INDUCCION MATEMATICA

PRIMER AÑO

TERCER AÑO

SEGUNDO AÑO

INDUCCION MATEMATICA

, , ,

¿Qué figura sigue ? ¿Cuántas rectas forman cada figura?

3 5 7 9

Dibuja la figura y cuenta su número de rectas

¿Cuántas rectas formarán la octava figura?

?

17

¿Qué figura completa la serie? ¿Cuántos círculos las forman?

, , , ,

1 4 7 10 13

Dibuja la novena figura de la serie :

¿Cuántos círculos la forman?

25

?

Una sucesión numérica es:

Secuencia de números relacionados de tal manera que cada uno, después del primero, se puede obtener del que le precede sumando a éste una cantidad fija llamada diferencia común.

2 , 7, 12 , 17 , 22 , 27, 32

+ 5 + 5 + 5

+ 5 + 5 + 5

DIFERENCIA COMUN ES 5

OBSERVA :

2 , 7, 12, 17, 22 , 27, …a1

1°

a1 + d

2°

a1+ 2d

3°

a1+ 3d

4°

a1+ 4d

5°

a1+ 5d

6°

a1+ (n-1)d

n°

Término inicial Término n-ésimo

¿COMO ENCONTRAMOS EL TERMINO N-ESIMO ?

an = a1 + (n – 1) d

APLICACION

Hallar el 23° término de la sucesión numérica 9 , 4 , -1 …

a23 = 9 + (23-1) (-5) a23 = 9 – 110

23° término es - 101

d = 4 – 9d = -5

Determinamos la diferencia común

Consecuente menos antecedente AntecedenteConsecuente

Término inicial

Sustituimos valores conocidos

an = a1 + (n – 1) d

Hallar el 38° término de la sucesión numérica 2/3 , 3/2, 7/3 …

a38 = 2/3 + (38 – 1) (5/6 a38 = 2/3 + 185/6

38° término es 189/6 o 63/2

d = 3 - 2 2 3

d = 5 6

Determinamos la diferencia común

Consecuente menos antecedenteAntecedente

Consecuente

Término inicial

Sustituimos valores conocidos

an = a1 + (n – 1) d

APLICACION

APLICACION

a6 = 3 + (6 – 1) d

8 = 3 + 5d

5d = 8 - 3

Diferencia común es 1

Término inicial

Sustituimos valores conocidos

an = a1 + (n – 1) d

Hallar la diferencia común de la sucesión numérica 3, … , 8 donde 8 es el 6° término.

an = a1 + (n – 1) d

Buscando el valor de “d”

an - a1

d = n - 1

*

APLICACION

30 = 4 + (n – 1) ( 2 ) 30 = 4 + 2n - 2 28 = 2n n = 14

Término inicial

Sustituimos valores conocidos

an = a1 + (n – 1) d

¿Cuántos términos tiene la progresión aritmética 4, 6, …30 ?

an = a1 + (n – 1) d

Buscando el valor de “n”

an - a1 + dn =

d

Buscamos diferencia común d = 6 – 4 d = 2 *

APLICACION

20 = a1 + (15 – 1) ( 2/7 ) 20 = a1 + 4

a1 = 16

Sustituimos valores conocidos

an = a1 + (n – 1) dan = a1 + (n – 1) d

Buscando el valor de “a”

a1 = an – nd - d

*

El 15° término de una progresión aritmética es 20 y la diferencia común 2/7. Hallar el primer término.

Determinamos la diferencia común

Antecedente Consecuente

Sustituimos valores conocidos

5 , 9 , 13 , 17 , 21 , 25 , …

Término inicial

Consecuente menos antecedente9 – 5 = 4

an = a1 + (n – 1) d

an = 5 + (n – 1) 4

an = 5 + 4n - 4

an = 4n + 1

TERMINO ENESIMO GENERALIZACION

PRIMER AÑO

Buscamos la diferenciaConsecuente menos antecedente

9 – 5 = + 4n

4 ( 1 )

+ 4n

Primera posición

x + 4 = 5, donde x = + 1

+ 1

4n + 1

Generalización

*¿ Qué número sumado a cuatro veces la primera posición de la sucesión da como resultado el primer término de ésta ?

