Post on 25-Mar-2020
Geometría de SeñalesEspacios Euclides / Hilbert
2
Objetivo
Exponer los fundamentos matemáticos que sustentan el tratamiento de señales digitales y su relación con sus contrapartes continuas.
El alumno aprenderá los conceptos básicos de la representación geométrica de señales y su aplicación para el diseño de los sistemas digitales.
Al finalizar esta unidad el alumno deberá tener una idea clara sobre los fundamentos matemáticos que dan sustento al análisis y procesamiento de señales.
● Previamente se presentaron algunas nociones geométricas básicas relacionadas con las señales
● Los conceptos de la Geometría Euclidiana (2D) son ampliamente conocidos:
● Vectores, Normas, Producto Interno (producto punto) y sistemas coordenados.
● Esas nociones geométricas se pueden generalizar para sistemas de N-Dimensiones (Hilbert)
● Los conceptos geométricos se aplican a señales ya que las señales pueden representarse como una abstracción de vectores
Introducción
● Procesamiento de señales vista desde la perspectiva de la Geometría Euclidiana
● Espacios vectoriales
● Vectores
● Norma
● Producto interno
● Fundamentos de los espacios de Hilbert
● Aproximaciones
Temario
Vectores en ℝ²
Geometría Euclidiana
Vectores en ℝ²
Geometría Euclidiana
x=[ x0
x1]
Vectores en ℝ²
Geometría Euclidiana
x=[ x0
x1]
∥x∥
Vectores en ℝ²
Geometría Euclidiana
x=[ x0
x1]
∥x∥
y=[ y0
y1]
Vectores en ℝ²
Geometría Euclidiana
x=[ x0
x1]
∥x∥
y=[ y0
y1]
∥y∥
Vectores en ℝ²
Geometría Euclidiana
x=[ x0
x1]α
∥x∥
y=[ y0
y1]
∥y∥
Vectores en ℝ²
Geometría Euclidiana
x=[ x0
x1]
y=[ y0
y1]
Vectores en ℝ²
Geometría Euclidiana
x=[ x0
x1]α = π
2
y=[ y0
y1]
Vectores en ℝ²
Geometría Euclidiana
x=[ x0
x1]α = π
2
y=[ y0
y1]
Vectores Ortogonales
Sistema Coordenado en 2D
Geometría Euclidiana
x
e0
e1ℝ²
Sistema Coordenado en 2D
Geometría Euclidiana
x
e0
e1
Sist. Ortogonal
ℝ²
Sistema Coordenado en 2D
Geometría Euclidiana
x
e0
e1
Sist. Ortogonal
x
v0
v1
Sist. Biortogonal
ℝ² ℝ²
Sistema Coordenado en 2D
● Los sistemas coordenados se definen a través de un conjunto de vectores que expanden el espacio mediante combinaciones lineales entre ellos.
● Dicho conjunto se compone de vectores linealmente independientes → forma un conjunto mínimo de vectores
Geometría Euclidiana
Demasiados vectores para un espacio:
Geometría Euclidiana
∃{a0, a1, a2} tal que a 0 x⃗0+ a1 x⃗1+a 2 x⃗2=0
x⃗2
x⃗1 ℝ²
x⃗0
Dependencia lineal :
Demasiados vectores para un espacio:
Geometría Euclidiana
∃{a0, a1, a2} tal que a 0 x⃗0+ a1 x⃗1+a 2 x⃗2=0
x⃗2
x⃗1
x⃗0
Dependencia lineal :
x⃗2
ℝ²
Demasiados vectores para un espacio:
Geometría Euclidiana
∃{a0, a1, a2} tal que a 0 x⃗0+ a1 x⃗1+a 2 x⃗2=0
x⃗2
x⃗1
x⃗0
Dependencia lineal :
x⃗2
ℝ²
x⃗1+ x⃗2
Demasiados vectores para un espacio:
Geometría Euclidiana
∃{a0, a1, a2} tal que a 0 x⃗0+ a1 x⃗1+a 2 x⃗2=0
x⃗2
x⃗1
x⃗0
Dependencia lineal :
x⃗2
ℝ²
x⃗1+ x⃗2=− x⃗0
Pocos vectores para definir un espacio:
Geometría Euclidiana
e0
e1
ℝ³
e2
x
x̂
Pocos vectores para definir un espacio:
Geometría Euclidiana
e0
e1
ℝ³
e2
x
x̂
Proyección en un sub-espacio:
es la aproximación mas cercana a en el sub-espacio definido entre y
x̂x
e0 e2
Pocos vectores para definir un espacio:
Geometría Euclidiana
e0
e1
ℝ³
e2
x
x̂
Proyección en un sub-espacio:
es la aproximación mas cercana a en el sub-espacio definido entre y
x̂x
e0 e2
Espacios definidos con vectores → ∞ :
Señales
Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1].
