Post on 27-Nov-2021
SGUICEG071EM32-A17V1
Bloque 32
Guía: Composición de funciones
TABLA DE CORRECCIÓN
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
N° Clave Habilidad Dificultad estimada
1 E Comprensión Media
2 A Comprensión Media
3 E Comprensión Fácil
4 D Aplicación Media
5 B Aplicación Difícil
6 A Aplicación Media
7 B Aplicación Difícil
8 C Aplicación Media
9 D Aplicación Media
10 B Aplicación Difícil
11 B Aplicación Fácil
12 D Aplicación Media
13 A Aplicación Media
14 C Aplicación Difícil
15 D Aplicación Media
16 D Aplicación Difícil
17 D ASE Difícil
18 D ASE Difícil
19 C ASE Media
20 C ASE Difícil
21 C ASE Difícil
22 C ASE Difícil
23 A ASE Difícil
24 B ASE Media
25 D ASE Difícil
1. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Teoría de funciones
Habilidad Comprensión
La función g(x) = 3, es una función constante. Esto significa que para cualquier x real, su imagen será
3. Por lo tanto, .33
1 fg
2. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Teoría de funciones
Habilidad Comprensión
Por composición de funciones se tiene x
xgh2
1))(( . Por tanto se tendrá que el dominio es }0{IR .
3. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Teoría de funciones
Habilidad Comprensión
))(())(( xgfxgf )1( 2 xf 2)1( 2 x
12 x
4. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Teoría de funciones
Habilidad Aplicación
f(– 2) = 4
3
4
21
)2(
)2(1
2
f(f(– 2)) =
4
3f =
9
4
9
16
4
1
16
94
1
4
3
4
31
2
5. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Teoría de funciones
Habilidad Aplicación
h(g(x)) = h(x + 2) = (x + 2)² y g(h(x)) = g(x²) = x² + 2. Luego:
h(g(x)) = g(h(x))
(x + 2)² = x² + 2
x² + 4x + 4 = x² + 2
4x + 4 = 2
4x = – 2
x = 2
1
6. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Teoría de funciones
Habilidad Aplicación
)2)(()2)(( gffg ))2(())2(( gffg )223()1)2(2( 2 fg
= )26()142( fg )8()7( fg )1128(221 – 108
7. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Teoría de funciones
Habilidad Aplicación
Si suponemos una función g tal que 32)( xxg , entonces ))(()32( xgfxf . Como queremos
conocer el valor de )7(f , entonces la imagen de algún x es la función g debe ser igual a 7, es decir:
2x – 3 = 7 (Sumando 3)
2x = 10 (Dividiendo por 2)
x = 5
Por lo tanto, ))5(()7( gff , pero 11124))(( 2 xxxgf , es decir:
1151254))5(( 2 gf 1160254 49100 51
8. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Teoría de funciones
Habilidad Aplicación
Por composición de funciones se tiene que
2
132
1))((
x
xfgfg .
Luego, reemplazando se obtiene: 9
2
2
9
1
2
132
1
2
162
1
2
1)2(32
1))2((
fg
9. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Teoría de funciones
Habilidad Aplicación
f(g(2)) = f(2² + 4) = f(8) = 3·8 = 24
10. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Teoría de funciones
Habilidad Aplicación
f (g(x)) = log (a · b x) = log a + log (b
x) = log a + x · log b
Como a y b son números reales positivos distintos de 1, entonces log a y log b son constantes reales
distintas de 0. Por lo tanto, al representar la función f (g(x) = log a + x · log b en el sistema de ejes
coordenados mencionado tendría la forma de una línea recta que no pasa por el origen.
11. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Teoría de funciones
Habilidad Aplicación
f(7x) = 7 · 7x = 49x 7 · f(7x) = 7 · 49x = 343x
12. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Teoría de funciones
Habilidad Aplicación
))0((gf
06
3
2f
1
3
2f
3
2f 3
2
27 2
3 27 23 9
13. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Teoría de funciones
Habilidad Aplicación
))5(())5(( gfgf ))5(()5( 22 ff )25()25( ff 125125 12
14. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Teoría de funciones
Habilidad Aplicación
Antes de analizar cada una de las afirmaciones, es conveniente realizar las composiciones entre las
funciones del enunciado, es decir, (f ∘ g)(x) y (g ∘ f)(x). Entonces:
581681)34(2)34())(())(( xxxxfxgfxgf
183483)12(4)12())(())(( xxxxgxfgxfg
Luego:
I) Verdadera, ya que (g ∘ f) corresponde a una función afín con coeficiente de posición – 1, es decir,
su gráfica pasa por el punto (0, – 1).
