sistemas de control con observadores . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 786 Contenido vii
- 9. 10-8. Sistema regulador ptimo cuadrtico . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793 10-9. Sistemas de
control robusto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 806 Ejemplos de problemas y soluciones .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 818 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 855 APNDICE A. Tablas de la transformada de Laplace . . . . . .
. . . . . . . . . . . 859 APNDICE B. Mtodo de desarrollo en
fracciones simples . . . . . . . . . . . . 867 APNDICE C. lgebra
vectorial-matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 874 BIBLIOGRAFA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
882 NDICE ANALTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886 viii
Contenido
- 10. Prlogo Este libro introduce conceptos importantes en el
anlisis y diseo de sistemas de control. Los lectores encontrarn un
libro de texto claro y comprensible para seguir un curso en la
universidad sobre sistemas de control. Est escrito para estudiantes
de ingeniera mecnica, elctrica, aeroes- pacial o qumica. Se supone
que el lector ha completado los siguientes prerrequisitos: cursos
de carcter introductorio sobre ecuaciones diferenciales,
transformada de Laplace, anlisis vecto- rial-matricial, anlisis de
circuitos, mecnica y termodinmica. Las revisiones principales
hechas en esta edicin son como sigue: Se ha ampliado la utilizacin
de MATLAB para obtener la respuesta de sistemas de control a
diferentes entradas. Se demuestra la utilidad del enfoque de
optimizacin computacional con MATLAB. A lo largo de todo el libro
se han aadido nuevos problemas como ejemplos. Con el fin de
proporcionar espacio a temas ms importantes se han suprimido
ciertos mate- riales de ediciones previas que tienen una
importancia secundaria. Los grafos de flujo de seal se han
eliminado del libro. Tambin se suprimi un captulo sobre la
transformada de Laplace. En su lugar se presentan las tablas de
transformada de Laplace y el desarrollo en fracciones simples con
MATLAB en los Apndices A y B respectivamente. En el Apndice C se da
un corto resumen sobre el anlisis vectorial-matricial. Esta edicin
de Ingeniera de Control Moderna est organizada en diez captulos. El
conteni- do del libro es el siguiente: El Captulo 1 presenta una
introduccin a los sistemas de control. El Captulo 2 trata el
modelado matemtico de sistemas de control. Se presenta tambin en
este captulo una tcnica de linealizacin de modelos matemticos no
lineales. El Captulo 3 analiza el modelado matemtico de los
sistemas mecnicos y elctricos. El Captulo 4 trata el modelado de
los sistemas fludicos (tales como sistemas de nivel de lquido,
sistemas neumticos y siste- mas hidrulicos) y sistemas
trmicos.
- 11. El Captulo 5 trata el anlisis de la respuesta transitoria y
el estado estacionario de los siste- mas de control. MATLAB se
utiliza extensivamente para el anlisis de la respuesta transitoria.
El captulo presenta el criterio de estabilidad de Routh para el
anlisis de estabilidad de los sistemas de control. Tambin se
estudia el criterio de estabilidad de Hurwitz. El Captulo 6 aborda
el anlisis y diseo de sistemas de control mediante el lugar de las
ra- ces, incluyendo los sistemas con realimentacin positiva y los
sistemas condicionalmente esta- bles. Se estudia con detalle la
representacin del lugar de las races con MATLAB. Se estudia el
mtodo del lugar de las races para el diseo de compensadores de
adelanto, retardo y retardo- adelanto. El Captulo 7 presenta el
anlisis y diseo de sistemas de control mediante la respuesta en
frecuencia. Se trata el criterio de estabilidad de Nyquist de una
forma fcilmente comprensible. Se analiza el mtodo de los diagramas
de Bode para el diseo de compensadores de adelanto, retardo y
retardo-adelanto. El Captulo 8 estudia los controladores PID bsicos
y modificados. Se presentan con cierto detalle los mtodos
computacionales (en MATLAB) para obtener valores ptimos de los par-
metros de los controladores que satisfacen ciertos requisitos de
las caractersticas de la respuesta escaln. El Captulo 9 presenta un
anlisis bsico de los sistemas de control en el espacio de estados.
Se introducen los conceptos de controlabilidad y observabilidad. El
Captulo 10 analiza el diseo de sistemas de control en el espacio de
estados. El estudio incluye la asignacin de polos, observadores de
estado y control ptimo cuadrtico. Al final del captulo se presenta
un anlisis introductorio de los sistemas de control robusto. El
libro se ha estructurado con la finalidad de facilitar la
comprensin gradual de la teora del control al estudiante. Se ha
tratado de evitar cuidadosamente razonamientos con un fuerte conte-
nido matemtico en la presentacin del material. Se proporcionan
demostraciones matemticas cuando contribuyen a la comprensin de los
temas presentados. Se ha realizado un esfuerzo especial para
proporcionar ejemplos en puntos estratgicos de forma que el lector
obtenga una mejor comprensin de la materia que se analiza. Adems,
se ofrecen al final de cada captulo, excepto en el Captulo 1, una
serie de problemas resueltos (pro- blemas de tipo A). Se anima al
lector a que estudie con cuidado todos estos problemas para obte-
ner una comprensin ms profunda de los temas analizados. Adems, se
proponen muchos pro- blemas (sin solucin) al final de cada captulo,
excepto en el Captulo 1. Los problemas no resueltos (problemas de
tipo B) se pueden utilizar para que el alumno los resuelva en casa
o como parte de un examen. Si este libro se usa como texto para un
curso semestral (56 horas de clase) se puede cubrir la mayor parte
del material omitiendo ciertas partes. Debido a la abundancia de
problemas ejem- plos y problemas resueltos (problemas A) que pueden
responder a muchas de las posibles pre- guntas que el lector pueda
plantearse, este libro puede tambin servir como un texto de auto
estudio para aquellos ingenieros que ya trabajan y que desean
estudiar teora de control bsica. Quisiera expresar mi
agradecimiento a los siguientes revisores de esta edicin del libro:
Mark Campbell, Cornell University; Henry Sodano, Arizona State
University; y Atul G. Kelkar, Iowa State University. Finalmente
deseo expresar mi ms sincero reconocimiento a Ms. Alice Dwor- kin,
Associate Editor, Mr. Scout Disanno, Seor Managing Editor, y a
todas las personas que han estado involucradas en este proyecto,
por la rapidez y el excelente trabajo de produccin de este libro.
