Álgebra

Í N D I C E

Capítulo Pág.

I. Números complejos I ....................................................................................................... 39

II. Números complejos II ...................................................................................................... 47

III. Inecuaciones de primer grado ........................................................................................... 55

IV. Inecuaciones de segundo grado ........................................................................................ 63

V. Valor absoluto ................................................................................................................. 71

VI. Inecuaciones con valor absoluto ........................................................................................ 77

VII. Repaso ........................................................................................................................... 83

B la cka m es

.

Números Complejos I

Capítulo I

Campo de los Números Complejos

Dentro del campo de los números reales (IR) podemos

2) Al par ordenado (0; 1) se le llama unidad imaginaria y se le representa por el símbolo “ ”.

siempre hallar números “x” tales que:

x2 - 1 = 0

Pero que sobre la ecuación: x2 + 1 = 0

No existe ningún número real “x” que satisfaga esta ecuación puesto que el cuadrado de todo número real es positivo o cero (x2 0) y en consecuencia: x2 + 1 > 0

Teorema

Demostración:

= (0; 1) = - 1

2 = - 1

2=

Se hace necesaria la ampliación de IR a un conjunto en el cual pueda resolverse situaciones del tipo anterior, tal conjunto es el de los Números Complejos en la que definimos un nuevo número “ ”, tal que:

= (0; 1)(0; 1) Efectuando la multiplicación:

= (0.0 - 1.1; 0.1 + 1.0)= (-1; 0)= -1

2 = - 1

Número Complejos

Finalmente:

2 = -1

Definición.- Se llama número complejo a todo par ordenado (a; b) de componentes reales.

Notación:

Forma cartesiana o binómica de un complejo

El número complejo: Z = (a; b); lo podemos expresar como:

Z = (a; b); donde: a; b IR

Z = (a; b) = a (1;0) + b (0;1)Al número “a” se le llama parte real

de “Z”: IRe(Z) =

a

Al número “b” se le llama parte imaginaria de “Z”:

1

Z = a + b

i

II m(Z) = b

En el sistema de los números complejos se define dos operaciones:

Adición: (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d)

Multiplicación: (a; b).(c; d) = (ac - bd; ad

+ bc) Observación:

Representación geométrica (Plano deGauss)

En el plano cartesiano denominaremos al eje “y” como eje imaginario y al eje “x” como eje real. Sea:

Z = a + b / a < 0 b > 0

Su representación en el plano de Gauss será como

ÁLGEBRA4

AÑO

sigue:

1) Al número complejo (x; 0) se le identifica con el número real “x”, lo cual se puede escribir:

x = (x; 0)

P Afijo

y (eje imaginario)

b

Donde OP es el radio vector del complejo:

a 0 x (eje real) Z = a + bi

3

)

Ejemplo: Z1; Z

2 y Z

3 están ubicados en el plano

de Gauss.

Imaginario

Ejemplo:

Cuál es la relación existente entre “m” y “x” para que el

3Z2 2

Z1

Real

producto:

sea un número imaginario puro.

- 4 4 S o l uc i ó n :

Luego:

-2 Z3 Efectuando la operación dada:

(m + ix)(2 + 3i) = 2m + 3m + 2 x + 3x 2

Z1 = (4; 3) = 4 + 3 ; Z2 = (-4; 2) = -4 + 2 ; Z

3 = (0; -2) = -2

Cantidades imaginarias

Son aquellos números que resultan de extraer una raíz de índice par a un número real negativo.

Agrupando términos:(2m - 3x) + (3m +

2x para que la expresión sea imaginario puro se debe cumplir que:

32m - 3x = 0 2m = 3x m =

2 x

La relación pedida es: m = 1,5x

16 - 1 = 4- 16 = 16(-1) = i Potencias enteras de la unidad imaginaria

5 - 1 = 5- 5 = 5(-1) = i

Relación de igualdad

Dos complejos son iguales, si y sólo si, sus partes reales y sus partes imaginarias son iguales respectivamente. Así:

a + b = c + d a = c b = d

Tipos de números complejos

A. Complejo real o puramente real

Es aquel número complejo que carece de la parte imaginaria; es decir su parte imaginaria es cero. Notación:

Estudiaremos el comportamiento del número: n; n ZZ, teniendo en cuenta la siguiente definición:

0 = 1; 1

=

1= 7 = 4. 3 = -2 = -1 8 = 4. 4 = 13 = 2. = - 9 = 8. =4 = 2. 2 = (-1)(-1) = 1 10 = 8. 2 = -15 = 4. = 11 = 8. 3 = -6 = 4. 2 = -1 12 = 8. 4 = 1

Se observa que las potencias de “ ” se repiten cada cuatro veces y sólo toman uno de los cuatro valores:

; -1; - ; 1

Z = a + 0 = a ; a IR

B. Complejo imaginario puro

Propiedades

1. Se observa: 4 = 1; 8 = 1; 12 = 1; ...

Es aquel número complejo que carece de la parte real; es decir su parte real es cero, además su parte imaginaria es diferente de cero. Notación:

Z = 0 + b ; b IR - {0}

esto implica que la unidad imaginaria elevada a un múltiplo de cuatro es igual a la unidad.

o

i 4 1

también:

C. Complejo nulo

Es aquel número complejo que presenta la

parte real ei1

i

Ejemplo:

o

o

i 4 2 -1

o i 4 3

o -i

imaginaria igual al número cero, es decir las dos

componentes son nulas. Notación:

Z = 0 + 0 = 0

22 = i4 2 = -1 43 = i4 3 = -o

81 = i4 1 =

1

++

-2

20

i i i i

Z

Calcular:

S o l uc i ó n :Se observa:

3682 + 1783 + -

214

o3 682 = 4 + 2

o

1 783 = 4 + 3

Opuesto de un complejo

El opuesto de un complejo: Z = a +

b , es: Z* = - a -

b

La representación geométrica de: Z = a + b (a > 0 b >

o o- 214 = -( 4 + 2) = 4 - 2

0) de su conjugado y su opuesto:

o o o b Z = a + bi 3682 + 783 -214 = i4 2 + i4 3 + i4

-2

= 2 3 + = - 1 - - 1 = - 2 -

2. + 2 + 3 + ... + 4n = 0 ; n IN

-a a (Eje real)

Ejemplo

:

Calcular

:

Solución :

1 i1 i2 i3 ... i1999

1 i i2

-bZ* = -a - bi

Propiedades

Z = a - bi

Como: 1 = 00 ; entonces el numerador será:

2000 + + 2 + 3 + ... + 1999

Ordenando:

Z; Z1; Z2 C|

1. Z = Z Z es complejo real.

1 2 3 4

0+ i5 i6 i7 i8 + ... + 2000

0

2. Z = Z

Se observa que cada cuatro términos se obtiene cero, luego el numerador será cero, entonces se tiene:

0= 0

1 i i2

3. Z = - Z = Z* Z es complejo imaginario puro.

4. Z + Z = 2IRe(Z)

5. Z - Z = 2 IIm(Z)

3. Propiedades de potenciación:

6. Z1 Z2 = Z1 ± Z2

(1 + i )2= 2 i

(1 + i )3= 2 i(1 +

i ) (1 + i )4= - 4

(1 - i)2= -2 i

(1 - i)3= -2 i (1 -

i) (1 - i)4= - 4

7. Z1.Z2

= Z1 . Z2

Z Z 1 11 + i1 - i

= i 1 - i1 + i

= - i8. = 2

; Z2 (0; 0)Z 2

Conjugado de un complejo

9. ( Zn ) = ( Z )n; n IN

Dado el conjunto: Z = a + b ; se define el complejo conjugado de Z, denotado por Z como:

10.( n Z ) =

n Z ; n IN

Z = a - b Módulo o valor absoluto de un complejo

Ejemplo:

Z = 3 + 5 Z = 3 - 5

Dado: Z = a + b ; el módulo o valor absoluto de Z es un número real no negativo denotado por |Z| tal que:

2

2

Z

Eje imaginario |Z + Z |2 =

(Z+ Z )( Z Z )

b (a; b) = a +

bi

1 2 1 2 1 2

|Z| |Z1 + Z2|2 = (Z1 + Z2)( Z1 + Z2 )

Efectuando se tiene: Eje real = Z Z +

ZZ + Z

Z + Z Z

a 1 1 1 2 2 1 2 2

|Z| = a2 b2pero:

= |Z1|2 + (Z1

Z2

+ Z2 Z1 ) + |Z2|2

Z1 Z2 + Z2 Z1

= 2IRe(Z1. Z2 )

Geométricamente, el módulo nos representa la magnitud y IRe(Z . Z ) |Z . Z |

del radio vector del complejo Z de origen (0; 0) y extremo final el afijo de Z. Entonce

s:

1 2 1 2

Ejemplo:

Hallar el módulo de los siguientes complejos:

|Z1 + Z2|2 = |Z1|

2 + 2IRe(Z1. Z2 ) + |

Z2|2

|Z1|2 + 2|Z1. Z2 | + |Z2|

2

|Z1|2 + 2|Z1|.| Z2 | + |Z2|

2

a) Z = 3 + 4 |Z| = 32 42 = 5 Pero: | Z2 | = |Z2|

b) W = 1

-3

| Z |2 2 | Z

| . | Z

| | Z |2

2 2 1 1 2 2

2 1 3 4

Trinomio cuadrado perfecto

|Z1 + Z2|2 (|Z1| + |Z2|)

2

|W| = - = = 1 2 4

Propiedades

Quitando exponentes por ser números positivos:

|Z1 + Z2| |Z1| + |Z2| l.q.q.d.

10.||Z1| - |Z

2|| |Z

1 - Z

2|

11.|Z1 + Z2|2 + |Z1 - Z2|

2 = 2[|Z1|2 + |Z2|

2]

1. |Z| 0

Z; Z1; Z2 C| Ejemplo:

Siendo Z un número complejo, calcular: M = |Z + 1|2 + |Z - 1|2

2. |Z| = | Z | = |Z*|

3. |Z|2 = Z. Z

4. |IRe(Z)| |Z|; |IIm(Z)| |Z|

5. |Z1.Z2| = |Z1|.|Z2|

si: |Z| = 2

S o l uc i ó n :Utilizando la propiedad:

M = |Z + 1|2 + |Z - 1|2 = 2[|Z1|2 +

12]como: |Z| = 2

M = 2[22 + 1] M = 10

6.Z1

Z2

Z1= ; Z2

2

(0; 0) Problemas resueltos

2

7. |Zn| = |Z|n; n IN 1. Efectuar:

1 3i 2 - 3i 8. | n Z | = n | Z |

; n IN; n 2 Z =

9. |Z1

+ Z2| |Z

1| + |

Z2|

Solución :

5 2i 1 - i

Demostración:Partiendo de la siguiente igualdad:

Multiplicando se tiene:

2 - 3i 6i - 9i2

11 3i

Z = Z = 5 - 5i 2i - 2i 7 - 3i

1

i

Multiplicando al numerador y denominador por: 7 + 3 .

11 3i 7 3i

5. Hallar los valores reales de “x” e “y” que satisfacen la ecuación:

Z = x - 2y + x - y = 2 + 5 7 - 3i 7 3i

77 33i 21i 9i2

Z =49 - 9i2

S o l uc i ó n : Ordenando: (x - 2y) + (x - y) = 2 + 5

2. Reducir:

68 54iZ =

58

68 Z =

58

5

54+

58

9

Igualando:

Resolviendo:

x - 2y 2x - y 5

1 i 1 - i W = + x = 8; y = 3

S o l uc i ó n : Se sabe: 1 i

1 - i

1 - i

=

1 i

1 - i1 i

= -

6. Cuál debe ser el valor que se le asigne a “k” a fin de que:

3 4i1 - ki

sea real; sea imaginario puro. W = 5 + (- )9 = - = 0

W = 0 Solución:

3. Simplificar:

3 4i1 - ki

es real 3 4i = a

1 - ki1 + i

1 + i 1 -1 + i

1 -

2000 3 + 4 = a - akde la igualdad: a = 3; -ak = 4

41 - i k = -

3

3 4i es imaginario puro

3 4i = bS o l uc i ó n :

Como:

entonces tenemos:

1 i1 - i

=

i 2000

1 - kide donde: 3 + 4 = bk + bde la igualdad:bk = 3; b = 4

k =

1 - ki

3

4

1 + i1 + i

1 -1 - i

i

2000 1= 1 -

oBloque I

Problemas para la clase

4. Reducir:

= 2000 = i4 = 1 1.

