FIEECS, UNI

Teoría Macroeconómica II

Introducción a modelos RBC (Dynare)

Carlos Rojas Quirozwww.carlos-rojas-quiroz.weebly.com

Octubre del 2017

1 Solución numérica1.1 Estado Estacionario1.2 Calibración1.3 Dynare1.4 Funciones Impulso-Respuesta linealizadas1.5 Log-linealización1.6 Funciones Impulso-Respuesta loglinealizadas

Índice

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Ahora nos proponemos a solucionar el modelo mediantesimulación numérica. Para ello utilizaremos el Dynare. Peroantes debemos determinar el estado estacionario del modelo ycalibrar los parámetros estructurales.

Solución numérica

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Con las formas funcionales impuestas para la utilidadinstantánea y la función de producción, tenemos:

• Condición intratemporal (oferta de trabajo):

θ

Ct=

1− θ(1− Lt) Wt

(1)

• Condición intertemporal del consumo:

1Ct

=β

Ct+1(rt+1 + 1) (2)

• Demanda de trabajo:

Wt = αYt

Lt(3)

El modelo

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• Demanda de capital:

rt + δ = (1− α) Yt

Kt(4)

• Demanda agregada:

Yt = Ct + It + Gt (5)

• Oferta agregada:

Yt = Zt Ltα Kt

1−α (6)

• Evolución del capital:

Kt+1 = It + (1− δ) Kt (7)

El modelo

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Añadimos los dos procesos estocásticos para las variablesexógenas:• Productividad:

ln(Zt) = (1− ρZ )ln(Zss) + ρZ ln(Zt−1) + εZt (8)

• Gasto Público:

ln(Gt) = (1− ρG)ln(Gss) + ρGln(Gt−1) + εGt (9)

Donde εZt ∼ N(0, σ2Z ) y εGt ∼ N(0, σ2

G). Observe que procesosson distintos a lo considerado la clase pasada. Se debe alestado estacionario de Gt , como veremos más adelante.

El modelo

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θ

C=

1− θ(1− L)W

(10)

1β− 1 = r (11)

W = αYL

(12)

r = (1− α)YK− δ (13)

Y = C + I + G (14)

Y = ZLαK 1−α (15)

I = δK (16)

Estado Estacionario

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De la ecuación 11 y 13, se llega a:

1β− 1 + δ = (1− α)Y

K(17)

Que lleva a:

K =(1− α)βY1− β + βδ

(18)

Estado Estacionario

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Usando la ecuación 16

I =(1− α)δβY1− β + βδ

(19)

De 14 despejamos:

C =

[1− (1− α)βδ

1− β + βδ− G

Y

]Y (20)

Además, despejando para L en la ecuación 10 y utilizando lasecuaciones 12 y 20, se llega a:

L =1

1 +

[1− (1−α)βδ

1−β+βδ−G

Y

]αZ

(1−θθ

) (21)

Estado Estacionario

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Finalmente, combinamos la ecuación 15 con la ecuación 18 y21 y se llega a:

Y = Z1α

1

1 +

[1− (1−α)βδ

1−β+βδ−G

Y

]αZ

(1−θθ

)[ (1− α)β

1− β + βδ

]( 1−αα )

(22)

En cuanto a los procesos exógenos, asumimos:

Z = 1 y G =GY× Y (23)

Estado Estacionario

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Consiste en imponer valores a los parámetros estructurales o“profundos” del modelo de acuerdo a ratios observados en ladata económica, revisión de modelos similares o para obtenerco-movimientos similares a los observados. En nuestro caso:

Parámetros Descripciónβ = 0,99 Factor de descuentoθ = 0,36 Importancia del consumo sobre renta totalα = 0,67 Importancia del factor trabajo en la FPδ = 0,023 Depreciación del capital físicoGY = 0,155 Gasto Público/PBIρZ = 0,95 Persistencia del choque de productividadρG = 0,75 Persistencia del choque de gasto públicoσZ = 0,01 Desviación estándar, productividadσG = 0,01 Desviación estándar, gasto público

Calibración

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• Para la calibración de β, consideramos un ρ (tasa dedescuento subjetiva intertemporal asociada al promedio dela tasa de interés de mercado) de 4% anual. En frecuenciatrimestral: (1 + 4%)0,25 ≈ 1%. Luegoβ = 1

1+ρ = 11,01 ≈ 0,99.

