Post on 25-Sep-2018
Ing. Gastón Bonet - Ing. Cristian Bottero - Ing. Marco Fontana
Estructuras de Materiales Compuestos
Mecánica de Laminados - Ejercicios
Ejercicio 1
2
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
• Calcule las tensiones y deformaciones de las láminas que componen un laminado crossply [0/90]s sometido a un esfuerzo axil Nx=100KN/m.
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
1
2
12
12
160
8
4.5
0.3
E GPa
E GPa
G GPa
Espesor de lámina individual t = 0.2mm
Nx
Nx
Ejercicio 1
3
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Utilizando los datos, podemos calcular el segundo coeficiente de Poisson utilizando la relación:
Y podemos calcular la matriz Q de la lámina en su sistema principal (especialmente ortótropa)
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
2
21 12
1
0.015E
E
1 12 2
12 21 12 21
12 2 2
12 21 12 21
12
01 1
160.72 2.41 0
0 2.41 8.04 01 1
0 0 4.50 0
E E
E EQ GPa
G
Ejercicio 1
4
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
El siguiente paso es calcular las matrices Q correspondiente a todas las orientaciones presentes en el laminado. En este caso solamente hay láminas 0° y 90°
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
1 4
160.72 2.41 0
2.41 8.04 0
0 0 4.5
Q Q Q GPa
1 1
2 3
8.04 2.41 0
90 90 2.41 160.72 0
0 0 4.5
Q Q T Q R T R GPa
Ejercicio 1
5
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Para calcular como se distribuyen los esfuerzos dentro del laminado, procedemos a calcular la rigidez del laminado a través de las matrices A, B y D.
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
0N A B
M B D
1
1
n
k k kk
A h h Q
2 2
1
1 2
nk k
kk
h hB Q
3 3
1
1 3
nk k
kk
h hD Q
Ejercicio 1
6
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Como el laminado es simétrico, la matriz B será nula. Esto implica que el esfuerzo axil aplicado no producirá curvaturas del plano medio del laminado
Las deformaciones del plano medio y las curvaturas del plano medio están desacoplados
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
00
0
N A
M D
0N A
M D
Ejercicio 1
7
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Al no haber momentos aplicados, las curvaturas del plano medio resultan nulas
Con la matriz A podemos determinar las deformaciones del plano medio.
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
0
0
0
x xx xy xs x
y xy yy ys y
xy xs ys ss xy
M D D D
M D D D
M D D D
0
0
0
x
y
xy
0
0
0
x xx xy xs x
y xy yy ys y
xy xs ys ss xy
N A A A
N A A A
N A A A
Ejercicio 1
8
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
La matriz A se calcula a partir de la siguiente suma:
Como el espesor de todas las láminas es igual
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
4
1 2 3 41 2 3 41
k kk
A t Q t Q t Q t Q t Q
4
1 2 3 4 1 21
2k kk
A t Q t Q Q Q Q t Q Q
160.72 2.41 0 8.04 2.41 0
2*0.0002 2.41 8.04 0 2.41 160.72 0
0 0 4.5 0 0 4.5
67.5 1.93 0
1.93 67.5 0 .
0 0 3.6
A m GPa GPa
A MPa m
Ejercicio 1
9
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Teniendo en cuenta que el estado de carga es uniaxial
Explícitamente
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
0
0
0
100 67.5 1.93 0
0 0 / 1.93 67.5 0 .
