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SOLUCIONES NUMÉRICAS Método de las diferencias finitas Mecánica de Fluidos IMPT 210 Ingeniería Civil en Obras Civiles 2011 Octubre 2012

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SOLUCIONES NUMÉRICAS Método de las diferencias finitas

Mecánica de Fluidos IMPT 210Ingeniería Civil en Obras Civiles 2011

Octubre 2012

Page 2: fffffff

dx

fxdxfx

dx

lím

dx

dff

0

SOLUCIONES NUMÉRICAS

Método de las diferencias finitas

X

dx

dxx

dxfx

fx

f

Page 3: fffffff

Expansión de una función continua en series de Taylor

)( hxf )(xf

)( hxf

hx hx

hh

X

)(xf

X

...(x) f3!h

(x) f2!h

(x) fh(x) fh)(x f 32

...(x) f3!h

(x) f2!h

(x) fh(x) fh)(x f 32

Page 4: fffffff

De aquí se pueden obtener 3 expresiones para la primera derivada de f(x):

)...(!3

)(!2

)()()(

2

xfh

xfh

h

xfhxfxf

)...(!3

)(!2

)()()(

2

xfh

xfh

h

hxfxfxf

)...(!322

)()()(

2

xfh

h

hxfhxfxf

Page 5: fffffff

Si se truncan estas series infinitas se obtienen las expresiones aproximadas

para evaluar la primera derivada

h

xfhxfxf

)()()(

h

hxfxfxf

)()()(

h

hxfhxfxf

2

)()()(

Diferencia finita adelantada

Diferencia finita atrasada

Diferencia finita centrada

Page 6: fffffff

Con un procedimiento similar se pueden obtener expresiones

aproximadas para las segundas derivadas de la función

2

)2()(2)()("

hhxfhxfxf

xf

Diferencia finita adelantada para segunda derivada

Diferencia finita atrasada para segunda derivada

Diferencia finita centrada para segunda derivada

2

)()(2)2()("

hxfhxfhxf

xf

2

)()(2)()("

hhxfxfhxf

xf

Page 7: fffffff

Notación indicial para el método de Diferencias Finitas

h h h h

if

)(xf

i 1i 2i1i2i

1if2if

1if2if

211 2

"h

ffff iiii

Diferencia finita centrada para primera derivada

hff

f iii 2

11

Diferencia finita centrada para segunda derivada

Page 8: fffffff

y

y

x x

Y

X

= Frontera

Malla y discretización del dominio

i - 1, j i , j i + 1, j

i , j + 1

i , j - 1

= Dominio

Page 9: fffffff

Formulación en Diferencias Finitas. Flujo Potencial

0 2

0yx

2

2

2

2

0

Δy

2

Δxji,1ji,j1,-iji,j1,i

2

221, ji

Page 10: fffffff

i+1,j + i-1,j + i,j+1 + i,j-1 – 4 i,j = 0

Si: ΔyΔx

ji,

Page 11: fffffff

1

2

n

……

……

….........

b1

b2

bn

……

……

….........

a11 a12 .......................... a1n

a21 a22 .......................... a2n

an1an2 ........................... ann

……

……

….........

……

……

….........

……

……

….........

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Método de las diferencias finitas