8.6 TEOREMA DE GAUSS

¿Cuál será el campo eléctrico generado por una distribución de cargas que mantenga alguna simetría?

Física

¿Cómo hemos llegado hasta aquí?

¿Cómo puedo caracterizar una superficie plana?

¿Cómo puedo caracterizar una superficie plana?

Mediante el valor de su área

¿Cómo puedo caracterizar una superficie plana?

Mediante el valor de su área

Entonces… ¿estas superficies son iguales?

¿Cómo puedo caracterizar una superficie plana?

Mediante el valor de su área

Entonces… ¿estas superficies son iguales?

No, están orientadas de diferente forma

¿Cómo definir esa orientación?

¿Cómo definir esa orientación?Mediante el vector superficie

𝑆

S

, es un vector de módulo el valor del área y perpendicular a la superficie

¿Y si la superficie es curva?

¿Y si la superficie es curva?La divido en superficies más pequeñas, y tomo el , de cada

uno de los trocitos

Ahora pensemos que la superficie está en el interior de un campo eléctrico…

¿Cómo puedo contar las líneas de campo que la atraviesan?

Ahora pensemos que la superficie está en el interior de un campo eléctrico…

Necesito una nueva magnitud, el flujo eléctrico,

¿Cómo puedo contar las líneas de campo que la atraviesan?

¿Cómo se define el flujo del campo eléctrico a través de una superficie?

Como el producto escalar del campo por la superficie

¿Cuáles son las unidades?

Φ=𝐸 · �⃗�=𝐸 ·𝑆·𝑐𝑜𝑠𝜃

[Φ ]=𝑊𝑏El weber

¿Cuál es el sentido físico del flujo?

¿Cuál es el sentido físico del flujo?

De alguna forma, da una idea del número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie

𝜃=90 ° 𝜃=0 °

¿Cuál es el sentido físico del flujo?

De alguna forma, da una idea del número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie

𝜃=90 ° 𝜃=0 °Flujo mínimo Flujo máximo

¿Y si el campo no es constante o la superficie no es plana?

Ya no sirve la expresión Φ=𝐸 · �⃗�

¿Y si el campo no es constante o la superficie no es plana?

Ya no sirve la expresión Φ=𝐸 · �⃗�

Defino un elemento de flujo para cada «trocito» de S

𝑑Φ=𝐸 ·𝑑�⃗�

¿Y si el campo no es constante o la superficie no es plana?

Ya no sirve la expresión Φ=𝐸 · �⃗�

Defino un elemento de flujo para cada «trocito» de S

Φ=∫𝑆

❑

𝑑Φ⃗=∫𝑆

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�

𝑑Φ=𝐸 ·𝑑�⃗�

Y los sumo todos con una integral

TEOREMA DE GAUSSEn un campo vectorial conservativo, el flujo que atraviesa

una superficie cerrada es constante

TEOREMA DE GAUSSEn un campo vectorial conservativo, el flujo que atraviesa

una superficie cerrada es constante

Una carga el interior de la esfera (SE) crea un campo eléctrico.

Me invento una segunda superficie (SI)

El flujo que atraviesa la superficie de la esfera (SE) y de una segunda superficie (SI), es el mismo.

¿Para qué sirve el Teorema de Gauss?

¿Para qué sirve el Teorema de Gauss?Es más fácil calcular el flujo que atraviesa una esfera (o

cualquier otro cuerpo que posea simetría)

Demostración

¿Para qué sirve el Teorema de Gauss?Es más fácil calcular el flujo que atraviesa una esfera (o

cualquier otro cuerpo que posea simetría)

Demostración

Φ=∫𝑆

❑

�⃗� ·𝑑�⃗�

¿Para qué sirve el Teorema de Gauss?Es más fácil calcular el flujo que atraviesa una esfera (o

cualquier otro cuerpo que posea simetría)

Demostración

Φ=∫𝑆

❑

�⃗� ·𝑑�⃗� ¿∫𝑆

❑

𝐸 ·𝑑𝑆

E y S de igual dirección

¿Para qué sirve el Teorema de Gauss?Es más fácil calcular el flujo que atraviesa una esfera (o

cualquier otro cuerpo que posea simetría)