Simplificar:(1 i)2

Z

(1 i)2

232

4145 9 5

S = - 37 + i + i i i

S o l uc i ó n :

22.230 (401)

45

a) 1 b) 0 c) 2

1S = ( - 1)37 + i + i

37

d) -1 e) 2

1 4.230 o 45

i + i + i 2. Reducir:

S = 4

o o

i8 i13 i32

a) 1 b) 2 c) 3id) 2i e) N.A.

S = (- )37 + i4 + i4

1

o

S = - 37 + 1 + i4 1

W 2 - i17 i18

- i- i23

o

S = - i4 1 o

+ 1 + i4 1 = 1

a) -2 b) -4 c) -8d) 8 e) 16

-

2

3. Reducir: Z = (1 + i)4 + (1 - i)4 + (1

+ i)8

9. Hallar “n” para que al dividir:

5 3ni2 i

el resultado sea un número imaginario puro.

4. Simplificar:

3(1 i)6

Z (1 - i)6

2(1 - i)7

-(1 i)7

5a)

3

3d) -

5

5b) -

3

10e) -

3

3c)

5

a) -3 - 4i b) -3 - 2i c) 3 + 2id) -3 + 2i e) 2 - i

5. Reducir:

10.Reducir:

3(1 - i)

S 1 i

-i

3(1 i)

i1 - i

1 - i

- 4 3i

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

a)2

1 id)

2

b)2

ie)

2

c)2 Bloque II

1. Simplificar:

1 E

4i 1 - i

6. Dar W , si:

W 1 i

i

1 - i

1 i

i 1 - i a) 16i b) 16 c) -16

16

1 - ia)

2

1 - 4id)

2

1 ib)

2

e) -i

1 4ic)

2

d) 18 e)

2. Reducir:

S i

i

473 3i515

i9 5i989

7. Hallar el módulo del siguiente complejo: Z = 4 + 3i

a) 5 b) 5 c) 2

d) 7 e) 10

8. Hallar “a” para que el resultado de dividir:

4 3ai

2 - i

a) 3i b) i c) -i d) -3i e) 3

3. Sumar:S = (1 + i) + (2 + i2) + (3 + i3)+(4 + i4) + ... + (4n + i4n)

a) n(2n + 1) b) 2n(4n + 1)c) 0 d) n(4n + 1) e) 2n(4n - 1)

4. Reducir:18

sea un número real.

3 4 4

10111

2

i9K

141516

i13

i42367

9

18192002

i17

a) 4

3d) -

4

b) 3

2e) -

3

c) - 3 a) 3 b) -3 c) 3i

d) 1 e) -3i

5. Siendo: i = - 1 , calcular:

i i2 i3 i4 ... i1003

W 2 i i2 i3

2

1a) -1 b) 1 c)

2

Bloque III

1. El equivalente de:

1d) -

21

e) 2

i S 1 i

1 1 i

1 1 i

6. Si:

1

1 i

1 1 i

1

1 a (i 3 a)

A i 3 3i 1 i

2

1 1

2

a

9 3i 9a) 1 - i b) 1 c) 0 d) 1 + i e) i

donde: i =

- 1 ; a = 2; calcular: A4

+ 1 2. Sean los números complejos:

a) i + 1 b) 80i + 1 c) 81 d) 82 e) a + 81

m = 1 + yi i = - 1

7. El equivalente de:

x y - y x

n = u + vi

tal que: {y, u, v} z+ cumpliéndose además:m + n = a +

7imn = -7 +

11iSiendo: 2 < a < 8

es “S”. Si la raíz cuadrada del número complejo: (1 + i) es“x + yi”. Hallar el valor de “S”.

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

8. Reducir:

Calcule: a2 + y2 + u2 + v2

a) 48 b) 50 c) 52d) 54 e) 56

3. Si “Z” es un número complejo y satisface:

1 - z

W (1 i) (1 3i)

11 z

donde: i = - 1i - 3

entonces:

a) 1 - 3i b) -2 c) 10 d) 2 e) -10

9. Simplificar:

- 2 9

iS

1 i5

a) Re(z) > 0 b) Im(z) 0c) “z” es un número real.d) “z” es un número imaginario puro. e) Re(z) < 0

4. En “C| ” los valores de “x” e “y” al resolver la ecuación:

a) 1 b) i c) -i d) 10 e) 0

10.Reducir:

son:

xi1 yi

3

3x 4i x 3y

3

3 4 6 5

a) x = ±1 ; y =

± 4

b) x = ±2 ; y = ± 2

W1 - 2i 4i i - - 8 i 4c) x = ±3 ; y =

± 3

2d) x = ±3 ; y =

± 3

a) 1 + i b) i - 1 c) -1 - id) 1 - i e) 2i - 1 5

e) x = ±2 ; y = ± 4

5. Reducir:

W 1 2i

3 4i 5 6i ... + 2 002

términos2 - i 4 - 3i

6 - 5i

a) 2 002 b) 2 002i c) -2 002id) 2 000 e) 2 008i

6. Un valor de “n” que verifica la igualdad:

Autoevaluación

1. Reducir la expresión:

(1 i)n ( 2i)n 64i 1 - i9W =

1 i3a) 10 b) 5 c) 100d) 5i e) 3

7. Hallar el módulo del número complejo “z”:

z = (3 + 4i) (5 - 12i) (2 2 + i) (1 +3 i)

a) i b) - i c) 1 d) 0 e) - 1

a) 170 b) 250 c) 390 d) 420 e) 510

2. E l v a l o r d e (-

es:- 1 )4n +

3, donde “n” es entero y positivo

8. Si la gráfica del número complejo:

Z 1 ai

; a IR+

a) - 1 b)-

i

e 2 c) i

1 - ai

en el que se muestra en la figura, el valor de “a” es:

Im z

0 Re

a) 4 b) -2 c) 1 d) -1 e) 2

9. A partir de:

(1 + i)2 + (1 + i)4 + (1 + i)6 + (1 + i)8

= x + yiCalcular:

x y x - y

d) - i e) 1

3. Calcular “x - y” si se cumple:(1-i)2 + (1-i)4 + (1-i)6 + (1-i)8 = x

+ yi sugerencia, buscar en cada paréntesis (1 - i)2

a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

4. Calcular el valor de:|4 + |12i - |-3 + 4i|||

donde: i = - 1sugerencia, empezar a calcular los módulos de adentro hacia afuera.

a) 185 b) 185 c) 17d) 17 e) 16

donde: i = - 1

1a)

2

1d)

6

1b)

4

1e)

3

1c)

5

5. Calcular el valor de “a” para que el complejo:

2 - ai1 2i

sea imaginario puro.

a) 1 b) - 1 c) 010.Si: z C| , hallar “Z” en:

d) - 2 e) 2

z - 12

5

z - 8i 3z - 4

1 z - 8

a) 6 + 17i b) 4 + 9i c) 6 + 10id) 6 + 8i e) -4i

4

Números Complejos II

Capítulo II

Forma polar o t rigonomét rica de un número complejo

Ejemplo:

Hallar la forma trigonométrica de:

Sea: Z = a + b , un número complejo diferente del nulo. Es decir: |Z| 0.

Eje imaginarioZ = a + bi S o l uc i ó n

:

Z = - 1

+3

2 2

1 3 |Z| b

|Z| = - 2

2 |Z| = 1

a Eje

real

2

De la figura: a = |Z| cos ; b = |Z| sendonde:

tan = b

a

tan =-

12

Gráficamente:

- 1

+ 3

i

= - 3 = 120°

3

entonces:Z = a + b Z = |Z|cos + |Z|

sen

Z = |Z| (cos + sen)

Observación: al ángulo “” se le denomina el argumento del complejo “Z” denotado por:

Arg(Z), es decir:

2 2

- 12

Luego:

2|Z|

Arg(Z) = .

“” puede tomar infinitos valores como:

1 = ; 2 = + 2; 3 = + 4; ...

Z = - 1

+2

Observación:

3 = 1(cos120° + sen120°)

2

Argumento principal de un número complejo

De todos los valores de “”; elejimos aquel que se encuentra en el intervalo [0; 2> es decir: 0 < 2; a dicho “” se le denomina argumento principal, cuya notación es:

Arg(Z) =

- Para calcular el argumento principal de “Z” se debe

observar en qué cuadrante se encuentra el afijo de “Z”y luego calculamos a partir de:

tan = - b

a- Otra notación que se emplea frecuentemente al

expresar un número complejo en su forma polar es:

Z = |Z| (cos + sen) = |Z| cs

Así:

Observación:

Z = 5 cos

isen = 5c s4 4

ÁLGEBRA4

AÑO

- Al argumento de “Z” también se le denomina Amplitud.- El argumento es el ángulo generado por el

radio vector al girar en sentido antihorario desde el eje real positivo hacia un punto cualquiera del radio vector.

Operaciones con número complejos

Dados los números complejos:

Z = |Z| (cos + sen) W = |W| (cos + sen)

Multiplicación

para: k = 0; 1; 2; ...; (n - 1), se obtienen las “n” raíces.

Ejemplo:

Z.W:

ZW = |Z||W| (cos( + ) + sen( + )] ZW = |Z||W| c s( + )

Z = 3(cos25° + sen25°) W = 2(cos20°

+ sen20°)

Ejemplo:

Hallar las tres raíces de: 3

1

S o l uc i ó n :

Z = 1 = 1 + 0

| Z | 1 0

ZW = 6[cos(25° + 20°) + sen(25° + 20°)] 0 2k 0 2k

= 6[cos45° + sen45°]

3 1 = 1 cos

isen 3 3

División

Z | Z |

W =

| W | [cos( - ) + sen( - )]

3 1 = cos120°k + sen120°k

Si: k = 0 Primera raíz: cos0° + sen0° = 1

Si: k = 1 Segunda raíz: cos120° + sen120° =Z | Z |

W =

| W | c s( - )

- cos60° + sen60° = - 1

+3

2 2

Ejemplo:

Z ÷ W:

Z = 8 (cos65° +

sen65°) W = 2 (cos35°

+ sen35°)

Si: k = 2 Tercera raíz: cos240° + sen240° =

1 3- cos60° - sen60° = --

2 2

Z 8W

=2

[cos(65° - 35°) + sen(65° - 35°)]

= 2(cos30° +sen30°)

Finalmente:

1 1

3 1 = -

2

3 i w2

Potenciación (Teorema de Moivre)

- 1

-3 i w 2

Ejemplo:

Dado:

Calcular:

Z9

S o l uc i ó n :

Zn = |Z|n(cosn + senn) Zn = |Z|n c sn

Z = 2(cos20° + sen20°)

Z9 = [2(cos20° + sen20°)]9

Z9 = 29[cos180° +

sen180°] Z9 = 512(cos180° + sen180°)

Geométricamente:

w

w2

Propiedades

1

2 2

Eje imaginario

1Eje real

Radicación

1. 3 1 = w 2w

donde: w2 = w

nn

La raíz de un complejo es en forma general, otro complejo y tiene tantas soluciones como lo indique el índice de la raíz.