5 , 9 , 13 , 17 , 21 , 25 , …

AntecedenteConsecuente

Término inicialGENERALIZACION

Buscamos la diferenciaConsecuente menos antecedente

12 - 8 = 4n

4 ( 1 )

4n

Primera posición

x + 4 = 8, donde x = 4

+ 4

4n + 4

Generalización

*¿ Qué número sumado a cuatro veces la primera posición de la sucesión da como resultado el primer término de ésta ?

8 , 12 , 16 , 20 , 24 , …

AntecedenteConsecuente

Término inicialGENERALIZACION

Buscamos la diferenciaConsecuente menos antecedente

11 - 9 = 2n

2 ( 1 )

2n

Primera posición

x + 2 = 9, donde x = 7

+ 28

2n + 7

Generalización

*¿ Qué número sumado a dos veces la primera posición de la sucesión da como resultado el primer término de ésta ?

9 , 11 , 13 , 15 , 17 , …

AntecedenteConsecuente

Término inicialGENERALIZACION

¿ Cuántos cuadritos forman la figura que se ubica en la vigésima posición ?

Primer figura

Segunda figura

5

913

17

21

Cuarta figura

Quinta figura

Tercer figura

4n + 14(20) + 1

81 cuadrados debe tener la vigésima figura

¿ Cuál es la regla para encontrar el número de cubos que hay en una figura cualquiera de esta sucesión? ¿ Cómo se puede expresar esta regla con una fórmula ?

Primer figuraSegunda figura

Tercer figura

3

7

5

2n + 1

Generalización

De la siguiente sucesión, determina cuántos cuadrados hay en la quinta figura y escribe su generalización.

Primer figura Segunda figura

Tercer figura

Cuarta figura

2 5

811

3n - 1

Generalización

3(5) – 1 = 14

De la siguiente sucesión, determina cuántos cuadrados hay en la quinta figura y escribe su generalización.

Primer figura

Segunda figura

Tercer figura

Cuarta figura

48

12

16

4n

Generalización

De la siguiente sucesión, determina cuántos cuadrados hay en la quinta figura y escribe su generalización.

Primer figura Segunda figura

Tercer figura

Cuarta figura

5 9 13

17 4n + 1

Generalización

De la siguiente sucesión, determina cuántas bolitas hay en la sexta figura y escribe su generalización.

Primer figura

Segunda figuraTercer figura

Cuarta figura

Quinta figura

4

7

10

13

16

3n + 1

Generalización

De la siguiente sucesión, determina cuántas bolitas hay en la sexta figura y escribe su generalización.

Primer figuraSegunda figura

Tercer figuraCuarta figura

Quinta figura

510

1520

25

5n

Generalización

4 , 6 , 8 , 10 ,

1. Hallar los dos términos siguientes de las sucesiones que se indican:

14

-5 , -2 , 1 , 4 , 10 13

-3 , 5 , -7 , 9 , 13 -15

1 , 4 , 9 , 16 , 36 49

1 , 2 , 4 , 7 , 16 22

1 , -2 , 3 , -4 , 7 -8

27 , 23 , 19 , 15 , 11 7

1 , 5 , 9 , 13 , 25 29

7 ,

-11 ,

25 ,

11 ,

5 , -6 ,

17 , 21 ,

12

2. Determine el décimo término:

8 , 12 , 16 , 20 ,

3 , 6 , 9 , 12 ,

9 , 11 , 13 , 15 ,

57 , 60 , 63 , 66 ,

15 ,

17 ,

69 ,

24 , …

…

…

…

30

27

84

44

4n + 4 4(10) + 4 = 44

3n 3(10) = 30

2n + 7 2(10) + 7 = 27

3n + 54 3(10) + 54 = 84

2 , 4 , 6 , 8 ,

3. Escribe la generalización de cada una de las sucesiones siguientes:

5 , 10 , 15 , 20 , 5n

10 , 20 , 30 , 40 , 10n

50 , 57 , 64 , 71 , 7n + 43

14 , 21 , 28 , 35 , 7n + 7

15 , 20 , 25 , 30 , 5n + 10

35 , 40 , 45 , 50 , 5n + 30

17 , 22 , 27 , 32 , 5n + 12

25 ,

50 ,

…

42 ,

35 , 40 ,

37 , 42 ,

2n10 , 12 ,

30 , 35 ,

55 , 60 ,

47 , …

…

…

…

…

…

…

4. Completa cada sucesión numérica y escribe el patrón que la generaliza:

3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , 21 3n

Generalización

7 , 12 , 17 , 22 , 27 , 32 , 37 5n + 2

5 , 9 , 13 , 17 , 21 , 25 , 29 4n + 1

1 , 8 , 15 , 22 , 29 , 36 , 43 7n - 6

2 , 11 , 20 , 29 , 38 , 47 , 56 9n - 7

SEGUNDO AÑO

Buscamos la diferenciaConsecuente menos antecedente

- 2 - ( - 5 ) = + 3n

3 ( 1 )