Demostración

Φ=∫𝑆

❑

�⃗� ·𝑑�⃗� ¿∫𝑆

❑

𝐸 ·𝑑𝑆 ¿𝐸 ·∫𝑆

❑

𝑑𝑆

E y S de igual dirección E constante

¿Para qué sirve el Teorema de Gauss?Es más fácil calcular el flujo que atraviesa una esfera (o

cualquier otro cuerpo que posea simetría)

Demostración

Φ=∫𝑆

❑

�⃗� ·𝑑�⃗� ¿∫𝑆

❑

𝐸 ·𝑑𝑆 ¿𝐸 ·∫𝑆

❑

𝑑𝑆

E y S de igual dirección E constante

¿ 14 𝜋𝜖

·𝑄𝑟 2·∫𝑆

❑

𝑑𝑆

¿Para qué sirve el Teorema de Gauss?Es más fácil calcular el flujo que atraviesa una esfera (o

cualquier otro cuerpo que posea simetría)

Demostración

Φ=∫𝑆

❑

�⃗� ·𝑑�⃗� ¿∫𝑆

❑

𝐸 ·𝑑𝑆 ¿𝐸 ·∫𝑆

❑

𝑑𝑆

E y S de igual dirección E constante

¿ 14 𝜋𝜖

·𝑄𝑟 2·∫𝑆

❑

𝑑𝑆 ¿14 𝜋𝜖

·𝑄𝑟 2·4𝜋𝑟 2

¿Para qué sirve el Teorema de Gauss?Es más fácil calcular el flujo que atraviesa una esfera (o

cualquier otro cuerpo que posea simetría)

Demostración

Φ=∫𝑆

❑

�⃗� ·𝑑�⃗� ¿∫𝑆

❑

𝐸 ·𝑑𝑆 ¿𝐸 ·∫𝑆

❑

𝑑𝑆

E y S de igual dirección E constante

¿ 14 𝜋𝜖

·𝑄𝑟 2·∫𝑆

❑

𝑑𝑆 ¿14 𝜋𝜖

·𝑄𝑟 2·4𝜋𝑟 2

¿Campo eléctrico creado por una carga distribuida en una esfera?

Tengo una esfera de radio R cargada con carga Q.

¿Campo eléctrico creado por una carga distribuida en una esfera?

Tengo una esfera de radio R cargada con carga Q.

Me invento una segunda superficie (SG) de radio r.

¿Campo eléctrico creado por una carga distribuida en una esfera?

Tengo una esfera de radio R cargada con carga Q.

Me invento una segunda superficie (SG) de radio r.

Aplico teorema de Gauss y puedo calcular el campo eléctrico de la esfera a una distancia r.

¿Campo eléctrico creado por una carga distribuida en una esfera?

Φ=Q𝜖

¿Campo eléctrico creado por una carga distribuida en una esfera?

Φ=Q𝜖 ¿ ∫

𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�

¿Campo eléctrico creado por una carga distribuida en una esfera?

Φ=Q𝜖 ¿ ∫

𝐸 𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎

❑

𝐸 ·𝑑𝑆 ·𝑐𝑜𝑠0 °¿ ∫𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�

¿Campo eléctrico creado por una carga distribuida en una esfera?

Φ=Q𝜖 ¿ ∫

𝐸 𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎

❑

𝐸 ·𝑑𝑆 ·𝑐𝑜𝑠0 °

¿ ∫𝐸 𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎

❑

𝐸 ·𝑑𝑆

¿ ∫𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�

¿Campo eléctrico creado por una carga distribuida en una esfera?

Φ=Q𝜖 ¿ ∫

𝐸 𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎

❑

𝐸 ·𝑑𝑆 ·𝑐𝑜𝑠0 °

¿ ∫𝐸 𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎

❑

𝐸 ·𝑑𝑆

¿ ∫𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�

¿𝐸 · ∫𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎

❑

𝑑𝑆

¿Campo eléctrico creado por una carga distribuida en una esfera?

