Fracciones parciales

Precálculo

Función cuadrática

Funciones Racionales

Fracciones Parciales

Factores lineales distintos (Diferencia en grado = 1)

Factores lineales distintos (Diferencia en grado = 2)

Factor Cuadrático

Factor Cuadrático Irreducible

Factor Cuadrático Irreducible repetido

Salir

Contenido

Precálculo

Menú

1.- función cuadrática

2.- Completarel

cuadrado

3.- Nueva Expresión

FunciónCuadrática

Adicionar y Restar

cbxax 2

ab4

2

abca

bxa 2222

cbxax 2

Funciones Cuadráticas

Precálculo

Menú

p x

f xq x

División de Polinomios

Denominador

Numerador Dividendo

Divisor

Función Racional

Precálculo

Menú


DivisorDividendo

Cociente

Residuo Componentes de la División

Precálculo

Menú

23

14 13

5

xf x x

x x


Divisor

Cociente

ResiduoExpresión del Resultado

Precálculo

Menú

Función Racional = Polinomio + Función Racional Propia

p x m xh x

q x q x


Precálculo

Menú

P x

Q x

M xh x

Q x

Son aquellas de la forma

Donde el grado del polinomio del numerador es mayor que el grado del polinomio del denominador y que pueden ser transformadas mediante la división planteada, en la forma:

Que es lo mismo que decir que se trata de un polinomio en x más un residuo.


Precálculo

Menú

En el caso xx

xxx

5

123

35

, mediante la división propuesta puede ser

transformada en la forma xx

xx

5

1143

32

, esto implica que el grado del

polinomio del numerador sea mayor que el grado del polinomio del denominador.

5 3

3

2 1

5

x x x

x x

23

14 13

5

xx

x x


Precálculo

5 32

3 3

2 1 14 13

5 5

x x x x

xx x x x

x x x xx

x x x x

5 32

3 2

2 1 14 13

5 5


x x x Bx CAx

x x x x

5 32

3 2

2 13

5 5

Precálculo


1115

13

12

xxx

xx

Común Denominador


Precálculo

Menú

El denominador es un producto de factores lineales distintos

Factores Lineales distintos

1 1 2 2 n nq x a x b a x b a x b

p x

f xq x

Diferencia en grado=1

Factores lineales distintos (Diferencia Grado =

1 )

Precálculo

Menú

2

3 1

6

x

x x

32

13

xx

x

2 3

A B

x x

Expresión original

Descomposición del

denominador

FraccionesParciales


1 )

Factorizandoel

denominador

Deshaciendoel común

denominador

Precálculo

F

A

C

T

O

R

E

S

L

I

N

E

A

L

E

S

D

I

S

T

I

N

T

O

S

Diferencia en grado = 1

Descomponer en fracciones parciales:

6

132

xx

x, factorizando el denominador se tiene: 32

13

xx

x,expresión

que puede ser descompuesta así:

3232

13

x

B

x

A

xx

x Descomponiendo el producto del

denominador.

32

23

32

13

xx

xBxA

xx

x Tomando común denominador a la

derecha de la igualdad.

23

32

3213

xBxAxx

xxx Despejando el término que

contiene las constantes A y B

2313 xBxAx Simplificando términos comunes a la izquierda de la igualdad.

BABAxx 2313 Agrupando términos.

3 BA 3 2 1A B

De donde

57A , y

58B

Sistema de ecuaciones simultaneas.

358

257

32

13

6

132

xxxx

x

xx

x Fracciones parciales.

Precálculo

Menú

El denominador es un producto de factores lineales distintos


2 )

Factores Lineales distintos

1 1 2 2 n nq x x a x b a x b a x b

p x

f xq x

Diferencia en grado=2

Precálculo

Menú

3 2

5 3

2 3

x

x x x

5 3

3 1

x

x x x

3 1

A B C

x x x

Expresión original

Descomposición del

denominador

FraccionesParciales


2 )

Factorizando “x”

Desagrupando el comúndenominador

Precálculo

F

A

C

T

O

R

E

S

L

I

N

E

A

L

E

S

D

I

S

T

I

N

T

O

S

xx

x

32

353

2x

, factorizando el denominador se tiene:

13

35

xxx

x,expresión que puede ser descompuesta así:

1313

35

x

C

x

B

x

A

xxx

x

Descomponiendo el producto del denominador en 3 funciones lineales.

313135 xxCxxBxxAx

Tomando común denominador a la derecha de la igualdad y simplificando a la izquierda.

xCxCxBxBxxxAx 33335 222

xCxCxBxBAxAxAAxx 33335 222

Eliminando los paréntesis.

ACBAxCBAxx 33235 2 Agrupando en términos de x.

CA 435 0 CBA , CBA 325 ,

A33

1B , 2C , y 1A

Sistema de ecuaciones simultaneas.

32

1

11

33

35

xxxxxx

x Fracciones parciales.

Precálculo

Menú

El denominador es un producto de un factor lineal y un factor cuadrático

Factor Cuadrático

Factor Lineal por factor Cuadrático

21 1 2 2q x a x b a x b

p x

f xq x

Precálculo

Menú

2

3 2

6 3 1

4 4 1

x x

x x x

2

2

6 3 1

4 1 1

x x

x x

24 1 1

B x CA

x x

Expresión original

Descomposición del

denominador

FraccionesParciales

Factor Cuadrático

Precálculo

F

A

C

T

O

R

L

I

N

E

A

L

C

U

A

D

R

Á

T

I

C

O

Reducir la expresión 114

1362

2

xx

xx, a la forma lineal más cuadrática, así: 114 2

x

CxB

x

A.

114114

13622

2

x

CxB

x

A

xx

xx Descomponiendo

en factores.

114

141

114

1362

2

2

2

xx

xCxBxA

xx

xx Tomando común

denominador.

2 2

2

2

6 3 1 4 1 11 4 1

4 1 1

x x x xA x B x C x

x x

Despejando

141136 22 xCxBxAxx Simplificando

CxCxBxBAxAxx 44136 222 Rompiendo los paréntesis.

CACBxBAxxx 44136 22 Agrupando términos en x.

BA 46 BA 46 2146 A

CB 43 2017

544

3

B

BB 1B

CA 1 54461 BCB 1C

Ecuaciones Simultaneas.

2

2 2

1 16 3 1 2

4 14 1 1 1

xx x

xx x x

Por definición

2

2 2

6 3 1 2 1

4 14 1 1 1

x x x

xx x x

Eliminando

paréntesis

Precálculo

Menú

El denominador contiene un factor cuadrático irreducible



2q x x a x b

p x

f xq x

Precálculo

2

3

2 4

4

x x

x x

2

2

2 4

4

x x

x x

2 4

A Bx C

x x

Expresión original

Descomposición del

denominador

FraccionesParciales


Tomando “x” como factor común en el denominador

Desagrupando el comúndenominador

Precálculo

F

A

C

T

O

R

I

R

R

E

D

U

C

I

B

L

E

C

U

A

D

R

Á

T

I

C

O

Transformar la expresión xx

xx

4

423

2

, a la forma de un factor lineal más otro factor cuadrático,

así: 42

x

CxB

x

A.

442

4

422

2

3

2

xx

xx

xx

xx Factorizando x en el denominador.

44

4223

2

x

CxB

x

A

xx

xx Descomponiendo en factores

Parciales.

44

4

422

2

3

2

xx

xCxBxA

xx

xx Tomando común denominador a la

derecha de la igualdad.

xCxBxAxx

xxxx

44

442 23

22

Despejando

xCxBxAxx 442 22 Simplificando

xCxBAxAxx 222 442 Rompiendo los paréntesis.

AxCxBxAxx 442 222 Reescribiendo los términos.

AxCBAxxx 442 22 Factorizando términos en x

2 BA ,

C 1 ,

44 A

1A ,

1B ,

1C

Igualando términos y factores en el sistema de ecuaciones simultaneas.

4111

4

4223

2

x

x

xxx

xx Reemplazando en la solución

propuesta.

Precálculo

Menú

El denominador contiene más de un factor cuadrático irreducible

Factor Cuadrático Irreducible Repetido


22q x a x b c x d x e

p x

f xq x

Precálculo

3 2

22

2 3 1

1 2 2

x x x

x x x

3 2

22

2 3 1

1 2 2

x x x

x x x

22 21 2 2 2 2

Faxtor Lineal Factor Cuadrático Factor Cuadrático

Rpetido Rpetido

Bx C Dx EA

x x x x x

Expresión original

Descomposición del

denominador

FraccionesParciales


Precálculo

Ejercicio Propuesto

2

3 2

212 8 4x x

x x x

Precálculo

21

2 2

21

4 2 1 4 2 1

Ax x Ax B

x x x x

3 2 22 8 4 4 2 1x x x x x Descomponiendoel

denominador

Desagrupando elcomún denominador

FraccionesParciales

2

3 2 2

21 3 1 52 8 4 4 2 1x x x

x x x x x

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