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7/26/2019 Funciones Matematicas styut67s 8isdyu7tygdgh
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TRABAJO DE FUNCIONES MATEMÁTICAS 2013
ÍNDICE
1. INTRODUCCIÓN
2. FUNCIÓN
3. DIFERENCIAS ENTRE FUNCIÓN Y RELACIÓN
4. DOMINIO
5. RANGO
6. ¿PARA QUÉ SE REPRESENTA UNA GRFICA!
". TIPOS DE FUNCIONES
".1. FUNCIÓN CONSTANTE
".2. FUNCIÓN LINEAL
".3. FUNCIÓN CUADRTICA
".4. FUNCIÓN LOGARÍTMICA
".5. FUNCIÓN E#PONENCIAL
$. CUADRO COMPARATI%O ENTRE LAS FUNCIONES
&. FUNCIÓN RAMIFICADA
10.RELE%ANCIA DE LAS FUNCIONES EN EL CLCULO
11.DIFERENCIA Y SEME'AN(A ENTRE DOMINIO Y RANGO
12.CONCLUSIÓN
13.ANE#OS
14.)I)LIOGRAFÍA
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TRABAJO DE FUNCIONES MATEMÁTICAS 2013
1. INTRODUCCIÓN
En el presente traba!" se #etallar$n las %ara%ter&st'%as #e las #'(erentes ()n%'!nes
*ate*$t'%as+
Una ()n%',n" en *ate*$t'%as" es el tr*'n! )sa#! para 'n#'%ar la rela%',n !%!rresp!n#en%'a entre #!s ! *$s %ant'#a#es+ El tr*'n! ()n%',n ()e )sa#! p!r pr'*era
.e/ en 102 p!r el *ate*$t'%! (ran%s Ren Des%artes para #es'3nar )na p!ten%'a 4n #e
la .ar'able 4+
En 1056 el *ate*$t'%! ale*$n G!tt(r'e# 7'l8el* 9e'bn'/ )t'l'/, el tr*'n! para re(er'rse a
.ar'!s aspe%t!s #e )na %)r.a" %!*! s) pen#'ente+ :asta re%'ente*ente" s) )s! *$s
3eneral'/a#! 8a s'#! el #e('n'#! en 1;<5 p!r el *ate*$t'%! ale*$n" J+P+G+ 9ee)ne-
D'r'%8let =1;>?-1;?5@" )'en es%r'b', Una .ar'able es )n s&*b!l! )e representa )n
n*er! #entr! #e )n %!n)nt! #e ell!+
D!s .ar'ables est$n as!%'a#as #e tal (!r*a )e al as'3nar )n .al!r a ent!n%es"
p!r al3)na re3la ! %!rresp!n#en%'a" se as'3na a)t!*$t'%a*ente )n .al!r a " se #'%e )e
es )na ()n%',n =)n&.!%a@ #e + 9a .ar'able " a la )e se as'3nan l'bre*ente .al!res"
se lla*a .ar'able 'n#epen#'ente" *'entras )e la .ar'able " %)!s .al!res #epen#en #e la
" se lla*a .ar'ables #epen#'entes+ 9!s .al!res per*'t'#!s #e %!nst't)en el #!*'n'!
#e #e('n'%',n #e la ()n%',n l!s .al!res )e t!*a %!nst't)e s) re%!rr'#!+
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TRABAJO DE FUNCIONES MATEMÁTICAS 2013
2. FUNCIÓN.
Una ()n%',n es )na %!rresp!n#en%'a entre %!n)nt!s )e se pr!#)%e %)an#! %a#a )n! #e
l!s ele*ent!s #el pr'*er %!n)nt! se 8alla rela%'!na#! %!n )n s!l! ele*ent! #el se3)n#!
%!n)nt!+ Esta*!s en presen%'a #e )na ()n%',n %)an#! #e %a#a ele*ent! #el pr'*er
%!n)nt! s!la*ente sale )na n'%a (le%8a+N! esta*!s en presen%'a #e )na ()n%',n %)an#!
De algún elemento del conjunto de partida no sale ninguna flecha.
De algún elemento del conjunto de partida salen dos o más flechas.
P!#e*!s '*a3'narn!s la ()n%',n %!*! )na *$)'na a la )e se le s)*'n'stra )n!s #at!s
)e !bt'ene )n .al!r+ A .e%es esta H*$)'naH n! ()n%'!na %!n #eter*'na#!s .al!res+ Al %!n)nt! #e .al!res #e
la .ar'able para l!s )e la ()n%',n e4'ste =para l!s )e la H*$)'naH ()n%'!na@ se
lla*a #!*'n'! #e #e('n'%',n #e la ()n%',n+
Una ()n%',n !bt'ene )n .al!r" per! est! n! )'ere #e%'r )e se !bten3an t!#!s l!s .al!res
)e se n!s ant!en+ El %!n)nt! #e .al!res )e se !bt'enen a part'r #el %!n)nt! #e
.al!res #el #!*'n'! #e #e('n'%',n se lla*a re%!rr'#! #e la ()n%',n+
Al primer conjunto (el conjunto D) se le da el nombre de dominio.