II) Falsa, ya que al evaluar el valor (– 1) en 58))(( xxgf , se obtiene
3585)1(8)1)(( gf . Luego, el par (– 1, – 3) perteneces a (f ∘ g).
III) Verdadera, ya que (f ∘ g) y (g ∘ f) son funciones con comportamiento lineal con igual pendiente y
distinto coeficiente de posición, es decir, gráficamente corresponden a rectas paralelas no
coincidentes, en la que la recta asociada a (f ∘ g) está siempre por sobre la recta asociada a (g ∘ f),
para cualquiera sea el valor de x. Luego, (f ∘ g)(x) es siempre mayor que (g ∘ f)(x).
Por lo tanto, solo I y III son verdaderas.
15. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Teoría de funciones
Habilidad Aplicación
Sean 5)( xxf y 3)1(2)( xxg , entonces
52))((
382))((
3)4(2))((
3)51(2))((
3))5(1(2))((
)5())((
xxfg
xxfg
xxfg
xxfg
xxfg
xgxfg
16. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Teoría de funciones
Habilidad Aplicación
Para que el 5 no sea parte del dominio, entonces no debe tener imagen en una de las funciones de las
alternativas. Por lo tanto,
A) 3)1())1(()))5((()5)(( fgfhgfhgf
B) 2)3())1(()))5((()5)(( gfghfghfg
C) 3)1())3(()))5((()5)(( fhfghfghf
D) ))3(()))5((()5)(( fhgfhgfh , )3(f no tiene imagen, ya que 3 no es parte del dominio de
f , por lo tanto 5 no es parte del dominio de )( gfh .
E) 1)1())3(()))5((()5)(( ghgghgghg
17. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Teoría de funciones
Habilidad ASE
I) Falsa, ya que 3 23 23 2 963)())(())(( xxxxgxfgxfg
II) Verdadera, ya que ))32(3(8())(())(( 2 xxgxfgxfg
2
)32(3(83 2
xx
2
9623 2
xx 3 2 96 xx
III) Verdadera, ya que 3 23 969)6())6(())(())(( xxxxxxgxfgxfg
Por lo tanto, solo II y III son verdaderas.
18. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Teoría de funciones
Habilidad ASE
I) Falsa, ya que xx
xhmxf11
))(()( , solo está definida para los reales positivos.
II) Verdadera, ya que ))((11
y 1
))(( xhmxxx
xmh .
III) Verdadera, ya que 3
2
3
11
9
11))9((1 hm y por otra parte .
3
2
9
4
4
9
mh
Por lo tanto son verdaderas solo II y III.
19. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Teoría de funciones
Habilidad ASE
I) Verdadera, ya que ))(())(( mgfmgf , luego
))(( mgf )14( mf )14(23 m 283 m m81
II) Falsa, ya que ))5(()5)(( fgfg , luego ))5(( fg )5·23(g )7(g 1)7(·4 27
III) Verdadera, ya que ))1(())1(()1)(()1)(( gfgfgfgf , luego
))1(())1(( gfgf )3()5( ff )3(·235·23 63103 2
Por lo tanto, solo I y III son verdaderas.
20. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Teoría de funciones
Habilidad ASE
La función logaritmo está definida para los reales positivos. Como la función x2 tiene su recorrido en
los reales positivos más el cero, entonces, es necesario eliminar el cero para que sirva de argumento de
la función logaritmo.
Es decir, si a la función x2 se le ingresa cualquier número real distinto de cero, entonces la función
f(x) = log (x2) queda bien definida. Luego, el dominio de la función f(x) = log (x
2) es IR – {0}
21. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Teoría de funciones
Habilidad ASE
Como 2915))(( xxfg , entonces 2915))(( xxfg . Es decir, 2915)73( xxg . Luego:
2915)73( xxg (Sumando 7 a la variable)
⟹ 29)7(15)773( xxg (Calculando)
⟹ 293
715
3
3
xxg (Dividiendo la variable por 3)
⟹ 29)7(5 xxg (Simplificando)
⟹ 29355 xxg (Distribuyendo)
⟹ 65 xxg (Calculando)
Por lo tanto, 65 xxg
22. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Teoría de funciones
Habilidad ASE
Se sabe que si ))(( xfg es igual a ))(( xfg , entonces el recorrido de f será el dominio de g.