∑k=0
N
x (2k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]
N = 0
Espacios definidos con vectores → ∞ :
Señales
Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1].
N = 1
∑k=0
N
x (2k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]
Espacios definidos con vectores → ∞ :
Señales
Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1].
N = 2
∑k=0
N
x (2k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]
Espacios definidos con vectores → ∞ :
Señales
Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1].
N = 3
∑k=0
N
x (2k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]
Espacios definidos con vectores → ∞ :
Señales
Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1].
N = 4
∑k=0
N
x (2k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]
Espacios definidos con vectores → ∞ :
Señales
Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1].
N = 10
∑k=0
N
x (2k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]
Espacios definidos con vectores → ∞ :
Señales
Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1].
N = 25
∑k=0
N
x (2k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]
Espacios definidos con vectores → ∞ :
Señales
Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1].
N = 50
∑k=0
N
x (2k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]
Espacios definidos con vectores → ∞ :
Señales
Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1].
N = 100
∑k=0
N
x (2k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]
Espacios definidos con vectores → ∞ :
Señales
Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1].
N = 100
Producto de las conversiones no uniformes, Fenómeno de Gibbs
∑k=0
N
x (2k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]
Espacios definidos con vectores → ∞ :
Señales
∑k=0
N
x (k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]
Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1].
N = 0
Espacios definidos con vectores → ∞ :
Señales
Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1].
N = 1
∑k=0
N
x (k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]
Espacios definidos con vectores → ∞ :
Señales
Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1].
N = 2
∑k=0
N
x (k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]
Espacios definidos con vectores → ∞ :
Señales
Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1].
N = 3
∑k=0
N
x (k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]
Espacios definidos con vectores → ∞ :
Señales
Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1].
N = 4
∑k=0
N
x (k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]
Espacios definidos con vectores → ∞ :
Señales
Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1].
N = 10
∑k=0
N
x (k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]
Espacios definidos con vectores → ∞ :
Señales
Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1].
N = 25
∑k=0
N
x (k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]
Espacios definidos con vectores → ∞ :
Señales
Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1].
N = 50
∑k=0
N
x (k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]
Espacios definidos con vectores → ∞ :
Señales
Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1].
N = 100
∑k=0
N
x (k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]
Espacios definidos con vectores → ∞ :
Señales
Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1].
N = 100
Producto de las conversiones no uniformes, Fenómeno de Gibbs
∑k=0
N
x (k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]
Espacios de Hilbert
Introducción
● El concepto de espacio de Hilbert es una generalización del concepto de espacio Euclidiano. Esta generalización permite que técnicas algebraicas y geométricas aplicables a espacios de dimensión ² o ³ ℝ ℝse extiendan a espacios de dimensión arbitraria, incluyendo a espacios de dimensión infinita.