2. La suma de las tres raíces cúbicas de la unidad es igual a cero.

n | Z |cos

2k sen

2k 1 + w + w2 = 1 -

1 +

3-

1 -

3 = 0

n Z = i

2 2 2 2

1 + w + w2 = 0

3. 3 1 = w w3 = 1

4. En general “w” elevado a una potencia múltiplo de tres es igual a la unidad.

w3n = 1 ; n IN

S o l uc i ó n : Sea:

Calculando:

Z = r (c o s + sen)Z = r(cos - sen)

Z = r[cos(-) + sen(-)]

Forma exponencial de un complejo

Z r(cos isen)

Z =

r[cos(-) isen(-)]

Teorema de Euler

donde:

e = cos + sen

= cos2 + sen2

dato: argumento = 60°2 = 60° = 30°

Además:e: es el número de Euler: e 2,718281...: argumento en radianes

| (ZZ)

2 | = | (Z)4 | = |Z|4 = r4 = 16

= (0; 1) Luego

:

r = |Z| = 2

Entonces tenemos una nueva representación para el complejo.

Z1 = Z = 2 = 2(cos30° + isen30°) = 3 + i

Z2 = Z = 3 - i

Ejemplo:

Z = |Z| (cos + sen) = |Z|e 3.

Resolver: (Z - )n = (Z + )n

Expresar: Z = 1 + ; en la forma exponencial.

Donde: Z C; n ZZ+

S o l uc i ó n :Calculamos el módulo de Z:

S o l uc i ó n :

i n

(Z - )n = (Z + )n Z -

= 1|Z| = 12 12 |Z| = 2 Z i

Calculamos el argumento principal: Z - i

n 1 1 1

Z i =

= arctan = arctan

= arctan(1) =

1 1

4 Aplicando proporciones:

(Z - i) (Z i) n 1 1 Z = 2 e 4 (Z i) - (Z -

i)

=1 - n 1

Problemas resueltos

1. Calcular:

2Z2i

=n 1 1

1 - n 1

S o l uc i ó n :

Z = (cos10° - sen10°)12

Z = [cos(-10°) + sen(-

10°)]12

Calculando:

(

1 1)iZ = ...

1 - n 1

2k i

Z = cos12(-10°) + sen12(-10°) Z = cos(-120°) +

sen(-120°)Z = cos120° -

sen120°

“” en “”:

3 1 = e n

2k

(e n

...

1)i

1 3Z = - 2

- 2

Z =

1 - e

2ki n

2. El cociente de dos números complejos, conjugados entre sí, tiene argumento 60° y el conjugado del cuadrado de su producto tiene módulo 16. Hallar ambos números complejos.

donde: k = 0; 1; 2; ...; (n - 1)

4. Reducir:

[4(cos 7 isen7)]8 [2(cos 8 isen8)]9

[4(cos 9 isen9)]10 [2(cos 2 isen2)]4

S o l uc i ó n : 3

- 1

48 (cos 56 isen56)29 (cos 72 isen72)

410 (cos 90 isen90)24 (cos 8 isen8)

48.29 [cos(56 72) isen(56 72)]

Ordenando:

3

= 2 2

1 3 1 3 1

410.24 [cos(90 8) isen(90 8)

(22 )8 .29 [cos 128 isen128] (22 )10 .24 [cos

98 isen98]

6 - 1 = 2

+ 2

; 2

- 2

- 3

- 1

2 2

; ; - ; - + ;2 2

225

224 [cos(128° - 98°) + sen(128° -

98°)]

2[cos30° + sen30°]

6. Si: 1, w, w2 son las tres raíces cúbicas de la unidad.

Calcular el valor de:R = (1 + w - w2)(1 + w2 - w4)(1 +

w4 - w8) (1 + w8 - w16) ... 6n factores

3 1

2 i Solución: 2

3 +

2

Reduciendo las potencias, considerando que: w3n = 1, tendremos:

R= (1 w - w2 )(1 w2 - w)(1 w - w2 )...5. Hallar las seis raíces de 6 - 1 .

S o l uc i ó n :

Z = -1 |Z| = 1

"6n" factores

observamos que los factores se repiten en forma alternada, ordenando:

R = (1 w - w2 )...(1 w2 - w)... "3n" factores "3n" factores

=

-1

R = (1 + w - w2)3n(1 + w2 - w)3n

Recordando:

Z = 1[cos + isen] 1 + w + w2 = 0

1 w -w 21 w 2 -w

6 1 cos

2k sen 2k Reemplazando valores:6 Z =

i 6

6 (-w2 - w2)3n(-w - w)3n = (-2w2)3n(-2w)3n

como: = 180°6 Z = cos30°(2k + 1) + sen30°(2k

+ 1) Para: k = 0

[(-2w2)(-2w)]3n = (4w3)3n

R = 43n

Problemas para la clase

cos30° + sen30° =

3 +

1

Para: k= 1

Para: k = 2

2 2

cos90° + sen90° =

Bloque I

1. Cuántos complejos están puestos en forma polar o trigonométrica:

cos150° + sen150° = -cos30° + sen30° I. Z 1

= 3 [cos80º + isen60º]

= - 3

+ 1 II. Z2 = -3[cos30º + isen30º]

2 2 III. Z3 = - 2 [cos140º + isen180º]

Para: k = 3IV. Z

= 3 [cos + isen ]

cos210° + sen210° = -cos30° - sen30°

4 2 2

= - 3

- 1

2 2

Para: k = 4

a) I, II, III b) II y III c) I y IVd) Sólo IV e) N.A.

Para: k = 5

cos270° + sen270° = -

2. Expresar: Z = 1 + 3 i, en forma polar.

cos330° + sen330° = cos 30° - sen30°

a) 2[cos + isen ] b) 4[cos + isen ]

3 3 2 2

c) 2[cos

6

+ isen 6

] d) 4[cos

3

+ isen 3

]

b) 2[cos

3

+ isen 3

]

e) 4[cos120º + isen120º]

3. Expresar: Z = 3 + 3 i, en forma polar.

7c) 128[cos

3

5

7+ isen

3 ]

5

a) 2 3 [cos 5

+ isen 5

]

d) 64[cos

3

+ isen 3

]

6 6

b) 3 [cosp + isenp]

e) N.A.

7. Hallar e indicar una de las tres raíces cúbicas de la unidad:

c) 2 [cos 5 + isen 5 ]6 6

1 2 1 35

d) 3 [cos 3

5+ isen

3 ]

a) - 2

+

2

i b) - 2

+ 2

i c) -1

e) N.A.

4. Sean los complejos:

1d) -

2 +

6 i e)

2

1 +

3 i2 2

8. Hallar la forma polar del complejo:Z1

= 3[cos 6

Z

2 = 4[cos

3

+ isen 6

]

+ isen

3 ]

Z1 = 3 + i

hallar: (Z1

Z2)

a) 2[cos 6

c) 6[cos

+ isen

6

+ isen

] b) 3[cos

3

] d) 4[cos

+ isen 3

]

+ isen ]

a) 4[cos

2

+ isen 3

] b) 12[cos

2

+ isen 2

]

4 4 6 6e) N.A.

c) 3[cos + isen] d) 12[cos + isen]e) N.A.

5. Sean los complejos:

9. Hallar la forma polar del complejo: Z = -2 - 2 3 i

Z1 = 4[cos

3

+ isen

3 ]4 4 3

a) 4cis b) 2cis c) 6cis

Z

2 = 3[cos

6

+ isen 6

]

3 3 4

4 d) cis e) N.A.

3 4Hallar:

Z1

Z 2

4

10.Hallar la forma polar de:Z1 = -1 -

ia)

3 [cos

6

4

+ isen 6

]

a) 2 cis

4

b) - 2 cis

4

5c) 2 cis

4

b) 3

[cos(- 6

) + isen(- 6

)] 3c)

4 [cos + isen]

3d) cis

4

e) cis 3

4 Bloque II

d) 3

[cos

2e) N.A.

+ isen 2

]1. Expresar en forma exponencial el

complejo: Z = 1 +3 i

6. Sea el complejo: Z = (1 +3 i)

hallar "Z7" en forma polar.

ia) 2e

3

2 i

ib) 3e

3

ic) 2e 4

a) 128[cos

3

+ isen 3

]

d) 3e 3 e) N.A.

a) 1 b) 1,1 c) 1,2d) 1,3 e) 1,5

3 2

5

2. Expresar: Z = -3 + 3 i

7. Hallar la forma exponencial del complejo:Z 1 = 3 + i

en forma exponencial.

i

5 i 5 i

a) 2e

6

ib) e

6

ic) 2e 6

a) 2 3e 6

i

b) 2 2e 6

-

c) 2 3e 6

id) 3e

6

ie) e 4

d) 3e e) e8. Hallar la forma exponencial del

complejo: Z = -2 - 2 3 i

3. Sean los complejos:

4 4 4 Z1

= 2 [cos 6

Z

2 = 8 [cos

3

+ isen 6

]

+ isen

3 ]

a) 4e 3

d) e 3

ib) 3e

3

4 ie) e 3

ic) 4e 3

Hallar “Z1.Z

2”

i

9. Hallar el módulo de:Z = 1 + cos106º + isen106º

ia) 4e 2

i

b) 4e 2

c) 16e 3

d) 8e 2

e) N.A. 10.Calcular: P = ii

4. Sean los complejos:

Z1 = 4cis

3

- a) e 2

- i2

b) e

2

ic) e 2

Z2 = 3cis 6

d) e e) e

Z Bloque III

Hallar: 1

Z 2

4

a) e 63

4 i

4 i

b) e 63

3 i

c) e 34

1. Reducir:

siendo:

N 3(cis72º )(4cis70º )

(5cis38º )

10(cis17º )(2cis85º )(cis78º )

cis = cos + isend) e 2

3e) N.A.

a) 2 b) 3 c) cis180ºd) 1 e) N.A.

5. Sea: Z = 1 +3 iHallar “Z10”. 2. Efectuar:

M (2cis10º

)

(3cis40º )2

(5cis15º )4

7 ia) 1024e 3

i

b) 1024e

1 6 3

10 ic) 1024e 3 (2cis30º )2 (5cis20º )3

(24cis33º )

a) 9 + 12i b) 12 + 9i c) 4 + 3id) 1024e 3

e) N.A. d) 3 + i e) 2 - i

6. Hallar e indicar una de las tres raíces cúbicas de la unidad:

3. Si "W" es una raíz cúbica de la unidad, reducir: E = 1 + W + W2 + W3 +

W4 + ... + W1997

a) - 1 8

i2 2

d) - 1 6

i2 2

b) - 1

- 3

i2 2

e) 1

3 i

2 2

c) -1a) 1 b) W c) W2

d) -W e) 0

a) 3e b) 2e c) ed) i e) i-2

a) 1

b) 2 c) 4d) 2 e) 0

a) 22 u2 b) 21 c) 19 a) i

2e 2 b)d) 18 e) 3

4. Señale una raíz quinta de la unidad:

a) -1 b) cis 2

c) cis

Autoevaluación

1. La forma cartesiana del siguiente complejo:

5 15[cos 17 isen17]3

[2 (cos 28 isen28]2

d) cis

e) cis (cos 7 isen7)11

8

5. Reducir:

4

i - i

es:

a) 2 + i b) 2 + 2i c) 3 + i d) 2 + 3 i e) N.A.

L e 4

ie 4

e 4

- i- e 4

2. Sea el complejo:

a) 1 b) -1 c) i d) -i e) e

6. Calcular "a" en la igualdad:

Z =3

+ 1

i2 2

calcular: Z6

1

2

a

1 i

i 1-i

a) 1 b) 2 c) 3 d) - 1 e) - 2

3. Expresar: Z = 4i, en su forma trigonométrica.

7. Reducir:

W668 + W273 + W855 + W542 + W115

+ W439

a) 2[cos

2

+ isen 2

] b) 2[cos

2

- isen 2

]

siendo: 1, W, W2 las tres raíces cúbicas de la unidad.

c) 2[sen + icos ] d) 4[sen - icos ]

2 2 2 2e) 2[cos + isen]

8. Calcular el área que genera el complejo "Z" si se cumple:

2 |Z| 5

4. Expresar: Z = 1 + 3 i, en su forma exponencial.

i

9. Calcular:

E 4 27 [(2W 1)6 (2W 2 1)6 ]

d) 2ei e)

2e3i c)

i

2e 3

2e 4

siendo "W" una raíz cúbica de la unidad.

