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Comunicaciones Digitales
José Ignacio Ronda PrietoGTI, SSR, ETSIT, UPM
http://www.gti.ssr.upm.es/˜jir/[email protected]
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● title1
Introducción
● Sistema de transmisión digital
● Detección de señales
● Detección de señales
● Estimación bayesiana con
observación continua● Regiones de decisión
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
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Sistema de transmisión digital
Fuente Moduladorde canal
Moduladordigital
Presentacion Demoduladorde canal
Demoduladordigital
Receptor
Portadora fc
{mi}v(t) =
∑
n sI(n)(t− nT )
Transmisor
Canal
n(t)
r(t){m′
i}
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● title1
Introducción
● Sistema de transmisión digital
● Detección de señales
● Detección de señales
● Estimación bayesiana con
observación continua● Regiones de decisión
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
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Detección de señales
si(t)
n(t)
r(t)
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● title1
Introducción
● Sistema de transmisión digital
● Detección de señales
● Detección de señales
● Estimación bayesiana con
observación continua● Regiones de decisión
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
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Detección de señales
si(t)
n(t)
r(t)
Información a priori:■ Conjunto de señales transmitidas {si}■ Probabilidades Pi = P [si].■ Caracterización probabilística del ruido n(t)
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Introducción
● Sistema de transmisión digital
● Detección de señales
● Detección de señales
● Estimación bayesiana con
observación continua● Regiones de decisión
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
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Detección de señales
si(t)
n(t)
r(t)
Información a priori:■ Conjunto de señales transmitidas {si}■ Probabilidades Pi = P [si].■ Caracterización probabilística del ruido n(t)
Problema de estimación:■ Incógnita: si■ Observación: r
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Introducción
● Sistema de transmisión digital
● Detección de señales
● Detección de señales
● Estimación bayesiana con
observación continua● Regiones de decisión
Ruido gaussiano
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Detección de señales
Problemas parecidos aparecen con frecuencia
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Introducción
● Sistema de transmisión digital
● Detección de señales
● Detección de señales
● Estimación bayesiana con
observación continua● Regiones de decisión
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Estimación bayesiana con observación continua
Suponemos que nuestra observación es una VA continuamultidimensional X = (X1, ..., XL) caracterizada por lasfunciones de densidad de probabilidad condicionadas
fX(x1, ..., xL|I = ai).
Intentamos hallar una función g que asigne a cada valor de x
un valor de I de forma que se minimice la probabilidad de error
PE = P [I 6= g(X)]
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Introducción
● Sistema de transmisión digital
● Detección de señales
● Detección de señales
● Estimación bayesiana con
observación continua● Regiones de decisión
Ruido gaussiano
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Estimación bayesiana con observación continua
La función g que maximice P [I = g(x)|X = x] en cada punto x
nos dará la probabilidad de error mínima. Esta función lapodemos definir como
g∗(x) = arg maxai
P [I = ai|X = x]
= arg maxai
f(x|I = ai)P [I = ai]/f(x)
= arg maxai
f(x|I = ai)P [I = ai].
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Introducción
● Sistema de transmisión digital
● Detección de señales
● Detección de señales
● Estimación bayesiana con
observación continua● Regiones de decisión
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Regiones de decisión
Podemos especificar g en términos de sus regiones dedecisión:
Ri = {x ∈ RL|g(x) = ai}
La probabilidad de error asociada a g queda
PE =M∑
i=1
PE|I=aiP [I = ai]
=
M∑
i=1
P [g(X) /∈ Ri]P [I = ai]
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● title1
Introducción
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos● Procesos estacionarios
gaussianos● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
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El misterioso ruido blanco
Si n(t) es ruido blanco gaussiano con densidad espectral depotencia bilateral (depb) N0/2,■ ¿Cuánto vale E[n2(t)]?■ ¿Cuál es la probabilidad de que 0 < n(t) < 1?
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Introducción
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos● Procesos estacionarios
gaussianos● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
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El misterioso ruido blanco
Si n(t) es ruido blanco gaussiano con densidad espectral depotencia bilateral (depb) N0/2,■ ¿Cuánto vale E[n2(t)]?■ ¿Cuál es la probabilidad de que 0 < n(t) < 1?
Si x(t) = n(t) ∗ h(t),■ ¿Cuánto vale E[x2(t)]?■ Si x(0) = x0, ¿qué sé sobre x(1)?
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Introducción
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos● Procesos estacionarios
gaussianos● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
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Procesos estacionarios gaussianos
Conocer un proceso x(t) es conocer, dados unos instantest1, . . . tn, la fdp
f(x1, . . . , xn), xi = x(ti).
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Introducción
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos● Procesos estacionarios
gaussianos● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
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Procesos estacionarios gaussianos
Conocer un proceso x(t) es conocer, dados unos instantest1, . . . tn, la fdp
f(x1, . . . , xn), xi = x(ti).
El estudio físico del ruido blanco y del ruido blanco filtradoindica que se trata de un proceso estacionario gaussiano demedia nula (PEGMN). ¿Qué significa esto?