Espacios de Hilbert
Introducción (resumen)
● ℝ² / ³ ℝ → Espacios de dimensión = ∞ ● Vectores → Vectores de longitud finita● ❬∙,∙❭ → Medición || v || y α ● 2D / 3D → Espacio de Hilbert
Espacios de Hilbert
Definición:
1) Espacio vectorial definido por:
donde
2) Operación de producto interno (punto)
(mapea 2 vectores en un valor complejo)
3) Completo: toda sucesión de Cauchy converge
H (V ,ℂ)V : conjunto de vectores {v(k)}, k∈ℤ
⟨ ∙ , ∙ ⟩ : V x V→ ℂ
Espacios de Hilbert
1) Espacio vectorial:
● Multiplicación escalar
● Re-dimensionamiento de vectores
● Adición vectorial
● Combinación lineal de vectores
Espacios de Hilbert
1) Espacio vectorial: Multiplicación escalar
x=[ x0
x1]
e0
e1
a ∈ ℂ
ℝ²
x
e0
e1
ℝ²a x=[ a x0
a x1]
E.g. a = 1.5
Espacios de Hilbert
Multiplicación escalar en L2 [-1, 1]
Espacios de Hilbert
Multiplicación escalar en L2 [-1, 1]
E.g. a = 1.5
Espacios de Hilbert
1) Espacio vectorial: Adición vectorial
x=[ x0
x1]
ℝ²
e0
e1
y=[ y0
y1]
Espacios de Hilbert
1) Espacio vectorial: Adición vectorial
x=[ x0
x1]
x + yℝ²
e0
e1
y=[ y0
y1]
Espacios de Hilbert
1) Espacio vectorial: Adición vectorial
x=[ x0
x1]
x + yℝ²
e0
e1
y=[ y0
y1]
x+ y=[ x0+ y 0
x1+ y1]
Espacios de Hilbert
Adición de señales en L2 [-1, 1]
x = sin (π t)
Espacios de Hilbert
Adición de señales en L2 [-1, 1]
y = sin (4 π t)
Espacios de Hilbert
Adición de señales en L2 [-1, 1]
x + y = sin (π t ) + sin ( 4π t)
Espacios de Hilbert
Propiedades de un espacio vectorial:
● Para : ●
●
●
●
●
●
x , y , z ∈ V & α ,β ∈ ℂx + y = y + x (x + y) + z = x + (y + z) α (x + y) = α x + α y(α + β) x = α x + β xα (β x) = (α β)x∃ 0 ∈ V | x + 0 = 0 + x = x ∀ x ∈ V ∃ (-x) | x + (-x) = 0
Espacios de Hilbert
Sub-espacio vectorial:
● Intuición ℝ² ⊂ ℝ³ ● El resultado de la Suma vectorial y la Multiplicación escalar en el sub-espacio permanece en el sub-espacio.
e0
e1
ℝ³
e2
y
2x
ℝ²
2x + y
Espacios de Hilbert
Subespacios en L2 [-1, 1]
Espacios de Hilbert
Subespacio: señales simétricas en L2 [-1, 1]
x = cos (π t)
Espacios de Hilbert
Subespacio: señales simétricas en L2 [-1, 1]
y = cos (6 π t)
Espacios de Hilbert
Subespacio: señales simétricas en L2 [-1, 1]
x + y = cos (π t) + cos (6 π t)
Espacios de Hilbert
Subespacio: señales simétricas en L2 [-1, 1]
x + y = simétrica
Espacios de Hilbert
2) Producto interno (Producto punto)
● Medida de la similitud entre vectores
● Similitudes
● Longitud
● Ángulox=[ x0
x1]
⟨ x , y⟩ = x0 y0 + x1 y1
ℝ²
e0
e1
y=[ y0
y1]
Espacios de Hilbert
2) Producto interno (Producto punto)
● Medida de la similitud entre vectores
● Similitudes
● Longitud
● Ángulox=[ x0
x1]
⟨ x , y⟩ = x0 y0 + x1 y1
ℝ²
e0
e1
y=[ y0
y1]
α
Espacios de Hilbert
2) Producto interno (Producto punto)
⟨x , y ⟩= x0 y0 + x1 y1
⟨x , y ⟩= √( x02+ x1
2)( y0
2+ y1
2) cosα
⟨x , y ⟩ =∥x∥∥y∥ cosα