• Para θ se asume un valor similar a lo utilizado en otrostrabajos.

• La depreciación es aproximadamente de 10% anual.• El ratio G

Y es obtenido de las cuentas nacionales.• Para el caso de los procesos exógenos, son AR(1):

EZt = 0 EZ 2t =

σ2Z

1− ρ2Z

EZtZt−1 =ρZσ

2Z

1− ρ2Z

Lo mismo para Gt .

Calibración

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Dynare

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Primer bloque: definir variables endógenas, variablesexógenas y parámetros del modelo.

var lab c w r y kap innv z g ;predetermined_var iab les kap ;varexo e_z e_g ;parameters alpha de l t a be t ta the ta rho_z rho_gz_ss lab_ss r_ss kap_ss w_ss y_ss c_ss inv_ss g_ss C_Y

I_Y G_Y;

• En la medida de lo posible debemos evitar nombrar lasvariables y parámetros como funciones del Matlab oexpresiones matemáticas (ejemplo son funciones beta oinversa, o nombres como i o pi).

• Si hay una variable predeterminada, podemos decirle alDynare que la considere como tal, así no tendremos que“laggearla” manualmente.

Introduciendo el modelo en Dynare

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alpha = 1−0.33;de l t a = 0.023;be t ta = 0 .99 ;the ta = 1 / 2 . 7 5 ;rho_z = 0 .95 ;rho_g = 0 .75 ;z_ss = 1;G_Y = 0.155;lab_ss = 1/((1− t he ta ) / ( alpha∗ t he ta∗z_ss )∗((1−be t ta+alpha∗be t ta∗de l t a ) /(1− be t ta+be t ta∗

de l t a )−G_Y) +1) ;y_ss = z_ss∗(((1−alpha )∗be t ta /(1− be t ta+be t ta∗de l t a ) ) ^((1−alpha ) / alpha ) )∗ lab_ss ;w_ss = alpha∗y_ss / lab_ss ;kap_ss = (1−alpha )∗be t ta /(1− be t ta+be t ta∗de l t a )∗y_ss ;inv_ss = de l t a∗kap_ss ;r_ss = (1−alpha )∗y_ss / kap_ss−de l t a ;c_ss = ((1−be t ta+alpha∗be t ta∗de l t a ) /(1− be t ta+be t ta∗de l t a )−G_Y)∗y_ss ;g_ss = G_Y∗y_ss ;C_Y = c_ss / y_ss ;I_Y = inv_ss / y_ss ;

Introduciendo el modelo en Dynare

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Segundo bloque: el modelo.

model ;the ta / c =(1− t he ta ) /((1 − l ab ) ∗w) ;1 / c =be t ta ∗1/ c (+1) ∗(1+ r (+1) ) ;w =alpha∗y / lab ;r + de l t a =(1−alpha ) ∗y / kap ;y =c+ innv+g ;kap (+1) =(1−de l t a ) ∗kap+ innv ;y =z∗kap^(1−alpha ) ∗ l ab ^ alpha ;log ( z ) =(1− rho_z ) ∗ log ( z_ss ) + rho_z∗ log ( z (−1) ) + e_z ;log ( g ) =(1−rho_g ) ∗ log ( g_ss ) + rho_g∗ log ( g(−1) ) + e_g ;end ;

Introduciendo el modelo en Dynare

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Tercer bloque: el estado estacionario.

steady_state_model ;lab =lab_ss ;c =c_ss ;w =w_ss ;r =r_ss ;y =y_ss ;kap =kap_ss ;innv= inv_ss ;z =z_ss ;g =g_ss ;end ;

Podríamos haber implementado el cálculo del estadoestacionario directamente en este bloque. Esta vez obtamospor hacerlo en el segundo bloque y “llamar” a esos resultados.