Katsuhiko Ogata x Prlogo
- 12. Introduccin a los sistemas de control 1-1 Introduccin Las
teoras de control que se utilizan habitualmente son la teora de
control clsica (tambin denominada teora de control convencional),
la teora de control moderno y la teora de control robusto. Este
libro presenta el tratamiento del anlisis y diseo de sistemas de
control basado en la teora de control clsica y teora de control
moderno. En el Captulo 10 se incluye una breve introduccin a la
teora de control robusto. El control automtico ha desempeado un
papel vital en el avance de la ingeniera y la cien- cia. El control
automtico se ha convertido en una parte importante e integral en
los sistemas de vehculos espaciales, en los sistemas robticos, en
los procesos modernos de fabricacin y en cualquier operacin
industrial que requiera el control de temperatura, presin, humedad,
flujo, etc. Es deseable que la mayora de los ingenieros y
cientficos estn familiarizados con la teora y la prctica del
control automtico. Este libro pretende ser un texto en sistemas de
control para un nivel avanzado en el bachille- rato o en la
universidad. Todos los materiales necesarios se incluyen en el
libro. La matemtica relacionada con las transformadas de Laplace y
el anlisis vectorial y matricial se presentan en apndices
separados. Breve revisin de los desarrollos histricos de la teora y
prctica del con- trol. El primer trabajo significativo en control
automtico fue el regulador de velocidad centr- fugo de James Watt
para el control de la velocidad de una mquina de vapor, en el siglo
diecio- cho. Minorsky, Hazen y Nyquist, entre muchos otros,
aportaron trabajos importantes en las
- 13. etapas iniciales del desarrollo de la teora de control. En
1922, Minorsky trabaj en controladores automticos para el guiado de
embarcaciones, y mostr que la estabilidad puede determinarse a
partir de las ecuaciones diferenciales que describen el sistema. En
1932, Nyquist dise un pro- cedimiento relativamente simple para
determinar la estabilidad de sistemas en lazo cerrado, a partir de
la respuesta en lazo abierto a entradas sinusoidales en estado
estacionario. En 1934, Hazen, quien introdujo el trmino
servomecanismos para los sistemas de control de posicin, analiz el
diseo de los servomecanismos con rel, capaces de seguir con
precisin una entrada cambiante. Durante la dcada de los cuarenta,
los mtodos de la respuesta en frecuencia (especialmente los
diagramas de Bode) hicieron posible que los ingenieros disearan
sistemas de control lineales en lazo cerrado que cumplieran los
requisitos de comportamiento. En los aos cuarenta y cin- cuenta
muchos sistemas de control industrial utilizaban controladores PID
para el control de la presin, de la temperatura, etc. A comienzos
de la dcada de los cuarenta Ziegler y Nichols esta- blecieron
reglas para sintonizar controladores PID, las denominadas reglas de
sintona de Zie- gler-Nichols. A finales de los aos cuarenta y
principios de los cincuenta, se desarroll por com- pleto el mtodo
del lugar de las races propuesto por Evans. Los mtodos de respuesta
en frecuencia y del lugar de las races, que forman el ncleo de la
teora de control clsica, conducen a sistemas estables que
satisfacen un conjunto ms o menos arbitrario de requisitos de
comportamiento. En general, estos sistemas son aceptables pero no
ptimos desde ningn punto de vista. Desde el final de la dcada de
los cincuenta, el nfasis en los problemas de diseo de control se ha
desplazado del diseo de uno de los posibles sistemas que funciona
adecuadamente al diseo de un sistema ptimo respecto de algn
criterio. Conforme las plantas modernas con muchas entradas y
salidas se vuelven ms y ms comple- jas, la descripcin de un sistema
de control moderno requiere una gran cantidad de ecuaciones. La
teora de control clsica, que trata de los sistemas con una entrada
y una salida, pierde su potencialidad cuando se trabaja con
sistemas con entradas y salidas mltiples. Hacia 1960, debi- do a la
disponibilidad de las computadoras digitales fue posible el anlisis
en el dominio del tiempo de sistemas complejos. La teora de control
moderna, basada en el anlisis en el dominio del tiempo y la sntesis
a partir de variables de estados, se ha desarrollado para manejar
la cre- ciente complejidad de las plantas modernas y los requisitos
cada vez ms exigentes sobre preci- sin, peso y coste en
aplicaciones militares, espaciales e industriales. Durante los aos
comprendidos entre 1960 y 1980, se investig a fondo el control
ptimo tanto de sistemas determinsticos como estocsticos, as como el
control adaptativo y con apren- dizaje de sistemas complejos. Desde
la dcada de los ochenta hasta la de los noventa, los avances en la
teora de control moderna se centraron en el control robusto y temas
relacionados. La teora de control moderna se basa en el anlisis en
el dominio temporal de los sistemas de ecuaciones diferenciales. La
teora de control moderna simplific el diseo de los sistemas de
control porque se basa en un modelo del sistema real que se quiere
controlar. Sin embargo, la estabilidad del sistema depende del
error entre el sistema real y su modelo. Esto significa que cuando
el controlador diseado basado en un modelo se aplica al sistema
real, ste puede no ser estable. Para evitar esta situacin, se disea
el sistema de control definiendo en primer lugar el rango de
posibles errores y despus diseando el controlador de forma que, si
el error del sistema est en dicho rango, el sistema de control
diseado permanezca estable. El mtodo de diseo basado en este
principio se denomina teora de control robusto. Esta teora
incorpora tanto la aproximacin de respuesta en frecuencia como la
del dominio temporal. Esta teora es matemti- camente muy compleja.
2 Ingeniera de control moderna
- 14. Como esta teora requiere una base matemtica de nivel de
licenciados, la inclusin de la teora de control robusto en este
libro est limitada nicamente a aspectos introductorios. El lec- tor
interesado en detalles sobre la teora de control robusto debera
cursar previamente un curso de control de una licenciatura en una
universidad. Definiciones. Antes de analizar los sistemas de
control, deben definirse ciertos trminos bsicos. Variable
controlada y seal de control o variable manipulada. La variable
controlada es la cantidad o condicin que se mide y controla. La
seal de control o variable manipulada es la cantidad o condicin que
el controlador modifica para afectar el valor de la variable
controlada. Normalmente, la variable controlada es la salida del
sistema. Controlar significa medir el valor de la variable
controlada del sistema y aplicar la variable manipulada al sistema
para corregir o limitar la desviacin del valor medido respecto del
valor deseado. En el estudio de la ingeniera de control, es
necesario definir trminos adicionales que se precisan para
describir los sistemas de control. Plantas. Una planta puede ser
una parte de un equipo, tal vez un conjunto de los elementos de una
mquina que funcionan juntos, y cuyo objetivo es efectuar una
operacin particular. En este libro se llamar planta a cualquier
objeto fsico que se va a controlar (como un dispositivo mecnico, un
horno de calefaccin, un reactor qumico o una nave espacial).
Procesos. El Diccionario Merriam-Webster define un proceso como una
operacin o un desarrollo natural progresivamente continuo, marcado
por una serie de cambios graduales que se suceden unos a otros de
una forma relativamente fija y que conducen a un resultado o pro-
psito determinados; o una operacin artificial o voluntaria que se
hace de forma progresiva y que consta de una serie de acciones o
movimientos controlados, sistemticamente dirigidos hacia un
resultado o propsito determinado. En este libro se llamar proceso a
cualquier opera- cin que se va a controlar. Algunos ejemplos son
los procesos qumicos, econmicos y biolgi- cos. Sistemas. Un sistema
es una combinacin de componentes que actan juntos y realizan un
objetivo determinado. Un sistema no est necesariamente limitado a
los sistemas fsicos. El con- cepto de sistema se puede aplicar a
fenmenos abstractos y dinmicos, como los que se encuen- tran en la
economa. Por tanto, la palabra sistema debe interpretarse en un
sentido amplio que comprenda sistemas fsicos, biolgicos, econmicos
y similares. Perturbaciones. Una perturbacin es una seal que tiende
a afectar negativamente el valor de la salida de un sistema. Si la
perturbacin se genera dentro del sistema se denomina interna,
mientras que una perturbacin externa se genera fuera del sistema y
es una entrada. Control realimentado. El control realimentado se
refiere a una operacin que, en presencia de perturbaciones, tiende
a reducir la diferencia entre la salida de un sistema y alguna
entrada de referencia, y lo realiza tomando en cuenta esta
diferencia. Aqu slo se especifican con este tr- mino las
perturbaciones impredecibles, ya que las perturbaciones predecibles
o conocidas siem- pre pueden compensarse dentro del sistema.
Captulo 1. Introduccin a los sistemas de control 3
- 15. 1-2 Ejemplos de sistemas de control En esta seccin se
presentarn algunos ejemplos de sistemas de control. Sistema de
control de velocidad. El principio bsico del regulador de velocidad
de Watt para una mquina se ilustra en el diagrama esquemtico de la
Figura 1-1. La cantidad de combustible que se admite en la mquina
se ajusta de acuerdo con la diferencia entre la veloci- dad de la
mquina que se pretende y la velocidad real. La secuencia de
acciones puede describirse del modo siguiente: el regulador de
velocidad se ajusta de modo que, a la velocidad deseada, no fluya
aceite a presin en ningn lado del cilindro de potencia. Si la
velocidad real cae por debajo del valor deseado debido a una
perturbacin, la disminucin de la fuerza centrfuga del regulador de
velocidad provoca que la vlvula de control se mueva hacia abajo,
aportando ms combustible, y la velocidad del motor aumenta hasta
alcan- zar el valor deseado. Por otra parte, si la velocidad del
motor aumenta por encima del valor de- seado, el incremento en la
fuerza centrfuga del regulador provoca que la vlvula de control se
mueva hacia arriba. Esto disminuye el suministro de combustible, y
la velocidad del motor se reduce hasta alcanzar el valor deseado.
