Dictado por: Profesor Aldo Valcarce

2do semestre 2014

Física: Repaso Matemático, Vectores y

Sistemas de Referencia

FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Fechas de pruebas C1: Miércoles 13 de agosto (8:30 hrs cátedra)

C2: Viernes 29 de agosto (14:00 hrs)

I1: Lunes 8 septiembre (18:30 hrs)

C3: Viernes 26 de septiembre (14:00 hrs)

C4: Viernes 3 de octubre (14:00 hrs)

I2: Lunes 13 octubre (18:30 hrs)

C5: Viernes 24 de octubre (14:00 hrs)

I3: Lunes 10 noviembre (18:30 hrs)

C6: Viernes 14 de noviembre (14:00 hrs)

Ex: Martes 2 diciembre (8:30 hrs)

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Repaso Matemático Notación científica: es un modo conciso de representar números

mediante la técnica llamada coma flotante aplicada al sistema decimal.

100 = 1; 101 = 10; 102 = 100; 103 = 1000; 104 = 10000

El resultado de la potencia 𝟏𝟎𝒏 es igual a la unidad (𝟏) seguida de 𝒏 ceros.

En el caso de una potencia entera negativa 𝟏𝟎−𝒏 es igual a 𝟏/𝟏𝟎𝒏, o

equivalentemente ‘0, 𝑛 − 1 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 1’:

10−1 = 1/10 = 0,1; 10−3 = 1/1000 = 0,001; 10−5 = 1/100000 = 0,00001

Utilidad: Números grandes y pequeños pueden escribirse en menos

espacio y es más difícil equivocarse:

15557462000000 = 1,557462 × 1013

0,00000000007415 = 7,415 × 10−11

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Repaso Matemático Notación científica – Operaciones Matemáticas

Adición: se suman los coeficientes y se mantiene el exponente, por lo que

siempre se debe tener el mismo exponente.

Multiplicación: se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes

División: se dividen los coeficientes y se restan los exponentes

Potenciación: se potencia el coeficiente y se multiplican los exponentes

Radicación: se obtiene la raíz del coeficiente y se divide el exponente por el

índice de la raíz

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5 × 105 + 4 × 105 = 9 × 105

−8 × 103 + 3 × 104 = −8 × 103 + 30 × 103 = 22 × 103 = 2,2 × 104

(3 × 105) × (4 × 102) = 12 × 107 = 1,2 × 108

(6 × 103)/(8 × 107) = 0,75 × 10−4 = 7,5 × 10−5

(5 × 103)3= 53 × 103×3 = 125 × 109 = 1,25 × 1011

8 × 1093

= 2 × 103

Repaso Matemático Despejar variables de una ecuación

Muchas de las ecuaciones típicas que se verán en clases tienen las siguientes

formas:

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𝐸𝑝 = 𝑚𝑔𝑕

𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎𝑡

𝑎𝑐 =𝑣2

𝑟

se quiere despejar 𝑕 Nos damos cuenta que tanto 𝑚 y 𝑔 están multiplicando

𝑕, por lo cual pasan dividiendo al otro lado:

Solución:

𝑕 =𝐸𝑝𝑚𝑔

se quiere despejar 𝑎 Sabemos que 𝑣𝑖 que está sumando pasa al otro lado

restando 𝑣𝑓 − 𝑣𝑖 = 𝑎𝑡 ; y ahora 𝑡 que está

multiplicando pasa al otro lado dividiendo:

se quiere despejar 𝑣

𝑎 =𝑣𝑓 − 𝑣𝑖

𝑡

Como 𝑟 está dividiendo pasa al otro lado multiplicando

𝑎𝑐 𝑟 = 𝑣2 ; ahora sacando la raíz cuadrada a ambos

lados:

𝑣 = 𝑎𝑐 𝑟

Problema:

Repaso Matemático Despejar variables de una ecuación

Muchas de las ecuaciones típicas que se verán en clases tienen las siguientes

formas:

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2𝑎 𝑥 = 𝑣𝑓2 − 𝑣𝑖

2 se quiere despejar 𝑣𝑓 Como el término 𝑣𝑖2 está restando pasa al otro lado

sumando 2𝑎 𝑥 + 𝑣𝑖2 = 𝑣𝑓

2 ; ahora se saca la raíz

cuadrada a ambos lados quedando:

Solución:

𝑣𝑓 = 2𝑎𝑥 + 𝑣𝑖2

𝑦 = 𝑣𝑡 −𝑔

2𝑡2 se quiere encontrar 𝑡 En este caso, como 𝑡 no se puede despejar

directamente, se deberá recurrir a la ‘solución de la

ecuación cuadrática’, la cual indica que si se tiene una

ecuación de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, los posibles

valores de 𝑥 serán:

𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Hay que reescribir adecuadamente esta

ecuación:

𝑔

2𝑡2 − 𝑣𝑡 + 𝑦 = 0

𝑡 =𝑣 ± 𝑣2 − 2𝑔𝑦

𝑔

Problema:

𝑎 =𝑔

2; 𝑏 = −𝑣; 𝑐 = 𝑦

Repaso Matemático Transformación de unidades

Muchas veces en física se necesitará cambiar de unidades para lo cual se utiliza el

‘factor de conversión’, donde

𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎 × 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖ó𝑛 = 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑎

Por ejemplo, se quiere cambiar 2 horas a minutos

Se quiere cambiar 30 cm a metros

O cambiar 120 km/hr a m/s

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Repaso Matemático Transformación de unidades

Un poco más complicado es cuando se deben cambiar unidades que se encuentran

elevadas a alguna potencia.

