7/24/2019 Ex Parc 11415

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Matemáticas IIPRIMER CONTROL. VERSIÓN A

Grado en Ingeniería en Organización Industrial

Fecha:  13 de marzo de 2015   Tiempo: 75 min

El examen está formado por cuatro problemas y se valorará sobre 50 puntos. La respuesta 

a cada uno de los problemas se valorará sobre el número de puntos indicado.

No está permitido el uso de calculadoras y de apuntes.

Las respuestas sin justificación se considerarán como no contestadas.

Ejercicio 1:   Considera la función de dos variables definida en todo  R2 como

f (x, y) =

xy

x2

+ y2

  si   (x, y) = (0, 0),

0   si   (x, y) = (0, 0).

a) (6 puntos) Estudia la continuidad de  f (x, y)  en  todo  su dominio.b) (6 puntos)  Si existen, halla las derivadas direccionales de  f (x, y)  en  (0, 0).

c) (4 puntos) Estudia la diferenciabilidad de   f (x, y)   en todo su dominio.   Si existe,calcula df (1, 1)(u1, u2), para todo  (u1, u2) ∈R

2.

Ejercicio 2:   (12 puntos)  Si existe, halla la matriz jacobiana en (r,s,t) = (0, 0, π) de la

función f (x , y , z  ) = (x2 + y2z,xz  −

1), siendo  x = sen(πs + t), y =  r

t2, z  =  r2

−t.

Ejercicio 3: a) (8 puntos) Considera la función f (x, y) =  x2 + y2

1 + x2 + y2 definida en  R

2.

Si existe, halla el polinomio de McLaurin de orden 2 de   f (x, y), P 2(x, y).  Usa  P 2(x, y)

para aproximar el número  e

1 + e.

b) (8 puntos) Clasifica los extremos de la función  f (x, y) =  x2 + y2

1 + x2 + y2 definida sobre

la bola cerrada de centro (0,0) y radio  2.

Ejercicio 4:

a) (3 puntos) Calcula el área de la región del plano limitada por la gráfica de la funciónf (x) = xsen(π

2x), el eje de las  x  y las rectas verticales  x = 0  y  x = 2.

b) (3 puntos) Calcula la integral indefinida

   1

1 +√ 

x dx.