En este sistema de control de velocidad, la planta (el sistema
controlado) es la mquina y la variable controlada es la velocidad
de la misma. La diferencia entre la velocidad deseada y la
velocidad real es la seal de error. La seal de control (la cantidad
de combustible) que se va a aplicar a la planta (la mquina) es la
seal de actuacin. La entrada externa que se aplica para alterar la
variable controlada es la perturbacin. Un cambio inesperado en la
carga es una pertur- bacin. Sistema de control de temperatura. La
Figura 1-2 muestra un diagrama esquemtico del control de
temperatura de un horno elctrico. La temperatura del horno elctrico
se mide mediante un termmetro, que es un dispositivo analgico. La
temperatura analgica se convierte a una temperatura digital
mediante un convertidor A/D. La temperatura digital se introduce en
un controlador mediante una interfaz. Esta temperatura digital se
compara con la temperatura de entrada programada, y si hay una
discrepancia (error) el controlador enva una seal al Figura 1-1.
Sistema de control de velocidad. 4 Ingeniera de control
moderna
- 16. Figura 1-2. Sistema de control de temperatura. calefactor,
a travs de una interfaz, amplificador y rel, para hacer que la
temperatura del horno adquiera el valor deseado. Sistemas
empresariales. Un sistema empresarial est formado por muchos
grupos. Ca- da tarea asignada a un grupo representar un elemento
dinmico del sistema. Para la correcta operacin de este sistema
deben establecerse mtodos de realimentacin para informar de los
logros de cada grupo. El acoplamiento cruzado entre los grupos
funcionales debe reducirse a un mnimo para evitar retardos de
tiempo que no son deseables en el sistema. Cuanto ms pequeo sea
dicho acoplamiento, ms regular ser el flujo de seales y materiales
de trabajo. Un sistema empresarial es un sistema en lazo cerrado.
Un buen diseo del mismo reducir el control administrativo
requerido. Obsrvese que las perturbaciones en este sistema son la
falta de personal o de materiales, la interrupcin de las
comunicaciones, los errores huma- nos, etc. El establecimiento de
un buen sistema de estimacin, basado en estadsticas, es
imprescindi- ble para lograr una administracin adecuada. Obsrvese
que es un hecho bien conocido que el comportamiento de tal sistema
puede mejorar mediante el uso de tiempo de previsin o anticipa-
cin. Con el propsito de aplicar la teora de control para mejorar el
comportamiento de este siste- ma, se debe representar la
caracterstica dinmica de los grupos componentes del sistema me-
diante un conjunto de ecuaciones relativamente simples. Aunque es
ciertamente un problema difcil obtener representaciones matemticas
de los gru- pos componentes, la aplicacin de tcnicas de optimizacin
a los sistemas empresariales mejora significativamente el
comportamiento de tales sistemas. Considrese, como ejemplo, una
estructura organizativa en ingeniera que est constituida por una
serie de grupos tales como gestin, investigacin y desarrollo, diseo
preliminar, experi- mentos, diseo de producto y delineacin,
fabricacin y ensamblaje y verificacin. Estos grupos se
interconectan para constituir el sistema completo. Tal sistema se
puede analizar reducindolo al conjunto ms elemental de componentes
nece- sarios que proporciona los detalles analticos requeridos y
representando las caractersticas din- micas de cada componente
mediante un conjunto de ecuaciones simples. (El comportamiento
dinmico de este sistema se puede determinar a partir de la relacin
entre los resultados progresi- vos y el tiempo.) Se puede dibujar
un diagrama de bloque funcional utilizando bloques para representar
las actividades funcionales e interconectar lneas de seal para
representar la salida de informacin Captulo 1. Introduccin a los
sistemas de control 5
- 17. Figura 1-3. Diagrama de bloques de un sistema de
organizacin en ingeniera. o producto de la operacin del sistema. En
la Figura 1-3 se muestra un posible diagrama de bloque. Sistema de
control robusto. El primer paso para el diseo de un sistema de
control es la obtencin del modelo matemtico de la planta u objeto
de control. En realidad, cualquier mo- delo de una planta que se
quiere controlar incluir un error debido al proceso de modelado.
Esto es, la planta real difiere del modelo que se va a utilizar en
el diseo del sistema de control. Una aproximacin razonable para
asegurar que el controlador diseado basado en un modelo funcionar
adecuadamente cuando se utilice con la planta real, consiste en
asumir desde el comienzo que existe una incertidumbre o error entre
la planta real y su modelo matemtico e incluir dicha incertidumbre
o error en el proceso de diseo del sistema de control. El sistema
de control diseado basado en esta aproximacin se denomina sistema
de control robusto. Si se supone que la planta real que se desea
controlar es G3 (s) y que el modelo matemtico de la planta real es
G(s), esto es G3 (s) % modelo de la planta real que tiene una
incertidumbre B(s) G(s) % modelo de la planta nominal que se va a
utilizar en el diseo del sistema de control G3 (s) y G(s) pueden
estar relacionados por un factor multiplicativo del tipo G3 (s) %
G(s)[1 ! B(s)] o por un factor aditivo G3 (s) % G(s) ! B(s) o de
otras formas. Puesto que no se conoce la descripcin exacta de la
incertidumbre o error B(s), se utiliza una estimacin de B(s) y en
el diseo del controlador se emplea esta estimacin, W(s). W(s) es
una funcin de transferencia escalar del tipo 88B(s)88 a 88W(s)88 %
max 0mum 8W(ju)8 donde 88W(s)88 es el mximo valor de 8W(ju)8 para 0
m u m y se denomina norma H infinito de W(s). Si se utiliza el
teorema de la pequea ganancia, el proceso de diseo conlleva la
determina- cin del controlador K(s) que satisfaga la desigualdad,
GG W(s) 1 ! K(s)G(s)GG a 1 6 Ingeniera de control moderna
- 18. donde G(s) es la funcin de transferencia del modelo
utilizada en el proceso de diseo, K(s) es la funcin de
transferencia del controlador y W(s) se escoge como una funcin de
transferencia que aproxima B(s). En la mayora de los casos
prcticos, se debe satisfacer ms de una desigualdad dependientes de
G(s), K(s) y W(s). Por ejemplo, para garantizar la estabilidad
robusta y el com- portamiento robusto se requiere que se satisfagan
las dos desigualdades siguientes GG Wm(s)K(s)G(s) 1 ! K(s)G(s) GG a
1 para estabilidad robusta GG Ws(s) 1 ! K(s)G(s) GG a 1 para
comportamiento robusto (En la Seccin 10-9 se deducirn estas
desigualdades). Hay muchas desigualdades de este tipo que se tienen
que satisfacer en muchos sistemas diferentes de control robusto.
(Estabilidad ro- busta significa que el controlador K(s) garantiza
la estabilidad interna de todos los sistemas que pertenecen a un
grupo de sistemas que representan el sistema de la planta real.
Comportamiento robusto significa que el comportamiento especificado
se satisface para todos los sistemas que pertenecen a este grupo).
En este libro se supone que se conocen con precisin todas las
plantas de los sistemas de control que se presentan, excepto las
plantas que se discuten en la Seccin 10-9, en la que se presentan
aspectos introductorios de la teora de control robusto. 1-3 Control
en lazo cerrado en comparacin con control en lazo abierto Sistemas
de control realimentados. Un sistema que mantiene una relacin
determi- nada entre la salida y la entrada de referencia,
comparndolas y usando la diferencia como medio de control, se
denomina sistema de control realimentado. Un ejemplo sera el
sistema de control de temperatura de una habitacin. Midiendo la
temperatura real y comparndola con la tempera- tura de referencia
(temperatura deseada), el termostato activa o desactiva el equipo
de calefac- cin o de enfriamiento para asegurar que la temperatura
de la habitacin se mantiene en un nivel confortable
independientemente de las condiciones externas. Los sistemas de
control realimentados no se limitan a la ingeniera, sino que tambin
se en- cuentran en diversos campos ajenos a ella. Por ejemplo, el
cuerpo humano es un sistema de con- trol realimentado muy avanzado.
Tanto la temperatura corporal como la presin sangunea se conservan
constantes mediante una realimentacin fisiolgica. De hecho, la
realimentacin reali- za una funcin vital: hace que el cuerpo humano
sea relativamente insensible a las perturbacio- nes externas,
permitiendo que funcione de forma adecuada en un entorno cambiante.
