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José Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 1
Comunicaciones Digitales
José Ignacio Ronda PrietoGTI, SSR, ETSIT, UPM
http://www.gti.ssr.upm.es/˜jir/comdigjir@gti.ssr.upm.es
● title1
Introducción
● Sistema de transmisión digital
● Detección de señales
● Detección de señales
● Estimación bayesiana con
observación continua● Regiones de decisión
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
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Sistema de transmisión digital
Fuente Moduladorde canal
Moduladordigital
Presentacion Demoduladorde canal
Demoduladordigital
Receptor
Portadora fc
{mi}v(t) =
∑
n sI(n)(t− nT )
Transmisor
Canal
n(t)
r(t){m′
i}
● title1
Introducción
● Sistema de transmisión digital
● Detección de señales
● Detección de señales
● Estimación bayesiana con
observación continua● Regiones de decisión
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
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Detección de señales
si(t)
n(t)
r(t)
● title1
Introducción
● Sistema de transmisión digital
● Detección de señales
● Detección de señales
● Estimación bayesiana con
observación continua● Regiones de decisión
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
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Detección de señales
si(t)
n(t)
r(t)
Información a priori:■ Conjunto de señales transmitidas {si}■ Probabilidades Pi = P [si].■ Caracterización probabilística del ruido n(t)
● title1
Introducción
● Sistema de transmisión digital
● Detección de señales
● Detección de señales
● Estimación bayesiana con
observación continua● Regiones de decisión
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
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Detección de señales
si(t)
n(t)
r(t)
Información a priori:■ Conjunto de señales transmitidas {si}■ Probabilidades Pi = P [si].■ Caracterización probabilística del ruido n(t)
Problema de estimación:■ Incógnita: si■ Observación: r
● title1
Introducción
● Sistema de transmisión digital
● Detección de señales
● Detección de señales
● Estimación bayesiana con
observación continua● Regiones de decisión
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
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Detección de señales
Problemas parecidos aparecen con frecuencia
● title1
Introducción
● Sistema de transmisión digital
● Detección de señales
● Detección de señales
● Estimación bayesiana con
observación continua● Regiones de decisión
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Estimación bayesiana con observación continua
Suponemos que nuestra observación es una VA continuamultidimensional X = (X1, ..., XL) caracterizada por lasfunciones de densidad de probabilidad condicionadas
fX(x1, ..., xL|I = ai).
Intentamos hallar una función g que asigne a cada valor de x
un valor de I de forma que se minimice la probabilidad de error
PE = P [I 6= g(X)]
● title1
Introducción
● Sistema de transmisión digital
● Detección de señales
● Detección de señales
● Estimación bayesiana con
observación continua● Regiones de decisión
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
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Estimación bayesiana con observación continua
La función g que maximice P [I = g(x)|X = x] en cada punto x
nos dará la probabilidad de error mínima. Esta función lapodemos definir como
g∗(x) = arg maxai
P [I = ai|X = x]
= arg maxai
f(x|I = ai)P [I = ai]/f(x)
= arg maxai
f(x|I = ai)P [I = ai].
● title1
Introducción
● Sistema de transmisión digital
● Detección de señales
● Detección de señales
● Estimación bayesiana con
observación continua● Regiones de decisión
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
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Regiones de decisión
Podemos especificar g en términos de sus regiones dedecisión:
Ri = {x ∈ RL|g(x) = ai}
La probabilidad de error asociada a g queda
PE =M∑
i=1
PE|I=aiP [I = ai]
=
M∑
i=1
P [g(X) /∈ Ri]P [I = ai]
● title1
Introducción
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos● Procesos estacionarios
gaussianos● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
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El misterioso ruido blanco
Si n(t) es ruido blanco gaussiano con densidad espectral depotencia bilateral (depb) N0/2,■ ¿Cuánto vale E[n2(t)]?■ ¿Cuál es la probabilidad de que 0 < n(t) < 1?
● title1
Introducción
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos● Procesos estacionarios
gaussianos● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
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El misterioso ruido blanco
Si n(t) es ruido blanco gaussiano con densidad espectral depotencia bilateral (depb) N0/2,■ ¿Cuánto vale E[n2(t)]?■ ¿Cuál es la probabilidad de que 0 < n(t) < 1?
Si x(t) = n(t) ∗ h(t),■ ¿Cuánto vale E[x2(t)]?■ Si x(0) = x0, ¿qué sé sobre x(1)?
● title1
Introducción
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos● Procesos estacionarios
gaussianos● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
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Procesos estacionarios gaussianos
Conocer un proceso x(t) es conocer, dados unos instantest1, . . . tn, la fdp
f(x1, . . . , xn), xi = x(ti).