Al segundo conjunto (el conjunto C) se le da el nombre de contradominio o imagen.
Una ()n%',n se p)e#e %!n%eb'r ta*b'n %!*! )n aparat! #e %$l%)l!+ 9a entra#a es el
#!*'n'!" l!s %$l%)l!s )e 8a3a el aparat! %!n la entra#a s!n en s& la ()n%',n la sal'#a
ser&a el %!ntra#!*'n'!+
Esta (!r*a #e %!n%eb'r la ()n%',n (a%'l'ta el en%!ntrar s) #!*'n'!+
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N!ta%',n al n*er! )e entra a la *$)'na )s)al*ente l! #en!ta*!s %!n )na letra"
#'3a*!s ! " ! %)al)'er !tra+
Al n*er! )e sale #e la *$)'na l! #en!ta*!s %!n el s&*b!l!
3. DIFERENCIAS ENTRE FUNCIÓN Y RELACIÓN.
Una rela%',n es %)al)'er %!n)nt! #e pares !r#ena#!s" ! %)al)'er %!rresp!n#en%'a
entre %!n)nt!s )na ()n%',n es la )e #a e4a%ta*ente )n .al!r a la .ar'able #epen#'ente
=@ para %a#a .al!r #e la .ar'able 'n#epen#'ente =4@ en el #!*'n'!+
Una rela%',n entre < %!n)nt!s A B es %)al)'er s)b%!n)nt! #el pr!#)%t! %artes'an!
AB" 'n%l)s! el .a%&!+ Una ()n%',n #e A en B #ebe %)*pl'r )e para t!#! ele*ent! #e A
e4'sta )n n'%! ele*ent! #e B =)e se s)ele lla*ar (=a@@ rela%'!na#! %!n l+ Una (!r*a #e
%las'('%ar las rela%'!nes es la s'3)'ente se #'%e )e R es re(le4'.a s' para t!#! ele*ent!
#e A =a" a@ est$ en la rela%',n+ Se #'%e )e es s'*tr'%a s' %a#a .e/ )e =a" b@ est$ en la
rela%',n" =b" a@ est$ en la rela%',n" ant' s'*tr'%a s' %a#a .e/ )e =a" b@ =b" a@ est$n en la
rela%',n" ab trans't'.a s' %a#a .e/ )e =a" b@ =b" %@ est$n en la rela%',n" =a" %@ est$ en
la rela%',n+
S' )na rela%',n es re(le4'.a" s'*tr'%a trans't'.a" se #'%e )e es #e e)'.alen%'a+ S' )na
rela%',n es re(le4'.a" ant' s'*tr'%a trans't'.a se #'%e )e es #e !r#en+
N! se p)e#e #e%'r )e )na rela%',n es %re%'ente ! #e%re%'ente" p!r)e %a#a ele*ent!
p)e#e estar rela%'!na#! %!n .ar'!s ! %!n n'n3n ele*ent!+ De las ()n%'!nes =s' s!n #e R
en R@ s' se p)e#en #e%'r s' s!n %re%'entes ! #e%re%'entes =! n'n3)n! #e l!s < %as!s" %!*!
pasa %!n la ()n%',n sen 4@+
En %)ant! a la %!nt'n)'#a#" 8a )e re%!r#ar )e )na ()n%',n p)e#e ser %!nt'n)a en )n
p)nt! n! en !tr!+
9a #e('n'%',n #e ()n%',n %!nt'n)a en )n p)nt! es la s'3)'ente para t!#! eps'l!n p!s't'.!
e4'ste )n #elta > #e tal (!r*a )e para t!#! 4 Keste a *en!s #e #elta #e 4>" la #'stan%'a#e =(=4@a (=4>@ es *en!r )e eps'l!n )na ()n%',n se #'%e %!nt'n)a a se%as s' es %!nt'n)a
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en t!#! a )na ()n%',n se #'%e #'s%!nt'n)a s' e4'ste al *en!s )n p)nt! #!n#e n! es
%!nt'n)a+
4. DOMINIO.
En *ate*$t'%as" el #!*'n'! =%!n)nt! #e #e('n'%',n ! %!n)nt! #e part'#a@ #e )na ()n%',n
es el %!n)nt! #e e4'sten%'a #e la *'s*a" es #e%'r" l!s .al!res para l!s %)ales la ()n%',n
est$ #e('n'#a+ Es el %!n)nt! #e t!#!s l!s !bet!s )e p)e#e trans(!r*ar" se #en!ta !