Sistemas de control en lazo cerrado. Los sistemas de control
realimentados se deno- minan tambin sistemas de control en lazo
cerrado. En la prctica, los trminos control reali- mentado y
control en lazo cerrado se usan indistintamente. En un sistema de
control en lazo cerrado, se alimenta al controlador la seal de
error de actuacin, que es la diferencia entre la seal de entrada y
la seal de realimentacin (que puede ser la propia seal de salida o
una fun- cin de la seal de salida y sus derivadas y/o integrales),
con el fin de reducir el error y llevar la salida del sistema a un
valor deseado. El trmino control en lazo cerrado siempre implica el
uso de una accin de control realimentado para reducir el error del
sistema. Captulo 1. Introduccin a los sistemas de control 7
- 19. Sistemas de control en lazo abierto. Los sistemas en los
cuales la salida no tiene efecto sobre la accin de control se
denominan sistemas de control en lazo abierto. En otras palabras,
en un sistema de control en lazo abierto no se mide la salida ni se
realimenta para compararla con la entrada. Un ejemplo prctico es
una lavadora. El remojo, el lavado y el centri- fugado en la
lavadora operan con una base de tiempo. La mquina no mide la seal
de salida, que es la limpieza de la ropa. En cualquier sistema de
control en lazo abierto, la salida no se compara con la entrada de
referencia. As, a cada entrada de referencia le corresponde una
condicin de operacin fija; co- mo resultado de ello, la precisin
del sistema depende de la calibracin. Ante la presencia de
perturbaciones, un sistema de control en lazo abierto no realiza la
tarea deseada. En la prctica, el control en lazo abierto slo se usa
si se conoce la relacin entre la entrada y la salida y si no hay
perturbaciones internas ni externas. Es evidente que estos sistemas
no son de control reali- mentado. Obsrvese que cualquier sistema de
control que opere con una base de tiempo est en lazo abierto. Por
ejemplo, el control de trfico mediante seales operadas con una base
de tiempo es otro ejemplo de control en lazo abierto. Sistemas de
control en lazo cerrado en comparacin con sistemas en lazo abierto.
Una ventaja del sistema de control en lazo cerrado es que el uso de
la realimentacin vuelve la respuesta del sistema relativamente
insensible a las perturbaciones externas y a las va- riaciones
internas en los parmetros del sistema. Es as posible usar
componentes relativamente poco precisos y baratos para obtener el
control adecuado de una planta determinada, mientras que hacer eso
es imposible en el caso de un sistema en lazo abierto. Desde el
punto de vista de estabilidad, el sistema de control en lazo
abierto es ms fcil de desarrollar, porque la estabilidad del
sistema no es un problema importante. Por otra parte, la
estabilidad es un gran problema en el sistema de control en lazo
cerrado, que puede conducir a corregir en exceso errores que
producen oscilaciones de amplitud constante o cambiante. Debe
sealarse que, para los sistemas en los que se conocen con
anticipacin las entradas y en los cuales no hay perturbaciones, es
aconsejable emplear un control en lazo abierto. Los siste- mas de
control en lazo cerrado slo tienen ventajas cuando se presentan
perturbaciones y/o varia- ciones impredecibles en los componentes
del sistema. Obsrvese que la potencia nominal de sali- da determina
en forma parcial el coste, peso y tamao de un sistema de control.
El nmero de componentes usados en un sistema de control en lazo
cerrado es mayor que el que se emplea para un sistema de control
equivalente en lazo abierto. Por tanto, el sistema de control en
lazo cerrado suele tener costes y potencias ms grandes. Para
disminuir la potencia requerida de un sistema, se emplea un control
en lazo abierto siempre que pueda aplicarse. Por lo general, una
combinacin adecuada de controles en lazo abierto y en lazo cerrado
es menos costosa y ofrecer un comportamiento satisfactorio del
sistema global. La mayora de los anlisis y diseos de sistemas de
control presentados en este libro son sistemas de control en lazo
cerrado. En ciertas circunstancias (por ejemplo, si no hay
perturba- ciones o la salida es difcil de medir) pueden ser
deseables los sistemas de control en lazo abier- to. Por tanto, es
conveniente resumir las ventajas y desventajas de utilizar sistemas
de control en lazo abierto. Las ventajas fundamentales de los
sistemas de control en lazo abierto son las siguientes: 1.
Construccin simple y facilidad de mantenimiento. 2. Menos costosos
que el correspondiente sistema en lazo cerrado. 3. No hay problemas
de estabilidad. 8 Ingeniera de control moderna
- 20. 4. Convenientes cuando la salida es difcil de medir o
cuando medir la salida de manera precisa no es econmicamente
viable. (Por ejemplo, en el caso de la lavadora, sera bas- tante
costoso proporcionar un dispositivo para medir la calidad de la
salida de la lavado- ra, es decir, la limpieza de la ropa lavada.)
Las desventajas fundamentales de los sistemas de control en lazo
abierto son las siguientes: 1. Las perturbaciones y los cambios en
la calibracin originan errores, y la salida puede ser diferente de
lo que se desea. 2. Para mantener la calidad requerida en la
salida, es necesaria la recalibracin de vez en cuando. 1-4 Diseo y
compensacin de sistemas de control Este libro presenta aspectos
bsicos del diseo y compensacin de los sistemas de control. La
compensacin es la modificacin de la dinmica del sistema para que se
satisfagan unas especifi- caciones determinadas. Las aproximaciones
al diseo de sistemas de control y compensacin que se presentan en
este libro son la aproximacin mediante el lugar de las races, la
respuesta en frecuencia y la aproximacin en el espacio de estados.
El diseo de sistemas de control utilizan- do estos mtodos se
presenta en los Captulos 6, 7, 9 y 10. El diseo de sistemas de
control basado en compensadores PID se presenta en el Captulo 8. En
el diseo real de un sistema de control, el que se utilice un
compensador electrnico, neumtico o hidrulico debe decidirse en
parte en funcin de la naturaleza de la planta que se controla. Por
ejemplo, si la planta que se controla contiene fluidos inflamables,
debe optarse por los componentes neumticos (tanto un compensador
como un actuador) para eliminar la posibili- dad de que salten
chispas. Sin embargo, si no existe el riesgo de incendio, los que
se usan con mayor frecuencia son los compensadores electrnicos. (De
hecho, es comn transformar las se- ales no elctricas en seales
elctricas, debido a la sencillez de la transmisin, mayor precisin,
mayor fiabilidad, una mayor facilidad en la compensacin, etctera.)
