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Gema Isabel Marín Caballero Página 1 de 3
FORMULARIO
1. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE CONTINUA. LA NORMAL
1.1. Función de densidad o Función de probabilidad de una variable continua
Función de densidad o de la curva de Gauss: ( )2
2
1
2
1
−⋅−
= σµ
πσ
x
exf
El área bajo la curva y=f(x) es igual a 1.
Cálculo de la probabilidad a partir de la función de densidad:
( ) =≤≤ bxaP área bajo la curva en el intervalo [a,b]
En un triángulo: ( ) ( )2
habbxaP
⋅−=≤≤ h = Altura del triángulo.
En un rectángulo: ( ) ( ) habbxaP ⋅−=≤≤ h = Altura del rectángulo.
En un trapecio: ( ) hBb
bxaP ⋅+=≤≤2
h = Altura del trapecio.
1.2. Distribución normal
X∼∼∼∼N(µ,σ) � Variable aleatoria continua X sigue una distribución normal N(µ,σ).
X = Variable aleatoria discreta. � Número de éxitos.
xi = Valores que puede tomar la variable aleatoria continua.
n = Número de veces que se repite el experimento.
µ = Media. pn ⋅=µ
σ = Desviación típica. qpn ⋅⋅=σ
Función de distribución F(x): ( ) ∫ ∞−
−=
xt
dtexF 2
2
2
1
π
F(x) = Representa el área encerrada bajo la curva f(x) desde −∞ hasta x.
1.3. Distribución normal estándar
Z∼∼∼∼N(0,1) � Variable aleatoria continua Z sigue una distribución normal estándar N(0,1).
Z = Variable tipificada de X.
µ=0 σ=1
Función de densidad o de la curva de Gauss: ( ) 2
2
2
1 z
ezf−
=π
Función de distribución F(z): ( ) ∫ ∞−
−=
zt
dtezF 2
2
2
1
π
F(x) = Representa el área encerrada bajo la curva f(z) desde −∞ hasta x.
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1.4. Cálculo de la probabilidad en la normal estándar
Cálculo de la probabilidad en la normal estándar N(0,1) � ( ) ( ) ( )kzPkzPk <=≤=φ
( )kφ � Es la probabilidad de que se produzcan k éxitos.
k = Número de éxitos.
K = de 0 a 4, de centésima en centésima.
( ) ( )kFk =φ = Función de distribución.
Leer Tabla de áreas bajo la curva normal estándar N(0,1).
Manejo de la tabla de áreas bajo la curva normal estándar N(0,1):
• Cálculo de la probabilidad ( )kzP ≤ conocido el valor de k. � El valor de k se busca así:
- Unidades y décimas en la columna de la izquierda.
- Centésimas en la fila de arriba.
- El número que nos da la tabla es el valor de ( ) ( ) ( )kzPkzPk <=≤=φ
• Cálculo del valor de k conocida la probabilidad ( )kzP ≤ . � El valor de ( )kzP ≤ se busca así:
- El valor de ( ) ( ) ( )kzPkzPk <=≤=φ es el número que está en la tabla.
- Unidades y décimas en la columna de la izquierda.
- Centésimas en la fila de arriba.
Reglas para hallar probabilidades en la normal estándar N(0,1):
• Si 0≥k � ( ) ( ) ( )kzPkzPk <=≤=φ � Leer la tabla.
• Si 0≥k � ( ) ( ) ( )kkzPkzP φ−=≤−=≥ 11
• Si 0<− k � ( ) ( ) ( )kkzPkzP φ−=≥=−≤ 1
• Si 0<− k � ( ) ( ) ( )kkzPkzP φ=≤=−≥
• Si ba <<0 � ( ) ( ) ( )azPbzPbzaP ≤−≤=≤≤
• Si 0<−<− ba � ( ) ( )azbPbzaP ≤≤=−≤≤−
1.5. Cálculo de la probabilidad en la normal cualquiera
Cálculo de la probabilidad en la normal cualquiera N(µ,σ) � Tipificación:
• Paso de una normal N(µ,σ) a una normal estándar N(0,1). � Pasamos X∼N(µ,σ) a Z∼N(0,1).
• σ
µ−= xz
• Con el valor de “z” se busca en la tabla de la normal estándar N(0,1).
Si X∼N(µ,σ), el cálculo de la probabilidad es: ( )
−≤≤−=≤≤σ
µσ
µ kz
hPkzhP
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1.6. Distribución binomial se aproxima a la normal
X∼∼∼∼B(n,p) se parece mucho a x’∼∼∼∼N(µ,σ)
Teorema de Moivre:
Condiciones: 5≥⋅ pn , 5≥⋅ qn
Pasamos X∼B(n,p) a X∼N(µ,σ).
Pasamos X∼N(µ,σ) a Z∼N(0,1).
Reglas para calcular probabilidades mediante el paso de una binomial B(n,p) a una normal N(µ,σ):
• ( ) ( )5,0'5,0 +<<−== xxkPkxP
• ( ) ( )5,0'5,0 −<<−=<≤ bxaPbxaP
• ( ) ( )5,0'5,0 +<<+=≤< bxaPbxaP
• ( ) ( )'5,0 xaPxaP <+=<
• ( ) ( )'5,0 xaPxaP <+=<
• ( ) ( )5,0' −≤=< bxPbxP
• ( ) ( )5,0' +≤=≤ bxPbxP
1.7. Ajuste de un conjunto de datos a una distribución normal
Disponemos de una serie de N observaciones relativas a n individuos. En cada observación,
contamos el número k de ellos que cumplen una determinada condición.
En definitiva, tenemos una tabla de frecuencias cuya variable X toma los valores
xi = 0, 1, … , n
Para estudiar si esa serie de datos obtenidos experimentalmente puede provenir de una
distribución normal N(µ,σ), procedemos del siguiente modo:
• Calculamos la media x de los datos y la desviación típica σ de la distribución empírica.
• Comparamos la distribución empírica con la teórica normal N(µ,σ), con x=µ y empíricaσσ = .
Para ello:
- Para efectuar la comparación, partimos el recorrido de la variable en intervalos, [xk , xk+1], y
averiguamos cómo se repartirían en esos intervalos n individuos en la distribución teórica N(µ,σ). Así, calculamos los valores de la tabla de probabilidades.
- Hallamos la diferencia, en cada intervalo, de los números empírico y teórico,
| fi teórica a - fi empírica |
- Según que la mayor de las diferencias sea suficientemente pequeña o no, aceptamos o rechazamos la hipótesis de que los datos provienen de una normal.
o Si la mayor de las diferencias es suficientemente pequeña, suponemos que el ajuste es bueno. � Los datos iniciales provenían de una distribución normal.
o Si la mayor de las diferencias es grande, suponemos que el ajuste no es bueno. � Los
datos iniciales no provenían de una distribución normal.