Espacios de Hilbert
2) Producto interno (Producto punto)
● Cuando el resultado es igual a 0, los vectores son lo más distintos posible
● Vectores Ortogonales
⟨ x , y⟩ = 0
x=[ x0
x1]
α = π2
y=[ y0
y1]
⟨ x , y⟩ = 0
Espacios de Hilbert
2) Producto interno (Producto punto)
● Cuando el resultado es igual a 0, los vectores son lo más distintos posible
● Vectores Ortogonales
⟨ x , y⟩ = 0
x=[ x0
x1]
α = π2
y=[ y0
y1]
⟨ x , y⟩ = 0
⟨ x , y ⟩ =∥x∥∥y∥ cosα
Espacios de Hilbert
Producto interno: señales en L2 [-1, 1]
Definición:
Señal ortogonal (sin similitudes)
Misma señal
⟨ x , y ⟩ =∫−1
1
x (t ) y (t) dt
⟨ x , y ⟩ = 0
⟨ x , x ⟩ = 1
Espacios de Hilbert
Producto interno: señales en L2 [-1, 1]
x = sin (π t)
Espacios de Hilbert
Producto interno: señales en L2 [-1, 1]
y = t
Espacios de Hilbert
Producto interno: señales en L2 [-1, 1]
⟨ x , y ⟩
Espacios de Hilbert
Producto interno: señales en L2 [-1, 1]
⟨ x , y⟩ = 2 / π ≈ 0.6367
⟨ x , y⟩ =∫−1
1
x (t) y(t) dt
Espacios de Hilbert
Producto interno: señales en L2 [-1, 1]
Magnitud = ⟨ x , x ⟩
x = sin (π t)
Espacios de Hilbert
Producto interno: señales en L2 [-1, 1]
⟨ x , x ⟩ =1
⟨ x , x ⟩=∫−1
1
x(t ) x (t ) dt
Espacios de Hilbert
Producto interno: señales en L2 [-1, 1]
⟨ x , x ⟩ =1
∥x∥= ⟨ x , x⟩ =∫−1
1
x (t)2 dt
Espacios de Hilbert
Subespacios Ortogonales en L2 [-1, 1]
x = sin (π t) antisimetrica
Espacios de Hilbert
Subespacios Ortogonales en L2 [-1, 1]
y =1 −∣t∣ simetrica
Espacios de Hilbert
Subespacios Ortogonales en L2 [-1, 1]
⟨ x , y ⟩
⟨ x , y⟩ =∫−1
1
x (t) y(t) dt
Espacios de Hilbert
Subespacios Ortogonales en L2 [-1, 1]
⟨ x , y ⟩ = 0
⟨ x , y⟩ =∫−1
1
x (t) y(t) dt
Espacios de Hilbert
Subespacios Ortogonales en L2 [-1, 1]
x = sin (2π t) antisimetrica
Espacios de Hilbert
Subespacios Ortogonales en L2 [-1, 1]
y = sin (5 π t) antisimetrica
Espacios de Hilbert
Subespacios Ortogonales en L2 [-1, 1]
x = sin (2π t) y = sin (5 π t)
Espacios de Hilbert
Subespacios Ortogonales en L2 [-1, 1]
⟨ x , y ⟩
Espacios de Hilbert
Subespacios Ortogonales en L2 [-1, 1]
⟨ x , y ⟩ = 0
⟨ x , y⟩ =∫−1
1
x (t) y(t) dt
Espacios de Hilbert
Subespacios Ortogonales en L2 [-1, 1]
Propiedad:
● Sinusoidales con frecuencia igual a un múltiplo entero de una frec. Fundamental
● Por lo tanto ambas señales son ortogonales entre si :
E.g. : [2π , 5π , ... ] ∃ ω = π
⟨ x , y ⟩ = 0
Espacios de Hilbert
x=sin(2πt), y=cos(5πt) : ❮x,y❯ ???
Espacios de Hilbert
x=sin(2πt), y=cos(5πt) : ❮x,y❯ ???
x = sin (2π t) antisimetrica
Espacios de Hilbert
x=sin(2πt), y=cos(5πt) : ❮x,y❯ ???
y = cos (5 π t) simetrica
Espacios de Hilbert
x=sin(2πt), y=cos(5πt) : ❮x,y❯ ???
x = sin (2π t) y = cos (5 π t)
Espacios de Hilbert
x=sin(2πt), y=cos(5πt) : ❮x,y❯ ???
x = sin (2π t) y = cos (5 π t)
Espacios de Hilbert
x=sin(2πt), y=cos(5πt) : ❮x,y❯ ???