Por ejemplo, cambiar un volumen de 0,4 𝑚3 a 𝑐𝑐 (1 𝑐𝑐 = 1 𝑐𝑚3)

También se puede querer cambiar 500 𝑙𝑏2 𝑝𝑖𝑒𝑠−3 𝑕𝑟−1 al sistema MKS

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0,4 (𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜)3= 0,4 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 ×100 𝑐𝑚

1 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜

3

= 0,4 × 1003 × 𝑐𝑚3 = 4 × 105𝑐𝑐

500𝑙𝑏2

𝑝𝑖𝑒3𝑕𝑟= 500

𝑙𝑏 ×0,4536 𝑘𝑔

1 𝑙𝑏

2

𝑝𝑖𝑒 ×0,305 𝑚1 𝑝𝑖𝑒

3

× 𝑕𝑟 ×3600 𝑠1 𝑕𝑟

= 500 ×0,2057𝑘𝑔2

0,02837𝑚3 × 3600 𝑠

= 1,007𝑘𝑔2

𝑚3 𝑠

Ejercicio Propuesto ¿Cuántas botellas de coca-cola de 200 cc se necesitan para

tener un metro cúbico (1 𝑚3) de coca-cola?

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Vectores y Sistemas de Referencia

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Magnitudes Físicas

Escalares: definidos por un número

Ej.: masa, tiempo, presión, temperatura, energía, voltaje,…

Vectoriales: definidas por magnitud, dirección y

sentido

Ej.: fuerza, velocidad, aceleración, desplazamiento, campo

eléctrico, campo magnético, …

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Sistemas de Referencias

Un sistema de referencia (o marco de referencia) es un conjunto de

convenciones usadas por un observador para poder medir la posición y otras

magnitudes físicas de un sistema físico y de mecánica.

¿Cómo informarle a otra

persona la posición de un

punto en una hoja?

El punto B se encuentra en:

(6 en x , 5 en y) ó (6, 5).

Coordenadas Cartesianas o

rectangular (x, y).

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Sistemas de Referencias 2

En ocasiones es más conveniente representar un punto de acuerdo a sus

coordenadas polares (r,θ).

La estrella se encuentra en:

(13 en r , 23° en θ) ó (13, 23°).

Coordenadas Polares (r,θ).

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Sistemas de Referencias 3

Las transformaciones de las coordenadas cartesianas a las polares (y

viceversa) se pueden realizar usando las siguientes relaciones trigonométricas.

y

x

r

θ

sen θ = 𝑦

𝑟 cos θ =

𝑥

𝑟

tan θ = 𝑦

𝑥 r = 𝑥2 + 𝑦2

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Vector Geométrico

Magnitud: largo del vector

Dirección

Sentido

A

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Propiedades de vectores: Igualdad

Tienen igual magnitud, dirección y sentido

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Propiedades de vectores: Suma

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Ejemplo: suma de dos vectores

Si una persona camina

3 metros al este y

luego 4 metros al norte

¿Cuál es la distancia

desde el punto inicial?

¿Cuál es la dirección?

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Suma de vectores: regla del

paralelogramo

La suma de dos vectores que parten desde el mismo origen es la diagonal del

paralelogramo que forman sus proyecciones.

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Suma de 4 vectores

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La suma es conmutativa

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La suma es asociativa

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Ejemplo 1

Pasos:

1.- Hacer figura.

2.- ¿Qué se busca?

3.- ¿Cuál es la magnitud y dirección del vector AC ?

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Vectores: Neutro, Inverso y Resta

inverso neutro

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Ponderación: Multiplicación por un

escalar

λ A

2 A A

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Componentes de un vector

Se definen los vectores

unitarios i y j que indican

la dirección en los ejes x

e y, respectivamente.

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Signos de las componentes

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Componentes de un vector

Se definen los vectores

unitarios i y j que indican

la dirección en los ejes x

e y, respectivamente.

Representación de los vectores

que conectan los puntos:

D y B:

D y A:

D y C:

6 𝑖 + 5 𝑗

−5 𝑖 + 3 𝑗

4,5 𝑖 − 3,5 𝑗

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Se conocen las componentes: ¿cuáles

son las magnitud y dirección?

Magnitud

θ

Dirección:

x

y

A

Atan

Φ

y

x

A

Atan

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Se conocen la magnitud y dirección: ¿cuáles son las

componentes?

θ

En esta figura:

ϕ

cosAAx

sinAAy

0,0 yx AAy

Entonces, usando el ángulo θ Tenemos:

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Base de vectores en cartesianas

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Suma de Vectores por componentes

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Suma de Vectores por componentes

R = A + B

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Ponderación: Multiplicación por un

escalar

λ A

2 A A

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Ejemplo 1: continuación

Pasos:

1.- Hacer figura.

2.- ¿Qué se busca?

3.- ¿Cuál es la magnitud y dirección del vector AC ?

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Ejemplo 2

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Resumen

Repaso matemático.

Las magnitudes físicas pueden ser escalares o vectoriales.

La posición en un plano se puede representar en el sistemas de coordenadas i) cartesianas o ii) polares.

Repaso de vectores:

Se pueden sumar y restar entre si.

Se pueden ponderar (multiplicar por un escalar).

Se pueden descomponer dependiendo del sistema de referencia.

sen θ = 𝒚

𝒓 cos θ =

𝒙

𝒓 tan θ =

𝒚

𝒙 r = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐

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