b'en+
5. RANGO.
S!n t!#!s l!s .al!res p!s'bles #e (=4@ ! sea #e + S' tene*!s (=@ sen =@ El ran3! .a
#e -1 a L1+
S' F=@ )na par$b!la %,n%a.a en (!r*a #e U+ El ran3! .a #el .rt'%e #ala par$b!la
8a%'a arr'ba 8asta L 'n('n't!+
6. ¿PARA QUÉ SE REPRESENTA UNA GRÁFICA?
Una 3r$('%a es la representa%',n #e #at!s" 3eneral*ente n)*r'%!s" *e#'ante l&neas"
s)per('%'es ! s&*b!l!s" para .er la rela%',n )e es!s #at!s 3)ar#an entre s&+ Ta*b'n se
representan para plas*ar %!!r#ena#as %artes'anas" s'r.en para anal'/ar el
%!*p!rta*'ent! #e )n pr!%es!" ! )n %!n)nt! #e ele*ent!s ! s'3n!s )e per*'ten la
'nterpreta%',n #e )n (en,*en!+
9a representa%',n 3r$('%a ta*b'n es )na a)#a para el est)#'! #e )na ()n%',n+ Una
()n%',n %!n )na .ar'able #epen#'ente !tra 'n#epen#'ente se p)e#e representar
3r$('%a*ente en )n ee #e !r#ena#as abs%'sas %!rresp!n#'en#! el .al!r #e %a#a
.ar'able a la p!s'%',n en l!s ees+
. TIPOS DE FUNCIONES.
A!"#$%$% &'()&"($*+. C+!%('!()%. I,)!($,',. P+()!*$'% -')% ) $&-')%. S)!+.C+%)!+. C/',"($*'%. L+0'(&$*'%. E-+!)!*$'#)%. L$!)'#)%
.1. F/!*$! C+!%('!().
Se lla*a ()n%',n %!nstante a la )e n! #epen#e #e n'n3)na .ar'able" la p!#e*!s
representar %!*! )na ()n%',n *ate*$t'%a #e la (!r*a
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F*+,- #!n#e pertene%e a l!s n*er!s reales es )na %!nstante+
C!*! se p)e#e .er es )na re%ta 8!r'/!ntal en el plan! 4 " en la 3r$('%a la 8e*!s
representa#! en el plan!" per!" %!*! se p)e#e .er la ()n%',n n! #epen#e #e 4" s'
8a%e*!s
Y-F*+, ent!n%es Y-
#!n#e a t'ene )n .al!r %!nstante" en la 3r$('%a tene*!s representa#as para .al!res #e '3)ales
;
6"<
-"0
9a ()n%',n %!nstante %!*! )n p!l'n!*'! en + es #e la (!r*a
Se #'%e )e es %!nstante p!r)e s) .al!r n! %a*b'a" a %a#a .al!r #e 4 le %!rresp!n#e
s'e*pre el .al!r a+
El D!*'n'! #e la ()n%',n %!nstante .a 8a%er '3)al s'e*pre a T!#!s l!s Reales
M'entras )e la '*a3en tan s!l! .a 8a%er el .al!r #e +
Es )na F)n%',n C!nt'n)a+
) s'3n'('%a la re%ta representa p!r la ()n%',n >Q
Representa )e la re%ta pasara p!r t!#! el ee +
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TRABAJO DE FUNCIONES MATEMÁTICAS 2013
TIPOS DE FUNCIONES CONSTANTES/
F=4@ a" #!n#e a es )n n*er! real+ D!*'n'! t!#!s l!s reales+ I*a3en el p)nt! a+
Cre%'*'ent! n' %re%'ente n' #e%re%'ente+ Ine%t'.'#a# n' 'ne%t'.a n' s!bree%t'.a+ Par'#a#
es par
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I/
F=4@ 4+ D!*'n'! t!#!s l!s reales+ I*a3en t!#!s l!s reales+ Cre%'*'ent! es %re%'ente+
