Post on 15-Jan-2016
SISTEMA DE COMUNICACIONES DIGITALES
TEORÍA DE LA INFORMACIÓNCantidad de Información Entropía Longitud promedio Distancia de Hamming y Mínima de
Hamming
I ( xi )=−log2P ( xi )=log21P(xi)
−log2P ( xi ) : [bit ]−logⅇP ( xi ) : [nat ]
−log10P (xi ) : [hartley ]
H (X )=∑i=1
n
P ( xi ) I ( xi)
Hr ( X )=H ( X )log2r
L=∑i=1
n
¿∗P ( xi )
¿ :Númeroelementosdepalabra código(N1001=4)L≥Hr (X )
P1=01011d (P1, P2 )=2P2=00010d (P1, P3 )=1P3=11011d (P2 ,P3 )=3
d (P1 , P2 )=2dmin (H )=1
Demostración de I(x)P(xi) I (xi)1 01/2 a0 ∞(muyalta)
Eficiencia
η=Hr (X )L
1 :Max
RedundanciaRed=1−η
Peso de una P.CW (Pn )W (P1 )=3
:número deelementosdiferentes de cero(número de1 s )W (P1⊕P2 )=d (P1 , P2)
d (P1 , P2 ) : espacio vectorial n dimensionado . Númerodeelementosdiferenctes entre P.C .de igual longitud
dmin (H ) :menor distanciade Hammingentre P.C . válidas .Debe ser lomayor posible
Demostración de H(x)Cantidad de información Total:
Q [X ]=m 1∗I ( x 1 )+m2∗I ( x 2 )+…+mn∗I ( xn )
Q [X ]n
=m1∗I ( x1 )
n+m2∗I ( x2 )
n+…+
mn∗I ( xn )n
simn
=fr= veces que serepite el símbolototal desímbolos
¿ número deeventos favorablesnúmerode eventos totales vetificadoscuando n→∞⇒ fr ( xi )≅ P (xi)
Q [X ]n
=H (X )=P(xi) I (xi)
Si sebusca→dmin(H)≥Detectar l errores l+1Corregir t errores 2 t+1Detectar l y corregirt erroressil>t
l+t+1
BER y Proporción Residual de Error
BER= bits erradosbits transmitidossi=¿
110;acepta1bit errado por cada10.
PRE=bits erroneos nodetectadosbits transmitidos
sebusca que tiendana0
Códigos compactos o de Huffman
Se ordenan las probabilidades de mayor a menor
Se agrupan las últimas r probabilidades en la nueva Fuente Reducida
La última fuente reducida debe tener r símbolos
Condición : r+α (r−1 )=n;encaso deno cumplir seagregan símbolos con P ( x )=0,00 α : debe ser entero , con aproximaciónalinmediato superior
REGRESIÓN:
Se conserva el símbolo de la probabilidad regresiva y se agrega todas las permutaciones r-arias
Para los símbolos faltantes se agregan los que no se usaron de la fuente reducida
En cado de probabilidad igual se escribe el primer símbolo
EJEMPLO 1 de fuente Ternaria (3)Fuente original en desorden
Fuente original ordenada
Fuente Reducida 1 Fuente Reducida 2
X 1→0,10 X 5→0,30 1 X 5→0,30 1 X 9→0,44 0
X 2→0,15 X 3→0,18 00 X 8→0,26 2 X 5→0,30 1
X 3→0,18 X 2→0,15 01 X 3→0,18 00 X 8→0,26 2
X 4→0,06 X 7→0,11 02 X 2→0,15 01
X 5→0,30 X 1→0,10 20 X 7→0,11 02
X 6→0,10 X 6→0,10 21
X 7→0,11 X 4→0,06 22
Σ=1,00 Σ=1,00 Σ=1,00 Σ=1,00
EJEMPLO 2 de fuente Binaria (2)
Fuente original ordenada
Fuente Reducida 1
Fuente Reducida 2
Fuente Reducida 3
Fuente Reducida 4
Fuente Reducida 4
X 5→0,30 01 X 5→0,30 01 X 5→0,30 01 X 10→0,31 00 X 11→0,39 1 X 12→0,61 0
X 3→0,18 11 X 3→0,18 11 X 9→0,21 10 X 5→0,30 01 X 10→0,31 00 X 11→0,39 1X 2→0,15 001 X 8→0,16 000 X 3→0,18 11 X 9→0,21 10 X 5→0,30 01X 7→0,11 100 X 2→0,15 001 X 8→0,16 000 X 3→0,18 11
X 1→0,10 101 X 7→0,11 100 X 2→0,15 001X 6→0,10 0000 X 1→0,10 101X 4→0,06 0001
Σ=1,00 Σ=1,00 Σ=1,00 Σ=1,00 Σ=1,00 Σ=1,00
