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INFERÊNCIA ESTATÍSTICA:
ESTIMAÇÂO PONTUAL E
INTERVALOS DE CONFIANÇA
2011
Problemas de inferência
Inferir significa fazer afirmações sobre algo desconhecido.
A inferência estatística tem como objetivo fazer afirmações sobre uma característica de uma população a partir do conhecimento de dados de uma parte desta população (isto é, uma amostra de n observações).
A população é representada por uma distribuição de probabilidade com parâmetro(s) cujo(s) valor(es) é (são) desconhecido(s).
Fazemos inferências sobre o(s) parâmetro(s).
Problemas de inferência
Se θ é um parâmetro da distribuição de uma v. a. X e X1,...,Xn é uma amostra desta distribuição, encontramos três problemas típicos:
1. Estimação pontual
Apresentar um valor para θ, que é uma função da amostra X1,...,Xn (“cálculo” de θ), chamada de estimador de θ.
Espera-se que o estimador tenha boas propriedades: (i) em média esteja próximo de θ, (ii) o estimador se aproxima de θ quando n aumenta, ...b
Problemas de inferência
2. Estimação intervalar
Apresentar um intervalo de possíveis valores para θ, chamado de intervalo de confiança. Os limites do intervalo são funções da amostra X1,...,Xn (são aleatórios).
A probabilidade de que o intervalo contenha θ deve ser alta.vv
A amplitude do intervalo deve ser tão pequenaquanto possível (intervalo mais preciso).
Problemas de inferência
3. Teste de hipóteses
Uma hipótese estatística (H) é uma afirmação sobre o valor de θ. Pode ser verdadeira ou falsa.
Se θ é a probabilidade de sucesso no modelo binomial, H: θ = ½, H: θ ≠ ½ e H: θ > ¾ são exemplos de hipóteses.
Com base na amostra X1,...,Xn, formulamos uma regra de decisão que permita concluir pela rejeiçãoou não rejeição (aceitação) de H. A decisão pode ser correta ou errada.
Estimação pontual – método de substituição
(b). Distribuição de Poisson. X ~ Po(µ). Vimos que E(X) = µ.
. : paraestimador Um Xµ
Obs. Existem outros métodos de estimação.
(c). Distribuição exponencial. X ~ Ex(λ). Vimos que E(X) = 1 / λ.
.1
: paraestimador UmX
=λ
(d). Distribuição normal. X ~ N(µ, σ2). Vimos que E(X) = µ e Var(X) = σ2.
. : paraestimador Um Xµ .)(1
1 : paraestimador Um 2
1
22 ∑=
−−
=n
ii XX
nsσ
(a). Distribuição binomial. X ~ B(n, p). Vimos que E(X) = np.
∑=
==n
iiX
nXp
1
sucessos. de amostral proporção 1
: paraestimador Um
Estimação por intervalos
X1,...,Xn é uma amostra aleatória de uma variável cuja distribuição depende do parâmetro θ.
Se L(X1,...,Xn) e U(X1,...,Xn) são duas funções tais que L < U eP(L ≤ θ ≤ U) = 1 – α,
o intervalo [L, U] é chamado de intervalo de confiança (IC) de100(1-α)% para θ.
100(1-α)% é o coeficiente de confiança do intervalo. Deve ser “alto”.
O coeficiente de confiança é escolhido (90%, 95% e 99% são comuns). Em seguida calculamos L e U.
IC para uma média populacional
nXX L,1 é uma amostra aleatória de tamanho n de uma população normalcom média µ (desconhecida) e variância σ2 (conhecida). Vimos que a
média amostral X , tem distribuição normal com média µ e variância σ2/n. Isto é,
.)1,0(~)(
NXn
Zσ
µ−=
Logo, fixando um coeficientede confiança (1-α), pode-sedeterminar zα/2 (consultando atabela normal):
Se a distribuição de X não é normal, o resultado acima é válidoaproximadamente.
z
f(z)
− zα 2 0 zα 2
α 2 α 2
1 − α
ασµσαα −=
≤−≤−⇔ 1P 2/2/n
zXn
z
[ ]
máximo erro o é E que sendo
,;;];[
2/
2/2/
nz
EXEXn
zXn
zXUL
σ
σσ
α
αα
=
+−=
+−=
Logo, um IC de 100 (1-α)% para a média µ é dado por
IC para uma média populacional
e a amplitude do IC é U – L = 2E.
,1)(P assim, Sendo 2/2/ ααα −=≤≤− zZz
que equivale a ασ
µαα −=≤−≤− 1)
)((P 2/2/ z
Xnz
.1P 2/2/ ασµσαα −=
+≤≤−⇔n
zXn
zX
Como 1-α = 0,95, temosda tabela normal padrãoz0,025 = 1,96.
×+×−=n
Xn
Xσσ
96,1;96,1
[ ] [ ] ml. em ,31,347;69,34431,1346;31,134620
396,1346;
20
396,1346 =+−=
×+×−=
Em uma fábrica de cerveja a quantidade de cerveja em latas seguia umadistribuição normal com média 350 ml e desvio padrão 3 ml. Após algunsproblemas na linha de produção, suspeita-se que houve alteração namédia. Uma amostra de 20 latas forneceu uma média de 346 ml. Obtenhaum intervalo de 95% para a quantidade média de cerveja envasadasupondo que não tenha ocorrido alteração na variabilidade.
