Hipótesis de Louis de Broglie

� =h

p

viernes, 10 de mayo de 13

Como se ha visto una onda genera un patrón de interferencia:

viernes, 10 de mayo de 13

Un flujo de partículas como los electrones también generan un patrón de interferencia.

viernes, 10 de mayo de 13

Dado que los electrones poseen propiedades ondulatorias, parece lógico considerar la posibilidad de producir ondas electrónicas estacionarias. Si la energía está asociada a la frecuencia de una onda estacionaria, como E=hf, estas ondas exigen para su formación una serie discreta de energías.

viernes, 10 de mayo de 13

Dado que los estados energéticos discretos en los átomos podía explicarse con el concepto de ondas estacionarias condujo a Schrödinger y a otros a una teoría matemática detallada conocida como Mecánica Cuántica.

viernes, 10 de mayo de 13

En esta mecánica el electrón es descrito mediante una función de onda 𝝭 que obedece a una ecuación llamada ecuación de Schrödinger.

i~@ (t,~r)@t

= � ~22m

�!r2 (t,~r) + V (~r, t) (t,~r)

viernes, 10 de mayo de 13

Interpretación de la función de onda

En una cuerda

@

2u

@x

2=

1

v

2

@

2u

@t

2

@

2d

@x

2=

1

v

2

@

2d

@t

2

d=desplazamiento

El hablamiento también es una onda.

@

2p

@x

2=

1

v

2

@

2p

@t

2

viernes, 10 de mayo de 13

¿Y en la Luz?

r2 ~E =1

c2@2 ~E

@t2r2 ~B =

1

c2@2 ~B

@t2

viernes, 10 de mayo de 13

¿Y la función de onda?

viernes, 10 de mayo de 13

La ecuación de Max Born

pq � qp =h

2⇡i

PosiciónMomentum

Tanto la posición como el momentum son variables físicas reales, entonces?

viernes, 10 de mayo de 13

Conmutador y anticonmutador

Sean A y B dos cantidades (físicas por ejemplo), se define el conmutador entre ellas como:

[A,B] = AB �BA

{A,B} = AB +BA

Y el anticonmutador como:

viernes, 10 de mayo de 13

Demostrar:

[A+B,C] = [A,C] + [B,C]

[A,BC] = [A,B]C +B[A,C]

viernes, 10 de mayo de 13

Constante h de Dirac: ~ =h

2⇡

Con esta constante y haciendo uso del conmutado pordemos escribir la ecuación de Born como:

[q, p] = i~

viernes, 10 de mayo de 13

[q, p] = i~Tenemos una forma más compacta de escribir dicha ecuación. ¿Pero aún no entendemos su significado?

¿ ?

¿ ?

viernes, 10 de mayo de 13

[q, p] = i~} }Matriz

Número

Inconsistencia:

viernes, 10 de mayo de 13

[p, q] =

0

@i~ 0 00 i~ 00 0 i~

1

A = i~

0

@1 0 00 1 00 0 1

1

A = i~I

Para solucionar la inconsistencia notacional debemos notar lo siguiente:

I = i~

0

@1 0 00 1 00 0 1

1

AMatriz Identidad:

viernes, 10 de mayo de 13

Cuantización

Proceso mediante el cual transformamos variables físicas clásicas en variabls físicas cuánticas (asociadas de matrices).

Ejemplo: el oscilador armónico

viernes, 10 de mayo de 13

Hamiltoniano del oscilador armónico

H = K + V =1

2mv2 +

1

2kx2

=p

2

2m+

1

2kx

2

=p

2

2m+

1

2m!

2x

2

viernes, 10 de mayo de 13

Reemplazamos las variables contínuas clásicas por las matrices cuánticas:

H =p2

2m+

1

2m!2x2

H =P2

2m+

1

2m!2Q2

viernes, 10 de mayo de 13

¿Pero cuáles con los valores de la energía medidos en un laboratorio?

Observable:

Diagonalizar

Los valores 0,3,4 y 1 son los eigenvalores o autovalores del observable = cantidades medidas en un laboratorio.

�

viernes, 10 de mayo de 13

Operaciones con matrices

Sean:A =

0

@1 2 �1�2 0 00 3 1

1

A B =

0

@0 5 10 1 02 2 2

1

A

Suma: A+B =???

AB =Multiplicación:

viernes, 10 de mayo de 13

BA =???

AB 6= BAClaramente:

Y?:

viernes, 10 de mayo de 13

Conjugado de una matriz

El acto de conjugar es simplemente cambiar el signo de los elementos complejos de la matriz:

↵⇤

viernes, 10 de mayo de 13

Transpuesta de una matriz

El acto de transponer es simplemente cambiar las filas por las columnas de la matriz:

(↵⇤)T

alpha daga

viernes, 10 de mayo de 13

Observar que:

↵ = ↵†

Cuando lo anterior se cumple estamos frente a una matriz hermítica.

viernes, 10 de mayo de 13

¿Son las Matrices de Pauli hermíticas?

viernes, 10 de mayo de 13

Conjugado de un número Z

Z = a+ bi Z⇤ = Z̄ = a� bi

Z⇤ = Z̄ = a+ biZ = a� bi

viernes, 10 de mayo de 13

Ejercicios

Z = 4e2i

ZZ̄ =

Z = cos(20)� 3isen(20)

Calcular para cada caso.

a)

b)

viernes, 10 de mayo de 13

Producto escalar

~x = (x1, x2, x3, x4, . . . )

~y = (y1, y2, y3, y4, . . . )~x · ~y = x1y1 + x2y2 + x3y3 + . . . .

~x · ~y =nX

1

xiyi

~x · ~y = xiyiConvención de suma de Einstein:(Índices repetidos implican suma)

viernes, 10 de mayo de 13

~X = (1p4,1p8,

1p16

,1p32

,1p64

, . . . )Sea

Calcular: ~X · ~X⇤

¿Qué podría representar matemáticamente este resultado?

viernes, 10 de mayo de 13

~X · ~X⇤ =1

4+

1

8+

1

16+

1

32+

1

64+ . . . = 1

Probabilidades

Certeza

viernes, 10 de mayo de 13

Consideremos la siguiente matriz diagonalizada:

~X = (1p3,1p3,1p3)Consideremos:

Calcule: ~X · ~XT =< X|X >

A =

< X|A|X >=Calcule:

Interptrete su resultado

EnergíaObservable

Notación de Dirac

viernes, 10 de mayo de 13

Consideremos la siguiente matriz diagonalizada:

Consideremos:

Calcule: ~X · ~XT =< X|X >

A =

< X|A|X >=Calcule:

Interptrete su resultado

EnergíaObservable

~X = (1, 2, 3)

viernes, 10 de mayo de 13