0 0 0 0 3.6
x x
y
xy
N
KN m MPa m
6 0 6 0
6 0 6 0
6 0
100000 67.5*10 1.93*10
0 1.93*10 67.5*10
0 3.6*10
x y
x y
xy
0
0
0
0.00148
0.000042
0
x
y
xy
Ejercicio 1
10
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Las deformaciones de todo el laminado están determinadas por las deformaciones y curvaturas del plano medio
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
0
0
0
x
y
xy
0
0
0
0.00148
0.000042
0
x
y
xy
0
0
0
, , , ,
, , , ,
, , , ,
x x x
y y y
xy xy xy
x y z x y zk x y
x y z x y zk x y
x y z x y zk x y
Ejercicio 1
11
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
En ausencia de curvaturas, las deformaciones de todas las láminas son iguales
Con estas deformaciones podemos obtener las tensiones de cada lámina
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
, , 0.00148
, , 0.000042
, , 0
x
y
xy
x y z
x y z
x y z
k k
kQ
Ejercicio 1
12
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Podemos calcular las tensiones de cada lámina, pero las deformaciones de todas las láminas son iguales, y la matriz Q de las láminas 1 y 4 son iguales
Las matrices de rigidez de las láminas 2 y 3 son idénticas
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
1 4 1
1
160.72 2.41 0 0.00148 237
2.41 8.04 0 0.000042 3
0 0 4.5 0 0
Q GPa MPa
2 3 2
2
8.04 2.41 0 0.00148 12
2.41 160.72 0 0.000042 3
0 0 4.5 0 0
Q GPa MPa
Ejercicio 1
13
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Podemos graficar las tensiones presentes en el laminado
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Z
XNx Nx
237MPa
237MPa 237MPa
237MPa
12MPa
12MPa 12MPa
12MPa
Z
Y
3MPa
3MPa
3MPa
3MPa
-3MPa
-3MPa
-3MPa
-3MPa
Ejercicio 1
14
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Las tensiones en los ejes materiales de cada lámina se calculan rotando las tensiones calculadas anteriormente
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
1 4 1
1 0 0 237 237
' ' (0) 0 1 0 3 3
0 0 1 0 0
T MPa
2 3 2
0 1 0 12 3
' ' (90) 1 0 0 3 12
0 0 1 0 0
T MPa
Ejercicio 1
15
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Las tensiones principales de cada lámina se muestran en la siguiente figura
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
1 y 41
2 1
2
X
Y
237MPa
3MPa -3MPa
12MPa
2 y 3
Ejercicio 2
16
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
• Calcule las tensiones y deformaciones de las láminas que componen un laminado [0/+45/-45]s sometido a un momento Mx=50Nm/m.
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
1
2
12
12
160
8
4.5
0.3
E GPa
E GPa
G GPa
Espesor de lámina individual t = 0.2mm
Mx
Mx
Ejercicio 2
17
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Utilizando los datos, podemos calcular el segundo coeficiente de Poisson utilizando la relación:
Y podemos calcular la matriz Q de la lámina en su sistema principal (especialmente ortótropa)
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
2
21 12
1
0.015E
E
1 12 2
12 21 12 21
12 2 2
12 21 12 21
12
01 1
160.72 2.41 0
0 2.41 8.04 01 1
0 0 4.50 0
E E
E EQ GPa
G
Ejercicio 2
18
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
El siguiente paso es calcular las matrices Q correspondiente a todas las orientaciones presentes en el laminado.
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
1 1
2 5
47.9 38.9 38.2
45 45 38.9 47.9 38.2
38.2 38.2 41
Q Q T Q R T R GPa
1 6
160.72 2.41 0
2.41 8.04 0
0 0 4.5
Q Q Q GPa
1 1
3 4
47.9 38.9 38.2
45 45 38.9 47.9 38.2
38.2 38.2 41
Q Q T Q R T R GPa
Ejercicio 2
19
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Para calcular como se distribuyen los esfuerzos dentro del laminado, procedemos a calcular la rigidez del laminado a través de las matrices A, B y D.