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Introducción
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos● Procesos estacionarios
gaussianos● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
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Procesos estacionarios gaussianos
Un proceso x(t) estacionario cuando f(x1, . . . , xn) es lamisma para xi = x(ti) y para xi = x(ti + ∆t).
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Introducción
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos● Procesos estacionarios
gaussianos● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
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Procesos estacionarios gaussianos
Un proceso x(t) estacionario cuando f(x1, . . . , xn) es lamisma para xi = x(ti) y para xi = x(ti + ∆t).
Es gaussiano de media nula cuando el vector aleatoriox = (x1, . . . , xn) es gaussiano de media nula.
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Introducción
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos● Procesos estacionarios
gaussianos● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
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Inciso: VAs gausianas
Una VA gaussiana X ∼ N(µ,Σ) con vector de medias µ ymatriz de varianzas-covarianzas Σ es la que tiene fdp
f(x) =1
(2π)n/2|Σ|1/2 exp−1
2(x− µ)>Σ−1(x− µ),
x = (x1, . . . , xn)>
µ = (µ1, . . . , µn)>, µi = E[xi]
Σ = (σ2ij), σ
2ij = E[(xi − µi)(xj − µj)]
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● title1
Introducción
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos● Procesos estacionarios
gaussianos● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
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Inciso: VAs gausianas
Una VA gaussiana X ∼ N(µ,Σ) con vector de medias µ ymatriz de varianzas-covarianzas Σ es la que tiene fdp
f(x) =1
(2π)n/2|Σ|1/2 exp−1
2(x− µ)>Σ−1(x− µ),
x = (x1, . . . , xn)>
µ = (µ1, . . . , µn)>, µi = E[xi]
Σ = (σ2ij), σ
2ij = E[(xi − µi)(xj − µj)]
Si X ∼ N(µ,Σ) e Y = αX + a, a cte., entoncesY ∼ N(α2
Σ, αµ + a).
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Introducción
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos● Procesos estacionarios
gaussianos● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
Modulación DBLC
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Inciso: VAs gausianas
Un caso particular importante: Σ = σ2I:
(x − µ)>Σ−1(x − µ) =
1
σ2‖x − µ‖2
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Introducción
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos● Procesos estacionarios
gaussianos● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
Modulación DBLC
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Inciso: VAs gausianas
Un caso particular importante: Σ = σ2I:
(x − µ)>Σ−1(x − µ) =
1
σ2‖x − µ‖2
f(x) =1
(2π)n/2σnexp−‖x − µ‖2
2σ2
=n∏
i=1
1√2πσ
exp− (xi − µi)2
2σ2
Es el caso de componentes independientes con la mismavarianza.
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Introducción
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos● Procesos estacionarios
gaussianos● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
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Procesos estacionarios gaussianos
Definimos la función de autocorrelación de un procesoestacionario x(t) como
Rx(τ) = E[x(t)x(t+ τ)].
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Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos● Procesos estacionarios
gaussianos● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
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Procesos estacionarios gaussianos
Definimos la función de autocorrelación de un procesoestacionario x(t) como
Rx(τ) = E[x(t)x(t+ τ)].
Esta función nos proporciona todos los datos que necesitamospara escribir las fdp de muestras de un PEGMN:
E[xixj ] = E[x(ti)x(tj)] = Rx(tj − ti).
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Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos● Procesos estacionarios
gaussianos● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
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Teorema de filtrado
Si x(t) es un PEGMN e y(t) = x(t) ∗ h(t), entonces y(t) estambién un PEGMN y
Ry(τ) = Rx(τ) ∗ h(τ) ∗ h(−τ).
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Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos● Procesos estacionarios
gaussianos● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
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Teorema de filtrado
Si x(t) es un PEGMN e y(t) = x(t) ∗ h(t), entonces y(t) estambién un PEGMN y
Ry(τ) = Rx(τ) ∗ h(τ) ∗ h(−τ).
La TF de la función de autocorrelación se llama densidadespectral de potencia. En términos de estas funciones,
Sy(f) = Sx(f)H(f)H(−f) = Sx(f)H(f)H∗(f) = Sx(f)|H(f)|2.
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Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos● Procesos estacionarios
gaussianos● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
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Teorema de filtrado
Si x(t) es un PEGMN e y(t) = x(t) ∗ h(t), entonces y(t) estambién un PEGMN y
Ry(τ) = Rx(τ) ∗ h(τ) ∗ h(−τ).
Si H(f) corresponde a un filtro paso banda ideal de ancho debanda (unilateral) ∆B,
E[y2(t)] = Ry(0) =
∫ ∞
−∞
Sy(f)df =
∫ ∞
−∞
Sx(f)|H(f)|2df
=
∫
Banda de pasoSx(f)df
Esta formula es la justificación del nombre densidad espectralde potencia para Sx(f).
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Introducción
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos● Procesos estacionarios
gaussianos● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
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El ruido blanco gaussiano, por fin
El ruido blanco gaussiano se define como un PEGMN n(t) con
Rn(τ) =N0
2δ(τ) ⇔ Sn(f) =
N0
2.
