Post on 17-Mar-2016
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Universidad Fermín Toro
Facultad de Ciencias Económicas y Sociales
Análisis de Problemas y Toma de Decisiones
TÉCNICAS Y HERRAMIENTAS PARA
LA TOMA DE DECISIONES
Autor: Sara Reyes Rovatti
Cabudare, 08 Febrero 2013
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MÉTODOS DETERMINISTICOS
Programación Lineal
Es un procedimiento o algoritmo
matemático mediante el cual se resuelve
un problema indeterminado, formulado a
través de un sistema de inecuaciones
lineales, optimizando la función objetivo,
también lineal.
Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal,
denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha
función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos
mediante un sistema de inecuaciones lineales.
Las variables son números reales mayores o iguales a cero.
En caso que se requiera que el valor resultante de las variables sea un
número entero, el procedimiento de resolución se denomina Programación
entera.
Las restricciones pueden ser de la forma:
Tipo 1:
3
Tipo 2:
Tipo 3:
Donde:
A = valor conocido a ser respetado estrictamente;
B = valor conocido que debe ser respetado o puede ser superado;
C = valor conocido que no debe ser superado;
j = número de la ecuación, variable de 1 a M (número total de
restricciones);
a; b; y, c = coeficientes técnicos conocidos;
X = Incógnitas, de 1 a N;
i = número de la incógnita, variable de 1 a N.
En general no hay restricciones en cuanto a los valores de N y M.
Puede ser N = M; N > M; ó, N < M.
Sin embargo si las restricciones del Tipo 1 son N, el problema puede
ser determinado, y puede no tener sentido una optimización.
Los tres tipos de restricciones pueden darse simultáneamente en el
mismo problema.
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La programación lineal constituye un importante campo de la optimización por
varias razones, muchos problemas prácticos de la investigación de operaciones
pueden plantearse como problemas de programación lineal. Algunos casos
especiales de programación lineal, tales como los problemas de flujo de redes y
problemas de flujo de mercancías se consideraron en el desarrollo de las
matemáticas lo suficientemente importantes como para generar por si mismos
mucha investigación sobre algoritmos especializados en su solución. Una serie de
algoritmos diseñados para resolver otros tipos de problemas de optimización
constituyen casos particulares de la más amplia técnica de la programación lineal.
La programación lineal es muy usada en la microeconomía y la administración de
empresas, ya sea para aumentar al máximo los ingresos o reducir al mínimo los
costos de un sistema de producción.
Función Objetivo
La función objetivo puede ser:
o
Donde: = coeficientes son relativamente iguales a cero.
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Método SIMPLEX
El método Simplex es un algoritmo de George Dantzig para
resolver problemas de optimización (de la rama de
programación lineal).
George Dantzig (8 de
noviembre de 1914 – 13 de mayo
de 2005) matemático
norteamericano inventor del
método Simplex y considerado
como el padre de la
programación lineal.
Durante la Segunda Guerra
Mundial Dantzig dirigió la
rama de Análisis de Combate
de los Cuarteles Centrales
Estadísticos de Fuerza Aérea de los Estados Unidos,
enfrentándose a los grandes problemas logísticos de una cadena
de abastecimiento y gestión de cientos de miles de artículos y
personas. Su trabajo resolviendo estos problemas dio paso al
desarrollo en 1947 de la programación lineal, proponiendo el
Método Simplex para resolverlo.
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Es un procedimiento algebraico que, mediante una serie de
operaciones repetitivas, se aproxima progresivamente a una
solución óptima. Teóricamente, el método simples puede resolver un
problema con cualquier cantidad de variables, y restricciones,
aunque para el problemas que tenga más de, de por ejemplo, cuatro
variables o cuatro restricciones, es mejor confiar los cálculos al
computador. Sin embargo, para saber cómo definir las ecuaciones
que se colocarán en un programa, y para poder utilizar la
producción del programa de computador, vale la pena hacer el
esfuerzo de desarrollar el método simplex manualmente.
Procedimiento de solución en seis pasos; el método simplex incluye
varios pasos técnicos, cada uno de los cuales se describe en detalle.
Paso 1: Formular el problema. Recuerde que para maximizar las
utilidades se tenía:
Maximizar: Z=2x1+4x2
Sujeto a:
4x1+6c<120(restricción de centro de la máquina A)
2x1+6x2<72(restricción de centro de maquina B)
1X2 <10 (restricción de la maquina C)
X1, X2>0 (requerimiento no negatividad)
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Paso 2: Establecer una tabla inicial con variable de holgura en la
solución. La utilización del método simplex exige dos ajustes
importantes al problema según se expresa: (1) introducción de la
variable de holgura y (2) el establecimiento de una tabla de solución.