+ 3n

Primera posición

x + 3 = - 5, donde x = - 8

- 8

3n - 8

Generalización

*¿ Qué número sumado a tres veces la primera posición de la sucesión da como resultado el primer término de ésta ?

- 5 , - 2, 1 , 4 , 7 , …

AntecedenteConsecuente

Término inicialGENERALIZACION

Buscamos la diferenciaConsecuente menos antecedente

3 - 7/2 = - 1/2 n

- 1/2 ( 1 )

- 1/2 n

Primera posición

x - 1/2 = 7/2, donde x = 4

+ 4

-1 n + 4 2

Generalización

*¿ Qué número sumado a – 1/2 veces la primera posición de la sucesión da como resultado el primer término de ésta ?

7/2 , 3 , 5/2 , 2 , 3/2 , …

AntecedenteConsecuente

Término inicialGENERALIZACION

Buscamos la diferenciaConsecuente menos antecedente

23 - 28 = - 5n

- 5 ( 1 )

- 5n

Primera posición

x - 5 = 28, donde x = 33

+ 28

- 5n + 33

Generalización

*¿ Qué número sumado a - cinco veces la primera posición de la sucesión da como resultado el primer término de ésta ?

28 , 23 , 18 , 13 , 8 , …

AntecedenteConsecuente

Término inicialGENERALIZACION

1. Determina el décimo término:

5 , 2 , - 1 , … - 3n + 8 - 22

1 , 12

, 0 , - 1 2

, … -n + 3 2

- 7 2

- 3 ( 10) + 8 = 22

-10 + 3 = - 7 2 2

44 , 41 , 38 , 35 ,

2. Escribe la generalización de cada una de las sucesiones siguientes:

28 , 23 , 18 , 13 , - 5n + 33

8 , -2 , -12 , -22 , - 10n + 18

-80 , -66 , -52 , -38 , 14n - 94

-5 , -8 , -11 , -14 , - 3n - 2

-24 , -18 , -12 , -6 , 6n - 30

-30 , -25 , -20 , -15 , 5n - 35

-7 , -5 , -3 , -1 , 2n - 9

8 ,

-32 ,

-24

-17 ,

0 , 6 ,

1 , 3 ,

- 3n + 4732 , …

3 , …

-10 , -5 ,

…

…

-20

…

…

, …

, …

-5 , -7 , -9 , -11 ,

20 , 10 , 0 , -10 , - 10n + 30

-3 , -8 , -13 , -18 , - 5n + 2

2 , -4 , -10 , -16 , - 6n + 8

-1 , -2 , -3 , -4 , - n

6 , 3 , 0 , -3 , - 3n + 9

- 3 22

, -1 , - 1 2

, 0 , 1 n – 2 2

-20 ,

-23 ,

…

-5 ,

-6 , …

- 2n - 3-13 , …

…

12

, …

…

…

Escribe la generalización de cada una de las sucesiones siguientes:

-22 ,

4 , 3 , 2 , 1 , - n + 50 , …

-9 , -15 , -21 , -27 , - 6n - 3 -33 , …

72

, 3 , 52

, 2 , - 1 n + 4 2

32

, …

-10 , -8 , -6 , -4 , 2n - 12-2 , …

Escribe la generalización de cada una de las sucesiones siguientes:

-3 , -7 , -11 , -15 , - 4n + 1-19 , …

5 , 3 , 1 , -1 , - 2n + 7-3 , -5 , …

TERCER AÑO

De la siguiente sucesión, determina cuántos cuadrados hay en la quinta figura y escribe su generalización.

Primer figura Segunda figura Tercer figura

Cuarta figura

1

4

9

16n2

Generalización

(5)2

25 cuadrados

Número de mosaicos blancos que tendrá la figura que ocupa la quinta posición en la siguiente sucesión:

Primer figura Segunda figura

Tercer figura

Cuarta figura

Observamos que en las figuras propuestas, se presenta un mosaico blanco en cada una de sus esquinas.