Introduciendo el modelo en Dynare

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Cuarto bloque: definición de varianzas y otros comandos.

shocks ;

var e_z ; s t d e r r 0 .01 ;var e_g ; s t d e r r 0 .01 ;end ;

r es i d ;steady ;check ;

Introduciendo el modelo en Dynare

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• resid: muestra los residuos de las ecuaciones estáticas,dados los valores de estado estacionario. Deberían sercero.

• steady: muestra el estado estacionario de cada una de lasvariables del modelo. Sirve para comprobación.

• check: muestra los valores propios del sistema. Paracumplir con las condiciones de Blanchard-Kahn(existencia, unicidad y estabilidad del equilibrio) senecesitan tantos valores propios mayores a uno en sumódulo como variables forward looking del modelo. Ennuestro caso hay dos: rt+1 y ct+1.

Introduciendo el modelo en Dynare

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Quinto bloque: comando de simulación estocástica

stoch_simul ( order = 1) ;

Donde se da inicio al proceso de simulación ordenándole alDynare que linealice las ecuaciones correspondientes. Paragrabar el modelo, debemos tener en cuenta la extensión que“leerá” el Dynare (.mod), y colocarla manualmente. Debemos ira “save as” o “Guardar como” y una vez ahí tipear:

RBC01.mod

Introduciendo el modelo en Dynare

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Una vez escrito el código del modelo, debemos escribir en elCommand Window lo siguiente:

addpath C : \ dynare \ 4 . 4 . 3 \ matlabcd ‘G : \ UNI \ Teor ia Macroeconomica I I \MODs’

• La primera línea “llama” al Dynare.• Con la segunda damos la dirección de la carpeta donde se

encuentra nuestro archivo .mod.• OJO: Tener cuidado con nombres de carpetas que están

separados. Si lo están (como en este caso), se necesitaencerrar la dirección entre apóstrofes. Sino, no haynecesidad de ello.

Luego, para que el modelo “corra” escribimos:

dynare RBC01.mod

Introduciendo el modelo en Dynare

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Figura 1: IRF, choque de productividad

Funciones Impulso-Respuesta linealizadas

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Figura 2: IRF, choque de gasto público

Funciones Impulso-Respuesta linealizadas

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• Log-linealización es método común para llevar un sistemano lineal a uno lineal.

• ¿Por qué es ello necesario? Facilidad en el cómputo paramodelos más grandes, pues evitas el cálculo del EstadoEstacionario. OJO: El Dynare linealiza el modelo (nolog-linealiza) y luego aplica el método de Blanchard-Kahn.

• Variables se interpretan como desviaciones respecto a suEstado Estacionario (interpretación económica: ciclos).

Expansión de Taylor alrededor de x0

φ(x) = [φ(x0)

0!+φ′(x0)

1!(x − x0) +

φ′′(x0)

2!(x − x0)

2 + ...

...+φ(n)(x0)

n!(x − x0)

n]

Log-linealización

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Linealización

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• Sea la variable de interés xt = lnxt − lnxss.• Despejando xt = xssext .• Dado ello, se aplica una expansión de Taylor de primer

orden a la expresión ext :

ext |xt=0≈ ext=0 + ext=0(xt − 0)

ext |xt=0≈ 1 + xt

ext ≈ 1 + xt

• Luego, xt = xss(1 + xt). Despejando, xt ≈ xt−xssxss

.