Introducir variables de holgura: Cada restricción se expande par
incluir una variable de holgura. Una variable de holgura, que puede
pensarse como un recurso ocioso desde un punto de vista práctico,
representa, desde el punto de vista computacional, la cantidad
requerida para hacer que una parte de la ecuación de restricción se
igual a la otra. Para el presente problema, se necesitan tres variables
de holgura, xh1 para la primera ecuación, xh2 para la segunda
restricción y xh3 para la última restricción.
La ecuación de restricción es:
4x1+6x2+xh1
2x1+6x2+xh2
1x2+xh3
Para que todas las variables estén representadas en cada
ecuación, a cada variable de holgura no originalmente asociada con
una ecuación de restricción se le asigna un cociente cero e esa
ecuación. Al ajustar el sistema de ecuaciones de esta manera, se
tiene:
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4x1+6x2+xh1+0h2+0h3=120
2x1+6x2+0xh1+1h2+0h3=72
1x2+0h1+0h2+1h3=10
Observe que la variable xh, con un coeficiente cero, se ingresa en
la tercera ecuación para asegurar que también estará representada
en todas las ecuaciones. Así mismo, la función objetiva refleja la
adición de variables de holgura, pero como no producen ninguna
utilidad, su coeficiente es 0xh.
Construir una tabla inicial. Una tabla es una manera conveniente
de establecer el problema para el calculo simpex. La tabla inicial
indica:
1. Las variables en la solución hasta ese punto.
2. La utilidad asociada con la solución.
3. La variable (si la hay) que agrega más utilidad se introduce en
la solución.
4. La cantidad de reducción en las variables en la solución que
resulta de introducir una unidad de cada variable. Esta
cantidad se denomina la tasa de sustitución.
5. El valor de un unidad adicional (por ejemplo una hora) de
capacidad de recursos, este valor se denomina precio sombra.
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Tabla Inicial Simplex
Variables
base X1 X2 Xh1 Xh2 Xh3
Valor
de la
variable
Centro
de
maquina
Xh1 4 6 1 0 0 120 A
Xh2 2 6 0 1 0 72 B
Xh3 0 1 0 0 1 10 C
F 2 4 0 0 0 0
Paso 3. Determinar cual variable introducir en la solución: Es
posible tener una solución mejorada si existe un valor positivo en la
fila F, recuerde que esta fila provee la utilidad neta obtenida al
agregar un unidad de su variable de la columna asociada a la
solución. En este ejemplo hay dos valores positivos 2 y 4. Como el
objetivo es maximizar la utilidad, la opción lógica es escoger 4 de la
variable que genera mayor utilidad es decir x2, ya que genera
mayor utilidad. La columna asociada con esta variable se designa
mediante la pequeña flecha debajo de la columna x1 (sólo se puede
agregar una variable a la vez cuando se desarrolla cada solución
mejorada).
Paso 4. Determinar cual es la variable a remplazar: Como resulta
deseable introducir x2 en la solución, lo siguiente que debe hacer es
determinar cuál variable reemplazará. Para efectuar esta
determinación, se divide cada cantidad de la columna valor de la
variable entre los coeficientes de la variable entrante, y se escoge la
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variable asociada con el cociente positivo más pequeño como aquella
que se va reemplazar:
Para la fila xh1: 126/6=20
Para la fila xh2: 72/6=12
Para l a fila xh3: 10/1=10
Como el coeficiente más pequeño es 10, xh3 será remplazada, y su
fila se identifica mediante la pequeña flecha a la derecha de la tabla
en referido cuadro. Esta es la cantidad máxima que x2 puede
introducir a la solución.
Paso 5. Calcule nuevos valores de fila para introducir variable: La
introducción de x2 en la solución exige que reemplace toda la fila
xh3. Los valores para x2, la fila remplaza, se obtiene dividiendo cada
valor que encuentre actualmente en la fila de xh3, por el valor en la
columna x2 en la misma fila. Este valor se denomina elemento
interseccional porque se presenta en la intersección de una fila y
una columna. Los resultados de esta división se reflejan en la
siguiente tabla.
Paso 6. Revisar las filas restantes. Los nuevos valores de la tercera
fila (ahora asociados con x2) son 0, 1, 0, 0, 1,10, que en este caso son
idénticos a los de la antigua fila tres.
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Calculo de filas y columnas
Fila 1
4-0(6/1)=4
6-1(6/1)=0
1-0(6/1)=1
0-0(6/1)=0
0-1(6/1)=-6
120-10(6/1)=60
Fila 2
2-0(6/1)=4
6-1(6/1)=0
0-0(6/1)=1
1-0(6/1)=0
0-1(6/1)=-6
72-10(6/1)=60
Fila 3
2-0(4/1)=2
4-1(4/1)=0
0-0(4/1)=0
0-0(4/1)=0
0-1(4/1)=--4
0-10(4/1)=-40
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MÉTODOS PROBABILÍSTICOS
Lógica Bayesiana
El teorema de Bayes fue creado por
el clérigo y matemático ingles Tomas
Bayes, publicado en 1763 después de su
muerte. Este teorema puede ser usado
para formular un conjunto de
probabilidades previas, llamadas
probabilidades a priori, para un
conjunto de nuevas probabilidades, llamadas probabilidades
posteriori. La formulación esta basada en formulación adicional, la
cual puede ser obtenida por registros de una muestra.