Φ=Q𝜖 ¿ ∫

𝐸 𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎

❑

𝐸 ·𝑑𝑆 ·𝑐𝑜𝑠0 °

¿ ∫𝐸 𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎

❑

𝐸 ·𝑑𝑆 ¿𝐸 ·4 𝜋𝑟2

¿ ∫𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�

¿𝐸 · ∫𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎

❑

𝑑𝑆

¿Campo eléctrico creado por una carga distribuida en una esfera?

Φ=Q𝜖 ¿ ∫

𝐸 𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎

❑

𝐸 ·𝑑𝑆 ·𝑐𝑜𝑠0 °

¿ ∫𝐸 𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎

❑

𝐸 ·𝑑𝑆 ¿𝐸 ·4 𝜋𝑟2

¿ ∫𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�

¿𝐸 · ∫𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎

❑

𝑑𝑆

Igualando el primer y último término, puede despejarse el campo eléctrico

¿Campo eléctrico creado por una carga distribuida en una esfera?

Φ=Q𝜖 ¿ ∫

𝐸 𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎

❑

𝐸 ·𝑑𝑆 ·𝑐𝑜𝑠0 °

¿ ∫𝐸 𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎

❑

𝐸 ·𝑑𝑆 ¿𝐸 ·4 𝜋𝑟2

¿ ∫𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�

¿𝐸 · ∫𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎

❑

𝑑𝑆

Q𝜖

=𝐸 ·4𝜋 𝑟2 →𝐸=𝑄

4 ·𝜋 ·𝜖 ·𝑟2

Igualando el primer y último término, puede despejarse el campo eléctrico

¿Campo eléctrico creado por una carga distribuida en un hilo?

Tengo un hilo de longitud L y densidad de carga

¿Campo eléctrico creado por una carga distribuida en un hilo?

Tengo un hilo de longitud L y densidad de carga

Me invento una superficie (SG) cilíndrica de radio R.

¿Campo eléctrico creado por una carga distribuida en un hilo?

Tengo un hilo de longitud L y densidad de carga

Me invento una superficie (SG) cilíndrica de radio R.

Aplico teorema de Gauss y puedo calcular el campo eléctrico que crea el hilo a una distancia R=d.

¿Campo eléctrico creado por una carga distribuida en un hilo?

Φ=𝜆 ·𝐿𝜖

¿Campo eléctrico creado por una carga distribuida en un hilo?

Φ=𝜆 ·𝐿𝜖¿ ∫𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�

¿Campo eléctrico creado por una carga distribuida en un hilo?

Φ=𝜆 ·𝐿𝜖

¿2 · ∫𝑩𝒂𝒔𝒆

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�+ ∫𝑳𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�¿ ∫𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�

¿Campo eléctrico creado por una carga distribuida en un hilo?

Φ=𝜆 ·𝐿𝜖

¿2 · ∫𝑩𝒂𝒔𝒆

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�+ ∫𝑳𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�¿ ∫𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�

En las bases E y S son perpendiculares y la integral se anula

¿ ∫𝑳𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍

❑

𝐸 ·𝑑𝑆

¿Campo eléctrico creado por una carga distribuida en un hilo?

Φ=𝜆 ·𝐿𝜖

¿2 · ∫𝑩𝒂𝒔𝒆

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�+ ∫𝑳𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�¿ ∫𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�

En las bases E y S son perpendiculares y la integral se anula

¿ ∫𝑳𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍

❑

𝐸 ·𝑑𝑆 ¿𝐸 · ∫𝑳𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍

❑

𝑑𝑆

¿Campo eléctrico creado por una carga distribuida en un hilo?

Φ=𝜆 ·𝐿𝜖

¿2 · ∫𝑩𝒂𝒔𝒆

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�+ ∫𝑳𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�

¿ ∫𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�

Igualando el primer y último término, puede despejarse el campo eléctrico

En las bases E y S son perpendiculares y la integral se anula

¿ ∫𝑳𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍

❑

𝐸 ·𝑑𝑆 ¿𝐸 · ∫𝑳𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍

❑

𝑑𝑆 ¿𝐸 ·2𝜋𝑟 ·𝐿

¿Campo eléctrico creado por una carga distribuida en un hilo?