Como f es una función afín creciente y el dominio de f corresponde al intervalo [– 1, 4[, entonces el
menor valor que tomará f será cuando x sea – 1, es decir, 8353)1(5)1( f ; mientras
que el mayor valor que tomará f será cuando x se acerca a 4, que al evaluar en este valor se obtiene
17320345)4( f . Por lo tanto, el recorrido de f corresponde al intervalo
[17,8[)[4(),1([ ff .
Luego, el recorrido de f es igual al dominio de g, por lo que el recorrido de g a partir del dominio
determinado, corresponderá al recorrido de )( fg .
Como nuevamente la función g es afín creciente, entonces el mínimo valor que tomará )(xg será
cuando x sea igual a – 8, es decir, 124164)8(2)8( g ; mientras que el máximo valor se
obtendrá cuando x se acerca a 17, que al evaluar en este valor se obtiene 384344172)17( g .
Por lo tanto, el recorrido de )( fg corresponde al intervalo )[17(),8([ gg , es decir, [– 12, 38[.
23. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Teoría de funciones
Habilidad ASE
Sean 1)( 2 xxf y xxg )( , entonces 1)1())(( 22 xxgxfg , una función real con x en
todos los reales, es decir, el dominio de esta función corresponde a IR, mientras que su recorrido son
solo los reales positivos. Por otro lado, 11))((2
xxxfxgf , para 0x , es decir, el
dominio de esta función es ,0 , mientras que su recorrido es ,1 Entonces:
I) Verdadero, ya que el dominio de )( fg es IR.
II) Falso, ya que el recorrido de )( gf son los reales que pertenecen a ,1 .
III) Falso, ya que 51)2())2(( 2 fg , mientras que 514))4(( gf .
Por lo tanto, solo I es una afirmación verdadera.
24. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Teoría de funciones
Habilidad ASE
Antes de analizar cada una de las informaciones adicionales, realizaremos la composición de las
funciones. abxbxgxfgxfg 2)())(())((
Luego, evaluando en (2a – b) babbaabbabafg 2222)2()2)((
Revisando cada una de las informaciones adicionales:
(1) El valor numérico de a. Con esta información, no es posible determinar el valor numérico de
)2)(( bafg , ya que esta última expresión no depende de a, por lo que a puede ser cualquier
valor real y no afectará al resultado final.
(2) El valor numérico de b. Con esta información, es posible determinar el valor numérico de
)2)(( bafg , ya que el valor de esta expresión depende únicamente de b. Como
bbafg 2)2)(( , entonces conociendo el valor numérico de b, se puede determinar el valor
solicitado.
Por lo tanto, la respuesta correcta es: (2) por sí sola.
25. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Teoría de funciones
Habilidad ASE
(1) 56))(( xxgf . Con esta información sí es posible determinar la expresión que representa a f,
ya que al hacer la composición de funciones, se obtiene:
))(())(( xgfxgf ))1(( bxaf bbxaa ))1(( babxaa )( 2.
Como 56))(( xxgf , entonces se cumple que 56)( 2 xbabxaa . Luego se cumple
que 62 aa y 5 bab , ya que )( 2 aa corresponde a la pendiente, mientras que
)( bab corresponde al coeficiente de posición.
2o30)2)(3(066 22 aaaaaaaa .
Si a = – 3, entonces 4
5545)3(5 bbbbbab . Por lo tanto, a no puede
ser igual a – 3, ya que b sería un número no entero, lo que se contradice con el enunciado. Por otra
parte, si a = 2, entonces 55525 bbbbbab , siendo ambos
valores números enteros. Luego, 52)( xxf .
(2) 106))(( xxfg . Con esta información sí es posible determinar la expresión que representa a f,
ya que al hacer la composición de funciones, se obtiene:
))(())(( xfgxfg )( baxg bbaxa ))(1( abxaa )( 2
Como 106))(( xxfg , entonces se cumple que 106)( 2 xabxaa . Luego se cumple
que 62 aa y 10ab , por el mismo motivo que la información (1).
2o30)2)(3(066 22 aaaaaaaa .
Si a = – 3, entonces 3
1010)3(10 bbab . Por lo tanto, a no puede ser igual a – 3,
ya que b sería un número no entero, lo que se contradice con el enunciado.
Por otra parte, si a = 2, entonces 510210 bbab , siendo ambos valores números
enteros. Luego, 52)( xxf .
Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola.