Post on 28-Jul-2015
Precálculo
Función cuadrática
Funciones Racionales
Fracciones Parciales
Factores lineales distintos (Diferencia en grado = 1)
Factores lineales distintos (Diferencia en grado = 2)
Factor Cuadrático
Factor Cuadrático Irreducible
Factor Cuadrático Irreducible repetido
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Contenido
Precálculo
Menú
1.- función cuadrática
2.- Completarel
cuadrado
3.- Nueva Expresión
FunciónCuadrática
Adicionar y Restar
cbxax 2
ab4
2
abca
bxa 2222
cbxax 2
Funciones Cuadráticas
Precálculo
Menú
p x
f xq x
División de Polinomios
Denominador
Numerador Dividendo
Divisor
Función Racional
Precálculo
Menú
División de Polinomios
DivisorDividendo
Cociente
Residuo Componentes de la División
Precálculo
Menú
23
14 13
5
xf x x
x x
División de Polinomios
Divisor
Cociente
ResiduoExpresión del Resultado
Precálculo
Menú
Función Racional = Polinomio + Función Racional Propia
p x m xh x
q x q x
Fracciones Parciales
Precálculo
Menú
P x
Q x
M xh x
Q x
Son aquellas de la forma
Donde el grado del polinomio del numerador es mayor que el grado del polinomio del denominador y que pueden ser transformadas mediante la división planteada, en la forma:
Que es lo mismo que decir que se trata de un polinomio en x más un residuo.
Fracciones Parciales
Precálculo
Menú
En el caso xx
xxx
5
123
35
, mediante la división propuesta puede ser
transformada en la forma xx
xx
5
1143
32
, esto implica que el grado del
polinomio del numerador sea mayor que el grado del polinomio del denominador.
5 3
3
2 1
5
x x x
x x
23
14 13
5
xx
x x
Fracciones Parciales
Precálculo
5 32
3 3
2 1 14 13
5 5
x x x x
xx x x x
x x x xx
x x x x
5 32
3 2
2 1 14 13
5 5
Fracciones Parciales
x x x Bx CAx
x x x x
5 32
3 2
2 13
5 5
Precálculo
Fracciones Parciales
1115
13
12
xxx
xx
Común Denominador
Fracciones Parciales
Precálculo
Menú
El denominador es un producto de factores lineales distintos
Factores Lineales distintos
1 1 2 2 n nq x a x b a x b a x b
p x
f xq x
Diferencia en grado=1
Factores lineales distintos (Diferencia Grado =
1 )
Precálculo
Menú
2
3 1
6
x
x x
32
13
xx
x
2 3
A B
x x
Expresión original
Descomposición del
denominador
FraccionesParciales
Factores lineales distintos (Diferencia Grado =
1 )
Factorizandoel
denominador
Deshaciendoel común
denominador
Precálculo
F
A
C
T
O
R
E
S
L
I
N
E
A
L
E
S
D
I
S
T
I
N
T
O
S
Diferencia en grado = 1
Descomponer en fracciones parciales:
6
132
xx
x, factorizando el denominador se tiene: 32
13
xx
x,expresión
que puede ser descompuesta así:
3232
13
x
B
x
A
xx
x Descomponiendo el producto del
denominador.
32
23
32
13
xx
xBxA
xx
x Tomando común denominador a la
derecha de la igualdad.
23
32
3213
xBxAxx
xxx Despejando el término que
contiene las constantes A y B
2313 xBxAx Simplificando términos comunes a la izquierda de la igualdad.
BABAxx 2313 Agrupando términos.
3 BA 3 2 1A B
De donde
57A , y
58B
Sistema de ecuaciones simultaneas.
358
257
32
13
6
132
xxxx
x
xx
x Fracciones parciales.
Precálculo
Menú
El denominador es un producto de factores lineales distintos
Factores lineales distintos (Diferencia Grado =
2 )
Factores Lineales distintos
1 1 2 2 n nq x x a x b a x b a x b
p x
f xq x
Diferencia en grado=2
Precálculo
Menú
3 2
5 3
2 3
x
x x x
5 3
3 1
x
x x x
3 1
A B C
x x x
Expresión original
Descomposición del
denominador
FraccionesParciales
Factores lineales distintos (Diferencia Grado =
2 )
Factorizando “x”
Desagrupando el comúndenominador
Precálculo
F
A
C
T
O
R
E
S
L
I
N
E
A
L
E
S
D
I
S
T
I
N
T
O
S
xx
x
32
353
2x
, factorizando el denominador se tiene:
13
35
xxx
x,expresión que puede ser descompuesta así:
1313
35
x
C
x
B
x
A
xxx
x
Descomponiendo el producto del denominador en 3 funciones lineales.