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

10.Si: 1, W, W2 son las raíces cúbicas de la unidad, calcular: R = (1 + W - W2)(1 + W2 - W4)(1 + W4 - W8) ...

"18n" factores

a) 43 b) 2n c) 43n

d) 42n e) 49n

5. Indicar verdadero (V) o falso (F):

I. [r(cos + isen)]n = n(cosr + isenr) II. cis = sen + icosIII. cos - isen = e-i

a) VFV b) FFF c) FVVd) VVV e) FFV

ÁLGEBRA4

AÑO

Inecuaciones de primer grado

Capítulo III

Desigualdades

En el campo de los números reales tenemos una propiedad de orden que se acostumbra designar con el símbolo (<). Estudiantes de Trilce para dos elementos cualesquiera a; b IR una y sólo una de las siguientes es válida:

a < b ; a = b ; a > b

esta afirmación se llama Ley de

Tricotomía.

Las desigualdades son quizá tan importantes en las aplicaciones de las matemáticas como las ecuaciones. En efecto, en el grado en que nuestro conocimiento del mundo físico se obtiene midiendo (no meramente contando), ese conocimiento se describe por desigualdades.

Si decimos que el diámetro “d” del planeta Venus es de7 700 millas, queremos decir:

7 650 < d < 7 750

Un momento de reflexión muestra que una medición absolutamente exacta de cualquier cantidad física tal como una distancia, un peso, una velocidad, etc, es completamente imposible; la precisión depende de los instrumentos de medida y tales instrumentos pueden hacerse totalmente para medir dentro de ciertas tolerancias especificadas, nunca exactamente.

También veremos después que las desigualdades son esenciales para aclarar conceptos fundamentales como el lí m it e , sobre el cual se construye todo el cálculo. Por estas razones es necesario un buen entendimiento básico de las desigualdades.

Desigualdad

Definición Observación Clases

es

la relación que existe entre cantidades que tienen dife- rente valor.

un

número "a" es positivo a > 0

un

desigualdades

Absolutas Relativas o inecuaciones

signosde relación

número "a" es negativo a < 0

también

es

aquella que se verifica para

es

aquella relación que se

> mayor que...< menor que...

a > b a - b > 0 cualquier número real

verifica sólo paraminados valores

deter-que se

mayor o igual que... menor o igual que...

a < b a - b < 0 asignada a su variable. asignen a sus variables.

ejemplo ejemplo

x2 + 4 > 0se verifica x IR

x2 + y2 + 7 > 0se verifica x; y IR

2x + 3 > 9

se verifica sólo para x > 2

Clases de intervalos

Abierto

es

Cerrado

es

Semiabierto

es

No acotados

aquel en el cual no se consi- deran a sus extremos y se representa:

<a; b> ó ]a; b[

aquel en el cual se consideran a sus extremos y se repre- senta:

[a; b]

aquel en el cual sólo se c o ns i d e ra u no d e s us extremos. - a +

donde:

gráficamente

gráficamente

gráficamente x <a; +> ó x > a

- a b + - a b +- a b +donde:

donde:x <a; b> ó a < x < b

donde:x [a; b] ó a x b

x [a; b> ó a x < b

- b +donde:

x <-; b> ó x b

- a b +donde:x <a; b] ó a < x b - +

donde:x <-; +> ó x IR

Teoremas

Adición o sustracción

si

Multiplicación Potencia Inversa

si par si

a < b c IR a ± c < b ± c

si

a < b c > 0 ac < bc

si

0 < a < b

a2n < b2n; n IN

par

a > 0 1 > 0

a

si

a < b c < d a + c < b + d

si

a > b c < d a - c > b - d

a < b c < 0 ac > bc

si

(0 < a < b) (0 < c < d)

ac < bd

a < b < 0

a2n > b2n; n IN

impar

a < b a2n - 1 > b2n - 1; n IN

a < 0 1

< 0asi

a < b ab > 0

1 >

1además a b

a < x < b ab < 0

0 x2 < max(a2; b2)

5

3

Inecuaciones de primer grado

4. Resolver:

x -

1 Son aquellas que presentan la siguiente forma:

ax + b >< 0; (a 0) Solución :

-5

3 - 5x

para obtener el intervalo al que pertenece la incógnita detal manera que verifique la desigualdad propuesta será suficiente despejar la incógnita aplicando los teoremas de desigualdades.

Problemas resueltos

Efectuando la multiplicación indicada:-5x + 1 3 -

5xReduciendo:

1 3lo cual es verdadero, implica que la desigualdad no va adepender de “x” ya que siempre se llegará a esa conclusión, entonces:

1. Resolver:

Solución :

3-1x + 2-1x + 6-1x > 5 5. Siendo: a >

1Resolver

:

x IR

x3

M.C.M.(3; 2; 6) = 6

x x+

2 +

6 >

5

Solución :

3x - 21 - a

< 4x + 5

2x 3x x6

6x> 5

6 > 5 Como: a > 1 “1 - a” es menor que cero.

Multiplicando por (1 - a) miembro a miembro cambiará

x > 5 x <5; +>

la desigualdad:

3x - 2 (1 - a) > (4x + 5)(1 - a)

2. Resolver:(3x+2)(x-5) - (12x-76) > 3(x+7)(x-

1) - 42

S o l uc i ó n :3x2-13x-10-12x+76 > 3x2+18x-

21-423x2 - 25x + 66 > 3x2 + 18x - 21

- 42-25x + 66 > 18x -

63Transponiendo términos:

66 + 63 > 18x + 25x

1 - a 3x - 2 > 4(1 - a)x + 5(1 -

a) Transportando las “x” a un solo miembro:

3x - 4(1 - a)x > 5(1 - a) + 2

Factorizando “x”:[3 - 4(1 - a)]x > 5 - 5a + 2 [3 - 4 + 4a]x > 7 - 5a (4a - 1)x > 7 - 5a

como (4a - 1), es mayor que cero:

7 - 5a

129 < 43x 43x < 129

129x <

43x < 3

6. Resolver:

x > 4a - 1

Finalmente: x <-; 3>

- x > 5

3. Resolver: Solución:

3x - 5 > 3 x -

5

S o l uc i ó n :Multiplicando ambos miembros

por (-1) cambia la desigualdad:

(

-1)(-x) < (-1)(5)x < -5

x <-; -5>

Efectuando la multiplicación indicada:3x - 5 > 3x -

5 reduciendo términos se tiene:

0 > 0lo cual es falso, en consecuencia la inecuación es incompatible:

7. Resolver: 7x - 2

25x 6

<3

9x 34<

5

x

S o l uc i ó n :

I 7x - 2

5x 6

9x

34

transponiendo el término: -2 ab

a + b 2 ab

2 3 5

De I:

II

Finalmente:

a b2

2 ab2

7x - 22

5x 6<

3 1(a + b) ab l.q.q.d.

Multiplicando por 6 ambos miembros:

3(7x - 2) < 2(5x + 6)

21x - 6 < 10x + 12

11x < 18

18

9. Si:

2

(5x - 1) <4; 9>

De II:

x < 11

... ¿a qué intervalo pertenece

13x - 2

?

5x 63

9x 34<

5S o l uc i ó n :Como: (5x - 1) <4; 9> 4 < 5x - 1 < 9

Multiplicando por 15 ambos miembros:

25x + 30 < 27x + 102

30 - 102 < 27x - 25x

- 72 < 2x

- 36 < x x > -36 ... La solución estará dada por:

Graficando:

Sumando a toda la desigualdad:4 + 1 < 5x - 1 + 1 < 9

+ 15 < 5x <

101 < x <

2Multiplicando por 3 a toda la desigualdad:

3 < 3x < 6

3 - 2 < 3x - 2 < 6 - 2

1 < 3x - 2 < 4

De donde al invertir se tiene:

- -36 18 +11

1 >1

> 1

3x - 2 4

1 1De donde:

184

< 3x - 2

<

1

1 1

o también:

- 36 < x < 11

18 x <-36;

11 >

10.Si: x; y; z IR+

Demostrar que:

3x - 2

< ; 1>4

8. Demostrar que la media aritmética de dos números positivos nunca es menor que su media geométrica, esto es: S o l uc i ó n

:

(x + y)(x + z)(y + z) 8xyz

S o l uc i ó n : Como:

1a > 0 y b > 0

2 (a + b) ab x; y IR+:

1 (x + y) xy ... (1)2

1 x; z IR+:

2 (x + z) xz ... (2)

1a > 0 a > 0b > 0 b > 0Asumiendo:

y; z IR+: 2

(y + z) yz ... (3)

Multiplicando (1), (2) y (3) miembro a miembro:

a b 1 1 1(x+y). (x+z). (y+z) xy

.xz. yz

a - b 0Elevando al cuadrado miembro a miembro:

2 2 2

1

( a - b )2 0 8 (x+y)(x+z)

(y+z) x 2 y 2 z2

a - 2 ab + b 0

(x+y)(x+z)(y+z) 8xyz l.q.q.d.

a) 1 b) 8 c) 7d) 10 e) 9

Bloque I

Problemas para la clase6.

Resolver: x - 23

x 1+

6x 4

+9

3

1. Para los pares de intervalos mostrados, graficar y dar el intervalo solución de:

A B; A B; A - B; B - A

a) x 1 b) x 2 c) x 3 d) x 5 e) N.A.

7. Resolver:- A = <3;

6> B = <5; 12]

x - 23

x 4+5

6

- A = [1; 9]B = [6; 12]

- A = <-3; 20> B = <-1; 0>

- A = <-; 2> B = <0; +>

indicando su intervalo solución.

a) x [11; +> b) x [-11; 11]c) x [2; 3] d) x IRe) x

8. Si: a < b; a, b IR+

Resolver:

a b b a- A = [-20; 2 >

B = [ 3 ; +>

- A = <-10; 5> B = [-3; 6>

2. Resolver:

b x +

a x

a +

b

a) x 1 b) x > 1 c) x 1 d) x 2 e) x 2

9. Si: a > b; a, b IR+

Resolver:

2(x - 3) + 3(x - 2) > 4(x - 1)indicando el menor valor entero que adopta “x”.

ab

x +b b a a

x < a

+

b

3. Resolver:2 - [4 - (x - 1) + 2(x - 3)] x - [2 - 3x]

a) x > 1 b) x < 1 c) x d) x IR e) x 1

10.Resolver:

a) x 1 b) x 1 c) x 0 d) x 4 e) N.A.

si: a + b < 0

(x + a)(x + b) > x2 + 2ab

ab4. Resolver:

x 1 x - 1

a) x > 1 b) x >

ab

a b

ab

2 +

3 6 c) x

< a bd) x

a bindicando el intervalo solución.

a) x [7; +> b) x [1; +>c) x [-1; 1] d) x IRe) x

5. Resolver:

e) N.A.