Ine%t'.'#a# es b'e%t'.a+ S) 'n.ersa es ella *'s*a+ Par'#a# es '*par+
P7 897/
F=4@ 4<n+ D!*'n'! t!#!s l!s reales+ I*a3en l!s reales *a!res ! '3)ales a %er!+Cre%'*'ent! s!n #e%re%'entes en =-!!" >@ %re%'entes en =>" L!!@+
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P7 :897/
F=4@ 4<nL1+ D!*'n'! t!#!s l!s reales+ I*a3en t!#!s l!s reales+ Cre%'*'ent! s!n
s'e*pre %re%'entes+ Ine%t'.'#a# s!n b'e%t'.as+ S) 'n.ersa es Par'#a#
s!n '*pares+
R;7 897/
D!*'n'! reales p!s't'.!s *$s el %er!+ I*a3en reales p!s't'.!s *$s el %er!+
Cre%'*'ent! s!n %re%'entes+ Ine%t'.'#a# s!l! s!n 'ne%t'.as+ Par'#a# n! s!n n' pares n'
'*pares+
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L<9:/
F=4@ ln=4@+ D!*'n'! l!s reales p!s't'.!s+ I*a3en t!#!s l!s reales+ Cre%'*'ent! es
%re%'ente s'e*pre+ Ine%t'.'#a# es b'e%t'.a+ S) 'n.ersa es (-1=4@ e4+ Par'#a# n! es n'
par n' '*par+
E+8=/
F=4@ e4+ D!*'n'! t!#!s l!s reales+ I*a3en reales p!s't'.!s+ Cre%'*'ent! es %re%'ente+
Ine%t'.'#a# es 'ne%t'.a per! n! s!bree%t'.a+ Par'#a# n! es n' par n' '*par+
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S/
F=4@ sen=4@+ D!*'n'! t!#!s l!s reales+ I*a3en es el 'nter.al! -1" 1+ Cre%'*'ent! es
%re%'ente #e%re%'ente en .ar'!s 'nter.al!s+ Ine%t'.'#a# n! es n' 'ne%t'.a n'
s!bree%t'.a+ Par'#a# es '*par+
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S/
F=4@ sen=4@+ D!*'n'! t!#!s l!s reales+ I*a3en es el 'nter.al! -1" 1+ Cre%'*'ent! es
%re%'ente #e%re%'ente en .ar'!s 'nter.al!s+ Ine%t'.'#a# n! es n' 'ne%t'.a n'
s!bree%t'.a+ Par'#a# es '*par+
C7/
F=4@ %!s=4@+ D!*'n'! t!#!s l!s reales+ I*a3en el 'nter.al! -1" 1+ Cre%'*'ent! es%re%'ente #e%re%'ente en .ar'!s 'nter.al!s+ Ine%t'.'#a# n! es n' 'ne%t'.a n'
s!bree%t'.a+ Par'#a# es par+
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.2. F/!*$! #$!)'#.
Es a)ella )e sat's(a%e las s'3)'entes #!s pr!p'e#a#es
• Pr!p'e#a# a#'t'.a =ta*b'n lla*a#a pr!p'e#a# #e s)perp!s'%',n@ S' e4'sten (=4@
(=@" ent!n%es (=4 L @ (=4@ L (=@+ Se #'%e )e ( es )n 3r)p! 's!*!r('sta %!n
respe%t! a la a#'%',n+• Pr!p'e#a# 8!*!3nea ( =a4@ a(=4@" para t!#! n*er! real a+ Est! 8a%e )e la
8!*!3ene'#a# s'3a a la pr!p'e#a# a#'t'.a en t!#!s l!s %as!s #!n#e a es ra%'!nal+
En el %as! #e )e la ()n%',n l'neal sea %!nt'n)a" la 8!*!3ene'#a# n! es )n a4'!*a
a#'%'!nal para estable%er s' la pr!p'e#a# a#'t'.a esta estable%'#a+
En esta #e('n'%',n 4 n! es ne%esar'a*ente )n n*er! real" per! es en 3eneral *'e*br!