En la teoría de la probabilidad el teorema de Bayes es un resultado
enunciado por Thomas Bayes en 17631 que expresa la probabilidad
condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la
distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la
distribución de probabilidad marginal de sólo A.
En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de
Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de
A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la
probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se
podría saber -si se tiene algún dato más-, la probabilidad de tener
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gripe si se tiene un dolor de cabeza, muestra este sencillo ejemplo la
alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus
ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la
probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.
Sea
Un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y
tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero (0).
Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades
condicionales . Entonces, la probabilidad viene dada
por la expresión:
Donde:
Son las probabilidades a priori.
Es la probabilidad de en la hipótesis .
Son las probabilidades a posteriori.
Fórmula de Bayes, también conocida como la Regla de Bayes:
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El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría
de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo
de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la
estadística tradicional sólo admiten probabilidades basadas en
experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica
mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten
probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para
indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas
cuando recibimos información adicional de un experimento. La
estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas
estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y el hecho
de permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia
empírica es lo que está abriendo nuevas formas de hacer
conocimiento. Una aplicación de esto son los clasificadores
bayesianos que son frecuentemente usados en implementaciones de
filtros de correo basura o spam, que se adaptan con el uso.
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Teoría de los Juegos
La teoría de juegos es una rama de la
economía que estudia las decisiones
en las que para que un individuo
tenga éxito tiene que tener en cuenta
las decisiones tomadas por el resto de
los agentes que intervienen en la situación. La teoría de juegos como
estudio matemático no se ha utilizado exclusivamente en la
economía, sino en la gestión, estrategia, psicología o incluso en
biología.
En teoría de juegos no tenemos que preguntarnos qué vamos a hacer,
tenemos que preguntarnos qué vamos a hacer teniendo en cuenta lo
que pensamos que harán los demás, ellos actuarán pensando según
crean que van a ser nuestras actuaciones. La teoría de juegos ha sido
utilizada en muchas decisiones empresariales, económicas, políticas o
incluso para ganar jugando al póker.
Para representar gráficamente en teoría de juegos se suelen utilizar
matrices (también conocidas como forma normal) y árboles de
decisión como herramientas para comprender mejor los
razonamientos que llevan a un punto u otro. Además los juegos se
pueden resolver usando las matemáticas, aunque suelen ser bastante
sofisticadas como para entrar en profundidad.
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Representación de juegos:
Forma normal de un juego: es
una matriz de pagos, que muestra los
jugadores, las estrategias, y las
recompensas. Hay dos tipos de
jugadores; uno elige la fila y otro la
columna. Cada jugador tiene dos
estrategias, que están especificadas
por el número de filas y el número de
columnas. Las recompensas se
especifican en el interior. El primer
número es la recompensa recibida por
el jugador de las filas; el segundo es la
recompensa del jugador de las columnas. Si el jugador de las
filas elige arriba y el jugador de las columnas elige izquierda
entonces sus recompensas son 4 y 3, respectivamente.
Cuando un juego se presenta en forma normal, se presupone que
todos los jugadores actúan simultáneamente o, al menos, sin saber la
elección que toma el otro. Si los jugadores tienen alguna información
acerca de las elecciones de otros jugadores el juego se presenta
habitualmente en la forma extensiva.
El
jugador 2
elige
izquierda
El
jugador 2
elige
derecha
El jugador
1 elige
arriba
4, 3 -1, -1
El jugador
1 elige
abajo
0, 0 3, 4
Un juego en forma normal
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Forma extensiva de un juego:
Los juegos se presentan como árboles,
que cada vértice o nodo representa un
punto donde el jugador toma
decisiones. El jugador se especifica por un número situado
junto al vértice. Las líneas que parten del vértice representan
acciones posibles para el jugador. Las recompensas se
especifican en las hojas del árbol.
En el juego que se muestra en el ejemplo hay dos jugadores. El
jugador 1 mueve primero y elige F o U. El jugador 2 ve el
movimiento del jugador 1 y elige A o R. Si el jugador 1 elige U y
entonces el jugador 2 elige A, entonces el jugador 1 obtiene 8 y el
jugador 2 obtiene 2.