11.Resolver:

(x + 1)(x + 2)(x + 3) x3 + 6x2 + 10x + 12

a) x 10 b) x 4 c) x 6 d) x 6 e) x

x 23

x 6+5

x 3+7

5 12.Resolver:

indicando el intervalo no solución.

x - 12

x - 2

+3 x - 3

4

x - 4 +5

a) <4; +> b) <1; 4> c) <-1; 1>d) <-; 4> e) N.A.

hallar el mayor valor que satisface la desigualdad.

a) 2 b) 1 c) 0d) - 1 e) - 2

a) 2 b) 1 c) -3d) -1 e) -2

13.Resolver: 2 2x - 10

20

Bloque III

1. Resolver:a) x [6; 15] b) x [6; 18]c) x [-1; 1] d) x IRe) N.A.

Bloque II

x(x + 1)(x + 5) > (x + 1)(x+ 2)(x + 3)

a) <-; -1> b) <-; 1> c) <-1; +> d) <1; +> e) <-1; 1>

1. Resolver:

x 54

x - 3+

2 > 5

2. Resolver: (x2 - 1)(x + 2) x(x + 1)2

a) <-; 7> b) <7; +> c) <-; -7>d) <-7; +> e) <1; +>

2. Resolver:

a) <-; -1] b) <-; 1]c) [-1; 1] d) [-1; +>e) [1; +>

3. Resolver:(x - 1)(x - 3)2 (x - 1)2(x - 5)

3x - 24 -

x 23

x< 1 +

5

e indicar el mayor valor entero que lo verifica.

a) <-; 10> b) <-; -10> c) <-10; +> d) <10; +> e) <-; 13> 4. Resolver, si “n” IN y dar el mínimo valor de

“x”.x x x x

3. Resolver:

5x - 1 - 3x -

2 2 + x

2 +

6 +

12 +... + n(n 1) 1+2+3+...+n

4 5 30n 1

a)2

b) (n + 1)2 c)(n 1)2

a) <-; -3] b) [-3; +> c) <-; 3] d) [3; +> e) [37; +>

4. Resolver:

n2d)

2

2

(n - 1)2

e)2

3x 42 - x 8 +

52x 1

3

5. Sean “m”, “n”, “p” IR+ que verifican:(m + n + p)(m-1 + n-1 + p-1)

ahallar el mayor valor de “a” e indique como

respuesta:

a) <-; 10] b) [10; +> c) <-; -10] d) [-10; +> e) [-10; 10]

5. Resolver:

ax 2b + b <

bx 2a +

a

a3 a -

1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 9

6. Indique el máximo valor de “A” que satisface la siguiente

3 3(a < b)

desigualdad:

yx

+ y

+ z

+

x +

w Aa) <-; 5> b) <5; +> x

+ y z y w x

c) <-; -5> d) <-5; +>e) <-5; 5>

6. Resolver:

x; y; z; w IR+

a) 6 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

(a < b)

(3a - 2b)x5 + 7b

(3b - 2a)x5

+ 7a 7. Sea:

T = 1+ 1

+ 1

+2 3

1 + ... +

4

1

2003a) <-; 7] b) <-; 5]c) [5; +> d) [7; +>e) [5; 7]

entonces:

a) T <2 2004 - 2; +>

b) T <-; 2 2004 - 2>c) T <-; +> 1.

Resolver:

Autoevaluación

d) T <- 2004 ; 2004 >e) T <- 2; 2>

x - 55

x - 4+

2x - 3

+3

x<

30

8. Cuántos números enteros satisfacen el siguiente sistema de inecuaciones:

11 - 6x 1 - x < 7 - 2x

a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

9. Uno de los números pares que satisfacen el siguiente sistema de inecuaciones:

a) x <-; 4] b) x <4; +> c) x <-; 4> d) x <-4; 6> e) x <3; +>

2. Resolver:(x + 8)(x + 3) < x(x + 11) + 12

a) x <-; 3> b) x <24; +>c) x <-; 12> d) x IR

x - 3 x2

5

1 x 2

e) x

a) -2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

3. Resolver: 7x + 9 < 6x + 3 < 5x + 1

10.Hallar el conjunto solución correspondiente al siguiente sistema de inecuaciones:

x - 1 1x < 2 < x +

1

a) x <-; -6> b) x <-; -2]c) x <-; -2> d) x IRe) x

5 3 22

2 5

4. Resolver:

a < b < 0

a(x + b) + b(x - a) a2 - b2

a) ]-3; -2[ b) ]- 5

; 7

[

5 2 7

a) x - a + b b) x a - bc) x a - b d) x ae) x b

c) ]- 2

; 6[ d) ] 5

; 2

[

5e) ]-

3 ; 3[ 5.

Resolver:x x x2

+ 3

+

4

x<

6 + 5

indicar el mayor valor entero que la verifica.

a) 0 b) 3 c) 5d) 6 e) x

Inecuaciones de segundo grado

Capítulo IV

Inecuación cuadrática

Forma general:

P(x)

= ax2 + bx + c >< 0 ;

a 0

Donde: {a; b; c} IR

Del rectángulo se obtiene:

ax2 + bx + c > 0; ax2 + bx + c < 0 ax2 + bx + c 0; ax2 +

bx + c 0

La solución de la inecuación depende del primer coeficiente y del discriminante:

= b2 - 4ac

Primer caso

Si: > 0; (a > 0), el polinomio: ax2 + bx + c, es factorizable en el campo real, para resolver utilizaremos el método de los puntos críticos.

a(x - x1)(x - x2) >< 0

Procedimiento:

1. Se factoriza el polinomio.2. Hallar los dos puntos críticos, luego se

ordenan en la recta real en forma creciente.3. Es indispensable que el primer coeficiente de

cada factor lineal sea positivo, por ello se colocan entre los puntos críticos los signos (+) y (-) alternadamente de derecha a izquierda; comenzando por el signo (+).

4. Si tenemos:

P(x)

= ax2 + bx + c < 0 ó P(x)

= ax2 + bx

+ c 0

El conjunto solución estará formado por los intervalos donde aparezca el signo (-).

En forma análoga:

P(x)

= ax2 + bx + c > 0 ó P(x)

= ax2 + bx

+ c 0

El conjunto solución estará formado por el intervalo donde aparece el signo (+).

Ej e m p l o s :

Intervalos

Factorizando

Puntos críticos

Graficando

Conjunto solución

x2 + x - 20 0

( )( ) { }- +

5x2 + x - 6 > 0

20x2 - x - 1 < 0

6x2 - 13x + 6

0 ax2+

(a+1)x+1<0

2x2 + 9x + 9 0

4x2 + 7x + 3 0

2x2 - 7x + 3 < 0

ÁLGEBRA4

AÑO

( )( ) {}

-+

( )( ) {}

-+

( )( ) {}

-+

( )( ) {}

-+

( )( ) {}

-+

( )( ) {}

-+

( )( ) {}

-+

<

Segundo caso

Si: = 0; (a > 0), el polinomio: ax2 + bx + c, se transforma a un trinomio cuadrado perfecto de la forma:

(mx + n)2

>< 0

Ejemplo:

Resolver:x2 - 10x + 25

>< 0

S o l uc i ó n :Calculando la discriminante:

= (-10)2 - 4(1)(25) = 0

x 2 - 10x 25 > 0

trinomio cuadrado perfecto

(x - 5)2 >< 0

Resolviendo cada una de las desigualdades:

a. (x - 5)2 0se verifica: x IR C.S. = IR

b. (x - 5)2 > 0se verifica: x IR; a excepción de:

x - 5 = 0

x = 5 C.S. = IR -

{5}

c. (x - 5)2 < 0se observa una inecuación, la cual no se verifica para ningún valor de x IR. C.S. =

d. (x - 5)2 0la inecuación sólo se cumple si: x - 5 = 0 C.S. = {5}

Inecuación Trinomio cuadrado perfecto Conjunto

solución x2 - 6x + 9 > 0

x2 - 6x + 9 0

x2 - 6x + 9 <

0 x2 - 6x + 9

0 x2 + 4x + 4

> 0 x2 + 4x +

4 0 x2 + 4x

+ 4 < 0

x2 + 4x + 4 0

Tercer caso

Resolviendo cada una de las desigualdades:

a. (x 1)2 5 > 0Si: < 0; (a > 0), el polinomio: ax2 + bx + c, se transformaen un cuadrado perfecto más un cierto número real positivo,de la forma:

se verifica: x IR C.S. = IR =<-; +>

Ejemplo:

(mx + n)2 + k >< 0 ; k > 0

b. (x 1)2 5 0

Resolver:

también se verifica: x IR C.S. = IR = <-; +>

x2 + 2x + 6 >< 0

c. (x 1)2 5 < 0

S o l uc i ó n :Calculando la discriminante:

= 22 - 4(6)(1) = -20 < 0

Luego:

nunca se verifica pues el primer miembro siempre es mayor que cero:

C.S. =

d. (x 1)2 5 0x2 2x 1 + 5 >< 0

trinomio cuadrado perfecto

(x + 1)2 + 5 >< 0

nunca se verifica: C.S. =

Inecuació

n

x2+2x+9>

0

Completando cuadrados

Comentario

- Se verifica x IR- Nunca se verifica

- C.S.=IR=<-;+>- C.S.=

4x2-4x+6<0

x2+4x+120

x2-6x+100

x2-2x+7>0

4x2+4x+9<0

x2+6x+100

x2+8x+200

4x2-3x+1>0

2x2+x+2<0

6x2-3x+20

5x2-2x+10

Teorema del trinomio positivo

Si el polinomio:

P(x)

= ax2 + bx + c; {a; b; c} IR

tiene discriminante ( = b2 - 4ac) negativo y (a > 0), entonces:

Graficando:

= 16 - 4(M + 12) 0

16 - 4M - 48 0

-32 4M 4M -32M -8

- -8 +

Ejemplo:

ax2 + bx + c > 0 ; x IR

Del gráfico, el menor valor de “M” es -8.

Corolario

Hallar el menor de los números “M” que cumple la siguiente condición:

Si el polinomio:

2 x IR: 4x - x2 - 12 M P(x) =

ax+ bx + c ; {a; b; c} IR

S o l uc i ó n : 4x - x2 - 12

M

tiene discriminante: < 0; (a < 0), entonces:

ax2 + bx + c < 0 x IRmultiplicando a todos los términos de la desigualdada por(-1) se tiene:

x2 - 4x + 12 -M

x2 - 4x + (M + 12) 0

como se verifica x IR y el primer coeficiente es positivo

(1 > 0), entonces el discriminante debe ser menor o igual

a cero. Luego tenemos:

Problemas resueltos

1. Resolver:

= - 4 2 19

6=

- 2 193

x2 - 11x + 28 > 0

Estos dos valores representan a los puntos críticos:

Solución :

+ +

- +

= (-11)2 - 4(1)(28) = 9 > 0

Como la discriminante es positiva podremos factorizarel trinomio:

como:

-2 - 193

-2+ 193

(x - 4)(x - 7) > 0 igualando cada factor a cero:

x - 4 = 0 x = 4

3x2 + 4x - 5 < 0

la solución está en la zona negativa.

x - 7 = 0 x = 7

P.C. = {4; 7}

Graficando los puntos críticos en la recta real y aplicando la regla de los signos se tendrá:

x - 2 -3

19 ;

- 2 193

-como:

-

4 7 +

4. Hallar el menor número “M” con la propiedad: x IR: 1 + 6x - x2 M

Solución:(x - 4)(x - 7) >

0 elegimos las zonas de signo (+)

x <-; 4> <7; +>

Trasponiendo:x2 - 6x + (M - 1) 0; x IR

Luego por propiedad, discriminante 0:

(-6)2 - 4(M - 1) 0 9 - (M - 1) 010 M

2. Resolver: - x2 - 2x + 8

0

M = 10

S o l uc i ó n :El primer coeficiente debe ser positivo, entonces multiplicamos por (-1) a los miembros de la desigualdad:

5. Si “x” es un número positivo, múltiplo de 17 que satisface las siguientes desigualdades:

2

x2 + 2x - 8 0

= 22 - 4(1)(-8) = 36 > 0

5(x0 <

- 115x - 600)x(x 5)

< 1

Factorizando el trinomio se tendrá: (x + 4)(x - 2) 0

P.C. = {-4; 2}

Hallar el valor de “x”.

Solución:

Graficando:

+

- -4

+

2 +

5(x - 120)(x 5)

0 < x(x 5) < 1

5x - 600

Como: x2 + 2x - 8

0

0 <x

< 1

el conjunto solución está en la zona negativa.