● title1
Introducción
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos● Procesos estacionarios
gaussianos● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
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Procesos estacionarios gaussianos
Conocer un proceso x(t) es conocer, dados unos instantest1, . . . tn, la fdp
f(x1, . . . , xn), xi = x(ti).
El estudio físico del ruido blanco y del ruido blanco filtradoindica que se trata de un proceso estacionario gaussiano demedia nula (PEGMN). ¿Qué significa esto?
● title1
Introducción
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos● Procesos estacionarios
gaussianos● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
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Procesos estacionarios gaussianos
Un proceso x(t) estacionario cuando f(x1, . . . , xn) es lamisma para xi = x(ti) y para xi = x(ti + ∆t).
● title1
Introducción
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos● Procesos estacionarios
gaussianos● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
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Procesos estacionarios gaussianos
Un proceso x(t) estacionario cuando f(x1, . . . , xn) es lamisma para xi = x(ti) y para xi = x(ti + ∆t).
Es gaussiano de media nula cuando el vector aleatoriox = (x1, . . . , xn) es gaussiano de media nula.
● title1
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Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos● Procesos estacionarios
gaussianos● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
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Inciso: VAs gausianas
Una VA gaussiana X ∼ N(µ,Σ) con vector de medias µ ymatriz de varianzas-covarianzas Σ es la que tiene fdp
f(x) =1
(2π)n/2|Σ|1/2 exp−1
2(x− µ)>Σ−1(x− µ),
x = (x1, . . . , xn)>
µ = (µ1, . . . , µn)>, µi = E[xi]
Σ = (σ2ij), σ
2ij = E[(xi − µi)(xj − µj)]
● title1
Introducción
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos● Procesos estacionarios
gaussianos● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
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Inciso: VAs gausianas
Una VA gaussiana X ∼ N(µ,Σ) con vector de medias µ ymatriz de varianzas-covarianzas Σ es la que tiene fdp
f(x) =1
(2π)n/2|Σ|1/2 exp−1
2(x− µ)>Σ−1(x− µ),
x = (x1, . . . , xn)>
µ = (µ1, . . . , µn)>, µi = E[xi]
Σ = (σ2ij), σ
2ij = E[(xi − µi)(xj − µj)]
Si X ∼ N(µ,Σ) e Y = αX + a, a cte., entoncesY ∼ N(α2
Σ, αµ + a).
● title1
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Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos● Procesos estacionarios
gaussianos● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
Modulación DBLC
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Inciso: VAs gausianas
Un caso particular importante: Σ = σ2I:
(x − µ)>Σ−1(x − µ) =
1
σ2‖x − µ‖2
● title1
Introducción
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos● Procesos estacionarios
gaussianos● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
Modulación DBLC
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Inciso: VAs gausianas
Un caso particular importante: Σ = σ2I:
(x − µ)>Σ−1(x − µ) =
1
σ2‖x − µ‖2
f(x) =1
(2π)n/2σnexp−‖x − µ‖2
2σ2
=n∏
i=1
1√2πσ
exp− (xi − µi)2
2σ2
Es el caso de componentes independientes con la mismavarianza.
● title1
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Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos● Procesos estacionarios
gaussianos● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
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Procesos estacionarios gaussianos
Definimos la función de autocorrelación de un procesoestacionario x(t) como
Rx(τ) = E[x(t)x(t+ τ)].
● title1
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Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos● Procesos estacionarios
gaussianos● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
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Procesos estacionarios gaussianos
Definimos la función de autocorrelación de un procesoestacionario x(t) como
Rx(τ) = E[x(t)x(t+ τ)].
Esta función nos proporciona todos los datos que necesitamospara escribir las fdp de muestras de un PEGMN:
E[xixj ] = E[x(ti)x(tj)] = Rx(tj − ti).
● title1
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Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos● Procesos estacionarios
gaussianos● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
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Teorema de filtrado
Si x(t) es un PEGMN e y(t) = x(t) ∗ h(t), entonces y(t) estambién un PEGMN y
Ry(τ) = Rx(τ) ∗ h(τ) ∗ h(−τ).
● title1
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Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos● Procesos estacionarios
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● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
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Teorema de filtrado
Si x(t) es un PEGMN e y(t) = x(t) ∗ h(t), entonces y(t) estambién un PEGMN y
Ry(τ) = Rx(τ) ∗ h(τ) ∗ h(−τ).
La TF de la función de autocorrelación se llama densidadespectral de potencia. En términos de estas funciones,
Sy(f) = Sx(f)H(f)H(−f) = Sx(f)H(f)H∗(f) = Sx(f)|H(f)|2.
