¿Existe algún número q multiplicado por 2 sea igual a 1?

El conjunto de los números racionales se representa por “Q”. Todo número racional puede expresarse en forma de razón a/b entre dos números enteros a y b¸ con b ≠ 0. a se llama numerador y b se llama denominador.

Se define la relación mayor que (>) del siguiente modo:

d

c

b

a 0

d

c

b

a

Ej:

021

1

21

)1415(

)37(

)27()35(

3

2

7

5

porque

010

1

10

)65(

)52(

)32()51(

5

3

2

1

porque

63

71

63

)3536(

)97(

)57()94(

9

5

7

4

24

31

24

)1516(

)83(

)53()82(

8

5

3

2

Casos particulares: Fracciones con igual denominador: conservamos el

denominador común y sumamos o restamos los numeradores.

Más de dos fracciones: la adición o sustracción de más de dos fracciones se resuelve preferentemente reduciendo las fracciones a denominador común (M. C. M.)

Ej.:

bd

ac

d

c

b

aQ

d

c

b

a :

55

56

511

87

5

8

11

7

Se define gracias a la existencia de los inversos multiplicativos:

Ej.:

c

d

b

a

cd

ab

d

c

b

aQ

d

c

b

a 1)(

::

35

12

5

4

7

3

4

5:

7

3

Si el denominador de una fracción es una potencia entera de 10, entonces es una fracción decimal.

3,010

3

07,0100

7

015,01000

15

1) decimal finito

2) decimal infinito

3) decimal infinito

8,05:405

4

2,0...222,09:209

2

42,0...24444,045:11045

11

Consideremos el decimal periódico

(1) x =

(2) 10x =

(2)-(1) 10x – x = -

9x = 6 x =

6,0

6,0 10/

6,6

6,6 6,0

3

2

9

6

Consideremos el decimal periódico

(1) x =

(2) 100x =

(2)-(1) 100x – x = -

99x = 36 x =

36,0

100/

36,36

36,36 36,0

11

4

99

36

36,0

Consideremos el decimal semi periódico

(1) x =

(2) 1000x =

(3) 10x =

(2)-(3) 1000x – 10x = -

990x = 1926 x =

459,1

1000/

45,19

55

107

990

1926

459,1 10/

945,1 19

45,1945

Una potencia es un producto de factores iguales. Está formada por la base y el exponente.

3 . 3 . 3 . 3 = Base 34 Exponente

Se puede leer: tres elevado a cuatro o bien tres elevado a la cuarta

Ejemplos:

2 5   =  2 · 2 · 2 · 2 · 2 =  32

3 2 = 3 · 3 =  9    5 4 =  5 · 5 · 5 · 5  =  625  

Una potencia puede representarse en forma general como:

an  =  a · a · a · ........

Donde: a = base; n = exponente “ n” factores iguales.

Potencia de base entera y exponente natural:

Si la base a pertenece al conjunto de los Números Enteros ( a Є Z ) significa que puede tomar valores positivos y negativos.

Si el exponente pertenece al conjunto de los Números Naturales, significa que puede tomar valores del uno en adelante (1, 2, 3, ...).

Si la base a es positiva, la potencia siempre será un entero positivo, independiente de los valores que tome el exponente, es decir, de que sea par o impar.

(+a) n   =  +a n

Ejemplos: 

(+4) 3   =   43   =  4 · 4 · 4  = 64 = +64 Exponente impar

    (+3) 4  =   34  =  3 · 3 · 3 · 3  =  81 = +81 Exponente par

                

Potencia de base entera negativa:

Si la base a es negativa el signo de la potencia dependerá de si el exponente es par o impar.

a) Si el exponente es par, la potencia es positiva.

(_ a) n  (par)   =   +a n

Ejemplos:

(_5) 2  =  _5 · _5  =  +25      

(_2) 8  =  _2 · _2 · _2 · _2 · _2 · _2 · _2 · _2 = +256

_ · _  =  +

b) Si el exponente es impar, la potencia es negativa.

(_a) n (impar)  =  _a n

Ejemplos:

(_2) 3  =  _2 · _2 · _2  =  _8

(_3) 3  =  _3 · _3 · _3  =  _27

En resumen:

Multiplicación de potencias de igual base:

a m · a n  = a m+n

Ejemplos:

1)     2 3 · 2 2 = 2 3 + 2  = 2 5

2)     3 4 · 3 6 = 3 4 + 6 = 3 10

3)    (-4) 1 · (-4) 2 = (-4) 1+2 = (-4) 3

Ejemplos:

División de potencias de igual base:

Para dividir potencias de igual base, se restan los exponentes y se conserva la base.

am : a n  = a m – n

3)     

Ejemplos:

Potencia elevada a potencia:

Se eleva la base al producto (multiplicación) de los exponentes; o sea, se conserva la base y se multiplican los exponentes.

(a m ) n = a m *n

Ejemplos:

1)      (2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6

2)      (3 2) 2 = 3 2 × 2 = 3 4

Potencia de base racional y exponente entero:

Sea la base  (fracción) perteneciente al conjunto de los Números Racionales ( Є Q), donde a es el numerador y b el denominador distinto de cero, y el exponente pertenece a los números enteros (n Є Z). 

Ejemplos:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                   

Potencia de exponente negativo:Si   es un número racional y – n un número entero, entonces se tiene,

Ejemplos:

1)      2)      3)