Especificaciones de comportamiento. Los sistemas de control se
disean para reali- zar tareas especficas. Los requisitos impuestos
sobre el sistema de control se dan como especifi- caciones de
comportamiento. Las especificaciones pueden venir dadas como
requisitos en la res- puesta transitoria (como, por ejemplo, la
mxima sobreelongacin y el tiempo de asentamiento en la respuesta a
un escaln) y requisitos en el estado estacionario (como, por
ejemplo, el error en estado estacionario frente a una entrada tipo
rampa). Las especificaciones de un sistema de control se deben dar
antes de que comience el proceso de diseo. Para problemas de diseo
rutinarios, las especificaciones de comportamiento (las cuales
rela- cionan la precisin, la estabilidad relativa y la velocidad de
respuesta) se proporcionan en trmi- nos de valores numricos
precisos. En otros casos, se ofrecen una parte en trminos de
valores numricos precisos y otra parte en trminos de planteamientos
cualitativos. En este ltimo caso, puede ser necesario modificar las
especificaciones durante el proceso del diseo, ya que es posi- ble
que las especificaciones dadas nunca se cumplan (debido a que los
requisitos producen con- flictos) o conduzcan a un sistema muy
costoso. Por lo general, las especificaciones de comportamiento no
deben ser ms restrictivas de lo necesario para realizar la tarea
definida. Si la precisin de una operacin en estado estable es de
vital importancia para un sistema de control, no se deben pedir
especificaciones de compor- tamiento ms restrictivas de lo
necesario sobre la respuesta transitoria, ya que tales especifica-
Captulo 1. Introduccin a los sistemas de control 9
- 21. ciones requerirn componentes costosos. Recurdese que la
parte ms importante del diseo de un sistema de control es la
precisin en el planteamiento de las especificaciones de comporta-
miento con el fin de obtener un sistema de control ptimo para el
propsito deseado. Compensacin del sistema. Establecer la ganancia
es el primer paso para llevar al sis- tema a un comportamiento
satisfactorio. Sin embargo, en muchos casos prcticos, ajustando ni-
camente la ganancia tal vez no proporcione la alteracin suficiente
en el comportamiento del sistema para cumplir las especificaciones
dadas. Como ocurre con frecuencia, incrementar el va- lor de la
ganancia mejora el comportamiento en estado estacionario pero
produce una estabilidad deficiente o, incluso, inestabilidad. En
este caso, es necesario volver a disear el sistema (modifi- cando
la estructura o incorporando dispositivos o componentes
adicionales) para alterar el com- portamiento general, de modo que
el sistema se comporte como se desea. Este nuevo diseo o adicin de
un dispositivo apropiado se denomina compensacin. Un elemento
insertado en el sistema para satisfacer las especificaciones se
denomina compensador. El compensador modifica el comportamiento
deficiente del sistema original. Procedimientos de diseo. En la
aproximacin de prueba y error para el diseo de un sistema, se parte
de un modelo matemtico del sistema de control y se ajustan los
parmetros de un compensador. La parte de este proceso que requiere
ms tiempo es la verificacin del com- portamiento del sistema
mediante un anlisis, despues de cada ajuste de los parmetros. El
dise- ador debe utilizar un programa para computador como MATLAB
para evitar gran parte del clculo numrico que se necesita para esta
verificacin. Una vez obtenido un modelo matemtico satisfactorio, el
diseador debe construir un prototi- po y probar el sistema en lazo
abierto. Si se asegura la estabilidad absoluta en lazo abierto, el
diseador cierra el lazo y prueba el comportamiento del sistema en
lazo cerrado. Debido a los efectos de carga no considerados entre
los componentes, la falta de linealidad, los parmetros
distribuidos, etc., que no se han tenido en cuenta en el diseo
original, es probable que el com- portamiento real del prototipo
del sistema difiera de las predicciones tericas. Por tanto, tal vez
el primer diseo no satisfaga todos los requisitos de
comportamiento. Mediante el mtodo de prueba y error, el diseador
debe cambiar el prototipo hasta que el sistema cumpla las
especifica- ciones. Debe analizar cada prueba e incorporar los
resultados de este anlisis en la prueba si- guiente. El diseador
debe conseguir que el sistema final cumpla las especificaciones de
compor- tamiento y, al mismo tiempo, sea fiable y econmico. 1-5
Contenido del libro El libro est organizado en 10 captulos. A
continuacin se describe brevemente el contenido de cada captulo. El
Captulo 1 presenta una introduccin al libro. En el Captulo 2 se
aborda el modelado matemtico de sistemas de control descritos
median- te ecuaciones diferenciales lineales. Concretamente, se
presentan las funciones de transferencia y las ecuaciones
diferenciales que describen a los sistemas. Tambin se analizan las
ecuaciones en el espacio de estados. Se utiliza MATLAB para
transformar modelos matemticos descritos me- diante funciones de
transferencia al espacio de estados y viceversa. Este libro trata
los sistemas lineales en detalle. Si el modelo matemtico de
cualquier sistema es no lineal, necesita ser linea- lizado antes de
poder aplicar las teoras que se presentan en este libro. En este
captulo se incluye una tcnica para linealizar modelos matemticos no
lineales. 10 Ingeniera de control moderna
- 22. El Captulo 3 aborda el modelado matemtico de sistemas
mecnicos y sistemas elctricos que aparecen frecuentemente en los
sistemas de control. El Captulo 4 trata el modelado matemtico de
sistemas de fluidos y sistemas trmicos, que son usuales en los
sistemas de control. Los sistemas de fluidos incluyen sistemas de
nivel de lquidos, sistemas neumticos y sistemas hidrulicos. Adems
en este captulo se presentan los sistemas trmicos tal como los
sistemas de control de temperatura. El Captulo 5 presenta el
anlisis de la respuesta transitoria de la respuesta en estado
estacio- nario de los sistemas de control definidos mediante
funciones de transferencia. Se proporcionan tambin detalles de los
anlisis de la respuesta transitoria y de la respuesta en estado
estacio- nario con MATLAB. Adems se presenta cmo obtener diagramas
tridimensionales con MATLAB. Asimismo, en este captulo se presenta
el anlisis de estabilidad basado en el criterio de estabilidad de
Routh y se analiza brevemente el criterio de estabilidad de
Hurwitz. El Captulo 6 expone un anlisis del lugar de las races de
los sistemas de control. Se trata de un mtodo grfico para
determinar las localizaciones de todos los polos en lazo cerrado a
partir del conocimiento de las posiciones de los polos en lazo
abierto y de los ceros del sistema en lazo cerrado cuando un
parmetro (normalmente la ganancia) vara desde cero hasta infinito.
Este mtodo fue desarrollado por W. R. Evans en las inmediaciones de
1950. En la actualidad MATLAB permite obtener la grfica del lugar
de las races de forma sencilla y rpida. Este cap- tulo presenta
tanto la obtencin manual del lugar de las races como la generacin
del lugar utili- zando MATLAB. Tambin se aborda en este captulo el
diseo de sistemas de control utilizando compensadores de adelanto,
de atraso y de adelanto-atraso. El Captulo 7 presenta el mtodo de
anlisis de la respuesta en frecuencia de los sistemas de control.
Este es el mtodo ms antiguo de anlisis y diseo de sistemas de
control y lo desarrolla- ron durante los aos 1940-1950 Nyquist,
Bode, Nichols y Hazen entre otros. Este captulo pre- senta detalles
de la respuesta en frecuencia de los sistemas de control utilizando
la tcnica de compensadores de adelanto, la tcnica de compensadores
de atraso y la de adelanto-atraso. El mtodo de respuesta en
frecuencia era el mtodo de anlisis y diseo comnmente utilizado has-
ta que el mtodo en el espacio de estados se convirti en el ms
popular. Sin embargo, desde que el mtodo de diseo de control
robusto H infinito ha ganado en popularidad, la respuesta en fre-
cuencia vuelve a estar de moda. El Captulo 8 trata los controles
PID bsicos y modificados tales como los controladores PID con
varios grados de libertad. El controlador PID tiene tres parmetros:
ganancia proporcional, ga- nancia integral y ganancia derivativa.
En los sistemas de control industriales ms de la mitad de los
controladores empleados son controladores PID. El comportamiento de
los controladores PID de- pende de las magnitudes relativas de
estos tres parmetros. La determinacin de las magnitudes relativas
de estos tres parmetros se denomina sintona de los controladores
PID. Ziegler y Nichols propusieron las denominadas reglas de
sintona de Ziegler-Nichols a co- mienzos de 1942. Desde entonces se
han propuesto numerosas reglas de sintona. Hoy en da la fabricacin
de controladores PID tiene sus propias reglas de sintona. En este
captulo se presenta un procedimiento de optimizacin para
computadora utilizando MATLAB para determinar los tres parmetros de
forma que se satisfagan las caractersticas de una respuesta
transitoria dada. Este procedimiento se puede extender para
determinar los tres parmetros de forma que se satis- faga cualquier
caracterstica dada. El Captulo 9 presenta el material bsico para el
anlisis de las ecuaciones de estados. Se analizan completamente los
conceptos de controlabilidad y observabilidad, los conceptos ms
importantes de la teora de control moderno, debidos a Kalman. En
este captulo se deriva la solucin de las ecuaciones de estado.
Captulo 1. Introduccin a los sistemas de control 11
- 23. El Captulo 10 trata el diseo de sistemas de control en el
espacio de estados. Este captulo comienza con problemas de
asignacin de polos y los observadores de estados. En la ingeniera
de control con frecuencia es deseable fijar un ndice de
comportamiento y tratar de minimizarlo (o maximizarlo, si es el
caso). Si ese ndice de comportamiento seleccionado tiene un
significado fsico claro entonces este mtodo es bastante til para
determinar la variable de control ptima. Este captulo presenta el
problema del control ptimo cuadrtico en el que se utiliza un ndice
de comportamiento que es una integral de una funcin cuadrtica de
las variables de estado y de la variable control. La integral se
evala desde t % 0 hasta t % . Este captulo finaliza con una breve
discusin sobre los sistemas de control robusto. 12 Ingeniera de
control moderna
- 24. Modelado matemtico de sistemas de control 2-1 Introduccin
Al estudiar los sistemas de control, el lector debe ser capaz de
modelar sistemas dinmicos y analizar las caractersticas dinmicas.