Los juegos en forma extensiva pueden modelar también juegos de
movimientos simultáneos. En esos casos se dibuja una línea punteada
o un círculo alrededor de dos vértices diferentes para representarlos
como parte del mismo conjunto de información (por ejemplo, cuando
los jugadores no saben en qué punto se encuentran).
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MÉTODOS HÍBRIDOS
Método de Transporte y Localización
Es un caso especial simplificado de
método simplex. Recibe su nombre de su
aplicación a problemas que tienen que
ver con el transporte de productos desde
diversos puntos de origen hasta diversos
destinos. Los dos objetivos comunes de estos problemas son:
Minimizar el costo de enviar N unidades hasta M destinos
Maximizar las utilidades de enviara n unidades a m destinos.
Para resolver problemas de trasportes se deben seguir tres pasos
generales. Cada uno se examinará en el contexto de un ejemplo
sencillo. Este consiste en enviar las unidades de las fábricas a los
almacenes mas cercanos buscando siempre minimizar los costos en
función de la disponibilidad y demanda de los centros que
intervienen en el proceso de transporte.
Podemos decir que las variables mas importantes que
intervienen en este método de programación lineal, es que busca
minimizar los costos de una unidad de producción a otra, es decir es
un método de minimización de los costos. Es decir con el este método
se pretende desarrollar la mejor distribución de las unidades en
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función a las variables mas importantes, como son el costo,
disponibilidad, demanda y la distancia entre los centros de consumo.
Método del Rincón Noroeste:
Este método se aplica comenzando siempre por la celda
superior del lado izquierdo. Se debe comenzar agotando la oferta
de cada fila antes de pasar a la fila siguiente, luego ir agotando
las necesidades de cada columna antes de pasar a la columna
siguiente por la derecha y finalmente comprobar que todas las
ofertas y demandas estén cubiertas.
Valencia Maracay Caracas OFERTA
Barinas 50 10 50 18 8 100
Guanare 17 30 13 30 19 60
Barquisimeto 20 6 40 24 40
DEMANDA 50 80 70 200
Costo Total de Transporte:
(50x10) + (50x18) + (30x13) + (30x19) + (40x24) = 3.320
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Método del Menor Costo:
Se debe identificar la celda con menor costo y romper
cualquier vínculo para conseguir arbitrariamente el menor costo,
luego se asignan tantas unidades como sean posibles en esa celda
sin que se sobre pase la oferta o la demanda y se tachan las filas o
columnas ya agotadas, conseguir la siguiente celda con el menor
costo entre las restantes y continuar con los pasos anteriores.
Valencia Maracay Caracas OFERTA
Barinas 30 10 18 70 8 100
Guanare 20 17 40 13 19 60
Barquisimeto 20 40 6 24 40
DEMANDA 50 80 70 200
Costo Total de Transporte:
(30x10) + (20x17) + (40x13) + (40x6) + (70x8) = 1.960
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Técnica de Monte Carlo
El método de Monte Carlo es un método
no determinístico o estadístico
numérico, usado para aproximar
expresiones matemáticas complejas y
costosas de evaluar con exactitud. El
método se llamó así en referencia al Casino de Monte Carlo
(Principado de Mónaco) por ser “la capital del juego de azar”, al ser
la ruleta un generador simple de números aleatorios. El nombre y el
desarrollo sistemático de los métodos de Monte Carlo datan
aproximadamente de 1944 y se mejoraron enormemente con el
desarrollo de la computadora.
Este método proporciona soluciones aproximadas a una gran
variedad de problemas matemáticos posibilitando la realización de
experimentos con muestreos de números pseudoaleatorios en una
computadora. El método es aplicable a cualquier tipo de problema,
ya sea estocástico o determinista.
Ejemplo de aplicación de Monte Carlo en el
juego de barcos (battleship), primero se realizan
una serie de tiros a puntos aleatorios. Si el
jugador genera un algoritmo puede deducir la
posición del barco conocidos los datos anteriores.
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Ejemplo:
Si deseamos reproducir, mediante números aleatorios, la tirada
sucesiva de una moneda, debemos previamente asignarle un
intervalo de números aleatorios a CARA y otro a CRUZ, de manera
de poder interpretar el resultado de la simulación. Tales intervalos
se asignan en función de las probabilidades de ocurrencia de cada
cara de la moneda. Tenemos así:
CARA Probabilidad: 0,50 Números aleatorios: 0,000 al 0,499
CRUZ Probabilidad: 0,50 Números aleatorios: 0,500 al 0,999
Después, al generar un número aleatorio a partir de la función
RAN de la calculadora, por ejemplo, obtenemos el resultado
simulado. Así, si obtenemos el número aleatorio 0,385, observamos
que está incluido en el intervalo asignado a CARA.
En otras aplicaciones, se asocian intervalos de números aleatorios
según las probabilidades de ocurrencia de los eventos a simular.