CUATRO MOSAICOS BLANCOS APARECEN EN CADA FIGURA

MOSAICOS CENTRALES

1 , 4 , 9 , 16

n2 + 4

Generalización

Buscamos el quinto término:

n2 + 4 = 52 + 4 = 29

29 mosaicos blanco debe tener la quinta figura

En la siguiente sucesión determina cuántos cuadrados formarán la sexta figura.

Primera figuraSegunda figura

Tercer figura

Cuarta figuraQuinta figura

1 36

1015

Diferencias finitas

1 a + b + c3a + b

4a + 2b + c

9a + 3b + c

16a + 4b + c

a(1)2 + b(1) + c = a + b + c

a(2)2 + b(2) + c = 4a + 2b + c

a(3)2 + b(3) + c = 9a + 3b + c

a(4)2 + b(4) + c = 16a + 4b + c5a + b

7a + b

2a

2a

1

3

6

10

2

3

4

1

1

abc

Generalización

2

3

4

En la siguiente sucesión determina cuántas bolitas hay en la quinta figura y escribe su generalización.

Primer figura Segunda figura

Tercer figura Cuarta figura

2

6

1220

Diferencias finitas

1 a + b + c3a + b

4a + 2b + c

9a + 3b + c

16a + 4b + c

a(1)2 + b(1) + c = a + b + c

a(2)2 + b(2) + c = 4a + 2b + c

a(3)2 + b(3) + c = 9a + 3b + c

a(4)2 + b(4) + c = 16a + 4b + c5a + b

7a + b

2a

2a

2

6

12

20

4

6

8

2

2

abc

Generalización

2

3

4

En la siguiente sucesión, en la figura 1 se ven tres caras del cubo, y en la figura 2 se ven nueve caras.