EJEMPLO 3 de fuente Pentaternaria (5)Fuente original en desorden Fuente original ordenada Fuente Reducida 1
X 1→0,10 X 5→0,30 0 X 5→0,30 0
X 2→0,15 X 3→0,18 2 X 10→0,26 1
X 3→0,18 X 2→0,15 3 X 3→0,18 2
X 4→0,06 X 7→0,11 4 X 2→0,15 3
X 5→0,30 X 1→0,10 10 X 7→0,11 4
X 6→0,10 X 6→0,10 11
X 7→0,11 X 4→0,06 12
X 8→0,00 X 8→0,00 13
X 9→0,00 X 9→0,00 14
Σ=1,00 Σ=1,00 Σ=1,00
r+α (r−1 )=nα=15+α (4 )=75+1 (5−1 )=nα=7−54
=12n=9
CÓDIGOS DE LÍNEA
Pueden empezar en alto o bajo
Se supone una primera violación par
Se verifica: Pulsos de Violación (V) alternados en polaridad
1s lógicos y Pulsos Bipolares (B) alternados en polaridad
Código HDBn (Bipolar de alta densidad de orden n)
Número de 1s después de la última Violación, si es 0→par
Par Impar
Polaridad+ -00- 000+- +00+ 000-
n=3 Bipolar(B) Violación(V) Violación(V)No más de n+1 ceros consecutivos
Código BnZS (Sustitución de Ceros Bipolar de orden n)
Número de 1s después de la última Violación, si es 0→par
Par Impar
Polaridad+ -0- 00+- +0+ 00-
n=3 Bipolar(B) Violación(V) Violación(V)Número de Bipolares (B) entre violaciones debe ser Impar
CÓDIGO BLOQUE
r :redundancia=q=n−k
Lineales o Sistemáticos (n,k) 2n>2k
Se llaman asi porque al sumar dos palabras código válidas en módulos dos (⊕) se genera otra palabra código válida incluyendo al vector nulo
Palabra código nulo. Todos los elementos son cero.
P1+P0=P1d (P1 , P0 )=3W (P1+P0 )=3
Bloque. Se agrega redundancia sin alterar la posición relativa del mensaje
m0m1m2…mk−1 r0 r1…r q−1
A B XOR A⊕B0 0 0 Iguales 0
Diferentes 10 1 11 0 11 1 0
M 1n=( A|B )Matriz ampliadaM 1k :Vector MensajeCódigo :X 1n=(M 1k|R1q )X=M 1kGk nGk n:MatrizGeneradora
Gk n=( I k k|Pk q )Pk q :Condición ,debe tener por lomenosdos 1 s lógicos por fila .No se puedenrepetir las filas
Matriz Identidad (debe ser cuadrática): I 33=1 0 00 1 00 0 1
MultiplicacióndeMatrices :M ab∗Nbc=Pac
Eficiencia :Rc=kn=n−qn
=1−qn≅ 1a≫1 (relación10a1 )→a=10 q
n→0
Mensaje :M 14=m0m1m2m3
Redundancia :R13=r0r 1r2
PalabraCódigo : X17=m0m1m2m3∨r0 r1r 2
La idea es encontrar:
R13=M 14 P43
P43=
1 1 00 1 11 0 11 1 14 X3
: Segenera aleatoriamente , pero sugúnlacondición
R13=( r0r 1r2 )= (m0m1m2m3 )1x 4(1 1 00 1 11 0 11 1 1
)4 x 3
: semultiplica segúnmatrices pero se sumaenmódulodos
r0=m0⊕0⊕m2⊕m3r1=m0⊕m1⊕0⊕m3r2=0⊕m1⊕m2⊕m3
Palabras Código Válidas Generadas (2k=16)Número m0 m1 m2 m3 r0 r1 r2 W (X )1 0 0 0 0 0 0 0 02 0 0 0 1 1 1 1 43 0 0 1 0 1 0 1 34 0 0 1 1 0 1 0 35 0 1 0 0 0 1 1 36 0 1 0 1 1 0 0 37 0 1 1 0 1 1 0 48 0 1 1 1 0 0 1 49 1 0 0 0 1 1 0 310 1 0 0 1 0 0 1 311 1 0 1 0 0 1 1 412 1 0 1 1 1 0 0 413 1 1 0 0 1 0 1 414 1 1 0 1 0 1 0 415 1 1 1 0 0 0 0 316 1 1 1 1 1 1 1 7
CÓDIGOS BLOQUECódigos LinealesPalabra Mensaje Redundancia Palabra Código
M 1k R1q=M1k Pk qMatriz Generadora
Gk n=(I k k∨Pk q)
X1n=(M 1k∨R1q)X1n=M 1kGk n
Detección de Errores (Decodificación Síndrome)Matriz Verificadora de Datos
H qn=(PT qk∨I qq) XT H=X HT=0 (sin errores )S=Y HTY=X+E
(E=0nohay errores )(E≠0hay errores)
S=Y HT
S=(X+E)HT
S=X HT+E HT
S=EH T :se vaa tener 2q−1vectores síndromecon1omaserrores pero para cadapalabra código