INDEPENDENCIA PROMEDIO DE GRAFOS Y POLINOMIO DE

JONES. APLICACIONES EN INGENIERÍA

Nadia Srour Calvo

Observemos las siguientes moléculas:

o o o

N N

N N

N N

N N

o

oo o o

o

o

o

o

oooo

o

N N

N N

N N

N N

Una es la imagen especular de la otra. ¿Son la misma molécula?

Matemáticamente podemos abordar este problema mediante el polinomio de Jones.

Jones (medalla Field en 1990) encontró un modo de asociar a cada nudo K un polinomio

VK(t) = amtm +...+ aMtM

Recordar: dos nudos equivalentes tienen el mismo polinomio de Jones.

Si K* es la imagen especular del nudo K, entonces VK*(t) se obtiene de VK(t) intercambiando t y t-1.

VK(t) = t + t3 – t4 VK*(t) = t–1 + t–3 – t–4

K K*

En consecuencia, si VK(t) no es simétrico en la variable t, entonces VK(t) ≠ VK*(t) y por tanto K ≠ K*.

De un nudo o enlace K, podemos obtener un grafo GK mediante un proceso denominado suavización por A-cuerdas:

A los grafos obtenibles por este proceso los llamaremos grafos convertibles.

K GK

Cada grafo G lleva asociado un número entero I(G) llamado independencia promedio de G.

A cada subconjunto de vértices independiente de G le asociamos un 1 si su cardinal es par, un -1 si es impar. I(G) se obtiene sumando todos estos ±1.

Grafo lineal L6 I(L6) = 11

2

3

4 6

5

|C| C ParidadContribución

0 1 1

1 {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} –1 –6

2 {1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,6}, {2,4}, {2,5}, {2,6}, {3,5}, {3,6}, {4,6}

1 10

3 {1,3,5}, {1,3,6}, {1,4,6}, {2,4,6} –1 –4

4,5,6 No hay 1, –1, 1 0

1

Teorema (Bae, Morton)

aM = ± I(GK) am = ± I(GK*)

Corolario

K no tiene simetría especular si |I(GK)| ≠ |I(GK*)|

En efecto, |I(GK)| ≠ |I(GK*)| a⇒ M ≠ am V⇒ K(t) ≠ VK*(t) K ≠ K*⇒

NUDO O ENLACE MOLECULAR K

MOLÉCULA

GRAFO GK*GRAFO GK

I(GK) I(GK*)

TEOREMAaM = ± I(GK)

am = ± I(GK*)

INDEPENDENCIAS PROMEDIOCONSECUENCIA

Si | I(GK) | ≠ | I(GK*) |, entonces la molécula

no presenta simetría especular

POLINOMIODE JONES

DEL NUDO K VK(t) =amtm+...+aMtM

Herramientas para el cálculo de I(G)

• Ley de recursiónI (G) = I (G – v) – I (G – Nv)

• Ley de multiplicación

I (G1 G∪ 2) = I (G1) · I (G2)

• Ley de duplicaciónI (G) = I (G – w) si w duplica a v

Ejemplo 1. Leyes de duplicación y multiplicación

I (L6) = I (L3) · I (L2) = (– 1) · (– 1) = 1

En general I (Ln) = –I (Ln-3) = I (Ln-6)

L6

Ejemplo 2. Ley de recursión

v

H H-v H-Nv

I (H) = I (L5) – I (L3) = 1 – (– 1) = 2

Planteamiento del problema matemático

Encontrar grafos convertibles con independencia promedio arbitraria

Solución conocida

G1 = H

Gr (r hexágonos)

I(Gr) = r + 1

MEJORA DE LA SOLUCIÓN

Esta solución mejora la anterior en el sentido de que tiene menor número de vértices.

La construcción se basa en acoplar un Gr–1 por cada factor

primo r de I(G).

N4

N6

N8

En general, I(Nk) = I(Nk – w) – I(Nk – Nw) = k – 0 = k I(Nk – w) = (-1)2 · ∏ factores primos de k = k

I(Nk – Nw) = 0 por quedar vértices aislados

I (N6) = I (N6 – w) – I (N6 – Nw)

I (N6) = 2 · 3 · (–1) · (–1) – 0 = 6IDEA

Tabla comparativa de las soluciones

Programación con MATLAB

Los grafos G1 y G2 son los grafos más simples (con menos vértices) con independencias promedio 2 y 3 respectivamente.

G1 G2

Hemos elaborado dos programas que nos han permitido probar lo siguiente:

¿QUÉ GRAFOS SON CONVERTIBLES?

n-1

n

1

2

3

Representación estándar de un

ciclo puro

CICLOS PUROS

Los vértices rojos constituyen un ciclo puro en el grafo F, no en G.

TEOREMAS PARA DESCARTAR GRAFOS NO CONVERTIBLES

• Teorema del vértice triple

• Teorema de los índices de conexión

• Teorema de perpendicularidad

- Todo grafo convertible es bipartido.

Teorema del vértice triple

El vértice central es adyacente a tres vértices de un ciclo puro: el grafo no es convertible

Teorema de los índices de conexión

Índices de conexión i = 12, j = 11, k = 6.Como todos son mayores que tres, el grafo no es convertible.

Teorema de perpendicularidad

Los vértices adyacentes a los vértices x e y alternan en un ciclo puro: el grafo no es convertible