Por tanto E[n2(t)] = E[n(t)n(t+ 0)] = Rn(0) = ∞.⇒ De densidades de probabilidad ni hablamos.
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Introducción
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos● Procesos estacionarios
gaussianos● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
Modulación DBLC
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El ruido blanco gaussiano, por fin
El ruido blanco gaussiano se define como un PEGMN n(t) con
Rn(τ) =N0
2δ(τ) ⇔ Sn(f) =
N0
2.
Por tanto E[n2(t)] = E[n(t)n(t+ 0)] = Rn(0) = ∞.⇒ De densidades de probabilidad ni hablamos.
Si y(t) = n(t) ∗ h(t),
E[y2(t)] = Ry(0) =
∫ ∞
−∞
Sy(f)df =
∫ ∞
−∞
N0
2|H(f)|2df.
![Page 28: GoBack - gti.ssr.upm.es](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022081701/62e2fc5364ddd63a6732a4d0/html5/thumbnails/28.jpg)
● title1
Introducción
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos● Procesos estacionarios
gaussianos● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
Modulación DBLC
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El ruido blanco gaussiano, por fin
El ruido blanco gaussiano se define como un PEGMN n(t) con
Rn(τ) =N0
2δ(τ) ⇔ Sn(f) =
N0
2.
Por tanto E[n2(t)] = E[n(t)n(t+ 0)] = Rn(0) = ∞.⇒ De densidades de probabilidad ni hablamos.
Si y(t) = n(t) ∗ h(t),
E[y2(t)] = Ry(0) =
∫ ∞
−∞
Sy(f)df =
∫ ∞
−∞
N0
2|H(f)|2df.
Si h(t) corresponde a un filtro paso banda ideal de ancho debanda (unilateral) ∆B,
E[y2(t)] = Ry(0) = 2
∫ B+∆B
B
N0
2df = N0∆B.
![Page 29: GoBack - gti.ssr.upm.es](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022081701/62e2fc5364ddd63a6732a4d0/html5/thumbnails/29.jpg)
● title1
Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
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Espacio de señales de energía finita
La energía de una señal (compleja de tiempo continuo) sedefine como
E [x] =
∫ ∞
−∞
|x(t)|2dt.
El espacio de las señales de energía finita es el espaciovectorial de las señales de energía finita considerando igualesdos señales si la energía de su diferencia es cero.
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Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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Producto escalar
En el espacio de las señales de energía finita definimos elproducto escalar (PE)
〈x, y〉 =
∫ ∞
−∞
x(t)y∗(t)dt.
que tiene las propiedades■ 〈x, y〉 = 〈y, x〉∗■ 〈x+ y, z〉 = 〈x, z〉 + 〈y, z〉, 〈x, y + z〉 = 〈x, y〉 + 〈x, z〉■ 〈αx, y〉 = α 〈x, y〉 , 〈x, αy〉 = α∗ 〈x, y〉■ 〈x, x〉 = 0 ⇔ x = 0
■ 〈x, y〉 = 〈X,Y 〉 (la TF preserva el PE)
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Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
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Producto escalar
En el espacio de las señales de energía finita definimos elproducto escalar (PE)
〈x, y〉 =
∫ ∞
−∞
x(t)y∗(t)dt.
que tiene las propiedades■ 〈x, y〉 = 〈y, x〉∗■ 〈x+ y, z〉 = 〈x, z〉 + 〈y, z〉, 〈x, y + z〉 = 〈x, y〉 + 〈x, z〉■ 〈αx, y〉 = α 〈x, y〉 , 〈x, αy〉 = α∗ 〈x, y〉■ 〈x, x〉 = 0 ⇔ x = 0
■ 〈x, y〉 = 〈X,Y 〉 (la TF preserva el PE)
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El receptor óptimo
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● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
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óptimo
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Producto escalar
En el espacio de las señales de energía finita definimos elproducto escalar (PE)
〈x, y〉 =
∫ ∞
−∞
x(t)y∗(t)dt.
que tiene las propiedades■ 〈x, y〉 = 〈y, x〉∗■ 〈x+ y, z〉 = 〈x, z〉 + 〈y, z〉, 〈x, y + z〉 = 〈x, y〉 + 〈x, z〉■ 〈αx, y〉 = α 〈x, y〉 , 〈x, αy〉 = α∗ 〈x, y〉■ 〈x, x〉 = 0 ⇔ x = 0
■ 〈x, y〉 = 〈X,Y 〉 (la TF preserva el PE)
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Producto escalar
En el espacio de las señales de energía finita definimos elproducto escalar (PE)
〈x, y〉 =
∫ ∞
−∞
x(t)y∗(t)dt.