● title1
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● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos● Procesos estacionarios
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● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
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Teorema de filtrado
Si x(t) es un PEGMN e y(t) = x(t) ∗ h(t), entonces y(t) estambién un PEGMN y
Ry(τ) = Rx(τ) ∗ h(τ) ∗ h(−τ).
Si H(f) corresponde a un filtro paso banda ideal de ancho debanda (unilateral) ∆B,
E[y2(t)] = Ry(0) =
∫ ∞
−∞
Sy(f)df =
∫ ∞
−∞
Sx(f)|H(f)|2df
=
∫
Banda de pasoSx(f)df
Esta formula es la justificación del nombre densidad espectralde potencia para Sx(f).
● title1
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● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
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● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
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El ruido blanco gaussiano, por fin
El ruido blanco gaussiano se define como un PEGMN n(t) con
Rn(τ) =N0
2δ(τ) ⇔ Sn(f) =
N0
2.
Por tanto E[n2(t)] = E[n(t)n(t+ 0)] = Rn(0) = ∞.⇒ De densidades de probabilidad ni hablamos.
● title1
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● Procesos estacionarios
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● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
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El ruido blanco gaussiano, por fin
El ruido blanco gaussiano se define como un PEGMN n(t) con
Rn(τ) =N0
2δ(τ) ⇔ Sn(f) =
N0
2.
Por tanto E[n2(t)] = E[n(t)n(t+ 0)] = Rn(0) = ∞.⇒ De densidades de probabilidad ni hablamos.
Si y(t) = n(t) ∗ h(t),
E[y2(t)] = Ry(0) =
∫ ∞
−∞
Sy(f)df =
∫ ∞
−∞
N0
2|H(f)|2df.
● title1
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Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos● Procesos estacionarios
gaussianos● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
Modulación DBLC
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El ruido blanco gaussiano, por fin
El ruido blanco gaussiano se define como un PEGMN n(t) con
Rn(τ) =N0
2δ(τ) ⇔ Sn(f) =
N0
2.
Por tanto E[n2(t)] = E[n(t)n(t+ 0)] = Rn(0) = ∞.⇒ De densidades de probabilidad ni hablamos.
Si y(t) = n(t) ∗ h(t),
E[y2(t)] = Ry(0) =
∫ ∞
−∞
Sy(f)df =
∫ ∞
−∞
N0
2|H(f)|2df.
Si h(t) corresponde a un filtro paso banda ideal de ancho debanda (unilateral) ∆B,
E[y2(t)] = Ry(0) = 2
∫ B+∆B
B
N0
2df = N0∆B.
● title1
Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
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Espacio de señales de energía finita
La energía de una señal (compleja de tiempo continuo) sedefine como
E [x] =
∫ ∞
−∞
|x(t)|2dt.
El espacio de las señales de energía finita es el espaciovectorial de las señales de energía finita considerando igualesdos señales si la energía de su diferencia es cero.
● title1
Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
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óptimo
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Producto escalar
En el espacio de las señales de energía finita definimos elproducto escalar (PE)
〈x, y〉 =
∫ ∞
−∞
x(t)y∗(t)dt.
que tiene las propiedades■ 〈x, y〉 = 〈y, x〉∗■ 〈x+ y, z〉 = 〈x, z〉 + 〈y, z〉, 〈x, y + z〉 = 〈x, y〉 + 〈x, z〉■ 〈αx, y〉 = α 〈x, y〉 , 〈x, αy〉 = α∗ 〈x, y〉■ 〈x, x〉 = 0 ⇔ x = 0
■ 〈x, y〉 = 〈X,Y 〉 (la TF preserva el PE)
● title1
Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
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Producto escalar
En el espacio de las señales de energía finita definimos elproducto escalar (PE)
〈x, y〉 =
∫ ∞
−∞
x(t)y∗(t)dt.
que tiene las propiedades■ 〈x, y〉 = 〈y, x〉∗■ 〈x+ y, z〉 = 〈x, z〉 + 〈y, z〉, 〈x, y + z〉 = 〈x, y〉 + 〈x, z〉■ 〈αx, y〉 = α 〈x, y〉 , 〈x, αy〉 = α∗ 〈x, y〉■ 〈x, x〉 = 0 ⇔ x = 0
■ 〈x, y〉 = 〈X,Y 〉 (la TF preserva el PE)
● title1
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Ruido gaussiano
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
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Producto escalar
En el espacio de las señales de energía finita definimos elproducto escalar (PE)
〈x, y〉 =
∫ ∞
−∞
x(t)y∗(t)dt.
