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SOLUCIONES NUMÉRICAS Método de las diferencias finitas
Mecánica de Fluidos IMPT 210Ingeniería Civil en Obras Civiles 2011
Octubre 2012
dx
fxdxfx
dx
lím
dx
dff
0
SOLUCIONES NUMÉRICAS
Método de las diferencias finitas
X
dx
dxx
dxfx
fx
f
Expansión de una función continua en series de Taylor
)( hxf )(xf
)( hxf
hx hx
hh
X
)(xf
X
...(x) f3!h
(x) f2!h
(x) fh(x) fh)(x f 32
...(x) f3!h
(x) f2!h
(x) fh(x) fh)(x f 32
De aquí se pueden obtener 3 expresiones para la primera derivada de f(x):
)...(!3
)(!2
)()()(
2
xfh
xfh
h
xfhxfxf
)...(!3
)(!2
)()()(
2
xfh
xfh
h
hxfxfxf
)...(!322
)()()(
2
xfh
h
hxfhxfxf
Si se truncan estas series infinitas se obtienen las expresiones aproximadas
para evaluar la primera derivada
h
xfhxfxf
)()()(
h
hxfxfxf
)()()(
h
hxfhxfxf
2
)()()(
Diferencia finita adelantada
Diferencia finita atrasada
Diferencia finita centrada
Con un procedimiento similar se pueden obtener expresiones
aproximadas para las segundas derivadas de la función
2
)2()(2)()("
hhxfhxfxf
xf
Diferencia finita adelantada para segunda derivada
Diferencia finita atrasada para segunda derivada
Diferencia finita centrada para segunda derivada
2
)()(2)2()("
hxfhxfhxf
xf
2
)()(2)()("
hhxfxfhxf
xf
Notación indicial para el método de Diferencias Finitas
h h h h
if
)(xf
i 1i 2i1i2i
1if2if
1if2if
211 2
"h
ffff iiii
Diferencia finita centrada para primera derivada
hff
f iii 2
11
Diferencia finita centrada para segunda derivada
y
y
x x
Y
X
= Frontera
Malla y discretización del dominio
i - 1, j i , j i + 1, j
i , j + 1
i , j - 1
= Dominio
Formulación en Diferencias Finitas. Flujo Potencial
0 2
0yx
2
2
2
2
0
Δy
2
Δxji,1ji,j1,-iji,j1,i
2
221, ji
i+1,j + i-1,j + i,j+1 + i,j-1 – 4 i,j = 0
Si: ΔyΔx
ji,
1
2
n
……
……
….........
b1
b2
bn
……
……
….........
a11 a12 .......................... a1n
a21 a22 .......................... a2n
an1an2 ........................... ann
……
……
….........
……
……
….........
……
……
….........
SOLUCIONES NUMÉRICAS
Método de las diferencias finitas