5x0 <

x -

600600x

< 1 600

3. Resolver:

0 < 5 -x

< 1 -5 < - x

< -4

3x2 + 4x - 5 < 0

Dividamos a toda la desigualdad por (-600):

S o l uc i ó n : 3x2 + 4x - 5 <

0

-5- 600 >

-600- 600x

-4>

- 600

= 42 - 4(3)(-5) = 76 > 0 como el trinomio no es factorizable hacemos:

3x2 + 4x - 5 = 0Invirtiendo:

1120

>1 1x

> 150

de donde:

120 < x < 150o

x =16 - 4(3)(-5)2(3)

= - 4 76

6

como “x” es 17 x = 136

1. Resolver:

Problemas para la clase a) <-; +> b) <-; 5 - 3 >

c) <-3 - 5 ; +> d) <-3 + 5 ; +> e)

2x2 - 7x + 6 08. Resolver:

3 3x2 + 10x + 27 0

a) [2; +> b) [- 2

; 2] c) [ 2

; 2]

d) <-; 2] e) <4; +>

2. Resolver:3x2 - 7x + 4 >

0 indicar un intervalo.

a) x b) x <-; +>

c) <-; -2> d) <- 2 - 1; - 2 + 1>e) <-; -3>

9. Resolver:

3a) <-; 1> b) <-;

2 >

c) <-3; +> d) <-4; +>

1

2a) x [-

5 ;

(5 + 2x)(3 - 4x) 0

34

]

2 3e) <

3 ;

4>

b) x <-; - 5

] [ 4

; +>

5 33. Resolver: 2x2 - 3x - 9 <

0

c) x [- 2

; 4

]

e indicar la suma de valores enteros que la verifican.

5 3d) x <-; - ] [ ; +>

a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) 9

4. Resolver:x2 - 14x < -49

a) x <-7; +> b) x <-; -7>c) x <7; +> d) x IRe) x

2e) x IR

10.Resolver:

5a) x [-2;

2 ]

4

- 2x2 - x + 10 0

5

5. De los siguientes enunciados, ¿cuántas son verdaderas?

I. x2 > 0 x IRII. (x - 1)2 0 x IRIII. (x + 3)2 0 x IR

3 IV. (2x - 3)2 0 x

b) x <-; -3] [ 2

; +>

5c) x <-; -

2 ] [2; +>

5d) x [-

2 ; 2]

e) x IR

V. x2 0 x 0 2

11.Resolver: x2 - 20x -(25 + 3x2)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5 6. Resolver:

x2 + 2x - 1 < 0

a) x IR b) x IR - 2

5 c) x d) x

a) <- 2 ; 2 > b) <- 2 - 1; - 2 + 1> 2

2

c) <1 - 2 ; 1 + 2 > d) <- 2 - 1; 2 - 1>

e) <-2 - 2 ; 2 - 2 >

7. Resolver:

x2 + 10x + 27 0

e) x IR - 5

12.Hallar el mayor valor entero “m” tal que para todo x IR, se cumple:

m x2 - 10x + 32

;

;

a) 5 b) 8 c) 6 d) 7 e) 10

20.Indicar el mayor número entero “m” que satisface la desigualdad:

13.Hallar el menor número entero “M” tal que para todo x

IR, se cumpla:

x IR.2x2 - 4x + 1 > 2m

- x2 + 4x - 10 < M

a) -5 b) -3 c) -1 d) 1 e) 2

14.Resolver:

a) 3 b) -2 c) 0 d) -1 e) 1

21.Resolver el sistema:5x - 1 < x2 + 2x + 1 < 7x - 3

x3 - 1 < (x - 1)3

a) x <0; 1> b) x <-; 1] c) x [-1; 0] d) x [-1; +> e) x <-1; 1>

15.Resolver:x(x + 4)(x + 6) + 16 (x + 1)(x + 2)(x + 6)

a) x b) x {-2}c) x <-; +> d) x <2; +>e) x {2}

a) ]-; 2[ b) ]4; +[ c) ]1; 5[d) ]-; 2[ ]-4; +[ e) ]2; 4[

22.Cuántos valores verifican la siguiente inecuación:

x(2x - 28)98

- 1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) infinitos

23.Cuántos valores enteros no negativos verifican:

4x2 - 4x - 49 < 0

16.Resolver: (2x + 5)2 (5x +

2)2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

dar un intervalo solución.

a) x <-; 1> b) x [-1; +> c) x <-; -1] d) x <-; +> e) x [-1; 1]

24.Al resolver:

(x - 2)(x + 1)(x - 3) > (x - 1)(x + 2)(x + 4)

se obtiene como conjunto solución: x <; >. Indique“ + ”.

17. Resolver: 7x2 - 5x + 1

0

2 1a) b) - c) -9

5 - 2a) x

7 5 2 7

3

1d)

3

9

e) -3

14 14 25.Al resolver:

- 5 - 2

b) x 14

7 - 5 2 7

14

x2 - 5x + 2 0

se obtiene como conjunto solución: x IR - <m; n>.

Indique “m + n”.c) x [-2 7 ; 2 7 ]d)e)

x IRx

a) -5 d) 4

b) -1 e) 5

c) 2

18.Resolver: (x - 1)2 - x2 -(x -

2)2

26.Si la inecuación: x2 - mx + n < 0

dar el conjunto no solución.

a) x [1; 5] b) x [5; +> c) x <-; 1] d) x <-; 5] e) x <1; 5>

presenta como conjunto solución: x <3; 5>. Hallar“2m + n”.

a) 23 b) 18 c) 31 d) 15 e) 24

19.Indicar el mayor valor de “”, si:

x2 + 10x + 31

27. Si la inecuación: -5x2 + x + > 0

se cumple x IR.

a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 25

presenta como conjunto solución: <-5; 5>, luego el valor de “ - ” es:

a) -125 b) 5 c) 10d) 12 e) 25

;

2 2

28.Dados los conjuntos:

2. Resolver: x2 - 13x + 30 < 0

A = {x IR / x2 - 5x + 4 < 0} B = {x IR / x2 - 5x + 6 > 0}

Hallar “A B”.

a) x <3; +> b) x <-; 10>c) x IR d) x e) x <3; 10>

a) x b) x IRc) x <2; +> d) x <2; 3>e) x <1; 2> <3; 4>

3. Resolver: x2 + x - 1 0

29.Si: - 1 - 5

- 1 5 - 1 5

ax2 + b + x < 0se verifica x IR, ¿qué tipo de número es “b”?

a) ;

2 b)

; 4

a) cero b) positivo c) negativo d) impar e) entero

30.Si:

c) x d) x IR

- 1 5 e) - ;

2

tal que la expresión:

m <a; b>

x2 + 1 < 2x2 + x + m < 3x2 + 2se verifica para cualquier tipo de valor para “x”, encontrar el valor de:

4. Resolver: 4x2 - 12x + 9 0

4(a + b)

a) 32 b) -8 5 c) -16 d) -16 2 e) N.A.

Autoevaluación

a) x IR b) x c) x <4; +> d) x <-; 4]e) x [-4; 4]

5. Resolver:-6x2 - x + 2 0

1. Resolver:

1 - b) x [-; 1]x2 - x - 12 0

a) x <-; -3] [4; +>

a) x

2

2 ; 1

- d) x IRb) x [-3; 4]c) x [4; 6]d) x [-5; -3]e) x

c) x 3

e) x 2

ÁLGEBRA4

AÑO

-

Valor absoluto

Capítulo V

Definición

Se llama valor absoluto de un número real “x” y se denota por |x| al número real no negativo que cumple:

2. |x| = 0 x = 0

Ejemplo:|x - 2| = 0 x - 2 = 0 x = 2

5

x;|x| =

x 0 x 0

x;

también: |x| = 0;- x;

x 0 x 0 x 0

|2x - 5| = 0 2x - 5 = 0 x = 2

3. |xy| = |x| |y|

Ejemplos:

|3| = 3; pues: 3 > 0|x2 + 1| = x2 + 1; pues: x2 + 1 > 0

Ejemplo: |2x| = |2| |x|

|(x - 2)(x - 6)| = |x - 2| |x - 6|

|-5| = -(-5) = 5; pues: -5 < 0

| 3 - 7 | = -( 3 - 7 ) = 7 - 3 ;x

4. y| x |

= | y | ; y 0

pues: 3 - 7 < 0|0| = 0

Interpretación geométrica

Ejemplo:

x2

x - 3

| x |= | 2 |

| x - 3 |

La distancia de un número real al cero se denomina valor absoluto y se le representa entre barras.

Ejemplo:

|-6| |6|

5. |x2| = |x|2 = x2

Ejemplos:

x = | x |

- -6 0 6 +

|(x - 5)2| = |x - 5|2 = (x - 5)2

|x2| = x2

|(x - 2)2| = (x - 2)2

El valor absoluto de -6 es 6, ya que la distancia de -6 al 06.

es 6 y se representa como: |-6| = 6. También: |6| = 6.x 2 = |x|

En general:

|-x| |x|

Ejemplos:

(x - 5)2

(x 1)2

= |x - 5|

= |x + 1|

- -x 0 x +

7. -|x| x |x|

Propiedades

1. |x| 0; x IR

Ejemplo:|x2 - 2x| 0; x IR

8. |x| = |-x|

Ejemplos

:|5| = |-5||3| = |-3|

|x - y| = |y - x||x - 2| = |2 - x|

4

9. |x + y| |x| + |y|

Demostración:

|x + y|2 = (x + y)2 propiedad “5”

4. Resolver:

Solución :

|3x - 1| = x

Desarrollando: |x + y|2 = x2 + y2 +

2xy

Como no se conoce el signo de “x”, debemos considerar:

x 0 (3x - 1 = x 3x - 1 = -x)

Se sabe: |x|2 = x2; |y|2 =

y2

1x 0 (x =

21

x = 4

)

Reemplazando tenemos:|x + y|2 = x2 + y2 + 2xy

... I De otro lado:xy |xy| propiedad “7”

multiplicando por 2:

Como:

1x =

21

> 0 x = 4

> 0

1 ; 1

2xy 2|xy|ahora sumando a ambos miembros:|x|2 + |y|2 tenemos:

| x |2 | y |2 2xy |x|2+|x|2+2| x || y |

C.S. = 2

I

|x + y|2 (|x| + |y|)2

De donde:|x + y| |x| + |y|

|xy|

5. Resolver:

Solución :

4x - 13

= 2x

Ecuaciones con valor absoluto

2x 0 x 0, debemos hallar soluciones contenidas en el intervalo: [0; +>

Teoremas

4x - 13

4x - 1

= 2x 3

= - 2x

1. |x| = a a 0 (x = a x = -a)2. |x| = |a| x = a x = -a

Problemas resueltos

1. Resolver:|2x - 1| = 7

4x - 1 = 6x 4x - 1 = - 6x

1 1x = -

2 x =

10

- 1 0 1 x

2 10

1S o l uc i ó n : 7 > 0 (2x - 1 = 7 2x - 1 =

-7)

Vemos que: -

2

[0; +>:

1 7 > 0 (x = 4 x = -

3) C.S. = {-3;

4}

C.S. = 10

2. Resolver: |x - 2| = 5

6. Resolver:

Solución :

|5x - 1| = x + 3

S o l uc i ó n :

3. Resolver:

5 > 0 (x - 2 = 5 x - 2 = -5)

5 > 0 (x = 7 x = -3)

C.S. = {-3; 7}

|4x - 1| = -6

x + 3 0 x -3 x [-3; +>5x - 1 = x + 3 5x - 1 = -(x +

3)4x = 4 6x = -

2

1x = 1 x = -

3

S o l uc i ó n :Como: -6 < 0, no hay solución, ya que el valor absoluto siempre es positivo, por lo tanto: C.S. =

-3 -

1 1 x

3

Vemos que las soluciones están contenidas en el intervalo: [-3; +> Problemas para la clase

1 Bloque I C.S. = -

3 ; 1

7.