que tiene las propiedades■ 〈x, y〉 = 〈y, x〉∗■ 〈x+ y, z〉 = 〈x, z〉 + 〈y, z〉, 〈x, y + z〉 = 〈x, y〉 + 〈x, z〉■ 〈αx, y〉 = α 〈x, y〉 , 〈x, αy〉 = α∗ 〈x, y〉■ 〈x, x〉 = 0 ⇔ x = 0
■ 〈x, y〉 = 〈X,Y 〉 (la TF preserva el PE)
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El receptor óptimo
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óptimo
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Producto escalar
En el espacio de las señales de energía finita definimos elproducto escalar (PE)
〈x, y〉 =
∫ ∞
−∞
x(t)y∗(t)dt.
que tiene las propiedades■ 〈x, y〉 = 〈y, x〉∗■ 〈x+ y, z〉 = 〈x, z〉 + 〈y, z〉, 〈x, y + z〉 = 〈x, y〉 + 〈x, z〉■ 〈αx, y〉 = α 〈x, y〉 , 〈x, αy〉 = α∗ 〈x, y〉■ 〈x, x〉 = 0 ⇔ x = 0
■ 〈x, y〉 = 〈X,Y 〉 (la TF preserva el PE)
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● Proyección ortogonal
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● El receptor óptimo
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óptimo
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Definiciones relacionadas
■ E [x] = 〈x, x〉■ Definimos la norma de una señal x como ‖x‖ =
√
E [x]
■ Definimos la distancia entre dos señales x e y comod(x, y) = ‖x− y‖.
■ Se dice que x e y son ortogonales (x ⊥ y) si 〈x, y〉 = 0.■ El subespacio ortogonal a un conjunto C de señales es el
subespacio C⊥ de las señales que son ortogonales a todaslas de C.
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Definiciones relacionadas
■ E [x] = 〈x, x〉■ Definimos la norma de una señal x como ‖x‖ =
√
E [x]
■ Definimos la distancia entre dos señales x e y comod(x, y) = ‖x− y‖.
■ Se dice que x e y son ortogonales (x ⊥ y) si 〈x, y〉 = 0.■ El subespacio ortogonal a un conjunto C de señales es el
subespacio C⊥ de las señales que son ortogonales a todaslas de C.
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óptimo
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Definiciones relacionadas
■ E [x] = 〈x, x〉■ Definimos la norma de una señal x como ‖x‖ =
√
E [x]
■ Definimos la distancia entre dos señales x e y comod(x, y) = ‖x− y‖.
■ Se dice que x e y son ortogonales (x ⊥ y) si 〈x, y〉 = 0.■ El subespacio ortogonal a un conjunto C de señales es el
subespacio C⊥ de las señales que son ortogonales a todaslas de C.
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● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
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Definiciones relacionadas
■ E [x] = 〈x, x〉■ Definimos la norma de una señal x como ‖x‖ =
√
E [x]
■ Definimos la distancia entre dos señales x e y comod(x, y) = ‖x− y‖.
■ Se dice que x e y son ortogonales (x ⊥ y) si 〈x, y〉 = 0.■ El subespacio ortogonal a un conjunto C de señales es el
subespacio C⊥ de las señales que son ortogonales a todaslas de C.
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● Sistemas ortonormales
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óptimo
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Definiciones relacionadas
■ E [x] = 〈x, x〉■ Definimos la norma de una señal x como ‖x‖ =
√
E [x]
■ Definimos la distancia entre dos señales x e y comod(x, y) = ‖x− y‖.
■ Se dice que x e y son ortogonales (x ⊥ y) si 〈x, y〉 = 0.■ El subespacio ortogonal a un conjunto C de señales es el
subespacio C⊥ de las señales que son ortogonales a todaslas de C.
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Ruido gaussiano
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
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● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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Sistemas ortonormales
■ Un sistema ortonormal es un conjunto de señales{ψi(t)}i=1,...,L unitarias y ortogonales entre sí, es decir,tales que 〈ψi, ψj〉 = δij .
■ Una señal x(t) del subespacio generado por el sistemaortonormal {ψi(t)}i=1,...,L se puede escribir como
x(t) =
L∑
k=1
〈x, ψk〉ψk(t).
■ Si x(t) = x1ψ1(t) + . . .+ xLψL(t) yy(t) = y1ψ1(t) + . . .+ yLψL(t), entonces
〈x, y〉 = x1y1 + · · · + xLyL.
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El receptor óptimo
● Espacio de señales de
energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
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óptimo
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Sistemas ortonormales
■ Un sistema ortonormal es un conjunto de señales{ψi(t)}i=1,...,L unitarias y ortogonales entre sí, es decir,tales que 〈ψi, ψj〉 = δij .
■ Una señal x(t) del subespacio generado por el sistemaortonormal {ψi(t)}i=1,...,L se puede escribir como
x(t) =
L∑
k=1
〈x, ψk〉ψk(t).
■ Si x(t) = x1ψ1(t) + . . .+ xLψL(t) yy(t) = y1ψ1(t) + . . .+ yLψL(t), entonces
〈x, y〉 = x1y1 + · · · + xLyL.
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● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
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● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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Sistemas ortonormales
■ Un sistema ortonormal es un conjunto de señales{ψi(t)}i=1,...,L unitarias y ortogonales entre sí, es decir,tales que 〈ψi, ψj〉 = δij .