#e al3n espa%'! .e%t!r'al+
Para %!*pr!bar la l'neal'#a# #e )na ()n%',n n! es ne%esar'! real'/ar la %!*pr!ba%',n#e las pr!p'e#a#es #e 8!*!3ene'#a# a#'t'.'#a# p!r separa#!" %!n *!strar )e
la l'neal'#a# )e#a #e*!stra#a+
El %!n%ept! #e l'neal'#a# p)e#e ser e4ten#'#! al !pera#!r l'neal+ Ee*pl!s '*p!rtantes #e
!pera%'!nes l'neales 'n%l)en a la #er'.a#a %!ns'#era#a )n !pera#!r #'(eren%'al *)%8!s
%!nstr)'#!s #e l" tal %!*! el 9apla%'an!+ C)an#! )na e%)a%',n #'(eren%'al p)e#e ser
e4presa#a en (!r*a l'neal" es part'%)lar*ente ($%'l #e res!l.er al r!*per la e%)a%',n en
pe)eas p'e/as" res!l.'en#! %a#a )na #e estas p'e/as )ntan#! las s!l)%'!nes+
9as e%)a%'!nes n! l'neales las ()n%'!nes n! l'neales s!n #e 'nters en la (&s'%a
*ate*$t'%as #eb'#! a )e s!n #'(&%'les #e res!l.er #an l)3ar a 'nteresantes (en,*en!s
%!*! la te!r&a #el %a!s+
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Para %a#a ()n%',n l'neal 8a 'n('n't!s p)nt!s )e la sat's(a%en t!#!s es!s p)nt!s (!r*an
)na re%ta+ D!n#e a b s!n n*er!s reales" el %!e('%'ente a es la pen#'ente #e la re%ta
)e representa a la ()n%',n s'e*pre es #'st'nta #e %er!" el tr*'n! 'n#epen#'ente b es la
!r#ena#a al !r'3en" )e 3r$('%a*ente representa la 'nterse%%',n #e la re%ta %!n el ee #e
las !r#ena#as en el p)nt! #e %!!r#ena#as =>"b@+
9a .ar'able 'n#epen#'ente es 4" a la %)al le as'3na*!s .al!res para !btener +
Estas ()n%'!nes se %ara%ter'/an p!r)e )n %a*b'! )n'tar'! en la .ar'able 'n#epen#'ente
=4@" pr!.!%a )n %a*b'! pr!p!r%'!nal en la .ar'able #epen#'ente =@+ 9a tasa #e %a*b'!
est$ representa#a p!r la %!nstante a+
EEMPLO
a@ F=4@4
F)n%',n l'neal (!r*)la General *4Ln
Ee #e 'nterse%%',n =>">@ C!e('%'ente #e p!s'%',n 1
Cre%'ente
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TRABAJO DE FUNCIONES MATEMÁTICAS 2013
b) F(x)=x!
F)n%',n l'neal (!r*)la General *4Ln
Ee #e 'nterse%%',n =>"6@ =>"-6@ C!e('%'ente #e p!s'%',n 6"-6
Cre%'ente
%@ F=4@4-
F)n%',n l'neal (!r*)la General *4Ln
Ee #e 'nterse%%',n =>"-@ =>"@ C!e('%'ente #e p!s'%',n - "
Cre%'ente
#@ F=4@64
F)n%',n l'neal (!r*)la General *4Ln
Ee #e 'nterse%%',n =>">@ C!e('%'ente #e p!s'%',n 6
Cre%'ente
1? U N I V E R S I D A D P R I V A D A A N T E N O R O R R E G O - F A U A
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e) F(x)="#x
F)n%',n l'neal (!r*)la General *4Ln
Ee #e 'nterse%%',n =>">@ C!e('%'ente #e p!s'%',n -De%re%'ente
C+!*#/%$+!)%
P!#e*!s %!n%l)'r )e %a#a )na #e estas ()n%'!nes s!n l'neales #eb'#! a )e p!see
'n('n't!s p)nt!s l!s %)ales (!r*an )na re%ta p!see )na pen#'ente )n %!e('%'ente #e
p!s'%',n+
9!s 6 pr'*er!s 3r$('%!s s!n '3)ales #eb'#! a )e s)s l&neas s!n %re%'entes la lt'*a #eleer%'%'! E@ es #e%re%'ente+
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.3. F/!*$! C/',"($*'.
9a ()n%',n %)a#r$t'%a resp!n#e a la (!r*)la a 4< L b 4 L % %!n a K >+ S) 3r$('%a es
)na %)r.a lla*a#a par$b!la %)as %ara%ter&st'%as s!n
S' a es *a!r a > es %,n%a.a a#*'te )n *&n'*!+ S' a es *en!r a > es %!n.e4a a#*'te)n *$4'*!+
Vrt'%e P)nt!s #e la %)r.a #!n#e la ()n%',n al%an/a el *$4'*! ! el *&n'*!+
Ee #e s'*etr&a 4 4.+
Interse%%',n %!n el ee +
Interse%%'!nes %!n el ee 4 se !bt'ene res!l.'en#! la e%)a%',n #e se3)n#! 3ra#!+
EEMPLOS
a) F(x)=x$%
F)n%',n %)a#r$t'%a (!r*)la General a4<
Ee #e 'nterse%%',n =>">@ C!e('%'ente #e p!s'%',n >
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b) F(x)=x$%%
F)n%',n %)a#r$t'%a (!r*)la General a4<
Ee #e 'nterse%%',n =>"<@ C!e('%'ente #e p!s'%',n <
c) F(x)=x$%"&
F)n%',n %)a#r$t'%a (!r*)la General a4<
Ee #e 'nterse%%',n =>"-0@ C!e('%'ente #e p!s'%',n -0
d) F(x)=(x"&)$%
F)n%',n %)a#r$t'%a (!r*)la General a4<
Ee #e 'nterse%%',n =>"0@ C!e('%'ente #e p!s'%',n 0
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e) F(x)=(x%)$%
F)n%',n %)a#r$t'%a (!r*)la General a4<
Ee #e 'nterse%%',n =>"-<@ =>"6@ C!e('%'ente #e p!s'%',n -< " 6
C+!*#/%$+!)%
P!#e*!s %!n%l)'r )e l!s 3r$('%!s #el &te* < s!n ()n%'!nes %)a#r$t'%as #eb'#! a )e
(!r*an par$b!las s) e4p!nente es al %)a#ra#! ee*pl! 4<
Depen#e )e las par$b!las .an 8a%'a arr'ba ! 8a%'a aba! s!n *a!res ! *en!res )e >+
P)#'*!s #arn!s %)entas )e =a"b %@ (!r*an par$b!las a #'(eren%'a #e =# e@
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.4. F/!*$! L+0'(&$*'.