Log-linealización (método de Uhlig)

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• Condición intratemporal (oferta de trabajo):

L1− L

Lt + Ct = Wt (24)

• Condición intertemporal del consumo:

Ct = Ct+1 − (1− β)rt+1 (25)

• Demanda de trabajo:

Wt = Yt − Lt (26)

• Demanda de capital:

r rt = (1− α)YK(Yt − Kt) (27)

Modelo log-linealizado

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• Demanda agregada:

Yt =CY

Ct +IY

It +GY

Gt (28)

• Oferta agregada:

Yt = Zt + αLt + (1− α)Kt (29)

• Evolución del capital:

Kt+1 =IK

It + (1− δ)Kt (30)

• Procesos exógenos:

Zt = ρZ Zt−1 + εZt (31)

Gt = ρGGt−1 + εGt (32)

Modelo log-linealizado

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Si queremos resolver un modelo log-lineal en Dynare tenemosdos posibilidades:• Escribir el modelo no lineal con componentes

exponenciales (para que el Dynare linealice, como enUhlig).

• Log-linealizar el modelo manualmente e incorporarlo ya deforma lineal al computador.

En el caso del primero, el beneficio que obtenemos es quepodemos decirle al Dynare que aplique una expansión deTaylor de primer, segundo y hasta tercer orden. Esto es útil enel caso de comparaciones (rankings) de bienestar.Considerando ello, modificamos sólo el bloque 2 y el bloque 3:

Modelo log-linealizado en Dynare

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model ;the ta / exp ( c ) =(1− t he ta ) /((1−exp ( lab ) ) ∗exp (w) ) ;1 / exp ( c ) =be t ta ∗1/exp ( c (+1) ) ∗(1+exp ( r (+1) ) ) ;exp (w) =alpha∗exp ( y ) / exp ( lab ) ;exp ( r ) + de l t a =(1−alpha ) ∗exp ( y ) / exp ( kap ) ;exp ( y ) =exp ( c ) +exp ( innv ) +exp ( g ) ;exp ( kap (+1) ) =(1−de l t a ) ∗exp ( kap ) +exp ( innv ) ;exp ( y ) =exp ( z ) ∗exp ( kap ) ^(1−alpha ) ∗exp ( lab ) ^ alpha ;z =(1− rho_z ) ∗ log ( z_ss ) + rho_z∗z(−1) + e_z ;g =(1−rho_g ) ∗ log ( g_ss ) + rho_g∗g(−1) + e_g ;end ;steady_state_model ;lab =log ( lab_ss ) ;c =log ( c_ss ) ;w =log ( w_ss ) ;r =log ( r_ss ) ;y =log ( y_ss ) ;kap =log ( kap_ss ) ;innv=log ( inv_ss ) ;z =log ( z_ss ) ;g =log ( g_ss ) ;end ;

Modelo log-linealizado en Dynare (1era forma)

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Necesitamos modificar el bloque 2 y eliminar el bloque 3.

model ( l i n e a r ) ;w = ( lab_ss /(1− lab_ss ) ) ∗ l ab + c ;c = c (+1) − (1−be t ta ) ∗ r (+1) ;w = y − l ab ;r_ss∗ r = (1−alpha ) ∗y_ss / kap_ss ∗ ( y−kap ) ;y = C_Y∗c + I_Y∗ innv + G_Y∗g ;y = z + alpha∗ l ab + (1−alpha ) ∗kap ;kap (+1) = de l t a ∗ innv + (1−de l t a ) ∗kap ;z = rho_z∗z(−1) + e_z ;g = rho_g∗g(−1) + e_g ;end ;

• Note que despues de escribir MODEL se añade (LINEAR).Esto le indica al Dynare que el modelo ya es lineal.

• Las nuevas IRFs son similares en dinámica pero distintasen magnitud: IRFloglinealizada = IRFlinealizada

EE .

Modelo log-linealizado en Dynare (2da forma)

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Figura 3: IRF, choque de productividad

Funciones Impulso-Respuesta loglinealizadas

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Figura 4: IRF, choque de gasto público

Funciones Impulso-Respuesta loglinealizadas

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