■ Una señal x(t) del subespacio generado por el sistemaortonormal {ψi(t)}i=1,...,L se puede escribir como
x(t) =
L∑
k=1
〈x, ψk〉ψk(t).
■ Si x(t) = x1ψ1(t) + . . .+ xLψL(t) yy(t) = y1ψ1(t) + . . .+ yLψL(t), entonces
〈x, y〉 = x1y1 + · · · + xLyL.
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● Definiciones relacionadas
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● Proyección ortogonal
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Gram-Schmidt● Representación vectorial del
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óptimo
Modulación DBLC
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Proyección ortogonal
La proyeccìón ortogonal de la señal x(t) sobre el subespacio Sgenerado por las {ψi(t)}i=1,...,L es la señal PSx de S definidapor cualquiera de las siguientes propiedades equivalentes:■ El error de proyección x− PSx es ortogonal a todo S.■ PS es la señal de S que minimiza ‖x− PSx‖.
■ PSx(t) =∑Lk=1 〈x, ψi〉ψi(t)
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Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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Proyección ortogonal
La proyeccìón ortogonal de la señal x(t) sobre el subespacio Sgenerado por las {ψi(t)}i=1,...,L es la señal PSx de S definidapor cualquiera de las siguientes propiedades equivalentes:■ El error de proyección x− PSx es ortogonal a todo S.■ PS es la señal de S que minimiza ‖x− PSx‖.
■ PSx(t) =∑Lk=1 〈x, ψi〉ψi(t)
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El receptor óptimo
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Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
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● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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Proyección ortogonal
La proyeccìón ortogonal de la señal x(t) sobre el subespacio Sgenerado por las {ψi(t)}i=1,...,L es la señal PSx de S definidapor cualquiera de las siguientes propiedades equivalentes:■ El error de proyección x− PSx es ortogonal a todo S.■ PS es la señal de S que minimiza ‖x− PSx‖.
■ PSx(t) =∑Lk=1 〈x, ψi〉ψi(t)
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● Definiciones relacionadas
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● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
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óptimo
Modulación DBLC
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Ortogonalización de Gram-Schmidt
Este algoritmo proporciona, dado un conjunto finito de señales{si(t)}i=1,...,M , una base ortonormal {ψk}k=1,...,L delsubespacio que generan.Escribiremos Pψ1,...,ψr
para referirnos a la proyecciónortogonal sobre el subespacio generado por las señalesψ1, . . . , ψr.
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El receptor óptimo
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energía finita● Producto escalar
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● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
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Ortogonalización de Gram-Schmidt
Este algoritmo proporciona, dado un conjunto finito de señales{si(t)}i=1,...,M , una base ortonormal {ψk}k=1,...,L delsubespacio que generan.Escribiremos Pψ1,...,ψr
para referirnos a la proyecciónortogonal sobre el subespacio generado por las señalesψ1, . . . , ψr.■ Tomamos ψ1 =
s1‖s1‖
.
■ Calculamos ψ2 = s2 − Pψ1s2. Si ψ2 6= 0, definimos
ψ2 =ψ2
‖ψ2‖.
■ En general, si toca procesar sk y en la base tenemosψ1, . . . , ψr, calculamos ψr+1 = sk − Pψ1,...,ψr
sk y, si es
distinto de cero, definimos ψr+1 =ψr+1
‖ψr+1‖.
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El receptor óptimo
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energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
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● Proyección ortogonal
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Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
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Representación vectorial del ruido blanco
Si n(t) es ruido blanco gaussiano con depb N0/2 y{ψi(t)}i=1,...,L un sistema ortonormal, el vector
n = (n1, . . . , nL), ni = 〈n, ψi〉
es una variable aleatoria gaussiana multidimensional de medianula de componentes independientes con varianza σ2 = N0/2.
![Page 49: GoBack - gti.ssr.upm.es](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022081701/62e2fc5364ddd63a6732a4d0/html5/thumbnails/49.jpg)
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Ruido gaussiano
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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Representación vectorial del ruido blanco
Si n(t) es ruido blanco gaussiano con depb N0/2 y{ψi(t)}i=1,...,L un sistema ortonormal, el vector
n = (n1, . . . , nL), ni = 〈n, ψi〉
es una variable aleatoria gaussiana multidimensional de medianula de componentes independientes con varianza σ2 = N0/2.Además el error de proyección
n(t) = n(t) −L∑
k=1
nkψk(t)
es indepediente de los ni.