Se lla*a ()n%',n l!3ar&t*'%a a la ()n%',n real #e .ar'able real
9a ()n%',n l!3ar&t*'%a es )na apl'%a%',n b'e%t'.a #e('n'#a #e R L en R
o 9a ()n%',n l!3ar&t*'%a s!l! est$ #e('n'#a s!bre l!s n*er!s p!s't'.!s+
o 'os números negatios el cero no tienen logaritmo
o 9a ()n%',n l!3ar&t*'%a #e base a es la re%&pr!%a #e la ()n%',n e4p!nen%'al #e base
a+
o 9as ()n%'!nes l!3ar&t*'%as *$s )s)ales s!n la #e base 1> la #e base e =
%*+,-%-,...
Deb'#! a la %!nt'n)'#a# #e la ()n%',n l!3ar&t*'%a" l!s l&*'tes #e la (!r*a
Se 8allan p!r *e#'! #e la (,r*)la
EEMPLOS
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a@ F=4@l!3 4
F)n%',n l!3ar&t*'%a (!r*)la 3eneral 9!3 4
Ee #e 'nterse%%',n =>"1@ %!e('%'ente #e p!s'%',n 1
F!r*a #e la %)r.a as%en#ente as'nt,t'%a al ee
b) F(x)='og x"%
F)n%',n l!3ar&t*'%a (!r*)la 3eneral 9!3 4
Ee #e 'nterse%%',n n)la %!e('%'ente #e p!s'%',n n)la
F!r*a #e la %)r.a as%en#ente as'nt,t'%a al ee
c) F(x)='og x"&
F)n%',n l!3ar&t*'%a (!r*)la 3eneral 9!3 4Ee #e 'nterse%%',n n)la %!e('%'ente #e p!s'%',n n)la
F!r*a #e la %)r.a as%en#ente as'nt,t'%a al ee
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c) F(x)='og (x"%)
F)n%',n l!3ar&t*'%a (!r*)la 3eneral 9!3 4
Ee #e 'nterse%%',n n)la %!e('%'ente #e p!s'%',n n)la
F!r*a #e la %)r.a as%en#ente as'nt,t'%a al ee
d) F(x)='og (x"&)
F)n%',n l!3ar&t*'%a (!r*)la 3eneral 9!3 4
Ee #e 'nterse%%',n n)la %!e('%'ente #e p!s'%',n n)la
F!r*a #e la %)r.a as%en#ente as'nt,t'%a al ee
C+!*#/%$+!)%
P!#e*!s %!n%l)'r )e s!n ()n%'!nes l!3ar&t*'%as #eb'#! a )e p!seen %)r.as en este
%as! as%en#entes as'nt,t'%as+
P!r)e p!seen .al!res s)per'!res a 1 n! )t'l'/a*!s .al!res ne3at'.!s a )e n! p)e#e
ser %al%)la#! n' 3ra('%a#!s" l!s .al!res en al3)n!s eer%'%'!s t).'er!n )e ser s)per'!res a
? a )e .al!res *en!res )e este %!n%l)'r %!n )n err!r+
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.5. F/!*$! E-+!)!*$'#.
9a >?@ +8= =#e base e@ es )na ()n%',n real )e t'ene la pr!p'e#a# #e )e al
ser #er'.a#a se !bt'ene la *'s*a ()n%',n+ T!#a ()n%',n e4p!nen%'al t'ene p!r #!*'n'! #e
#e('n'%',n el %!n)nt! #e l!s n*er!s reales+ A#e*$s la ()n%',n e4p!nen%'al es la ()n%',n
'n.ersa #el l!3ar't*! nat)ral+ Esta ()n%',n se #en!ta e)'.alente*ente %!*!