que tiene las propiedades■ 〈x, y〉 = 〈y, x〉∗■ 〈x+ y, z〉 = 〈x, z〉 + 〈y, z〉, 〈x, y + z〉 = 〈x, y〉 + 〈x, z〉■ 〈αx, y〉 = α 〈x, y〉 , 〈x, αy〉 = α∗ 〈x, y〉■ 〈x, x〉 = 0 ⇔ x = 0
■ 〈x, y〉 = 〈X,Y 〉 (la TF preserva el PE)
● title1
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El receptor óptimo
● Espacio de señales de
energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
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● Implementación del receptor
óptimo
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Producto escalar
En el espacio de las señales de energía finita definimos elproducto escalar (PE)
〈x, y〉 =
∫ ∞
−∞
x(t)y∗(t)dt.
que tiene las propiedades■ 〈x, y〉 = 〈y, x〉∗■ 〈x+ y, z〉 = 〈x, z〉 + 〈y, z〉, 〈x, y + z〉 = 〈x, y〉 + 〈x, z〉■ 〈αx, y〉 = α 〈x, y〉 , 〈x, αy〉 = α∗ 〈x, y〉■ 〈x, x〉 = 0 ⇔ x = 0
■ 〈x, y〉 = 〈X,Y 〉 (la TF preserva el PE)
● title1
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El receptor óptimo
● Espacio de señales de
energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
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● Implementación del receptor
óptimo
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Producto escalar
En el espacio de las señales de energía finita definimos elproducto escalar (PE)
〈x, y〉 =
∫ ∞
−∞
x(t)y∗(t)dt.
que tiene las propiedades■ 〈x, y〉 = 〈y, x〉∗■ 〈x+ y, z〉 = 〈x, z〉 + 〈y, z〉, 〈x, y + z〉 = 〈x, y〉 + 〈x, z〉■ 〈αx, y〉 = α 〈x, y〉 , 〈x, αy〉 = α∗ 〈x, y〉■ 〈x, x〉 = 0 ⇔ x = 0
■ 〈x, y〉 = 〈X,Y 〉 (la TF preserva el PE)
● title1
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El receptor óptimo
● Espacio de señales de
energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
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Definiciones relacionadas
■ E [x] = 〈x, x〉■ Definimos la norma de una señal x como ‖x‖ =
√
E [x]
■ Definimos la distancia entre dos señales x e y comod(x, y) = ‖x− y‖.
■ Se dice que x e y son ortogonales (x ⊥ y) si 〈x, y〉 = 0.■ El subespacio ortogonal a un conjunto C de señales es el
subespacio C⊥ de las señales que son ortogonales a todaslas de C.
● title1
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● Espacio de señales de
energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
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Definiciones relacionadas
■ E [x] = 〈x, x〉■ Definimos la norma de una señal x como ‖x‖ =
√
E [x]
■ Definimos la distancia entre dos señales x e y comod(x, y) = ‖x− y‖.
■ Se dice que x e y son ortogonales (x ⊥ y) si 〈x, y〉 = 0.■ El subespacio ortogonal a un conjunto C de señales es el
subespacio C⊥ de las señales que son ortogonales a todaslas de C.
● title1
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El receptor óptimo
● Espacio de señales de
energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
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óptimo
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Definiciones relacionadas
■ E [x] = 〈x, x〉■ Definimos la norma de una señal x como ‖x‖ =
√
E [x]
■ Definimos la distancia entre dos señales x e y comod(x, y) = ‖x− y‖.
■ Se dice que x e y son ortogonales (x ⊥ y) si 〈x, y〉 = 0.■ El subespacio ortogonal a un conjunto C de señales es el
subespacio C⊥ de las señales que son ortogonales a todaslas de C.
● title1
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● Espacio de señales de
energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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Definiciones relacionadas
■ E [x] = 〈x, x〉■ Definimos la norma de una señal x como ‖x‖ =
√
E [x]
■ Definimos la distancia entre dos señales x e y comod(x, y) = ‖x− y‖.
■ Se dice que x e y son ortogonales (x ⊥ y) si 〈x, y〉 = 0.■ El subespacio ortogonal a un conjunto C de señales es el
subespacio C⊥ de las señales que son ortogonales a todaslas de C.
● title1
Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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Definiciones relacionadas
■ E [x] = 〈x, x〉■ Definimos la norma de una señal x como ‖x‖ =
√
E [x]
■ Definimos la distancia entre dos señales x e y comod(x, y) = ‖x− y‖.
■ Se dice que x e y son ortogonales (x ⊥ y) si 〈x, y〉 = 0.■ El subespacio ortogonal a un conjunto C de señales es el
subespacio C⊥ de las señales que son ortogonales a todaslas de C.
● title1
Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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Sistemas ortonormales
■ Un sistema ortonormal es un conjunto de señales{ψi(t)}i=1,...,L unitarias y ortogonales entre sí, es decir,tales que 〈ψi, ψj〉 = δij .