Primer figuraSegunda figura

Tercer figura Cuarta figura

3

9

17

27

Diferencias finitas

1 a + b + c3a + b

4a + 2b + c

9a + 3b + c

16ª + 4b + c

a(1)2 + b(1) + c = a + b + c

a(2)2 + b(2) + c = 4a + 2b + c

a(3)2 + b(3) + c = 9a + 3b + c

a(4)2 + b(4) + c = 16a + 4b + c5a + b

7a + b

2a

2a

3

9

17

27

6

8

10

2

2

abc

Generalización

2

3

4

En la vigésima quinta figura es posible ver 152 caras

Diferencias finitas

1 a + b + c3a + b

4a + 2b + c

9a + 3b + c

16a + 4b + c

a(1)2 + b(1) + c = a + b + c

a(2)2 + b(2) + c = 4a + 2b + c

a(3)2 + b(3) + c = 9a + 3b + c

a(4)2 + b(4) + c = 16a + 4b + c

5a + b

7a + b

2a

2a

10

24

44

14

20

26

6

6

abc

2

3

4

Ejercicio a

10 , 24 , 44 , 70 , 102, …

70

Diferencias finitas

1 a + b + c3a + b

4a + 2b + c

9a + 3b + c

16a + 4b + c

a(1)2 + b(1) + c = a + b + c

a(2)2 + b(2) + c = 4a + 2b + c

a(3)2 + b(3) + c = 9a + 3b + c

a(4)2 + b(4) + c = 16a + 4b + c

5a + b

7a + b

2a

2a

5

11

21

6

10

14

4

4

abc

2

3

4

Ejercicio b

5 , 11 , 21 , 35 , 53 , …

35

Diferencias finitas

a(1)2 + b(1) + c = a + b + c

a(2)2 + b(2) + c = 4a + 2b + c

a(3)2 + b(3) + c = 9a + 3b + ca(4)2 + b(4) + c = 16a + 4b + c

- 4

- 1

4

3

5

7

2

2

abc

1 a + b + c3a + b

4a + 2b + c

9a + 3b + c

16a + 4b + c

5a + b

7a + b

2a

2a

2

3

4

Ejercicio c

- 4 , - 1 , 4 , 11 , 20 , …

11

Diferencias finitas

a(1)2 + b(1) + c = a + b + c

a(2)2 + b(2) + c = 4a + 2b + c

a(3)2 + b(3) + c = 9a + 3b + c

a(4)2 + b(4) + c = 16a + 4b + c

0

3

8

3

5

7

2

2

abc

1 a + b + c3a + b

4a + 2b + c

9a + 3b + c

16a + 4b + c

5a + b

7a + b

2a

2a

2

3

4

Ejercicio d

0 , 3 , 8 , 15 , 24 , …

15

Diferencias finitas

a(1)2 + b(1) + c = a + b + c

a(2)2 + b(2) + c = 4a + 2b + c

a(3)2 + b(3) + c = 9a + 3b + c

a(4)2 + b(4) + c = 16a + 4b + c

12

27

52

15

25

35

10

10

abc

1 a + b + c3a + b

4a + 2b + c

9a + 3b + c

16a + 4b + c

5a + b

7a + b

2a

2a

2

3

4

Ejercicio e

12 , 27 , 52 , 87 , 132, …

87

5 , 14 , 29 , 50 , 77 , …

3a + b2a

5

14

29

50

9

15

21

6

6

abc

Generalización

7727

6

a + b + c

Ejercicio f

-7 , 2 , 17 , 38 , 65 , …

3a + b2a

-7

2

17

38

9

15

21

6

6

abc

Generalización

6527

6

a + b + c

Ejercicio g

6 , 13 , 24 , 39 , 58 , …

3a + b2a

6

13

24

39

7

11

15

4

4

abc

Generalización

58

a + b + c

Ejercicio h

419

5 , 12 , 23 , 38 , 57 , …

3a + b2a

5

12

23

38

7

11

15

4

4

abc

Generalización

57

a + b + c

Ejercicio i

419

5 , 11 , 21 , 35 , 53 , …

3a + b2a

5

11

21

35

6

10

14

4

4

abc

Generalización

53

a + b + c

Ejercicio j

418

0 , 1/2 , 3/2 , 3 , 5 , …

3a + b2a

0

1/2

3/2

3

1/2

1

3/2

1/2

1/2

abc

Generalización

5

a + b + c

Ejercicio k

1/22

1/2 , 2 , 9/2 , 8 , 25/2 , …

3a + b2a

1/2

2

9/2

8

3/2

5/2

7/2

1

1

abc

Generalización

25/2

a + b + c

Ejercicio l

19/2

1/4 , 1 , 9/4 , 4 , 25/4 , …

3a + b2a

1/4

1

9/4

4

3/4

5/4

7/4

1/2

1/2

abc

Generalización

25/4

a + b + c

Ejercicio m

1/29/4

- 3 , 3 , 13 , 27 , 45 , …

3a + b2a

- 3

3

13

27

6

10

14

4

4

abc

Generalización

45

a + b + c

Ejercicio n

418

3 , 6 , 11 , 18 , 27 , …

3a + b2a

3

6

11

18

3

5

7

2

2

abc

Generalización

27

a + b + c

Ejercicio ñ

2 9

2 , 8 , 18 , 32 , 50 , …

3a + b2a

2

8

18

32

6

10

14

4

4

abc

Generalización

50

a + b + c

Ejercicio o

418

-1 , 8 , 23 , 44 , 71 , …

3a + b2a

- 1

8

23

44

9

15

21

6

6

abc

Generalización

71

a + b + c

Ejercicio p

627

0 , 2 , 6 , 12 , 20 , …

3a + b2a

0

2

6

12

2

4

6

2

2

abc

Generalización

20

a + b + c

Ejercicio q

28

3 , 12 , 27 , 48 , 75 , …

3a + b2a

3

12

27

48

9

15

21

6

6

abc

Generalización

75

a + b + c

Ejercicio r

627

4 , 15 , 30 , 49 , 72 , …

3a + b2a

4

15

30

49

11

15

19

4

4

abc

Generalización

72

a + b + c

Ejercicio s

423

1/2 , 3 , 15/2 , 14 ,45/2, …

3a + b2a

1/2

3

15/2

14

5/2

9/2

13/2

2

2

abc

Generalización

45/2

a + b + c

Ejercicio t

217/2

- 3/2 , 0 , 5/2 , 6 ,21/2, …

3a + b2a

- 3/2

0

5/2

6

3/2

5/2

7/2

1

1

abc

Generalización

21/2

a + b + c

Ejercicio u

1 9/2