Un modelo matemtico de un sistema dinmico se define como un
conjunto de ecuaciones que representan la dinmica del sistema con
precisin o, al menos, bastante bien. Tngase presente que un modelo
matemtico no es nico para un sistema determinado. Un sistema puede
representarse de muchas formas diferentes, por lo que puede te- ner
muchos modelos matemticos, dependiendo de cada perspectiva. La
dinmica de muchos sistemas, ya sean mecnicos, elctricos, trmicos,
econmicos, bio- lgicos, etc., se describe en trminos de ecuaciones
diferenciales. Dichas ecuaciones diferencia- les se obtienen a
partir de leyes fsicas que gobiernan un sistema determinado como
las leyes de Newton para sistemas mecnicos y las leyes de Kirchhoff
para sistemas elctricos. Se debe siempre recordar que obtener un
modelo matemtico razonable es la parte ms importante de todo el
anlisis. A lo largo de este libro se supone que el principio de
causalidad se aplica a los sistemas que se consideren. Esto
significa que la salida actual del sistema (la salida en t % 0)
depende de las entradas pasadas (entradas en t a 0) pero no depende
de las entradas futuras (entradas para tb0). Modelos matemticos.
Los modelos matemticos pueden adoptar muchas formas dis- tintas.
Dependiendo del sistema del que se trate y de las circunstancias
especficas, un modelo matemtico puede ser ms conveniente que otros.
Por ejemplo, en problemas de control ptimo, es provechoso usar
representaciones en el espacio de estados. En cambio, para los
anlisis de la
- 25. respuesta transitoria o de la respuesta en frecuencia de
sistemas lineales con una entrada y una salida invariantes en el
tiempo, la representacin mediante la funcin de transferencia pue-
de ser ms conveniente que cualquier otra. Una vez obtenido un
modelo matemtico de un sistema, se usan diversos recursos
analticos, as como computadoras para estudiarlo y sinteti- zarlo.
Simplicidad contra precisin. Al obtener un modelo matemtico se debe
establecer un compromiso entre la simplicidad del mismo y la
precisin de los resultados del anlisis. Al obte- ner un modelo
matemtico razonablemente simplificado, a menudo resulta necesario
ignorar ciertas propiedades fsicas inherentes al sistema. En
particular, si se pretende obtener un mode- lo matemtico de
parmetros concentrados lineal (es decir, uno en el que se empleen
ecuacio- nes diferenciales), siempre es necesario ignorar ciertas
no linealidades y parmetros distribui- dos que pueden estar
presentes en el sistema dinmico. Si los efectos que estas
propiedades ignoradas tienen sobre la respuesta son pequeos, se
obtendr un buen acuerdo entre los resul- tados del anlisis de un
modelo matemtico y los resultados del estudio experimental del
siste- ma fsico. En general, cuando se resuelve un problema nuevo,
es conveniente desarrollar primero un modelo simplificado para
obtener una idea general de la solucin. A continuacin se desarrolla
un modelo matemtico ms completo y se usa para un anlisis con ms
pormenores. Se debe ser consciente de que un modelo de parmetros
concentrados lineal, que puede ser vlido si opera en baja
frecuencia, tal vez no sea vlido en frecuencias suficientemente
altas, debido a que la propiedad no considerada de los parmetros
distribuidos puede convertirse en un factor importante en el
comportamiento dinmico del sistema. Por ejemplo, la masa de un
resorte puede pasarse por alto en operaciones en baja frecuencia,
pero se convierte en una propiedad importante del sistema en altas
frecuencias. (Para el caso en el que el modelo matemtico tiene en
cuenta consideraciones de errores, se puede aplicar la teora de
control robusto. La teora de control robusto se presenta en el
Captulo 10) Sistemas lineales. Un sistema se denomina lineal si se
aplica el principio de superposi- cin. Este principio establece que
la respuesta producida por la aplicacin simultnea de dos funciones
de entradas diferentes es la suma de las dos respuestas
individuales. Por tanto, para el sistema lineal, la respuesta a
varias entradas se calcula tratando una entrada cada vez y sumando
los resultados. Este principio permite desarrollar soluciones
complicadas para la ecuacin dife- rencial lineal a partir de
soluciones simples. Si en una investigacin experimental de un
sistema dinmico son proporcionales la causa y el efecto, lo cual
implica que se aplica el principio de superposicin, el sistema se
considera lineal. Sistemas lineales invariantes y variantes en el
tiempo. Una ecuacin diferencial es lineal si sus coeficientes son
constantes o son funciones slo de la variable independiente. Los
sistemas dinmicos formados por componentes de parmetros
concentrados lineales invariantes con el tiempo se describen
mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo
de coeficientes constantes. Tales sistemas se denominan sistemas
lineales invariantes en el tiempo (o lineales de coeficientes
constantes). Los sistemas que se representan mediante ecua- ciones
diferenciales cuyos coeficientes son funciones del tiempo, se
denominan sistemas lineales variantes en el tiempo. Un ejemplo de
un sistema de control variante en el tiempo es un sistema de
control de naves espaciales. (La masa de una nave espacial cambia
debido al consumo de combustible.) 14 Ingeniera de control
moderna
- 26. Contenido del captulo. En la Seccin 2-1 se ha presentado
una introduccin al modela- do matemtico de sistemas dinmicos. La
Seccin 2-2 presenta la funcin de transferencia y la
respuesta-impulso. La Seccin 2-3 introduce los sistemas de control
automtico y la Seccin 2-4 analiza conceptos del modelado en el
espacio de estados. La Seccin 2-5 presenta una represen- tacin en
el espacio de estados de sistemas dinmicos. La Seccin 2-6 trata la
transformacin de modelos matemticos con MATLAB. Por ltimo, la
Seccin 2-7 analiza la linealizacin de mo- delos matemticos no
lineales. 2-2 Funcin de transferencia y de respuesta-impulso En la
teora de control, a menudo se usan las funciones de transferencia
para caracterizar las relaciones de entrada-salida de componentes o
de sistemas que se describen mediante ecuaciones diferenciales
lineales invariantes en el tiempo. Se comenzar por definir la
funcin de transferen- cia, para proseguir con el clculo de la
funcin de transferencia de un sistema de ecuaciones diferenciales.
A continuacin se analiza la funcin de respuesta-impulso. Funcin de
transferencia. La funcin de transferencia de un sistema descrito
mediante una ecuacin diferencial lineal e invariante en el tiempo
se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la
salida (funcin de respuesta) y la transformada de Laplace de la
entrada (funcin de excitacin) bajo la suposicin de que todas las
condiciones iniciales son cero. Considrese el sistema lineal e
invariante en el tiempo descrito mediante la siguiente ecua- cin
diferencial: a0 (n) y ! a1 y (n.1) ! ! an.1 y5 ! an y % b0 (m) x !
(m.1) b1x ! ! bm.1x5 ! bm x (n n m) donde y es la salida del
sistema y x es la entrada. La funcin de transferencia de este
sistema es el cociente de la transformada de Laplace de la salida y
la transformada de Laplace de la entrada cuando todas las
condiciones iniciales son cero, o Funcin de transferencia % G(s) %
[salida] [entrada] Gcondiciones iniciales cero % Y(s) X(s) % b0sm !