■ Una señal x(t) del subespacio generado por el sistemaortonormal {ψi(t)}i=1,...,L se puede escribir como
x(t) =
L∑
k=1
〈x, ψk〉ψk(t).
■ Si x(t) = x1ψ1(t) + . . .+ xLψL(t) yy(t) = y1ψ1(t) + . . .+ yLψL(t), entonces
〈x, y〉 = x1y1 + · · · + xLyL.
● title1
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Ruido gaussiano
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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Sistemas ortonormales
■ Un sistema ortonormal es un conjunto de señales{ψi(t)}i=1,...,L unitarias y ortogonales entre sí, es decir,tales que 〈ψi, ψj〉 = δij .
■ Una señal x(t) del subespacio generado por el sistemaortonormal {ψi(t)}i=1,...,L se puede escribir como
x(t) =
L∑
k=1
〈x, ψk〉ψk(t).
■ Si x(t) = x1ψ1(t) + . . .+ xLψL(t) yy(t) = y1ψ1(t) + . . .+ yLψL(t), entonces
〈x, y〉 = x1y1 + · · · + xLyL.
● title1
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Ruido gaussiano
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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Sistemas ortonormales
■ Un sistema ortonormal es un conjunto de señales{ψi(t)}i=1,...,L unitarias y ortogonales entre sí, es decir,tales que 〈ψi, ψj〉 = δij .
■ Una señal x(t) del subespacio generado por el sistemaortonormal {ψi(t)}i=1,...,L se puede escribir como
x(t) =
L∑
k=1
〈x, ψk〉ψk(t).
■ Si x(t) = x1ψ1(t) + . . .+ xLψL(t) yy(t) = y1ψ1(t) + . . .+ yLψL(t), entonces
〈x, y〉 = x1y1 + · · · + xLyL.
● title1
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Ruido gaussiano
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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Proyección ortogonal
La proyeccìón ortogonal de la señal x(t) sobre el subespacio Sgenerado por las {ψi(t)}i=1,...,L es la señal PSx de S definidapor cualquiera de las siguientes propiedades equivalentes:■ El error de proyección x− PSx es ortogonal a todo S.■ PS es la señal de S que minimiza ‖x− PSx‖.
■ PSx(t) =∑Lk=1 〈x, ψi〉ψi(t)
● title1
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Ruido gaussiano
El receptor óptimo
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energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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Proyección ortogonal
La proyeccìón ortogonal de la señal x(t) sobre el subespacio Sgenerado por las {ψi(t)}i=1,...,L es la señal PSx de S definidapor cualquiera de las siguientes propiedades equivalentes:■ El error de proyección x− PSx es ortogonal a todo S.■ PS es la señal de S que minimiza ‖x− PSx‖.
■ PSx(t) =∑Lk=1 〈x, ψi〉ψi(t)
● title1
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El receptor óptimo
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energía finita● Producto escalar
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● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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Proyección ortogonal
La proyeccìón ortogonal de la señal x(t) sobre el subespacio Sgenerado por las {ψi(t)}i=1,...,L es la señal PSx de S definidapor cualquiera de las siguientes propiedades equivalentes:■ El error de proyección x− PSx es ortogonal a todo S.■ PS es la señal de S que minimiza ‖x− PSx‖.
■ PSx(t) =∑Lk=1 〈x, ψi〉ψi(t)
● title1
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Ruido gaussiano
El receptor óptimo
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energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
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● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
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óptimo
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Ortogonalización de Gram-Schmidt
Este algoritmo proporciona, dado un conjunto finito de señales{si(t)}i=1,...,M , una base ortonormal {ψk}k=1,...,L delsubespacio que generan.Escribiremos Pψ1,...,ψr
para referirnos a la proyecciónortogonal sobre el subespacio generado por las señalesψ1, . . . , ψr.
● title1
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Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
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óptimo
Modulación DBLC
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Ortogonalización de Gram-Schmidt
Este algoritmo proporciona, dado un conjunto finito de señales{si(t)}i=1,...,M , una base ortonormal {ψk}k=1,...,L delsubespacio que generan.Escribiremos Pψ1,...,ψr
para referirnos a la proyecciónortogonal sobre el subespacio generado por las señalesψ1, . . . , ψr.■ Tomamos ψ1 =
s1‖s1‖
.
■ Calculamos ψ2 = s2 − Pψ1s2. Si ψ2 6= 0, definimos
ψ2 =ψ2
‖ψ2‖.
■ En general, si toca procesar sk y en la base tenemosψ1, . . . , ψr, calculamos ψr+1 = sk − Pψ1,...,ψr
sk y, si es
distinto de cero, definimos ψr+1 =ψr+1
‖ψr+1‖.
