Ex Parc 11415
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Matemáticas II PRIMER CONTROL. VERSIÓN A Grado en Ingeniería en Organización Industrial Fecha: 13 de marzo de 2015 Tiempo: 75 min El examen está formado por cuatro problemas y se valorará sobre 50 puntos. La respuesta a cada uno de los problemas se valorará sobre el número de puntos indicado. No está permitido el uso de calculadoras y de apuntes. Las respuestas sin justificación se considerarán como no contestadas. Ejercicio 1: Considera la función de dos variables definida en todo R 2 como f (x, y) = xy x 2 + y 2 si (x, y) = (0, 0), 0 si (x, y) = (0, 0). a) (6 puntos ) Estudia la conti nuidad de f (x, y ) en todo su dominio. b) (6 puntos) Si existen, halla las derivadas direccionales de f (x, y) en (0 , 0). c) (4 pun tos ) Estudia la dif ere nci abilidad de f (x, y) en todo su dominio. Si existe, calcula df (1, 1)(u 1 ,u 2 ), para todo (u 1 , u 2 ) ∈ R 2 . Ejercicio 2: (12 puntos) Si existe, halla la matriz jacobiana en ( r,s,t) = (0, 0, π) de la función f (x,y,z ) = (x 2 + y 2 z,xz − 1), siendo x = sen(πs + t), y = r t 2 , z = r 2 − t. Eje rcicio 3: a) (8 punto s) Conside ra la función f (x, y) = x 2 + y 2 1 + x 2 + y 2 definida en R 2 . Si existe, halla el polinomio de McLaurin de orden 2 de f (x, y), P 2 (x, y). Usa P 2 (x, y) para aproximar el número e 1 + e . b) (8 punto s) Clasific a los extremos de la función f (x, y) = x 2 + y 2 1 + x 2 + y 2 definida sobre la bola cerrada de centro (0,0) y radio 2. Ejercicio 4: a) (3 puntos) Calcula el área de la región del plano limitada por la gráfica de la función f (x) = xsen( π 2 x), el eje de las x y las rectas verticales x = 0 y x = 2. b) (3 puntos) Calc ula la integral indefi nida 1 1 + √ x dx.
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7/24/2019 Ex Parc 11415
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Matemáticas IIPRIMER CONTROL. VERSIÓN A
Grado en Ingeniería en Organización Industrial
Fecha: 13 de marzo de 2015 Tiempo: 75 min
El examen está formado por cuatro problemas y se valorará sobre 50 puntos. La respuesta
a cada uno de los problemas se valorará sobre el número de puntos indicado.
No está permitido el uso de calculadoras y de apuntes.
Las respuestas sin justificación se considerarán como no contestadas.
Ejercicio 1: Considera la función de dos variables definida en todo R2 como
f (x, y) =
xy
x2
+ y2
si (x, y) = (0, 0),
0 si (x, y) = (0, 0).
a) (6 puntos) Estudia la continuidad de f (x, y) en todo su dominio.b) (6 puntos) Si existen, halla las derivadas direccionales de f (x, y) en (0, 0).
c) (4 puntos) Estudia la diferenciabilidad de f (x, y) en todo su dominio. Si existe,calcula df (1, 1)(u1, u2), para todo (u1, u2) ∈R
2.
Ejercicio 2: (12 puntos) Si existe, halla la matriz jacobiana en (r,s,t) = (0, 0, π) de la
función f (x , y , z ) = (x2 + y2z,xz −
1), siendo x = sen(πs + t), y = r
t2, z = r2
−t.
Ejercicio 3: a) (8 puntos) Considera la función f (x, y) = x2 + y2
1 + x2 + y2 definida en R
2.
Si existe, halla el polinomio de McLaurin de orden 2 de f (x, y), P 2(x, y). Usa P 2(x, y)
para aproximar el número e
1 + e.
b) (8 puntos) Clasifica los extremos de la función f (x, y) = x2 + y2
1 + x2 + y2 definida sobre
la bola cerrada de centro (0,0) y radio 2.
Ejercicio 4:
a) (3 puntos) Calcula el área de la región del plano limitada por la gráfica de la funciónf (x) = xsen(π
2x), el eje de las x y las rectas verticales x = 0 y x = 2.
b) (3 puntos) Calcula la integral indefinida
1
1 +√
x dx.