⟨ x , y ⟩ = 0
⟨ x , y⟩ =∫−1
1
x (t) y(t) dt
Espacios de Hilbert
Propiedades del producto interno:
● Para : ●
●
●
●
●
●
●
x , y , z ∈ V & α ∈ ℂ⟨ x+ y , z⟩ = ⟨ x , z⟩ + ⟨ y , z⟩⟨ x , y ⟩ = ⟨ y , x⟩∗ ∗: complejo conjugado⟨α x , y ⟩ = α∗⟨ x , y⟩ ⟨ x ,α y ⟩ = α⟨ x , y ⟩ ⟨ x , x⟩ ≥ 0⟨ x , x⟩ = 0 ⟺ x = 0Si ⟨ x , y ⟩ = 0, x , y ≠ 0 →x,y: ortogonales
Espacios de Hilbert
Producto interno para señales tipo n[ ]
● Definición:
● Valida para todos los vectores de longitud finita. i.e. vectores en ℂN
⟨ x , y ⟩ = ∑n=0
N-1
x * [n] y[n]
x=[ x0
x1] y=[ y0
y1] ⟨ x , y⟩ = [ x0
*x1*][ y0
y1]
Espacios de Hilbert
Producto interno para señales continuas
● Definición:
Precaución: El resultado de la sumatoria puede no convergir. Si no converge, el producto punto NO está definido.
⟨ x , y ⟩ = ∑n=-∞
∞
x* [n] y[n]
Espacios de Hilbert
Producto interno para señales continuas
● Definición:
Secuencias que cumplan :
⟨ x , y ⟩ = ∑n=-∞
∞
x* [n] y[n]
∑∣x [n]∣2 <∞ Norma vectorial cuadrada
Espacios de Hilbert
Producto interno para señales continuas
● Definición:
Secuencias que cumplan :
⟨ x , y ⟩ = ∑n=-∞
∞
x* [n] y[n]
∑∣x [n]∣2 <∞ Norma vectorial cuadrada
l2 (ℤ)Espacio de secuencias de norma vectorial cuadrada (secuencias del curso)
Espacios de Hilbert
Producto interno para señales continuas
● Definición:
Secuencias que cumplan :
⟨ x , y ⟩ = ∑n=-∞
∞
x* [n] y[n]
∑∣x [n]∣2 <∞ Norma vectorial cuadrada
l2 (ℤ)ℤ : indices
Espacio de secuencias de norma vectorial cuadrada (secuencias del curso)
Espacios de Hilbert
Norma
● Definición:
● La norma define la distancia entre vectores
∥x∥ = √⟨ x , x ⟩
d (x , y ) = ∥x − y∥
Espacios de Hilbert
Norma y distancia en ℝ²
∥x∥
ℝ²
Espacios de Hilbert
Norma y distancia en ℝ²
∥x∥ = √⟨ x , x ⟩ = √x0
2 + x12
∥x∥
ℝ²
Espacios de Hilbert
Norma y distancia en ℝ²
∥x∥
∥y∥
ℝ²
Espacios de Hilbert
Norma y distancia en ℝ²
∥y∥ = √ ⟨ y , y ⟩ = √ y 0
2 + y12
∥x∥
∥y∥
ℝ²
Espacios de Hilbert
Norma y distancia en ℝ²
∥x∥
∥y∥∥x− y∥
ℝ²
Espacios de Hilbert
Norma y distancia en ℝ²
∥x− y∥ = √(x 0− y0)
2 + (x1− y1)2
∥x∥
∥y∥∥x− y∥
ℝ²
Espacios de Hilbert
Norma y distancia en señales en L2 [-1, 1]
x = sin (π t)
∥x−y∥2=∫−1
1
∣x (t )−y (t)∣2 dt
Espacios de Hilbert
Norma y distancia en señales en L2 [-1, 1]
y = t
∥x−y∥2=∫−1
1
∣x (t )−y (t)∣2 dt
Espacios de Hilbert
Norma y distancia en señales en L2 [-1, 1]
x− y
∥x−y∥2=∫−1
1
∣x (t )−y (t)∣2 dt
Espacios de Hilbert
Norma y distancia en señales en L2 [-1, 1]
∥x− y∥2 = 0.39359
∥x−y∥2=∫−1
1
∣x (t )−y (t)∣2 dt
Sistemas Coordenados
Espacios de Hilbert
x
e(0 )
e(1 )
Sist. Ortogonal
ℝ²
x=α0 e(0 ) + α1e(1)
Sistemas Coordenados