● title1
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El receptor óptimo
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óptimo
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Representación vectorial del ruido blanco
Si n(t) es ruido blanco gaussiano con depb N0/2 y{ψi(t)}i=1,...,L un sistema ortonormal, el vector
n = (n1, . . . , nL), ni = 〈n, ψi〉
es una variable aleatoria gaussiana multidimensional de medianula de componentes independientes con varianza σ2 = N0/2.
● title1
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El receptor óptimo
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energía finita● Producto escalar
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● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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Representación vectorial del ruido blanco
Si n(t) es ruido blanco gaussiano con depb N0/2 y{ψi(t)}i=1,...,L un sistema ortonormal, el vector
n = (n1, . . . , nL), ni = 〈n, ψi〉
es una variable aleatoria gaussiana multidimensional de medianula de componentes independientes con varianza σ2 = N0/2.Además el error de proyección
n(t) = n(t) −L∑
k=1
nkψk(t)
es indepediente de los ni.
● title1
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Ruido gaussiano
El receptor óptimo
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energía finita● Producto escalar
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● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
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óptimo
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El receptor óptimo
Tomamos una base ortonormal {ψi(t)}i=1,...,L del subespacioS generado por las {si}i=1,...,M (espacio de señal).
si(t) = s1ψ1(t) + . . .+ sLψl(t),
sik = 〈si, ψk〉si(t) ≡ si = (si1, . . . , siL)
● title1
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El receptor óptimo
● Espacio de señales de
energía finita● Producto escalar
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● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
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● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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El receptor óptimo
Tomamos una base ortonormal {ψi(t)}i=1,...,L del subespacioS generado por las {si}i=1,...,M (espacio de señal).
si(t) = s1ψ1(t) + . . .+ sLψl(t),
sik = 〈si, ψk〉si(t) ≡ si = (si1, . . . , siL)
La proyección ortogonal sobre S de la señal recibida será
PSr(t) = PSsi(t) + PSn(t) = si(t) + PSn(t)
● title1
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El receptor óptimo
● Espacio de señales de
energía finita● Producto escalar
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● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
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ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
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El receptor óptimo
Tomamos una base ortonormal {ψi(t)}i=1,...,L del subespacioS generado por las {si}i=1,...,M (espacio de señal).
si(t) = s1ψ1(t) + . . .+ sLψl(t),
sik = 〈si, ψk〉si(t) ≡ si = (si1, . . . , siL)
La proyección ortogonal sobre S de la señal recibida será
PSr(t) = PSsi(t) + PSn(t) = si(t) + PSn(t)
Y el error de proyección será
r(t) = r(t) − PSr(t) = si(t) + n(t) − [si(t) + PSn(t)]
= n(t) − PSn(t) = n(t).
● title1
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● Definiciones relacionadas
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● Proyección ortogonal
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● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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El receptor óptimo
Podemos expresar PSr como un vector r = (r1, . . . , rL):
PSr(t) = r1ψ1(t) + . . .+ rLψL(t)
rk = 〈r(t), ψk(t)〉 = 〈si, ψk〉 + 〈n, ψk〉= sik + nk
● title1
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● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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El receptor óptimo
Podemos expresar PSr como un vector r = (r1, . . . , rL):
PSr(t) = r1ψ1(t) + . . .+ rLψL(t)
rk = 〈r(t), ψk(t)〉 = 〈si, ψk〉 + 〈n, ψk〉= sik + nk
r(t) = n(t) es independiente de la señal enviada si⇒ No aporta información directamente.
● title1
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El receptor óptimo
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energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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El receptor óptimo
Podemos expresar PSr como un vector r = (r1, . . . , rL):
PSr(t) = r1ψ1(t) + . . .+ rLψL(t)
rk = 〈r(t), ψk(t)〉 = 〈si, ψk〉 + 〈n, ψk〉= sik + nk
r(t) = n(t) es independiente de la señal enviada si⇒ No aporta información directamente.n(t) también es independiente de los coeficientes de ruido ni⇒ No nos aporta información tampoco indirectamente (através de las ecuaciones rk = sik + nk).
● title1
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Ruido gaussiano
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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El receptor óptimo
Por tanto podemos realizar la decisión de forma óptimabasándonos exclusivamente en los coeficientes ri⇒ Problema de estimación bayesiana con observacióncontinua r
r|si= si + ni ≡ N
(
µ = si,Σ =N0
2I
)
● title1
Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
energía finita● Producto escalar
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● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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El receptor óptimo
Por tanto podemos realizar la decisión de forma óptimabasándonos exclusivamente en los coeficientes ri⇒ Problema de estimación bayesiana con observacióncontinua r
r|si= si + ni ≡ N
(
µ = si,Σ =N0
2I
)
Por tanto la fdp de la observación es
f(r|si) =1
σL(2π)L/2exp−‖r− si‖2
2σ2
σ2 =N0
2
● title1
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El receptor óptimo
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energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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Implementación del receptor óptimo
Los productos escalares pueden implementarse mediantefiltros de respuesta al impulso hk(t) = ψ∗
k(t0 − t):
〈r, ψk〉 = r(t) ∗ ψ∗k(t0 − t)|t=t0 .