b1sm.1 ! ! bm.1s ! bm a0sn ! a1sn.1 ! ! an.1s ! an A partir del
concepto de funcin de transferencia, es posible representar la
dinmica de un sistema mediante ecuaciones algebraicas en s. Si la
potencia ms alta de s en el denominador de la funcin de
transferencia es igual a n, el sistema se denomina sistema de orden
n-simo. Comentarios acerca de la funcin de transferencia. La
aplicacin del concepto de funcin de transferencia est limitada a
los sistemas descritos mediante ecuaciones diferenciales lineales
invariantes en el tiempo; sin embargo, el enfoque de la funcin de
transferencia se usa extensamente en el anlisis y diseo de dichos
sistemas. A continuacin se presentan algunos comentarios
importantes relacionados con la funcin de transferencia. (Obsrvese
que en la lista, los sistemas a los que se hace referencia son
aquellos que se describen mediante una ecuacin diferencial lineal e
invariante en el tiempo.) Captulo 2. Modelado matemtico de sistemas
de control 15
- 27. 1. La funcin de transferencia de un sistema es un modelo
matemtico porque es un mto- do operacional para expresar la ecuacin
diferencial que relaciona la variable de salida con la variable de
entrada. 2. La funcin de transferencia es una propiedad de un
sistema, independiente de la magni- tud y naturaleza de la entrada
o funcin de excitacin. 3. La funcin de transferencia incluye las
unidades necesarias para relacionar la entrada con la salida; sin
embargo, no proporciona informacin acerca de la estructura fsica
del sistema. (Las funciones de transferencia de muchos sistemas
fsicamente diferentes pue- den ser idnticas.) 4. Si se conoce la
funcin de transferencia de un sistema, se estudia la salida o
respues- ta para varias formas de entrada, con la intencin de
comprender la naturaleza del sis- tema. 5. Si se desconoce la
funcin de transferencia de un sistema, puede establecerse
experimen- talmente introduciendo entradas conocidas y estudiando
la salida del sistema. Una vez establecida una funcin de
transferencia, proporciona una descripcin completa de las
caractersticas dinmicas del sistema, a diferencia de su descripcin
fsica. Integral de convolucin. Para un sistema lineal e invariante
en el tiempo, la funcin de transferencia G(s) es G(s) % Y(s) X(s)
donde X(s) es la transformada de Laplace de la entrada e Y(s) es la
transformada de Laplace de la salida, y se supone que todas las
condiciones iniciales involucradas son cero. De aqu se obtiene que
la salida Y(s) se escribe como el producto de G(s) y X(s), o bien
Y(s) % G(s)X(s) (2-1) Obsrvese que la multiplicacin en el dominio
complejo es equivalente a la convolucin en el dominio del tiempo
(vase Apndice A), por lo que la transformada inversa de Laplace de
la Ecuacin (2-1) se obtiene mediante la siguiente integral de
convolucin: y(t) % I t 0 x(q)g(t . q) dq % I t 0 g(q)x(t . q) dq
donde tanto g(t) como x(t) son 0 para t a 0. Respuesta-impulso.
Considrese la salida (respuesta) de un sistema para una entrada
impulso unitario cuando las condiciones iniciales son cero. Como la
transformada de Laplace de la funcin impulso unitario es la unidad,
la transformada de Laplace de la salida del sistema es Y(s) % G(s)
(2-2) 16 Ingeniera de control moderna
- 28. La transformada inversa de Laplace de la salida obtenida
mediante la Ecuacin (2-2) proporcio- na la respuesta-impulso del
sistema. La transformada inversa de Laplace de G(s), o bien .1
[G(s)] % g(t) se denomina respuesta-impulso. Esta respuesta g(t)
tambin se denomina funcin de ponderacin del sistema. De este modo,
la respuesta-impulso g(t) es la respuesta de un sistema lineal a
una entrada impulso unitario cuando las condiciones iniciales son
cero. La transformada de Laplace de esta funcin proporciona la
funcin de transferencia. Por tanto, la funcin de transferencia y la
res- puesta-impulso de un sistema lineal e invariante en el tiempo
contienen la misma informacin sobre la dinmica del sistema. Por lo
tanto es posible obtener informacin completa sobre las
caractersticas dinmicas del sistema si se excita el sistema con una
entrada impulso y se mide la respuesta. (En la prctica, una entrada
pulso con una duracin muy corta comparada con las constantes de
tiempo significativas del sistema se considera un impulso.) 2-3
Sistemas de control automticos Un sistema de control puede tener
varios componentes. Para mostrar las funciones de cada componente
en la ingeniera de control, por lo general se usa una representacin
denominada diagrama de bloques. En esta seccin, en primer lugar, se
explica qu es un diagrama de blo- ques. A continuacin se presentan
aspectos introductorios a los sistemas de control automtico, que
incluyen diversas acciones de control. Despus se expone un mtodo
para obtener los dia- gramas de bloques de sistemas fsicos y, por
ltimo, se analizan tcnicas para simplificar tales diagramas.
Diagramas de bloques. Un diagrama de bloques de un sistema es una
representacin grfica de las funciones que lleva a cabo cada
componente y el flujo de seales. Tales diagramas muestran las
relaciones existentes entre los diversos componentes. A diferencia
de una represen- tacin matemtica puramente abstracta, un diagrama
de bloques tiene la ventaja de indicar de forma ms realista el
flujo de las seales del sistema real. En un diagrama de bloques
todas las variables del sistema se enlazan unas con otras mediante
bloques funcionales. El bloque funcional o simplemente bloque es un
smbolo para representar la operacin matemtica que sobre la seal de
entrada hace el bloque para producir la salida. Las funciones de
transferencia de los componentes por lo general se introducen en
los bloques correspondientes, que se conectan mediante flechas para
indicar la direccin del flujo de seales. Obsrvese que la seal slo
puede pasar en la direccin de las flechas. Por tanto, un diagrama
de bloques de un sistema de control muestra explcitamente una
propiedad unilateral. La Figura 2-1 muestra un elemento del
diagrama de bloques. La punta de flecha que seala el bloque indica
la entrada, y la punta de flecha que se aleja del bloque representa
la salida. Tales flechas se conocen como seales. Figura 2-1.
Elementos de un diagrama de bloques. Captulo 2. Modelado matemtico
de sistemas de control 17
- 29. Obsrvese que las dimensiones de la seal de salida del
bloque son las dimensiones de la seal de entrada multiplicadas por
las dimensiones de la funcin de transferencia en el bloque. Las
ventajas de la representacin mediante diagramas de bloques de un
sistema estriban en que es fcil formar el diagrama de bloques
general de todo el sistema con slo conectar los blo- ques de los
componentes de acuerdo con el flujo de seales y en que es posible
evaluar la contri- bucin de cada componente al desempeo general del
sistema. En general, la operacin funcional del sistema se aprecia
con ms facilidad si se examina el diagrama de bloques que si se
revisa el sistema fsico mismo. Un diagrama de bloques contiene
informacin relacionada con el comportamiento dinmico, pero no
incluye informacin de la construccin fsica del sistema. En
consecuencia, muchos sistemas diferentes y no relacionados pueden
representarse mediante el mismo diagrama de bloques. Debe sealarse
que, en un diagrama de bloques, la principal fuente de energa no se
muestra explcitamente y que el diagrama de bloques de un sistema
determinado no es nico. Es posible dibujar varios diagramas de
bloques diferentes para un sistema, dependiendo del punto de vista
del anlisis. Punto de suma. Remitindose a la Figura 2-2, un crculo
con una cruz es el smbolo que indica una operacin de suma. El signo
ms o el signo menos en cada punta de flecha indica si la seal debe
sumarse o restarse. Es importante que las cantidades que se sumen o
resten tengan las mismas dimensiones y las mismas unidades. Figura
2-2. Punto de suma. Punto de ramificacin. Un punto de ramificacin
es aquel a partir del cual la seal de un bloque va de modo
concurrente a otros bloques o puntos de suma. Diagrama de bloques
de un sistema en lazo cerrado. La Figura 2-3 muestra un ejemplo de
un diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado. La salida
C(s) se realimenta al punto de suma, donde se compara con la
entrada de referencia R(s). La naturaleza en lazo cerra- do del
sistema se indica con claridad en la figura. La salida del bloque,
C(s) en este caso, se obtiene multiplicando la funcin de
transferencia G(s) por la entrada al bloque, E(s). Cualquier
sistema de control lineal puede representarse mediante un diagrama
de bloques formado por pun- tos de suma, bloques y puntos de
ramificacin. Cuando la salida se realimenta al punto de suma para
compararse con la entrada, es necesario convertir la forma de la
seal de salida en la de la seal de entrada. Por ejemplo, en un
sistema de control de temperatura, por lo general la seal de salida
es la temperatura controlada. La seal de salida, que tiene la
dimensin de la temperatura, debe convertirse a una fuerza, posicin
o voltaje antes de que pueda compararse con la seal de entrada.