Espacios de Hilbert
x
e(0 )
e(1 )
Sist. Ortogonal
x
v(0 )
v(1 )
Sist. Biortogonal
ℝ²
x=α0 v(0 )+ α1 v(1 )x=α0 e(0 ) + α1e(1)
ℝ²
Sistemas Coordenados
Espacios de Hilbert
x
e(0 )
e(1 )
Sist. Ortogonal
x
v(0 )
v(1 )
Sist. Biortogonal
ℝ²x
g(0 )g(1 )
g(0 ) + g(1 )= 0
No existe sistema
x≠α0 g (0 ) + α1 g(1) para cualquier α0,α1
x=α0 v(0 )+ α1 v(1 )x=α0 e(0 ) + α1e(1)
ℝ² ℝ²
Espacios de Hilbert
Sistemas Coordenados
● Si dentro de un espacio vectorial H, existe un conjunto de K vectores ∈ H, tal que:
W={w (k )} k=0,1,. .. K−1
Espacios de Hilbert
Sistemas Coordenados
● Si dentro de un espacio vectorial H, existe un conjunto de K vectores ∈ H, tal que:
● W se definirá como un sistema coordenado si:
● Se puede encontrar para cualquier x ∈ H :
● Y si los coeficientes αk son únicos
W={w (k )} k=0,1,. .. K−1
x = ∑k=0
K−1αk w(k ), αk∈ℂ
Dim(H)=K
Espacios de Hilbert
Sistemas Coordenados● En consideración con la definición anterior, si se encuentra que la representación del conjunto de vectores W es única, esto implicaría forzosamente la independencia lineal del conjunto entre sí:
∑k=0
K−1
αk w(k) = 0 ⬄ αk = 0, k = 0, 1, ... , K−1
Espacios de Hilbert
Sistemas Coordenados especiales● Sistemas ortogonales :
● Sistemas ortonormales :
⟨w(k) , w(n )⟩ = 0 para k≠n
⟨w(k) ,w(n )⟩ = δ[ n− k ] δ [ n ]={1 n=00 n≠0}
Algoritmo Gram-Schmidt
Espacios de Hilbert
Expansión de los Sistemas Coordenados
● ¿Como se determinan los valores de α(k) ?
● Sistemas ortonormales :
● Proyección del vector x sobre el Eigenvector w
(k) deseado
αk=⟨w(k) , x⟩
x = ∑k=0
K−1
αk w(k )
Espacios de Hilbert
E.g.: Sistemas Coordenados en ℂN
● El sistema contiene N eigenvectores
● Para el sistema ortonormal canónico :
e(k )= [0⋮010⋮0]
1 corresponde al k-esimo vector, 0 ≤ k < N
Espacios de Hilbert
E.g.: Sist. Coor. de secuencias en L2 [ ℤ ]
● El sistema contiene infinito número de vectores
● Para el sistema ortonormal canónico :
e(k )= [0⋮010⋮0]
1 corresponde al k-esimo vector, k ∈ ℤ
Espacios de Hilbert
3) Espacio completo «completeness»
● Cuando un espacio esta acotado por límites debemos asegurarnos que los límites de las secuencias de vectores aún caen dentro del espacio vectorial en cuestión.
● Para que el espacio se considere completo se debe cumplir que toda sucesión de Cauchy converja.
Espacios de Hilbert
3) Espacio completo «completeness»● Para demostrar la importancia de un espacio completo se pueden ilustrar los efectos al mostrar un espacio incompleto.
● E.g.: Conjunto de los número racionales.
xn = ∑k=0
n1
k !∈ ℚ pero lim
n→∞xn= e ∉ ℚ
ℚ : {ab } a , b ∈ ℤ