313135 xxCxxBxxAx
Tomando común denominador a la derecha de la igualdad y simplificando a la izquierda.
xCxCxBxBxxxAx 33335 222
xCxCxBxBAxAxAAxx 33335 222
Eliminando los paréntesis.
ACBAxCBAxx 33235 2 Agrupando en términos de x.
CA 435 0 CBA , CBA 325 ,
A33
1B , 2C , y 1A
Sistema de ecuaciones simultaneas.
32
1
11
33
35
xxxxxx
x Fracciones parciales.
Precálculo
Menú
El denominador es un producto de un factor lineal y un factor cuadrático
Factor Cuadrático
Factor Lineal por factor Cuadrático
21 1 2 2q x a x b a x b
p x
f xq x
Precálculo
Menú
2
3 2
6 3 1
4 4 1
x x
x x x
2
2
6 3 1
4 1 1
x x
x x
24 1 1
B x CA
x x
Expresión original
Descomposición del
denominador
FraccionesParciales
Factor Cuadrático
Precálculo
F
A
C
T
O
R
L
I
N
E
A
L
C
U
A
D
R
Á
T
I
C
O
Reducir la expresión 114
1362
2
xx
xx, a la forma lineal más cuadrática, así: 114 2
x
CxB
x
A.
114114
13622
2
x
CxB
x
A
xx
xx Descomponiendo
en factores.
114
141
114
1362
2
2
2
xx
xCxBxA
xx
xx Tomando común
denominador.
2 2
2
2
6 3 1 4 1 11 4 1
4 1 1
x x x xA x B x C x
x x
Despejando
141136 22 xCxBxAxx Simplificando
CxCxBxBAxAxx 44136 222 Rompiendo los paréntesis.
CACBxBAxxx 44136 22 Agrupando términos en x.
BA 46 BA 46 2146 A
CB 43 2017
544
3
B
BB 1B
CA 1 54461 BCB 1C
Ecuaciones Simultaneas.
2
2 2
1 16 3 1 2
4 14 1 1 1
xx x
xx x x
Por definición
2
2 2
6 3 1 2 1
4 14 1 1 1
x x x
xx x x
Eliminando
paréntesis
Precálculo
Menú
El denominador contiene un factor cuadrático irreducible
Factor Cuadrático Irreducible
Factor Cuadrático Irreducible
2q x x a x b
p x
f xq x
Precálculo
2
3
2 4
4
x x
x x
2
2
2 4
4
x x
x x
2 4
A Bx C
x x
Expresión original
Descomposición del
denominador
FraccionesParciales
Factor Cuadrático Irreducible
Tomando “x” como factor común en el denominador
Desagrupando el comúndenominador
Precálculo
F
A
C
T
O
R
I
R
R
E
D
U
C
I
B
L
E
C
U
A
D
R
Á
T
I
C
O
Transformar la expresión xx
xx
4
423
2
, a la forma de un factor lineal más otro factor cuadrático,
así: 42
x
CxB
x
A.
442
4
422
2
3
2
xx
xx
xx
xx Factorizando x en el denominador.
44
4223
2
x
CxB
x
A
xx
xx Descomponiendo en factores
Parciales.
44
4
422
2
3
2
xx
xCxBxA
xx
xx Tomando común denominador a la
derecha de la igualdad.
xCxBxAxx
xxxx
44
442 23
22
Despejando
xCxBxAxx 442 22 Simplificando
xCxBAxAxx 222 442 Rompiendo los paréntesis.
AxCxBxAxx 442 222 Reescribiendo los términos.
AxCBAxxx 442 22 Factorizando términos en x
2 BA ,
C 1 ,
44 A
1A ,
1B ,
1C
Igualando términos y factores en el sistema de ecuaciones simultaneas.
4111
4
4223
2
x
x
xxx
xx Reemplazando en la solución
propuesta.
Precálculo
Menú
El denominador contiene más de un factor cuadrático irreducible
Factor Cuadrático Irreducible Repetido
Factor Cuadrático Irreducible Repetido
22q x a x b c x d x e
p x
f xq x
Precálculo
3 2
22
2 3 1
1 2 2
x x x
x x x
3 2
22
2 3 1
1 2 2
x x x
x x x
22 21 2 2 2 2
Faxtor Lineal Factor Cuadrático Factor Cuadrático
Rpetido Rpetido
Bx C Dx EA
x x x x x
Expresión original
Descomposición del
denominador
FraccionesParciales
Factor Cuadrático Irreducible Repetido
Precálculo
Ejercicio Propuesto
2
3 2
212 8 4x x
x x x
Precálculo
21
2 2
21
4 2 1 4 2 1
Ax x Ax B
x x x x
3 2 22 8 4 4 2 1x x x x x Descomponiendoel
denominador
Desagrupando elcomún denominador
FraccionesParciales
2
3 2 2
21 3 1 52 8 4 4 2 1x x x
x x x x x