Esta conversin se consigue mediante el elemento de realimentacin,
cuya funcin de transferencia es H(s), como se aprecia en la Figura
2-4. La funcin del elemento de realimentacin es modificar la salida
antes de compararse con la entrada. (En la mayor parte de los
casos, el elemento de realimentacin es un sensor que mide la salida
de la planta. La salida del sensor se compara con la entrada y se
genera la seal de error.) En este ejemplo, la seal de realimentacin
que retorna al punto de suma para compararse con la entrada es B(s)
% H(s)C(s). 18 Ingeniera de control moderna
- 30. Figura 2-3. Diagrama de bloques de un sistema en lazo
cerrado. Figura 2-4. Sistema en lazo cerrado. Funcin de
transferencia en lazo abierto y funcin de transferencia de la
trayectoria directa. Remitindose a la Figura 2-4, el cociente de la
seal de realimentacin B(s) entre la seal de error E(s) se denomina
funcin de transferencia en lazo abierto. Es decir, Funcin de
transferencia en lazo abierto % B(s) E(s) % G(s)H(s) El cociente
entre la salida C(s) y la seal de error E(s) se denomina funcin de
transferencia de la trayectoria directa, por lo que, Funcin de
transferencia de la trayectoria directa % C(s) E(s) % G(s) Si la
funcin de transferencia de la trayectoria de realimentacin H(s) es
la unidad, la fun- cin de transferencia en lazo abierto y la funcin
de transferencia de la trayectoria directa son iguales. Funcin de
transferencia en lazo cerrado. Para el sistema que aparece en la
Figura 2-4, la salida C(s) y la entrada R(s) se relacionan del modo
siguiente: C(s) % G(s)E(s) E(s) % R(s) . B(s) % R(s) . H(s)C(s) Si
se elimina E(s) de estas ecuaciones, se obtiene C(s) % G(s)[R(s) .
H(s)C(s)] o bien, C(s) R(s) % G(s) 1 ! G(s)H(s) (2-3) La funcin de
transferencia que relaciona C(s) con R(s) se denomina funcin de
transferencia en lazo cerrado. Esta funcin de transferencia
relaciona la dinmica del sistema en lazo cerrado con la dinmica de
los elementos de las trayectorias directa y de realimentacin. A
partir de la Ecuacin (2-3), C(s) se obtiene mediante C(s) % G(s) 1
! G(s)H(s) R(s) Captulo 2. Modelado matemtico de sistemas de
control 19
- 31. Por tanto, la salida del sistema en lazo cerrado depende
claramente tanto de la funcin de transfe- rencia en lazo cerrado
como de la naturaleza de la entrada. Obtencin de funciones de
transferencia en cascada, en paralelo y realimenta- das (en lazo
cerrado) utilizando MATLAB. En el anlisis de sistemas de control,
frecuen- temente se necesita calcular funciones de transferencia en
cascada, funciones de transferencia conectadas en paralelo y
funciones de transferencia realimentadas (en lazo cerrado). MATLAB
tiene funciones adecuadas parea obtener las funciones de
transferencia en cascada, paralelo y realimentada (lazo cerrado).
Supngase que hay dos componentes G1(s) y G2(s) conectadas de
diferentes formas como se muestra en la Figura 2-5 (a), (b) y (c),
donde G1(s) % num1 den1 , G2(s) % num2 den2 Para obtener las
funciones de transferencia del sistema en cascada, en paralelo o
realimentado (lazo cerrado) se utilizan las siguientes
instrucciones: [num,den]%series(num1,den1,num2,den2)
[num,den]%parallel(num1,den1,num2,den2)
[num,den]%feedback(num1,den1,num2,den2) Como ejemplo, se considera
el caso en el que G1(s) % 10 s2 ! 2s ! 10 % num1 den1 , G2(s) % 5 s
! 5 % num2 den2 El Programa 2-1 en MATLAB calcula C(s)/R(s) %
num/den para cada situacin de G1(s) y G2(s). Obsrvese que la
instruccin printsys(num,den) muestra el num/den [esto es, la funcin
C(s)/R(s)] del sistema considerado. Figura 2-5. (a) Sistema en
cascada; (b) sistema paralelo; (c) sistema realimentado (lazo
cerrado). 20 Ingeniera de control moderna
- 32. MATLAB Programa 2-1 num1 % [10]; den1 % [1 2 10]; num2 % [0
5]; den2 % [1 5]; [num, den] % series(num1,den1,num2,den2);
printsys(num,den) num/den % 50 sp 3 ! 7sp 2 ! 20s ! 50 [num, den] %
parallel(num1,den1,num2,den2); printsys(num,den) num/den % 5sp 2 !
20s ! 100 sp 3 ! 7sp 2 ! 20s ! 50 [num, den] %
feedback(num1,den1,num2,den2); printsys(num,den) num/den % 10s ! 50
sp 3 ! 7sp 2 ! 20s ! 100 Controladores automticos. Un controlador
automtico compara el valor real de la sa- lida de una planta con la
entrada de referencia (el valor deseado), determina la desviacin y
pro- duce una seal de control que reduce la desviacin a cero o a un
valor pequeo. La manera en la cual el controlador automtico produce
la seal de control se denomina accin de control. La Figura 2-6 es
un diagrama de bloques de un sistema de control industrial que
consiste en un controlador automtico, un actuador, una planta y un
sensor (elemento de medicin). El controla- dor detecta la seal de
error, que por lo general, est en un nivel de potencia muy bajo, y
la Figura 2-6. Diagrama de bloques de un sistema de control
industrial, formado por un controlador automtico, un actuador, una
planta y un sensor (elemento de medicin). Captulo 2. Modelado
matemtico de sistemas de control 21
- 33. amplifica a un nivel lo suficientemente alto. La salida de
un controlador automtico se alimenta a un actuador, como un motor o
una vlvula neumticos, un motor hidrulico o un motor elctri- co. (El
actuador es un dispositivo de potencia que produce la entrada para
la planta de acuerdo con la seal de control, a fin de que la seal
de salida se aproxime a la seal de entrada de referencia.) El
sensor, o elemento de medicin, es un dispositivo que convierte la
variable de salida en otra variable manejable, como un
desplazamiento, una presin o un voltaje, que pueda usarse para
comparar la salida con la seal de entrada de referencia. Este
elemento est en la trayectoria de realimentacin del sistema en lazo
cerrado. El punto de ajuste del controlador debe convertir- se en
una entrada de referencia con las mismas unidades que la seal de
realimentacin del sen- sor o del elemento de medicin. Clasificacin
de los controladores industriales. Los controladores industriales
se clasifican, de acuerdo con sus acciones de control, como: 1. De
dos posiciones o controladores on-off 2. Controladores
proporcionales 3. Controladores integrales 4. Controladores
proporcionales-integrales 5. Controladores
proporcionales-derivativos 6. Controladores
proporcionales-integrales-derivativos La mayora de los
controladores industriales emplean como fuente de energa la
electricidad o un fluido presurizado, como el aceite o el aire. Los
controladores tambin pueden clasificarse, segn el tipo de energa
que utilizan en su operacin, como neumticos, hidrulicos o electrni-
cos. El tipo de controlador que se use debe decidirse basndose en
la naturaleza de la planta y las condiciones de operacin,
incluyendo consideraciones tales como seguridad, costo,
disponibili- dad, fiabilidad, precisin, peso y tamao. Accin de
control de dos posiciones o de encendido y apagado (on/off). En un
sistema de control de dos posiciones, el elemento de actuacin slo
tiene dos posiciones fijas, que, en muchos casos, son simplemente
encendido y apagado. El control de dos posiciones o de encendido y
apagado es relativamente simple y barato, razn por la cual su uso
es extendido en sistemas de control tanto industriales como
domsticos. Supngase que la seal de salida del controlador es u(t) y
que la seal de error es e(t). En el control de dos posiciones, la
seal u(t) permanece en un valor ya sea mximo o mnimo, depen- diendo
de si la seal de error es positiva o negativa. De este modo, u(t) %
U1, para e(t) b 0 % U2, para e(t) a 0 donde U1 y U2 son constantes.
Por lo general, el valor mnimo de U2 es cero o .U1. Es comn que los
controladores de dos posiciones sean dispositivos elctricos, en
cuyo caso se usa extensa- mente una vlvula elctrica operada por
solenoides. Los controladores neumticos proporciona- les con
ganancias muy altas funcionan como controladores de dos posiciones
y, en ocasiones, se denominan controladores neumticos de dos
posiciones. Las Figuras 2-7(a) y (b) muestran los diagramas de
bloques para dos controladores de dos posiciones. El rango en el
que debe moverse la seal de error antes de que ocurra la conmuta-
22 Ingeniera de control moderna
- 34. Figura 2-7. (a) Diagrama de bloques de un controlador
on-off; (b) diagrama de bloques de un controlador con salto
diferencial. cin se denomina brecha diferencial. En la Figura
2-7(b) se seala una brecha diferencial. Tal brecha hace que la
salida del controlador u(t) conserve su valor presente hasta que la
seal de error se haya desplazado ligeramente ms all de cero. En
algunos casos, la brecha diferencial es el resultado de una friccin
no intencionada y de un movimiento perdido;