El parámetro t0 podemos elegirlo libremente.Si la señal ψk(t) termina en t1, el menor valor que hace el filtrocausal es t0 = t1.
● title1
Introducción
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El receptor óptimo
● Espacio de señales de
energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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Implementación del receptor óptimo
ψ∗
1(t0 − t)
sir(t)
r1
r2
rL
ψ∗
2(t0 − t)
ψ∗
L(t0 − t)
arg maxi P (si|r)
g∗(r) = arg maxsi
P (si|r) = arg maxsi
f(r|si)Pi
● title1
Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Modelo de sistema de transmisión digital
Fuente Moduladorde canal
Moduladordigital
Presentacion Demoduladorde canal
Demoduladordigital
Receptor
Portadora fc
{mi}v(t) =
∑
n sI(n)(t− nT )
Transmisor
Canal
n(t)
r(t){m′
i}
● title1
Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Modulación DBLC
Modulación en Doble Banda Lateral en Cuadratura
(xc(t), xs(t)) 7→ x(t) = xc(t) cosωct− xs(t) sinωct
donde el ancho de banda de xc e yc es menor que B yfc = ωc
2π ≥ B.
● title1
Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Modulación DBLC
Viendo el par (xc(t), xs(t)) como una señal compleja:
x(t) = xc(t) + jxs(t) 7→ x(t) = <[x(t)ejωct]
● title1
Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Modulación DBLC
Viendo el par (xc(t), xs(t)) como una señal compleja:
x(t) = xc(t) + jxs(t) 7→ x(t) = <[x(t)ejωct]
En frecuencia:
x(t) →x(t)ejωct →x(t) = <[x(t)ejωct]
X(f) →X(f − fc) →X(f) = Her[X(f − fc)]
=1
2[X(f − fc) +X∗(−f − fc)
︸ ︷︷ ︸
X∗(−(f+fc))
]
● title1
Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Modulación DBLC
X(f)
X(f)
Por tanto X(f) es esencialmente X(f) desplazada a fc másX∗(−f) desplazada a −fc, luego
X(f) = 2X(f + fc)u(f + fc),
es decir, X(f) es la señal paso bajo equivalente o envolventecompleja de X(f).
● title1
Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Ruido en el canal
Si el canal añade ruido blanco gaussiano con depb N0/2, en ellado receptor, el demodulador lo convierte en ruido blancopaso banda, del que se obtiene la señal paso bajo equivalente,que es un proceso complejo
ne(t) = nc(t) + jns(t)
del que se demuestra:
● title1
Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Ruido en el canal
Si el canal añade ruido blanco gaussiano con depb N0/2, en ellado receptor, el demodulador lo convierte en ruido blancopaso banda, del que se obtiene la señal paso bajo equivalente,que es un proceso complejo
ne(t) = nc(t) + jns(t)
del que se demuestra:1. nc y ns son procesos estacionarios gaussianos
independientes de media nula2. y con densidad espectral de potencia
Snc(f) = Sns
(f) = N0
para |f | < B, donde B es el menor ancho de banda de losfiltros del demodulador DBLC.
● title1
Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
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● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
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portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Ruido en el canal
Si el canal añade ruido blanco gaussiano con depb N0/2, en ellado receptor, el demodulador lo convierte en ruido blancopaso banda, del que se obtiene la señal paso bajo equivalente,que es un proceso complejo
ne(t) = nc(t) + jns(t)
del que se demuestra:1. nc y ns son procesos estacionarios gaussianos
independientes de media nula2. y con densidad espectral de potencia
Snc(f) = Sns
(f) = N0
para |f | < B, donde B es el menor ancho de banda de losfiltros del demodulador DBLC.
En los desarrollos teóricos se suele suponer ancho de bandainfinito, lo que no afecta al resultado (ejercicio 1.12 de losapuntes de la asignatura).
● title1
Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Ruido en el canal
FPBanda
FPBajo
FPBajo
− senωct
n(t)
cosωct
sc(t)
ss(t)
2 cosωct
−2 senωct
rc(t)
rs(t)
● title1
Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Ruido en el canal
sc(t)
nc(t)
rc(t)
ns(t)
ss(t) rs(t)
● title1
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Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
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● Ruido en el canal
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rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
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● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Representación vectorial del rbg complejo
Si ne(t) = nc(t) + jns(t) es rbg complejo como el queacabamos de describir, pero con Snc
(f) = Sns(f) = N0 y
{ψi(t)}i=1,...,L es un sistema ortonormal, definimos
ni = nic + jnis = 〈ne(t), ψi(t)〉ne(t) = ne(t) − (n1ψ1(t) + . . .+ nLψL(t)) .