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El receptor óptimo
● Espacio de señales de
energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
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óptimo
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El receptor óptimo
Tomamos una base ortonormal {ψi(t)}i=1,...,L del subespacioS generado por las {si}i=1,...,M (espacio de señal).
si(t) = s1ψ1(t) + . . .+ sLψl(t),
sik = 〈si, ψk〉si(t) ≡ si = (si1, . . . , siL)
![Page 51: GoBack - gti.ssr.upm.es](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022081701/62e2fc5364ddd63a6732a4d0/html5/thumbnails/51.jpg)
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Ruido gaussiano
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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El receptor óptimo
Tomamos una base ortonormal {ψi(t)}i=1,...,L del subespacioS generado por las {si}i=1,...,M (espacio de señal).
si(t) = s1ψ1(t) + . . .+ sLψl(t),
sik = 〈si, ψk〉si(t) ≡ si = (si1, . . . , siL)
La proyección ortogonal sobre S de la señal recibida será
PSr(t) = PSsi(t) + PSn(t) = si(t) + PSn(t)
![Page 52: GoBack - gti.ssr.upm.es](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022081701/62e2fc5364ddd63a6732a4d0/html5/thumbnails/52.jpg)
● title1
Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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El receptor óptimo
Tomamos una base ortonormal {ψi(t)}i=1,...,L del subespacioS generado por las {si}i=1,...,M (espacio de señal).
si(t) = s1ψ1(t) + . . .+ sLψl(t),
sik = 〈si, ψk〉si(t) ≡ si = (si1, . . . , siL)
La proyección ortogonal sobre S de la señal recibida será
PSr(t) = PSsi(t) + PSn(t) = si(t) + PSn(t)
Y el error de proyección será
r(t) = r(t) − PSr(t) = si(t) + n(t) − [si(t) + PSn(t)]
= n(t) − PSn(t) = n(t).
![Page 53: GoBack - gti.ssr.upm.es](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022081701/62e2fc5364ddd63a6732a4d0/html5/thumbnails/53.jpg)
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Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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El receptor óptimo
Podemos expresar PSr como un vector r = (r1, . . . , rL):
PSr(t) = r1ψ1(t) + . . .+ rLψL(t)
rk = 〈r(t), ψk(t)〉 = 〈si, ψk〉 + 〈n, ψk〉= sik + nk
![Page 54: GoBack - gti.ssr.upm.es](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022081701/62e2fc5364ddd63a6732a4d0/html5/thumbnails/54.jpg)
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Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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El receptor óptimo
Podemos expresar PSr como un vector r = (r1, . . . , rL):
PSr(t) = r1ψ1(t) + . . .+ rLψL(t)
rk = 〈r(t), ψk(t)〉 = 〈si, ψk〉 + 〈n, ψk〉= sik + nk
r(t) = n(t) es independiente de la señal enviada si⇒ No aporta información directamente.
![Page 55: GoBack - gti.ssr.upm.es](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022081701/62e2fc5364ddd63a6732a4d0/html5/thumbnails/55.jpg)
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Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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El receptor óptimo
Podemos expresar PSr como un vector r = (r1, . . . , rL):
PSr(t) = r1ψ1(t) + . . .+ rLψL(t)
rk = 〈r(t), ψk(t)〉 = 〈si, ψk〉 + 〈n, ψk〉= sik + nk
r(t) = n(t) es independiente de la señal enviada si⇒ No aporta información directamente.n(t) también es independiente de los coeficientes de ruido ni⇒ No nos aporta información tampoco indirectamente (através de las ecuaciones rk = sik + nk).
![Page 56: GoBack - gti.ssr.upm.es](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022081701/62e2fc5364ddd63a6732a4d0/html5/thumbnails/56.jpg)
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Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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El receptor óptimo
Por tanto podemos realizar la decisión de forma óptimabasándonos exclusivamente en los coeficientes ri⇒ Problema de estimación bayesiana con observacióncontinua r
r|si= si + ni ≡ N
(
µ = si,Σ =N0
2I
)
![Page 57: GoBack - gti.ssr.upm.es](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022081701/62e2fc5364ddd63a6732a4d0/html5/thumbnails/57.jpg)
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Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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El receptor óptimo
Por tanto podemos realizar la decisión de forma óptimabasándonos exclusivamente en los coeficientes ri⇒ Problema de estimación bayesiana con observacióncontinua r
r|si= si + ni ≡ N
(
µ = si,Σ =N0
2I
)
Por tanto la fdp de la observación es
f(r|si) =1
σL(2π)L/2exp−‖r− si‖2
2σ2
σ2 =N0
2
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Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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Implementación del receptor óptimo
Los productos escalares pueden implementarse mediantefiltros de respuesta al impulso hk(t) = ψ∗
k(t0 − t):
〈r, ψk〉 = r(t) ∗ ψ∗k(t0 − t)|t=t0 .
El parámetro t0 podemos elegirlo libremente.Si la señal ψk(t) termina en t1, el menor valor que hace el filtrocausal es t0 = t1.