#!n#e e es la base #e l!s l!3ar't*!s nat)rales+
En tr*'n!s 3enerales" )na ()n%',n real F = x @ es #e 8 +8= s' t'ene la (!r*a
S'en#! n*er!s reales" + Se !bser.a en l!s 3r$('%!s )e s' la %)r.a
ser$ %re%'ente+
EEMPLO
a@ F=4@4
F)n%',n e4p!nen%'al (!r*)la 3eneral a4
Ee #e 'nterse%%',n =>"1@ %!e('%'ente #e p!s'%',n 1
Cre%'ente
< U N I V E R S I D A D P R I V A D A A N T E N O R O R R E G O - F A U A
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b) F(x)=(,/!)$x
F)n%',n e4p!nen%'al (!r*)la 3eneral a4
Ee #e 'nterse%%',n =>"1@ %!e('%'ente #e p!s'%',n 1
De%re%'ente
c) F(x)=(,/!)$x"0
F)n%',n e4p!nen%'al (!r*)la 3eneral a4
Ee #e 'nterse%%',n=>"-6@ %!e('%'ente #e p!s'%',n -6De%re%'ente
d) F(x)=#$x0
F)n%',n e4p!nen%'al (!r*)la 3eneral a4
Ee #e 'nterse%%',n =>"0@ %!e('%'ente #e p!s'%',n 0
Cre%'ente
<6 U N I V E R S I D A D P R I V A D A A N T E N O R O R R E G O - F A U A
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e) F(x)=#$x 0
F)n%',n e4p!nen%'al (!r*)la 3eneral a4
Ee #e 'nterse%%',n =>"0@ %!e('%'ente #e p!s'%',n 0
Cre%'ente
C+!*#/%$+!)%
P!#e*!s %!n%l)'r )e s!n ()n%'!nes e4p!nen%'ales #eb'#! a )e s) 'n%,3n'ta es el
e4p!nente EJM <4L<+
9!s 3r$('%!s =a # e@ s!n #'snt't!s a l!s 3r$('%!s =b %@ #eb'#! a )e s)s %)r.as s!n
%re%'entes la #e =b %@ s!n #e%re%'entes+
. CUADRO COMPARATI7O ENTRE LAS FUNCIONES.
<? U N I V E R S I D A D P R I V A D A A N T E N O R O R R E G O - F A U A
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8. FUNCIÓN RAMIFICADA.
Es a)ella )e s'r.e para en%!ntrar l!s p)nt!s l&*'tes #e l!s 'nter.al!s en l!s %)ales se
#'.'#e el #!*'n'!+
E:8=/
Resp)esta
Obser.e*!s )e el #!*'n'! #e esta ()n%',n est$ #'.'#'#!" el p)nt! #e #'.'s',n es 4 1+
19. RELE7ANCIA DE LAS FUNCIONES EN EL CÁLCULO.
9as ()n%'!nes )e3an )n papel esen%'al en el #esarr!ll! #el %$l%)l!" las ()n%'!nes s!n
3eneral*ente #el t'p!
En !tras palabras" 4 es )na .ar'able" es !tra .ar'able" el .al!r )e t!*e
#epen#e #el .al!r )e est t!*an#! 4+ P!r ee*pl!" en la ()n%',n <4 " p)es %)an#!
4 t!*e el .al!r #e ?" .a a t!*ar el .al!r #e 1> =p!r)e <? es 1>@+
9as ()n%'!nes s!n '*p!rtantes para real'/ar (,r*)las s'*pl'('%a#as #e las !pera%'!nes )e
se real'/an %!*n*ente" %!*! )na s)*at!r'a" )n pr!*e#'!" et%+ Es #e%'r" #e *anera
*$s sen%'lla+
11. DIFERENCIA Y SEMEAN:A ENTRE DOMINIO Y RANGO.
DOMINIO RANGO
DIFERENCIA
Est$ (!r*a#! p!r
a)ell!s .al!res #e 4
Est$ (!r*a#! p!r
a)ell! .al!res #e
SEME'AN(A
S!n n*er!s reales
Se re)'ere para
representar )na 3r$('%a
S!n n*er!s reales
Se re)'ere para
representar )na 3r$('%a
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12. CONCLUSIÓN.