● title1
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Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
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● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Representación vectorial del rbg complejo
Si ne(t) = nc(t) + jns(t) es rbg complejo como el queacabamos de describir, pero con Snc
(f) = Sns(f) = N0 y
{ψi(t)}i=1,...,L es un sistema ortonormal, definimos
ni = nic + jnis = 〈ne(t), ψi(t)〉ne(t) = ne(t) − (n1ψ1(t) + . . .+ nLψL(t)) .
Entonces■ El vector (n1c, n1s, . . . , nLc, nLs) es una variable aleatoria
gaussiana de componentes independientes, media nula yvarianza σ2 = N0.
■ ne(t) es independiente de este vector.
● title1
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Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Representación vectorial del rbg complejo
Si ne(t) = nc(t) + jns(t) es rbg complejo como el queacabamos de describir, pero con Snc
(f) = Sns(f) = N0 y
{ψi(t)}i=1,...,L es un sistema ortonormal, definimos
ni = nic + jnis = 〈ne(t), ψi(t)〉ne(t) = ne(t) − (n1ψ1(t) + . . .+ nLψL(t)) .
Entonces■ El vector (n1c, n1s, . . . , nLc, nLs) es una variable aleatoria
gaussiana de componentes independientes, media nula yvarianza σ2 = N0.
■ ne(t) es independiente de este vector.Por lo tanto el esquema del receptor óptimo para señalesreales es también válido para señales complejas.
● title1
Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
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● Ruido en el canal
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● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
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portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Canal paso bajo equivalente
Si la señal modulada pasa por un canal modelado por unsistema lineal invariante con respuesta en frecuencia H(f)obtenemos
Y (f) = X(f)H(f)
● title1
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Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
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● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Canal paso bajo equivalente
Si la señal modulada pasa por un canal modelado por unsistema lineal invariante con respuesta en frecuencia H(f)obtenemos
Y (f) = X(f)H(f)
Luego al demodular (=obtener señal paso bajo equivalente)obtenemos
Y (f) = 2Y (f + fc)u(f + fc) = 2X(f + fc)H(f + fc)u(f + fc)
● title1
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Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
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rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
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portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Canal paso bajo equivalente
Si la señal modulada pasa por un canal modelado por unsistema lineal invariante con respuesta en frecuencia H(f)obtenemos
Y (f) = X(f)H(f)
Luego al demodular (=obtener señal paso bajo equivalente)obtenemos
Y (f) = 2Y (f + fc)u(f + fc) = 2X(f + fc)H(f + fc)u(f + fc)
= 2X(f + fc)u(f + fc)︸ ︷︷ ︸
X(f)
H(f + fc)u(f + fc)︸ ︷︷ ︸
He(f)
He(f) es la respuesta del canal paso bajo equivalente(atención a la definición (sin 2)).
● title1
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El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
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● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
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portadora● Resumen: Ventajas de usar
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Error en la fase de la portadora
Si modulamos x(t) = xc(t) + jxs(t) con ej(ωct+θ) en lugar deejωct, transmitimos
<[x(t)ej(ωct+θ)] = <[x(t)ejθejωct],
● title1
Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
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● Ruido en el canal
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portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Error en la fase de la portadora
Si modulamos x(t) = xc(t) + jxs(t) con ej(ωct+θ) en lugar deejωct, transmitimos
<[x(t)ej(ωct+θ)] = <[x(t)ejθejωct],
y si demodulamos con ejωct recuperamos
x(t)ejθ.
● title1
Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
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● Ruido en el canal
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rbg complejo
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portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Resumen: Ventajas de usar señales complejas
Las señales complejas proporcionan un modelomatemáticamente equivalente del proceso de transmisión deseñales moduladas en DBLC, en el que se incluyen de formamuy sencilla:
● title1
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Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
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transmisión digital
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● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Resumen: Ventajas de usar señales complejas
Las señales complejas proporcionan un modelomatemáticamente equivalente del proceso de transmisión deseñales moduladas en DBLC, en el que se incluyen de formamuy sencilla:■ La presencia de ruido en el canal.■ La distorsión lineal del canal.■ Los errores de fase en la recuperación de la portadora.
● title1
Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Resumen: Sistemas real y equivalente
He(f)ejθ
H(f)DBLC DBLC−1
n(t)
ne(t)
ej(ωt+θ) ejωt