Resolver

:

S o l uc i ó n

:

|2x - 1| = |x|

1. Encuentre el valor de las expresiones que se dan a continuación para: x = -4 ; y = 2 ; z = -3

a. |2x - y|

b. 2|x| - |y|

2x - 1 = x 2x - 1 = -x

1x = 1 x =

3

c. |xyz|

d. |xy|z1 C.S. = 3

; 1 xz

8. Resolver:

e. y

S o l uc i ó n :

|x2 - 5x| = 6

x2 - 5x = 6 x2 - 5x = -6

x2 - 5x - 6 = 0 x2 - 5x + 6 = 0

xf. y

z

xzg.

y

(x - 6)(x + 1) = 0 (x - 3)(x - 2) = 0

C.S. = {-1; 2; 3; 6}

9. Resolver:|x - 2| + |3x - 6| + |4x - 8| = |2x -

5|

x - yh.

z

x 2z

S o l uc i ó n :|x - 2| + |3(x - 2)| + |4(x - 2)| = |2x -

5||x - 2| + 3|x - 2| + 4|x - 2| = |2x -

5|8|x - 2| = |2x -

5||8x - 16| = |2x -

5|8x - 16 = 2x - 5 8x - 16 = -(2x -

5)6x = 11 10x =

21

i.y

x - yj. 3y z

x - yk. 3 y z

11x =

621

x = 10

11 ; 21

xyl. x y

10.Resolver: C.S. =

6

10 x y

z m.x y z

Solución :

|3x - 2| |2x + 3| + |x - 5| 2. Resolver la

ecuación: |x - 5| = 4

3x - 2 = (2x + 3) + (x - 5)

2x 3 + x - 5 | | 2x 3 |+| x - 5 |

indicando la mayor solución.

|

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 9

Propiedad “9”

| + | || + ||3. Resolver la ecuación:

Vemos que se cumple la desigualdad triangular, por lo tanto:

C.S. = IR

| 2x + 3 | = 7 hallar el número de soluciones.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 8

4. Resolver la ecuación:|3x - 8| =

4 indicar una solución.

4

2. Resolver la ecuación:

x 3x - 3 = 7

a) 1 b) 2 c) 3

d) -6 e) 20

5. Resolver la ecuación:|4x - 9| =

11 hallar una solución.

a) 4 b) 5 c) 2 d) 3 e) 4

6. Resolver la ecuación:|4x + 5| =

15 indicando una solución.

hallar el número de soluciones.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

3. Resolver:

2x 1x - 1 = 3

hallar el número de soluciones.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

4. Resolver:5

a) 2

1d)

7

2b)

5

1e)

5

1c)

3

|x| 5

a) x [-5 ; 5] b) x <- ; -5] [5 ; +>c) x IR d) x e) x IR+

7. Resolver la ecuación: |8 - x| =

4

5. Resolver: |x2 - 4x| = 0

hallando el número de soluciones.

hallar el número de soluciones.

a) 1 b) 2 c) 3 a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 7 d) 4 e) 5

8. Resolver la ecuación:|7 - 2x| = 9

6. Resolver: ||x - 3| - 5| = 0

hallar una solución.

hallar el número de soluciones.

a) 1 b) -1 c) 2 a) 1 b) 2 c) 3d) -2 e) -3 d) 4 e) 6

9. Resolver la ecuación:|3x - 2| = |2x + 3|

7. Resolver: |x2 - 4| = x - 2

hallar el número de soluciones.

indicando el número de soluciones.

a) 1 b) 2 c) 3 a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6 d) 4 e) 5

10.Resolver e indicar una raíz.|x - 4| = |5 - 2x|

8. Resolver: x2 + 6 = 5|x|

a) 3 b) 4 c) 9 d) 10 e) 20

Bloque II

1. Resolver la ecuación hallando el número de soluciones.

|5x| = 6 -

x

indicando el número de soluciones.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

9. Resolver:x2 - 2x + 3|x - 1| =

9 indicar la suma de sus soluciones.

a) 1 b) 2 c) 3 a) 4 b) 2 c) - 2d) 4 e) 6 d) 6 e) - 6

a) 4 b) 3 c) 2d) -3 e) -4

10.Hallar el número de soluciones:

||x| - 1| = x

a) {-1} b) {1;1/2} c) {-1/3}d) {1} e) {-1;-1/3}

a) 1 b) 2 c) 3 6. Resolver:d) 4 e) 0 | 2x + 4 | = | x - 10

|Bloque III

1. Resolver: |2x - 1| =

x

a) {-2} b) {-14} c) {-14; 2}d) {-14;-2} e) {14}

7. Resolver:x2 - 4|x| + 4 = 0

a) {-1 ; -1/3} b) {-1 ; 1/3} c) {1/3} d) {1 ; 1/3} e) {1}

2. Resolver:

indicar el número de soluciones.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

| 3x - 1 | = x + 7

8. Resolver: |6-x-x2-x4| - |x4+x2+x-6|+|x2-9|

=0a) {4} b) {-3/2} c) {-3/2 ; 4}d) e) IR

3. Resolver:|x2 - x + 1| =

13 indicar la menor solución.

hallar la suma de soluciones.

a) 0 b) 1 c) 2 d) -3 e) 4

9. Resolver:

|2x + 9| = x - 1 hallar la suma de soluciones.

4. Resolver:

38a) -

38

b) -10 c) - 3

|x - 1| = x2 - x - 1

a) { 2 ; 2} b) {- 2 ; 2}

c) {-2;2} d) { 2 ; - 2 }

d) absurdo e) ecuación compatible

10.Indicar la suma de soluciones:3|x + 1| + |x - 8| = 19

e) { 2 ; -2}

17a)2

9b) 4

5c) 7

5. Resolver: |2x + 1| = |

x|

17d) -

2 e) N.A.

1 2

Inecuaciones conValor absoluto

Capítulo VI

Teoremasx 0 x

25

2 x

31. |x| b b 0 (-b x b)2. |x| b x b x -b

Intersectand

o

3. |x| |y| x2 y2

Problemas resueltos

Graficando:

2 2x

5 x

3

1. Resolver: |x| 3

- 25

2 +3

2 ; 2

Solución:

2.

Resolver

:

S o l uc i ó n

:

|x| 3 3 > 0 (-3 x 3) -3 x 3 x [-3; 3]

|x - 2| 5

|x - 2| 5 x - 2 5 x - 2 -5

5. Resolver:

S o l uc i ó n :Entonces tenemos:

x 5

1| 2x - 3

|

3

< 1

x 7 x -3 x <-; -3] [7; +>

3|2x - 3| > 1 x

2

3. Resolver: |x - 3| < 5

Uniendo:

2x - 3 > 1 2x - 3 < -1 x > 2 x < 1

S o l uc i ó n :Como: 5 > 0; solo consideramos:

- 3 +2

-5 < x - 3< 5 sumando 3 a toda la desigualdad:

-5 + 3 < x - 3 + 3 < 5 + 3

-2 < x < 8

x <-2; 8>

4. Resolver:

6.

Resolve

r:

S o l uc i ó n

:

ÁLGEBRA4

AÑO

x 0

x <-; 1> <2; +> |x - 5| > |2x + 3|

S o l uc i ó n :

x|2x - 1|

2

Por el teorema “3”, la inecuación es equivalente a:

(x - 5)2 > (2x + 3)2

(x - 5)2 - (2x + 3)2 > 0

Diferencia de cuadrados:[(x- 5) + (2x + 3)][(x - 5) - (2x +

3)] > 0 [3x - 2][-x - 8] > 0x 0 -

x2 2

2x - 1 x 2

II

Multiplicando por (-1) al segundo factor: (3x - 2)(x + 8) < 0

2(- x 4x - 2 x)

I

x 0 (-x 4x - 2 4x - 2x)

De donde: x

- 8;3

I

II

7. Resolver:

S o l uc i ó n :

|x - 2|2 > 4|x - 2| + 5

|x - 2|2 - 4|x - 2| - 5 > 0

1. Resolver:

Problemas para la clase

|x| > 6

Queda:

(|x - 2| - 5)(|x - 2| + 1) > 0

|x - 2| - 5 > 0

|x - 2| > 5x - 2 > 5 x - 2 < -5 x > 7 x < -3

a) x <-; -6> <6; +>b) x <-6; 6>c) x IRd) x e) x <-6; 0>

2. Resolver:

- -3 7 +|x - 1| > 7

8. Resolver:

x <-; -3> <7; +>

|x2 + x - 2| < |x2| + |x - 2|

a) x >8 b) x < -6c) x < -6 x > 8 d) x IRe) x

3. Resolver:

S o l uc i ó n :

sólo si: ab < 0

|a + b| < |a| + |b|

|x + 1| < 5

a) x <-; -6> <4; +>b) x IR

Dando forma a la inecuación propuesta:

|(x2) + (x - 2)| < |x2| + |x - 2|

del teorema se tiene:x2(x - 2) <

0x - 2 < 0 x 0

x < 2x <-; 2> - {0}

c) x d) x <-6; 4>e) x [-6; 4]

4. Resolver: |2x - 3| 7

le restamos el cero, pues: x = 0, no verifica la inecuación original.

9. Resolver:|3x - 7| x - 3

S o l uc i ó n :3x - 7 x - 3 3x - 7 -(x - 3)

2x 4 4x 10

5x 2 x

2 x IR

10.Resolver:

a) x [-2; 5] b) x [-1; 2]c) x [-1; 5] d) x [-5; 2]e) x [0; 7]

5. Resolver:|x - 4| 1

a) x ]-3; 5[b) x ]-8; 3[ ]5; +[c) x ]3; 5[d) x ]-; 3[e) x ]-; 3[ [5; +[

6. Resolver:|x - 3| < 5

indique el número de valores enteros que verifican.

Solución :

|x + 1| < |x - 2|

a) 11 b) 10 c) 9 d) 8 e) 7

Elevando al cuadrado:|x + 1|2 < |x - 2|2 (x + 1)2 < (x - 2)2

7. Resolver: |2x - 1| 5

(x + 1)2 - (x - 2)2 < 0

2

Diferencia de cuadrados:[x + 1 + x - 2][x + 1 - x +

2] < 0 (3)(2x - 1) < 06x - 3 < 0 6x <

3

indique la suma de valores enteros que verifican.

a) 6 b) 4 c) 3 d) 1 e) 0

8. Resolver:1

x < 2 x - ;

1|x2 - 7| > 9

indique la suma de valores enteros que verifican.

3;

-

a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e)

9. Resolver:|3x + 4| 5x + 1

16.Resolver:

- ; - 13

x - 5x 3 7

1 3 -

1 ;

a) x [-2; +>

a) x 5 2

b) x 5 13

; - 2

- ; 1 b) x 3

c) x

e) N.A.

10.Resolver:

5

d) x

|2x - 1| x + 1

c) x [-2; -1]d) x IRe) x

17. Resolver:

x 1a) x [2; +> b) x <-; 0]c) x [0; 2> d) x <0; 2>e) x <-; 0] [2; +>

- ; 3

x - 1 < 4

5 ; 11.Resolve

r: |x + 7| < |x - 3|

a) x 5 3

3 ;

5a) x <-; -2> b) x <-; 2]c) x d) x <-2; +>e) x IR

b) x 5 3

c) x IRd) x

12.Resolver: - ;

3

3 ;

|x - 14| |x + 4|

a) x [5; +> b) x [5; 7]c) x <-; -12] d) x IRe) x <-; 5]

e) x 5 5

18.Encontrar el intervalo a que pertenece “x” de tal manera que la expresión:

13.Resolver: |x - 3|2 - 3|x - 3| - 18 >

0

sea un número real.

8- | x 2 - 1 |

a) x <-; -3> <9; +>b) x <-3; 9>c) x [2; 6>d) x [-2; 4>e) x

14.Resolver:|x - 4|2 + |x - 4| - 6 0

a) x [2; 6] b) x [-6; +>c) x [1; 7] d) x IRe) x <-; 5]

15.Resolver:|5 - 3x| > 2x +

6dar como respuesta el mayor valor entero negativo que verifica.

a) - 1 b) - 2 c) - 3 d) - 4 e) - 5

a) x [-3; 3]b) x <-; -3] [3; +>c) x [-3; +>d) x <-2; 6]e) x IR

19.Resolver:|2x - 3| |x + 2|

y dar el mayor valor entero negativo.

a) -1 b) -2 c) -3d) -4

20.Resolver:

e) -5

x 2 - 2x - 5

x 2 4x - 7 <

1

y dar el mayor valor entero negativo.

a) -3 b) -2 c) -1 d) -10 e) -11

;

0+

21.Resolver:

2x

+ 3 x

7

26.Resolver: |x - 2|2 - 2|2 - x| - 15 > 0

2 2 4

a) x [-1; 1] b) x IR c) x 1 d) x -1 e) x

22.Resolver:||x| + 2| |x|2

a) x <-; -2] [2; +>b) x [-2; 2]c) x [0; 2]d) x [-2; 0]e) N.A.