![Page 59: GoBack - gti.ssr.upm.es](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022081701/62e2fc5364ddd63a6732a4d0/html5/thumbnails/59.jpg)
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Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
energía finita● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt● Representación vectorial del
ruido blanco● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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Implementación del receptor óptimo
ψ∗
1(t0 − t)
sir(t)
r1
r2
rL
ψ∗
2(t0 − t)
ψ∗
L(t0 − t)
arg maxi P (si|r)
g∗(r) = arg maxsi
P (si|r) = arg maxsi
f(r|si)Pi
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● title1
Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Modelo de sistema de transmisión digital
Fuente Moduladorde canal
Moduladordigital
Presentacion Demoduladorde canal
Demoduladordigital
Receptor
Portadora fc
{mi}v(t) =
∑
n sI(n)(t− nT )
Transmisor
Canal
n(t)
r(t){m′
i}
![Page 61: GoBack - gti.ssr.upm.es](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022081701/62e2fc5364ddd63a6732a4d0/html5/thumbnails/61.jpg)
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Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Modulación DBLC
Modulación en Doble Banda Lateral en Cuadratura
(xc(t), xs(t)) 7→ x(t) = xc(t) cosωct− xs(t) sinωct
donde el ancho de banda de xc e yc es menor que B yfc = ωc
2π ≥ B.
![Page 62: GoBack - gti.ssr.upm.es](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022081701/62e2fc5364ddd63a6732a4d0/html5/thumbnails/62.jpg)
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Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Modulación DBLC
Viendo el par (xc(t), xs(t)) como una señal compleja:
x(t) = xc(t) + jxs(t) 7→ x(t) = <[x(t)ejωct]
![Page 63: GoBack - gti.ssr.upm.es](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022081701/62e2fc5364ddd63a6732a4d0/html5/thumbnails/63.jpg)
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Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Modulación DBLC
Viendo el par (xc(t), xs(t)) como una señal compleja:
x(t) = xc(t) + jxs(t) 7→ x(t) = <[x(t)ejωct]
En frecuencia:
x(t) →x(t)ejωct →x(t) = <[x(t)ejωct]
X(f) →X(f − fc) →X(f) = Her[X(f − fc)]
=1
2[X(f − fc) +X∗(−f − fc)
︸ ︷︷ ︸
X∗(−(f+fc))
]
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Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Modulación DBLC
X(f)
X(f)
Por tanto X(f) es esencialmente X(f) desplazada a fc másX∗(−f) desplazada a −fc, luego
X(f) = 2X(f + fc)u(f + fc),
es decir, X(f) es la señal paso bajo equivalente o envolventecompleja de X(f).
![Page 65: GoBack - gti.ssr.upm.es](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022081701/62e2fc5364ddd63a6732a4d0/html5/thumbnails/65.jpg)
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Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Ruido en el canal
Si el canal añade ruido blanco gaussiano con depb N0/2, en ellado receptor, el demodulador lo convierte en ruido blancopaso banda, del que se obtiene la señal paso bajo equivalente,que es un proceso complejo
ne(t) = nc(t) + jns(t)
del que se demuestra:
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● title1
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Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
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rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Ruido en el canal
Si el canal añade ruido blanco gaussiano con depb N0/2, en ellado receptor, el demodulador lo convierte en ruido blancopaso banda, del que se obtiene la señal paso bajo equivalente,que es un proceso complejo
ne(t) = nc(t) + jns(t)
del que se demuestra:1. nc y ns son procesos estacionarios gaussianos
independientes de media nula2. y con densidad espectral de potencia
Snc(f) = Sns
(f) = N0
para |f | < B, donde B es el menor ancho de banda de losfiltros del demodulador DBLC.
![Page 67: GoBack - gti.ssr.upm.es](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022081701/62e2fc5364ddd63a6732a4d0/html5/thumbnails/67.jpg)
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Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Ruido en el canal
Si el canal añade ruido blanco gaussiano con depb N0/2, en ellado receptor, el demodulador lo convierte en ruido blancopaso banda, del que se obtiene la señal paso bajo equivalente,que es un proceso complejo
ne(t) = nc(t) + jns(t)
del que se demuestra:1. nc y ns son procesos estacionarios gaussianos
independientes de media nula2. y con densidad espectral de potencia
Snc(f) = Sns
(f) = N0
para |f | < B, donde B es el menor ancho de banda de losfiltros del demodulador DBLC.
En los desarrollos teóricos se suele suponer ancho de bandainfinito, lo que no afecta al resultado (ejercicio 1.12 de losapuntes de la asignatura).
![Page 68: GoBack - gti.ssr.upm.es](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022081701/62e2fc5364ddd63a6732a4d0/html5/thumbnails/68.jpg)
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El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Ruido en el canal
FPBanda
FPBajo
FPBajo
− senωct
n(t)
cosωct
sc(t)
ss(t)
2 cosωct
−2 senωct
rc(t)
rs(t)
![Page 69: GoBack - gti.ssr.upm.es](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022081701/62e2fc5364ddd63a6732a4d0/html5/thumbnails/69.jpg)
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Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Ruido en el canal
sc(t)
nc(t)
rc(t)
ns(t)
ss(t) rs(t)
![Page 70: GoBack - gti.ssr.upm.es](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022081701/62e2fc5364ddd63a6732a4d0/html5/thumbnails/70.jpg)
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El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Representación vectorial del rbg complejo
Si ne(t) = nc(t) + jns(t) es rbg complejo como el queacabamos de describir, pero con Snc
(f) = Sns(f) = N0 y
{ψi(t)}i=1,...,L es un sistema ortonormal, definimos
ni = nic + jnis = 〈ne(t), ψi(t)〉ne(t) = ne(t) − (n1ψ1(t) + . . .+ nLψL(t)) .
