Post on 07-Jan-2015
¿Existe algún número q multiplicado por 2 sea igual a 1?
El conjunto de los números racionales se representa por “Q”. Todo número racional puede expresarse en forma de razón a/b entre dos números enteros a y b¸ con b ≠ 0. a se llama numerador y b se llama denominador.
Se define la relación mayor que (>) del siguiente modo:
d
c
b
a 0
d
c
b
a
Ej:
021
1
21
)1415(
)37(
)27()35(
3
2
7
5
porque
010
1
10
)65(
)52(
)32()51(
5
3
2
1
porque
63
71
63
)3536(
)97(
)57()94(
9
5
7
4
24
31
24
)1516(
)83(
)53()82(
8
5
3
2
Casos particulares: Fracciones con igual denominador: conservamos el
denominador común y sumamos o restamos los numeradores.
Más de dos fracciones: la adición o sustracción de más de dos fracciones se resuelve preferentemente reduciendo las fracciones a denominador común (M. C. M.)
Ej.:
bd
ac
d
c
b
aQ
d
c
b
a :
55
56
511
87
5
8
11
7
Se define gracias a la existencia de los inversos multiplicativos:
Ej.:
c
d
b
a
cd
ab
d
c
b
aQ
d
c
b
a 1)(
::
35
12
5
4
7
3
4
5:
7
3
Si el denominador de una fracción es una potencia entera de 10, entonces es una fracción decimal.
3,010
3
07,0100
7
015,01000
15
1) decimal finito
2) decimal infinito
3) decimal infinito
8,05:405
4
2,0...222,09:209
2
42,0...24444,045:11045
11
Consideremos el decimal periódico
(1) x =
(2) 10x =
(2)-(1) 10x – x = -
9x = 6 x =
6,0
6,0 10/
6,6
6,6 6,0
3
2
9
6
Consideremos el decimal periódico
(1) x =
(2) 100x =
(2)-(1) 100x – x = -
99x = 36 x =
36,0
100/
36,36
36,36 36,0
11
4
99
36
36,0
Consideremos el decimal semi periódico
(1) x =
(2) 1000x =
(3) 10x =
(2)-(3) 1000x – 10x = -
990x = 1926 x =
459,1
1000/
45,19
55
107
990
1926
459,1 10/
945,1 19
45,1945
Una potencia es un producto de factores iguales. Está formada por la base y el exponente.
3 . 3 . 3 . 3 = Base 34 Exponente
Se puede leer: tres elevado a cuatro o bien tres elevado a la cuarta
Ejemplos:
2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32
3 2 = 3 · 3 = 9 5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
Una potencia puede representarse en forma general como:
an = a · a · a · ........
Donde: a = base; n = exponente “ n” factores iguales.
Potencia de base entera y exponente natural:
Si la base a pertenece al conjunto de los Números Enteros ( a Є Z ) significa que puede tomar valores positivos y negativos.
Si el exponente pertenece al conjunto de los Números Naturales, significa que puede tomar valores del uno en adelante (1, 2, 3, ...).
Si la base a es positiva, la potencia siempre será un entero positivo, independiente de los valores que tome el exponente, es decir, de que sea par o impar.
(+a) n = +a n
Ejemplos:
(+4) 3 = 43 = 4 · 4 · 4 = 64 = +64 Exponente impar
(+3) 4 = 34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81 = +81 Exponente par
Potencia de base entera negativa:
Si la base a es negativa el signo de la potencia dependerá de si el exponente es par o impar.
a) Si el exponente es par, la potencia es positiva.
(_ a) n (par) = +a n
Ejemplos:
(_5) 2 = _5 · _5 = +25
(_2) 8 = _2 · _2 · _2 · _2 · _2 · _2 · _2 · _2 = +256
_ · _ = +
b) Si el exponente es impar, la potencia es negativa.
(_a) n (impar) = _a n
Ejemplos:
(_2) 3 = _2 · _2 · _2 = _8
(_3) 3 = _3 · _3 · _3 = _27
En resumen:
Multiplicación de potencias de igual base:
a m · a n = a m+n
Ejemplos:
1) 2 3 · 2 2 = 2 3 + 2 = 2 5
2) 3 4 · 3 6 = 3 4 + 6 = 3 10
3) (-4) 1 · (-4) 2 = (-4) 1+2 = (-4) 3
Ejemplos:
División de potencias de igual base:
Para dividir potencias de igual base, se restan los exponentes y se conserva la base.
am : a n = a m – n
3)
Ejemplos:
Potencia elevada a potencia:
Se eleva la base al producto (multiplicación) de los exponentes; o sea, se conserva la base y se multiplican los exponentes.
(a m ) n = a m *n
Ejemplos:
1) (2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6
2) (3 2) 2 = 3 2 × 2 = 3 4
Potencia de base racional y exponente entero:
Sea la base (fracción) perteneciente al conjunto de los Números Racionales ( Є Q), donde a es el numerador y b el denominador distinto de cero, y el exponente pertenece a los números enteros (n Є Z).
Ejemplos:
Potencia de exponente negativo:Si es un número racional y – n un número entero, entonces se tiene,
Ejemplos:
1) 2) 3)