Tras el est)#'! #e las ()n%'!nes *ate*$t'%as" se p)e#e %!n%l)'r en )e s!n *)
'*p!rtantes" #e *)%8! .al!r )t'l'#a# para res!l.er pr!ble*as #e la .'#a #'ar'a"
pr!ble*as #e ('nan/as" #e e%!n!*&a" #e esta#&st'%a" #e 'n3en'er&a" #e *e#'%'na" #e
)&*'%a (&s'%a" #e astr!n!*&a" #e 3e!l!3&a" #e %)al)'er $rea s!%'al #!n#e 8aa )erela%'!nar .ar'ables+
C)an#! se .a al *er%a#! ! a %)al)'er %entr! %!*er%'al" s'e*pre se rela%'!na )n
%!n)nt! #e #eter*'na#!s !bet!s ! pr!#)%t!s al'*ent'%'!s" %!n el %!st! en pes!s para as&
saber %)$nt! p!#e*!s %!*prarW s' l! lle.a*!s al plan!" p!#e*!s es%r'b'r esta
%!rresp!n#en%'a en )na e%)a%',n #e ()n%',n 4 %!*! el pre%'! la %ant'#a# #e pr!#)%t!
%!*! +
A#e*$s a tra.s #e este traba! se p)#! %!n!%er l!s #'.ers!s t'p!s #e ()n%'!nes la
'*p!rtan%'a #e ell!s para real'/ar las 3r$('%as l! %)al .a a #epen#er #e %a#a t'p! #e
()n%',n+
Cree*!s )e el res)lta#! !bten'#! tras el traba! #e 'n.est'3a%',n ()e p!s't'.!" a )e se
%)*ple la %!ns'3a en %)ant! a la 'n(!r*a%',n te,r'%a" %ree*!s )e ta*b'n esta
*!n!3ra(&a n!s ser$ t'l en la pr$%t'%a+
A tra.s #e este traba! p)#'*!s 'n(!r*arn!s #e %a#a )na #e las partes #e )n 3r$('%!
#e l!s #'st'nt!s t'p!s #e ()n%'!nes )e e4'sten #e s)s %)al'#a#es" %!*! p!r ee*pl! s)s
(!r*as %!*! es el %as! #e las par$b!las" a sean ab'ertas" %erra#as" %re%'entes
#e%re%'entes a#e*$s p)#'*!s *e!rar n)estr! %!n!%'*'ent! *ate*$t'%! e 'n(!r*$t'%! a
)e n!s 'n(!r*a*!s a tra.s #e Internet )t'l'/a*!s el M'%r!s!(t E4%el para real'/ar
%$l%)l!s 3r$('%!s+
A#e*$s *e!ra*!s n)estr! ra/!na*'ent! *ate*$t'%! l,3'%! n)estr! es()er/! p!r
%rear n)estr! pr!p'! %!n!%'*'ent! el traba! en e)'p!+
P)#'*!s #arn!s %)enta )e el es()er/! real'/a#! t'ene atr'b)%'!nes %!*! apren#er a
3enerar n)estr! pr!p'! %!n!%'*'ent!+
En %)ant! al traba! n!s #'*!s %)enta )e l!s 3r$('%!s eran *) #'st'nt!s p!r s)s
()n%'!nes %!*! es el %as! l'neal %)a#r$t'%!" l!3ar&t*'%! e4p!nen%'al+
<2 U N I V E R S I D A D P R I V A D A A N T E N O R O R R E G O - F A U A
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13. ANE#OS
NOTA/
En l!s s'3)'entes ane4!s *!strare*!s %!*! ()n%'!nes se 8an )t'l'/a#! p!r l!s 'n3en'er!s
ar)'te%t!s en las #'(erentes !bras )e 8! est$n *ar%a#as %!*! 8't!s en la 8'st!r'a #e
la ARQUITECTURA e INGENIERÍA
TORRE EIFFEL BOTEL " ESTRELLAS DU)I
O)RAS DEL ARQUITECTO SANTIAGO CALATRA%A.
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14. ;I;LIOGRAF<A
• 9IBRO NUEVO FORMU9ARIO DE CIENCIAS X MARCO 99ANOS X FUNCIONES+
• MATEMÁTICA BÁSICA X EDUARDO ESPINOYA RAMOS X <#a EDICIZN -
FUNCIONES• 8ttpKKes+['\'pe#'a+!r3K['\'KGr]C]A1('%a
• 8ttpKK[[[+*!n!3ra('as+%!*Ktraba!s2K*a()K*a()+s8t*l
• 8ttpKKes+['\'pe#'a+!r3K['\'KF)n%']C]Bn^e4p!nen%'al
• 8ttpKK[[[+s%r'b#+%!*K#!%K<50526<KM'%r!s!(t-7!r#-9'*'tes-<