![Page 71: GoBack - gti.ssr.upm.es](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022081701/62e2fc5364ddd63a6732a4d0/html5/thumbnails/71.jpg)
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Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Representación vectorial del rbg complejo
Si ne(t) = nc(t) + jns(t) es rbg complejo como el queacabamos de describir, pero con Snc
(f) = Sns(f) = N0 y
{ψi(t)}i=1,...,L es un sistema ortonormal, definimos
ni = nic + jnis = 〈ne(t), ψi(t)〉ne(t) = ne(t) − (n1ψ1(t) + . . .+ nLψL(t)) .
Entonces■ El vector (n1c, n1s, . . . , nLc, nLs) es una variable aleatoria
gaussiana de componentes independientes, media nula yvarianza σ2 = N0.
■ ne(t) es independiente de este vector.
![Page 72: GoBack - gti.ssr.upm.es](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022081701/62e2fc5364ddd63a6732a4d0/html5/thumbnails/72.jpg)
● title1
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Ruido gaussiano
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Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Representación vectorial del rbg complejo
Si ne(t) = nc(t) + jns(t) es rbg complejo como el queacabamos de describir, pero con Snc
(f) = Sns(f) = N0 y
{ψi(t)}i=1,...,L es un sistema ortonormal, definimos
ni = nic + jnis = 〈ne(t), ψi(t)〉ne(t) = ne(t) − (n1ψ1(t) + . . .+ nLψL(t)) .
Entonces■ El vector (n1c, n1s, . . . , nLc, nLs) es una variable aleatoria
gaussiana de componentes independientes, media nula yvarianza σ2 = N0.
■ ne(t) es independiente de este vector.Por lo tanto el esquema del receptor óptimo para señalesreales es también válido para señales complejas.
![Page 73: GoBack - gti.ssr.upm.es](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022081701/62e2fc5364ddd63a6732a4d0/html5/thumbnails/73.jpg)
● title1
Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Canal paso bajo equivalente
Si la señal modulada pasa por un canal modelado por unsistema lineal invariante con respuesta en frecuencia H(f)obtenemos
Y (f) = X(f)H(f)
![Page 74: GoBack - gti.ssr.upm.es](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022081701/62e2fc5364ddd63a6732a4d0/html5/thumbnails/74.jpg)
● title1
Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Canal paso bajo equivalente
Si la señal modulada pasa por un canal modelado por unsistema lineal invariante con respuesta en frecuencia H(f)obtenemos
Y (f) = X(f)H(f)
Luego al demodular (=obtener señal paso bajo equivalente)obtenemos
Y (f) = 2Y (f + fc)u(f + fc) = 2X(f + fc)H(f + fc)u(f + fc)
![Page 75: GoBack - gti.ssr.upm.es](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022081701/62e2fc5364ddd63a6732a4d0/html5/thumbnails/75.jpg)
● title1
Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Canal paso bajo equivalente
Si la señal modulada pasa por un canal modelado por unsistema lineal invariante con respuesta en frecuencia H(f)obtenemos
Y (f) = X(f)H(f)
Luego al demodular (=obtener señal paso bajo equivalente)obtenemos
Y (f) = 2Y (f + fc)u(f + fc) = 2X(f + fc)H(f + fc)u(f + fc)
= 2X(f + fc)u(f + fc)︸ ︷︷ ︸
X(f)
H(f + fc)u(f + fc)︸ ︷︷ ︸
He(f)
He(f) es la respuesta del canal paso bajo equivalente(atención a la definición (sin 2)).
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● Ruido en el canal
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● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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Error en la fase de la portadora
Si modulamos x(t) = xc(t) + jxs(t) con ej(ωct+θ) en lugar deejωct, transmitimos
<[x(t)ej(ωct+θ)] = <[x(t)ejθejωct],
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señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
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Error en la fase de la portadora
Si modulamos x(t) = xc(t) + jxs(t) con ej(ωct+θ) en lugar deejωct, transmitimos
<[x(t)ej(ωct+θ)] = <[x(t)ejθejωct],
y si demodulamos con ejωct recuperamos
x(t)ejθ.
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● Ruido en el canal
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señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
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Resumen: Ventajas de usar señales complejas
Las señales complejas proporcionan un modelomatemáticamente equivalente del proceso de transmisión deseñales moduladas en DBLC, en el que se incluyen de formamuy sencilla:
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portadora● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
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Resumen: Ventajas de usar señales complejas
Las señales complejas proporcionan un modelomatemáticamente equivalente del proceso de transmisión deseñales moduladas en DBLC, en el que se incluyen de formamuy sencilla:■ La presencia de ruido en el canal.■ La distorsión lineal del canal.■ Los errores de fase en la recuperación de la portadora.
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Resumen: Sistemas real y equivalente
He(f)ejθ
H(f)DBLC DBLC−1
n(t)
ne(t)
ej(ωt+θ) ejωt