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Inecuaciones Lineales en una Variable
Dra. Noemí L. Ruiz Limardo2006-2007© Derechos Reservados
Objetivos de la lección
• Conocer el significado de una inecuación sencilla, trivial, y dobles o compuestas
• Conocer los símbolos que se usan para las inecuaciones
• Conocer cuál es la gráfica de la solución de una inecuación
• Conocer las propiedades de las desigualdades• Conocer el proceso para resolver una desigualdad• Aplicar las propiedades de las desigualdades para
resolver una inecuación
Definiciones Fundamentales y Ejemplos
Definición de Inecuación
Una inecuación es una desigualdad que contiene variables.
Reflexión…• Una desigualdad expresa cantidades que no son
iguales.• Si dos cantidades no son iguales entonces una es
mayor o menor que la otra.• Los símbolos matemáticos que se usan para
indicar cantidades que no son iguales son:
> significa “mayor que”
< significa “menor que”
significa “menor o igual”
significa “mayor o igual”
Gráfica de la solución de una inecuación
x > 3
x < 3
x 3
x 3
-3 < x < 3
-3 x 3
-3 < x 3
-3 x < 3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Cuando tenemos ó se ennegrece el punto ya que se incluye ese valor. Si dice > ó < no incluye el valor, por tanto no se ennegrece.
Gráfica de la solución de una inecuación
x > 3
x < 3
x 3
x 3
-3 < x < 3
-3 x 3
-3 < x 3
-3 x < 3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Compara la forma que tiene la gráfica de la solución de una doble inecuación y la forma de una inecuación sencilla. ¿Qué observas?
Gráfica de la solución de una inecuación
x > 3
x < 3
x 3
x 3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Observa que para poder trazar la gráfica de una inecuación sencilla necesitamos tener la variable en el lado izquierdo, de manera que se pueda leer el valor de la variable.
Gráfica de la solución de una inecuación
-3 < x < 3
-3 x 3
-3 < x 3
-3 x < 3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Observa que para poder trazar la gráfica de una inecuación doble necesitamos tener la variable en el centro, de manera que se pueda leer el valor de la variable. Se lee “x está entre -3 y 3”, “sin incluir a”, si solo es “menor que” o “incluyendo a ” si es “menor o igual”.
Propiedades de las Desigualdades
Propiedades de las Desigualdades
• Aditiva de la Desigualdad:
Si a < b y c es cualquier número Real, entonces:
a + c < b + c
• Multiplicativa de la Desigualdad:
Si a < b y c es positivo, entonces: a . c < b . c
Si a < b y c es negativo, entonces: a . c > b . c
Observa que cuando se multiplica o divide por un negativo el signo de la desigualdad cambia de dirección.
Si es > cambia a < . Si es < cambia a >.
Cómo se resuelven las inecuaciones
Ejemplo 1: Resuelve y traza la gráfica
4x – 4 8
4x 8 + 4
4x 12
4x 12
4 4
x 3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Ejemplo 2: Resuelve y traza la gráfica
-2x + 8 6
-2x 6 – 8
-2x -2
-2x -2
-2 -2
x 1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Ejemplo 3: Resuelve y traza la gráfica
1 < x - 8 < 4
1 + 8 < x < 4 + 8
9 < x < 12
6 7 8 9 10 11 12 13 14
Ejemplo 4: Resuelve y traza la gráfica
25 > -5x > 10
25 > -5x > 10
-5 -5 -5
-5 < x < -2
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
Ejemplo 5: Resuelve y traza la gráfica
2 2x + 6 4
2 – 6 2x 4 – 6
-4 2x - 2
-4 2x - 2
2 2 2
-2 x -1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
Ejercicio de Aplicación
1. x + 3 -1
2. 3 (x – 2) 5x + 8
3. ½ (4x + 14) < 3x – 6
4. 4 – 2y > 2y -3 3 3
5. 1 < x + 5 < 7
6. -3 2x – 7 < 7
Resuelve las siguientes inecuaciones y traza la
gráfica. Después, haz click en el lápiz para ver las
respuestas
Fin de la lección
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Contestaciones de los ejercicios1. x -4
2. x -7
3. x > 13
4. y < 1.75
5. -4 < x < 2
6. 2 x < 7
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2
-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5
7 8 9 10 11 12 13
-2 -1 0 1 2 3
-4 -3 -2 -1 0 1 2
0 1 2 3 4 5 6 7 8