23.Resolver e indique una solución:

2 1

a) x IR - [-2; 6] b) x IR - [-3; 7] c) x IR - [-2; 7] d) x IR - [-3; 6] e) x IR - [-1; 6]

27. Resolver:

I. |x - 3| < 2II. |x + 1| 3III. |x - 1| > 2IV. |x - 2| 5V. |x - 4| > -6

Indicar el conjunto solución que no corresponde a alguno de ellos.

a) IR - [-1; 3] b) [-4; 2]c) <1; 5> d) IR - [-4; 2]

x 1 x - 1

e) IR - [-3; 7]

1 a) x 3

3b) x [1; 3]

28.Resolver: |x2 - 4| (x + 2)2

1 a) x [0; 2] {-2} b) x [0; 6] - {2}c) x [

3 ; 1> d) x [-2; 3] c) x IR+ - {-2} d) x IR 0 {-2}

e) x [-1; 3]

24.Resolver:|x2 + 7x - 2| > |x2 - 2x + 5|

e) x IR

29.Al resolver: |x2 - 2| < 14

a) x

b) x

c) x

- 3

; - 12

- 3

; 02

- 3

; - 12

1 ;

9

7 ;

9

7 ;

9

se obtiene que: x <n; m>.Indique “n - m”.

a) -6 b) -8 c) 5d) 12 e) 6

30.Al resolver la inecuación:

1 3

x 2 - 4x 8 4x 2 - 4x 2

d) x

e) x

- 3

; - 12

1 ;

9se obtiene el conjunto solución “S”, luego podemos afirmar:

a) S [-14; 5] b) S [-8; 9]25.Resolver: |x2 + x - 1| |x2 - x +

3|

c) S [-8; 5] d) [4; 5] Se) S [-9; 1]

a) x [2; +>b) <-; 2]c) <-; 2>d) x <-; 1> [2; +>e) <-; 1> <2; +>

-

-

-

1. Resolver:

Autoevaluacióna) x <-; 9> b) x [9; +>c) x <-; 12> d) x e) x IR

4 ; 2

|3x - 1| 5

4 ;

6

4. Resolver: |3x - 5| 13

a) x 3 b) x

3 8

2; 4

a) x [6; +> b) x - 3

c) x e) x IR

3

d) x

c) x IR d) x

- ; - 8 3

2. Resolver:

8 ; 6

|x - 3| > 6

a) x IR b) x <-; -2>c) x <6; +> d) x <3; 9>e) x <-; -3> <9; +>

e) x 3

5. Resolver:|x - 5| > |x + 7|

3. Resolver: |x + 6| > 2x -

3

a) x <-; -3> b) x <-3; +>c) x <-; 3> d) x e) x <-; -1>

Repaso

Capítulo VII

Problemas resueltos

3. Si:A = {z C| / z2 + z 2 = 1}

1. Simplificar: B = {z

C|/ |z| = 1}

(x 2 xy x)

- 1 - x - y - 1

Determinar “A B”.

Solución :

(x y 1) - 1

S o l uc i ó n :En “B”, si: |z| = 1, asumimos:

z = cos + isen

Transformando el numerador: de

“A”:

z = cos - isen

x(x y 1)=

- 1 - (x y 1)

z2 + z 2 = 1

(x y 1) - 1

reemplazando: z y z :(cos + isen)2 + (cos - isen)2 = 1

= (x y 1

(x y 1)- 1 - 1) x=- 1

- 1 - 1

- 1

cos2 + isen2 + cos2 - isen2 = 1

1cos2 =

Racionalizando:

(x - 1 - 1)(

- 1)=

2

2 =3

= i

6 z = e 6

(

= - x -

- 1)(

- 1

- 1)

= x + - 1

2 = 53

=5 5i

6 z = e 6

- 1 i 5i

2. Hallar los números complejos “z” que satisfacen las igualdades: 4.

Graficar:

A B = { e 6 ; e 6 }

z - 12 5 z - 4R = {x C|

/ |ReZ| + |ImZ| 1;

Solución :

z - 8i = 3 z - 8 = 1

0 ArgZ 2

}

Sea: z = x + yiReemplazando en los datos:

3|(x - 12) + yi) = 5|x + (y - 8)i| ...

S o l uc i ó n :Dado el complejo: Z = a + bi

b

|(x - 4) + yi| = |(x - 8) + yi| ... Arg(Z) = Arctan

Aplicando módulos, en “”:9[(x - 12)2 + y2] = 25[x2 + (y -

8)2]en “”:

(x - 4)2 + y2 = (x - 8)2 + y2

como:

a

0 ArgZ

2

Reemplazando: x = 6, en “” y “” se tiene:

(2x - 12)(4) = 0 x = 6

9[36 + y2] = 25[36 + (y - 8)2]

y2 - 25y + 136 = 0 (y - 17)(y - 8) = 0 y = 17 ó

y = 8 los números complejos son:

ÁLGEBRA4

AÑO

6 + 17i ; 6 + 8i “b” y “a” son positivos. piden graficar:

|a| + |b| 1 resultando:

Parte imaginaria1

Parte real 1

a) 0 b) 1 b) 4d) 8 e) 41

ww

5. Si:1; w1; w2

son las soluciones de la ecuación: w3 = 1 y siendo:

x = a + b

y = a2w1 + b2w2

z = aw2 + bw1

4. Hallar “b” para que el conjunto Z sea imaginario puro.

3 4iZ = 1 bi

Calcular:

x 2 y - z2 2ab x 2

3a) -

44

b) 3

c) 2

S o l uc i ó n :

1Se pide: w = 3 1 =

2asumiendo por comodidad:w1 = w w2 = w2

esto implica:x = a +

by = a2w + b2w2

z = aw2 + bw entonces:x2 = (a + b)2

z2 = a2w4+2abw3+b2w2 = a2w+2ab+b2w2

se pide:

x 2 y - z2 2ab

=x 2

(a b)2 a2 w b2 w2 - a2 w - 2ab - b2 w2 2ab

= 2(a b)

(a b)2

=(a b)2

= 1

d) 1 e) 0

5. Si: a; b IR indicar la condición para que:

a bi b ai

se convierta en un número real.

a) a + b = 1 b) ab = 1c) |a| = |b| 0 d) a - b = 1 e) a + b = ab

6. Dado el siguiente complejo:

(cos 45 isen45)(cos 60 isen60)5

(cos 40 isen40)3

señalar la(s) alternativa(s) correcta(s):

I. Es imaginario puro. II. Es un complejo real. III. Tiene módulo 1.IV. Su argumento es 360°. V. Su conjugado es -i.

a) I, III, IV b) II, III, IV c) Sólo IIId) Sólo II e) Todas

7. La forma cartesiana del siguiente complejo:

Problemas para la clase (cos 16 isen16)4

(2 (cos 28 isen28))3

1. Resolver: (1 + i)4 - (1 -

i)4

es:(cos 8 isen8)11

a) 0 b) 4 c) 8 d) 16 e) 12

2. Reducir:

a) 2 + i b) i + 2c) 2 + 2i d) 2 + 6 i e) 3 + i

8. Calcular:1 i1 - i +

1 -

i1 i

+8

(1 i)4P = (1 + w)(1 + w)2(1 + w2)3(1 + w2)4

siendo “w” una raíz cúbica de la unidad. (w 1)

a) 1 b) 2 c) 4 d) -2 e) -1

3. Reducir:

a) 0 b) 1 c) -w d) w2 e) w

1 i5

1 - i5

21 - i5

1 i5

0

2 2

9. Si:

1; w; w2 4(x 2

1 <

- 115x - 600)< 2

son las tres raíces cúbicas de la unidad, calcular el valor de:

M = (1+w-w2)(1+w2-w4)(1+w4-w8)... 100 factores

a) 2100 b) 250 c) 225

d) 2200 e) 2300

10.Calcular:

x(x 5)

hallar la suma de las cifras del número “x”.

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

17. Resolver:5x2 - 2x + 10 <

9

2 50

2 i a) x IR

b) x <1 - 3 ; 1 + 3 >c) x

a) 1 b) -1 c) i d) -i e) 0

11.Sea un número complejo:

z (0; 0)tal que verifica z 2 = z, exprese el argumento de “z” si pertenece al tercer cuadrante.

a) 210° b) 225° c) 240°d) 200° e) 270°

12.Si: |z| = 5 hallar:

M = |2 + z|2 + |2 - z|2

d) x IR - <1 - 3 ; 1 + 3 >e) x <- 3 ; 3 >

18.Resolver:3x2 + x + 8

0

a) x [-1 + 2 ; 1 + 2 ]b) x IRc) x d) x IR+ e) x IR+

19.Si:

(a 1)x 2 ax a

a) 51 b) 52 c) 57 x 2 x 1> 2; x IR

d) 58 e) 60 entonces “a” pertenece al intervalo:

13.Resolver:

x - 5

x - 4 x - 3 x

a) <-; 2> b) <2; +>

2 2; 2> d) <-; >

5 +

2 +

3<

30c) <

3 3

2a) x <-; 4] b) x <-; 4>c) x <4; +> d) x <3; +>e) x <4; 6>

14.Resolver:

e) <-; 3

> <2; +>

20.Resolver:|2 - 3x| = 0

1 1(x+2)(x+1) +

x 5 < x(x+2) +

x 5

2 2 3a) b) - c)

a) x <-5; -2> b) x <-; -2> - {-5}c) x <-; 2> d) x <-2; +>e) x <-2; +> {-5}

3 3 2d) 0 e) 1

21.Resolver:

15.Resolver: (x + 8)(x + 3) < x(x + 11)

+ 12

|-2 + 3x - x2| = 0

a) x <-; 3> b) x <24; +>c) x <-; 12> d) x IRe) x

16.Si “x” es un entero positivo múltiplo de 73, que verifica la desigualdad:

a) -2 b) 1 c) 0d) 3 e) 4

a) 1 b) 2 c) {1; 2}d) {-1; 2} e) {1; 3}

22.Resolver y dar la suma de soluciones que la verifican:

|x2 - 3| = 3 - x

23.Resolver: |2 - 3x| = 3x -

2

28.Si:

además:

Z = cos + isen

2a)

32

b) IR c) [ 3

; +>w = Z + Z

indicar la parte real de “w”.

2 + Z3

d) -1 e) N.A.

24.Resolver y dar la suma de la solución mayor y menor que verifican la ecuación:

|x2 - 5| = 4

a) 2 b) 3 c) -1 d) -2 e) 0

a) cos3b) cos6c) cos3 + cos2 + cosd) sen3e) sen + sen2 + sen3

29.Reducir:

25.Resolver y dar la mayor solución entera.

|x2 - 5| = |3x - 7|

Z = i - 1

i - 1

... i - 1 2i

a) 1 b) 2 a) 1 b) i c) 1 - i

2c)

- 3 57

2

d) 3 d) 1 + i e)2

(1 + i)

e) N.A. 30.Dos números complejos son:

26.Resolver: ||x| - 3| ||x| - 1|

(a - 4) aiz = (a - 4) - ai

(b - 2) (b 2)iw = (b - 2) - (b 2)i

a) [1; 2] b) [-2; 2] c) [-1; 2]d) [-2; 1] e) N.A.

27. Siendo “i” la unidad imaginaria, calcular el valor de la expresión:

donde “a” y “b” IR cuya representación en el plano deGauss es:

imaginario

i i2 i3 i4 ... i1003

2 - i - i2 - i3

w Oreal

z1

a) -1 b) - 3

1c)

2w z

1d) -

21

e) 2i

Calcular: w - z

a) i b) - i c) 1 d) - 1 e) 2i