Universidad Politécnica del Valle de Toluca

Ingeniería en Biotecnología

Fenómenos de transporte de Momento y Calor

Demostración: Flujo a través de una tubería circular

Nimsi Keren Martínez Alvarez

Explicación del FenómenoObjetivo:

Determinar todas las ecuaciones que nos ayudan para obtener las velocidades de un fluido que circula a través de un tubo circular con radio exterior e interior.

Familiarizarnos con el uso de coordenadas cilíndricas que son las coordenadas naturales para describir las posiciones de la tubería circular.

Analizar el balance de cantidad de movimiento.

IntroducciónTenemos que tener en

cuenta que la distribución de velocidad , velocidad media de un

fluido que esta circulando a través de una corona circular de

radio exterior e interior r son más complicadas que en una película

descendente

Consideraciones a tomarLa fuerza de cizalla actúa sobre un fluido de las siguientes formas: Una de ellas es la resistencia sobre su superficie

exterior que se puede expresar en función de la viscosidad del fluido y el gradiente de velocidad para dicho radio.

La resistencia que tiene lugar en el límite interior de la corona circular que se representa por por u de longitud de tubo.

La presión como consecuencia de la fricción en una longitud del diámetro 1 del anillo se puede igualar a la fuerza resultante con la fuerza de cizalla que actúa sobre el fluido

Distribución de velocidad en el flujo turbulento

Los esfuerzos cortantes dentro del fluido son los responsables de la fuerza de fricción en las paredes y la distribución de velocidad sobre la sección transversal del tubo.

En este caso se considera a otro problema de flujo viscoso pero ahora con coordenadas cilíndricas , y con condiciones límite muy diferentes.

Primero hacemos el balance Entrada de cantidad de movimiento x . Transporte conectivo.(2 Salida de cantidad de movimiento x . Transporte conectivo. (2

Balance Entrada de cantidad de movimiento x . Transporte molecular. Salida de cantidad de movimiento x . Transporte molecular.

Balance Fuerza de gravedad:

Presión a la entrada:

Presión a la salida:

Demostración Primero vamos a igualar todo nuestro

balance general(2 - (2+ - ++ -= 0

Aquí podemos notar que se suma todo lo que entra y se restan todas las salidas del sistema.

Demostración Posteriormente todas las Vz se hacen constantes porque se

supone que el fluido es incomprensible y obtenemos únicamente la siguiente notación:

- ++ -= 0

Donde posteriormente dividiremos toda la notación entre los términos constantes(2*pi*r*)

Demostración Posteriormente obtendremos una

notación más simplificada: ++= 0 La cual se va a multiplicar por un -1 para tener

positivo a la ecuación que nos ayudará a calcular

-= 0

Demostración Se evalúan límites para obtener las

velocidades de salida:

= 0Todo lo que no tiene se mantiene constante , así que nos queda una notación más sim simplificada =

Demostración Posteriormente vamos a pasar el

diferencial respecto a r para poder simplificar e integrar :

= Como ya sabemos se integra respecto a

r y todo lo que no lleve r se mantiene constante , dicho lo anterior obtenemos:

Demostración = De lo que obtenemos la misma ecución

más una constante. = * + C1 Donde despejaremos r , para que

cuando volvamos a integrar sea más fácil

= * +

DemostraciónDadas las siguientes condiciones límite r=0 Por lo que podemos concluir que la C1 será igual a 0Posteriormente sustituimos nuestra C1:)r

Demostración Para la presión dinámica tenemos que

tener en cuenta las dos siguientes consideraciones

Para asumimos a la gravedad como 0 ya que esta no afecta al fluido porque esta subiendo no bajando

Por lo tanto - A diferencia de , la gravedad si afecta ya que esta

presión es la total de toda la longitud del tubo por el que pasa nuestro fluido

=+ Por lo tanto =

Demostración Dadas condiciones , podemos sustituir los

valores de presión dinámica en la ecuación de densidad de flujo de cantidad de movimiento:

)r Como podemos observar se hace 0 y podemos

obtener aún más simplificada la ecuación de cantidad de movimiento

)r

Demostración Ya obtenida la ecuación de cantidad de

movimiento podemos aplicarle la ley de la viscosidad de Newton:

La ley de Newton nos dice:

Sustituyendo en la E .Cantidad de Movimiento

=)r

Demostración Donde primero despejamos a la viscosidad:

=)r Obteniendo esa ecuación podemos integrar respecto

al radio manteniendo todo lo demás constante = -* Donde obtenemos:

Demostración

Aplicando condiciones limites

Sustituyendo en la ecuación original el valor de

Reordenando términos

Demostración Finalmente gracias a la aplicación de la doble integral

obtenemos de la ecuación de cantidad de movimiento la velocidad máxima :

Velocidad Máxima

Para so aplicamos de nuevo condiciones límites y sustituimos por lo tanto,

Demostración Para calcular la velocidad media = = En donde se resuelve por jerarquía la

primera ecuación

DemostraciónDe la cual obtenemos:

Donde cancelamos términos semejantes

Demostración

Integrando obtenemos = * Por lo que finalmente obtenemos: = Vmedia

Demostración Flujo másico

Conclución Este tipo de fenómeno es aún más complicado

que el de una placa , ya que depende de condiciones cilíndricas. También pudimos observar que en la vida cotidiana podemos aplicarlo ya que nos da una noción de que variables afectan al sistema y de allí poder solucionar problemas o diseñar mejores tuberías.