Exemplo
Obtemos IC = [L; U]
Determinação do tamanho da amostra para estimação de µ
Erro máximo (E) na estimação de µ: .2/n
zEσ
α=
.2
22/
2
E
zn
σα ×=
zα/2 é obtido da tabela normal após a escolha do coeficiente de confiança (1 – α).
(a) Especificamos o erro máximo. Se o desvio padrão (σ) for conhecido, podemos calcular n:
(b) Especificamos o erro máximo . Se o desvio padrão (σ) não for conhecido, podemos utilizar o desvio padrão obtido de uma amostra piloto com n0 observações:
,2
202/
2
E
szn
×≅ αsendo que s0
2 é a variância amostral da amostra piloto.
(c) Especificamos o erro máximo em função do desvio padrão como E = k σ:
.2
2/2
k
zn
α=
Em uma siderúrgica estuda-se a resistência média de barras de açoutilizadas na construção civil. Qual o tamanho amostral necessário paragarantir que um erro máximo de 8 kg seja superado com probabilidadeigual a 0,01? O desvio padrão da resistência para este tipo de barra é de25 kg.Solução. Do enunciado tem-se σ = 25 kg, E = 8 kg e
Exemplo
,01,01)(P01,0)(P1 −=+≤≤−⇒=+≤≤−− EXEXEXEX µµou seja, α = 0,01 (o coeficiente de confiança do IC é 1 – α = 99%).
Consultando a tabelanormal encontramoszα/2 = 2,575.
.658
25575,2
Portanto,
2
22
2
22/
2
=×=
×=E
zn
σα
IC para uma média populacional ( σ desconhecido)
Se a variável de interesse (X) tem distribuição normal, então
, ~)(
1n-ts
XnT
µ−= : distribuição t de Student com n – 1 g.l.,
Se a distribuição de X não é normal, o resultado acima é válidoaproximadamente.
sendo que s é o desvio padrão amostral.
Um IC de 100(1-α)% para µ é dado por
. que em ],;[];[ 1,2/n
stEEXEXUL n−=+−= α
IC para uma proporção populacional
Cada observação pode ser classificada como sucesso (X = 1) ou insucesso (X = 0) e a probabilidade de sucesso é p. Dispomos de uma amostra aleatória X1…, Xn. Vimos que
∑=
=
−−=
n
iiX
np
Npp
ppnZ
1
1 que sendo
mente,aproximada ,)1,0(~)1(
)(
Para um nível confiança fixado em 100(1-α)%, obtemos (veja lâmina 4)
.1)1(
)1(
P 2/2/ ααα −≅
−×+≤≤−×−n
ppzpp
n
ppzp
: proporção amostral de sucessos.
(a) Abordagem otimista
:)1(por1Substituir pp-p)p( −
(b) Abordagem conservativa
Substituir p(1 – p) por ¼, quecorresponde ao valor máximo dep(1 – p).
.)1(
;)1(
IC 2/2/
−×+−×−≅n
ppzp
n
ppzp αα
.4
1;
4
1IC 2/2/
×+×−≅n
zpn
zp αα
IC para uma proporção populacional
Um estudo foi realizado para determinar a proporção de componentes de um certotipo que resistem durante um certo período a condições de uso mais rigorosas doque as especificadas. Em uma amostra de 200 componentes selecionados aoacaso, 160 resistiram. Apresente um intervalo de 95% de confiança para aproporção de componentes que resistem.
Como 1 – α = 0,95, obtemos databela normal padrão z0,025 =1,96.
[ ].855,0;745,0
200
)8,01(8,096,18,0;
200
)8,01(8,096,18,0IC
=
−×+−×−≅
[ ].869,0;731,02004
196,18,0 ;
2004
196,18,0IC =
××+
××−≅
Abordagem conservativa:
Exemplo
Solução. Estimativa pontual de p: %).80(8,0200
160 ==p
Abordagem otimista:
Determinação do tamanho da amostra para estimação de p
Erro máximo de estimação de p é fixado:
n
ppzE
)1(2/
−×= α .)1(
2
22/
E
ppzn
−×=⇒ α
(b) Não há informação sobre p:
.24
2
2/2
2/2
==E
z
E
zn αα
Coeficiente de confiança de 95%: α = 5%, zα/2 = 1,96 ≅≅≅≅ 2 e
n ≅≅≅≅ 1 / E2.
(a) Há informação sobre p: p* (estudos anteriores,especialistas, amostra piloto, etc):
.)1(
2
**22/
E
ppzn
−×= α
p(1 – p) é substituído pelo valor máximo, igual a ¼ (veja lâmina 15):
Uma equipe pretende estimar a proporção de avarias ocorridas notransporte de um produto. Estudos anteriores indicam que esta proporçãonão ultrapassa 20%. Que tamanho de amostra é necessário paraassegurar com uma confiança de 99% que o erro de estimação destaproporção seja no máximo igual a 0,05?Solução. Do enunciado obtemos p ≤ 0,2, 1 – α = 0,99 e E = 0,05. Databela normal padrão, z0,005 = 2,575.
Exemplo
Proteção em relação à situaçãomais desfavorável: p* = 0,20.
Finalmente,
.4254,424
05,0
)2,01(2,0575,2
)1(
2
2
2
**22/
=⇒=
−××=
−×=
n
E
ppzn α