Φ=𝜆 ·𝐿𝜖

¿2 · ∫𝑩𝒂𝒔𝒆

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�+ ∫𝑳𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�

¿ ∫𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�

𝜆 ·𝐿𝜖

=𝐸 ·2𝜋𝑟 ·𝐿 →𝐸=𝜆

2 ·𝜋 ·𝜖 ·𝑟

Igualando el primer y último término, puede despejarse el campo eléctrico

En las bases E y S son perpendiculares y la integral se anula

¿ ∫𝑳𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍

❑

𝐸 ·𝑑𝑆 ¿𝐸 · ∫𝑳𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍

❑

𝑑𝑆 ¿𝐸 ·2𝜋𝑟 ·𝐿

¿Campo eléctrico creado por una carga distribuida en una placa?

Tengo un placa infinita y densidad de carga

¿Campo eléctrico creado por una carga distribuida en una placa?

Tengo un placa infinita y densidad de carga

Me invento una superficie (SG) cilíndrica de radio R.

¿Campo eléctrico creado por una carga distribuida en una placa?

Tengo un placa infinita y densidad de carga

Me invento una superficie (SG) cilíndrica de radio R.

Aplico teorema de Gauss y puedo calcular el campo eléctrico que crea el la placa.

¿Campo eléctrico creado por una carga distribuida en una placa?

Φ=𝜎 ·𝑆𝜖

¿Campo eléctrico creado por una carga distribuida en una placa?

Φ=𝜎 ·𝑆𝜖¿ ∫𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�

¿Campo eléctrico creado por una carga distribuida en una placa?

Φ=𝜎 ·𝑆𝜖

¿2 · ∫𝑩𝒂𝒔𝒆

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�+ ∫𝑳𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�¿ ∫𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�

¿Campo eléctrico creado por una carga distribuida en una placa?

Φ=𝜎 ·𝑆𝜖

¿2 · ∫𝑩𝒂𝒔𝒆

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�+ ∫𝑳𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�¿ ∫𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�

Ahora, en las bases E y S tienen el mismo sentido, pero son perpendiculares en el lateral

¿2 ∫𝑩𝒂𝒔𝒆𝒔

❑

𝐸 ·𝑑𝑆

¿Campo eléctrico creado por una carga distribuida en una placa?

Φ=𝜎 ·𝑆𝜖

¿2 · ∫𝑩𝒂𝒔𝒆

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�+ ∫𝑳𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�

¿ ∫𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�

Ahora, en las bases E y S tienen el mismo sentido, pero son perpendiculares en el lateral

¿2 ∫𝑩𝒂𝒔𝒆𝒔

❑

𝐸 ·𝑑𝑆¿2𝐸 · ∫𝑩𝒂𝒔𝒆

❑

𝑑𝑆

¿Campo eléctrico creado por una carga distribuida en una placa?

Φ=𝜎 ·𝑆𝜖

¿2 · ∫𝑩𝒂𝒔𝒆

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�+ ∫𝑳𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�

¿ ∫𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�

Igualando el primer y último término, puede despejarse el campo eléctrico

Ahora, en las bases E y S tienen el mismo sentido, pero son perpendiculares en el lateral

¿2 ∫𝑩𝒂𝒔𝒆𝒔

❑

𝐸 ·𝑑𝑆¿2𝐸 · ∫𝑩𝒂𝒔𝒆

❑

𝑑𝑆 ¿2𝐸 ·𝑆

¿Campo eléctrico creado por una carga distribuida en una placa?

Φ=𝜎 ·𝑆𝜖

¿2 · ∫𝑩𝒂𝒔𝒆

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�+ ∫𝑳𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�

¿ ∫𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜

❑

�⃗� ·𝑑 �⃗�

𝜎 ·𝑆𝜖

=2𝐸 ·𝑆 →𝐸=𝜎2𝜖

Igualando el primer y último término, puede despejarse el campo eléctrico

Ahora, en las bases E y S tienen el mismo sentido, pero son perpendiculares en el lateral

¿2 ∫𝑩𝒂𝒔𝒆𝒔

❑

𝐸 ·𝑑𝑆¿2𝐸 · ∫𝑩𝒂𝒔𝒆

❑

𝑑𝑆 ¿2𝐸 ·𝑆