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
0N A B
M B D
1
1
n
k k kk
A h h Q
2 2
1
1 2
nk k
kk
h hB Q
3 3
1
1 3
nk k
kk
h hD Q
Ejercicio 2
20
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Como el laminado es simétrico, la matriz B será nula. Esto implica que el esfuerzo axil aplicado no producirá curvaturas del plano medio del laminado
Las deformaciones del plano medio y las curvaturas del plano medio están desacoplados
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
00
0
N A
M D
0N A
M D
Ejercicio 2
21
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Las curvaturas del plano medio estarán dadas por la matriz D y los momento aplicados
En ausencia de esfuerzos axiles o de corte, las deformaciones normales y distorsión del plano medio serán nulas
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
50
0
0
x xx xy xs x
y xy yy ys y
xy xs ys ss xy
M D D D
M D D D
M D D D
0
0
0
0
0
0
x
y
xy
0
0
0
0
0
0
x xx xy xs x
y xy yy ys y
xy xs ys ss xy
N A A A
N A A A
N A A A
Ejercicio 2
22
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
La matriz D se calcula a partir de la siguiente suma:
Las coordenadas hk serán
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 33 34
1 1 0 3 2 4 3 5 4 6 52 1
1 2 3 4 5 61 3 3 3 3 3 3 3
k k
kk
h h h h h h h h h h h hh hD Q Q Q Q Q Q Q
K Z Z [m]
0 -3t -0.0006 N/A
1 -2t -0.0004 5.06e-11
2 -t -0.0002 1.87e-11
3 0 0 2.67e-12
4 t 0.0002 2.67e-12
5 2t 0.0004 1.87e-11
6 3t 0.0006 5.06e-11
Z
t
h0
Ejercicio 2
23
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Teniendo en cuenta que el estado de carga es uniaxial
Explícitamente
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
3
50 18.3 1.9 1.2
0 0 / 1.9 2.9 1.2 .
0 0 1.2 1.2 2.2
x x
y
xy
M
Nm m Pa m
50 18.3 1.9 1.2
0 1.9 2.9 1.2
0 1.2 1.2 2.2
x y xy
x y xy
x y xy
2.951
1.64
0.72
x
y
xy
m
Ejercicio 2
24
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Las deformaciones de todo el laminado estan determinadas por las deformaciones y curvaturas del plano medio:
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
0
0
0
, , , ,
, , , ,
, , , ,
x x x
y y y
xy xy xy
x y z x y zk x y
x y z x y zk x y
x y z x y zk x y
0
0
0
0
0
0
x
y
xy
2.951
1.64
0.72
x
y
xy
m
Ejercicio 2
25
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Debemos calcular las deformaciones de las láminas:
Con estas deformaciones podemos obtener las tensiones de cada lámina
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
k k
kQ
, , 2.95
, , 1.64
, , 0.72
x
y
xy
x y z z
x y z z
x y z z
Ejercicio 2
26
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Las tensiones dentro de cada lámina varían linealmente en el espesor. Para la lámina 1, podemos calcular las tensiones dentro de la lámina:
El dominio de la lámina está acotado por h0 y h1, por lo cual la ecuación anterior solo es válida en:
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Ejercicio 2
27
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Para la lámina 2
El dominio de la lámina está acotado por h1 y h2, por lo cual la ecuación anterior solo es válida en:
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
2
47.9 38.9 38.2 2.95 501
38.9 47.9 38.2 1.64 8.7
38.2 38.2 41 0.72 20.5
0.0004 0.0002
z zGPa
GPa z zm m
z z
z
Ejercicio 2
28
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Para la lámina 3
El dominio de la lámina está acotado por h2 y h3, por lo cual la ecuación anterior solo es válida en:
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
3
47.9 38.9 38.2 2.95 1051
38.9 47.9 38.2 1.64 63.7
38.2 38.2 41 0.72 79.6
0.0002 0
z zGPa
GPa z zm m
z z
z
Ejercicio 2
29
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Para la lámina 4
El dominio de la lámina está acotado por h3 y h4, por lo cual la ecuación anterior solo es válida en:
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
4
47.9 38.9 38.2 2.95 1051
38.9 47.9 38.2 1.64 63.7
38.2 38.2 41 0.72 79.6
0 0.0002
z zGPa
GPa z zm m
z z
z
Ejercicio 2
30
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Para la lámina 5
El dominio de la lámina está acotado por h4 y h5, por lo cual la ecuación anterior solo es válida en:
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
5
47.9 38.9 38.2 2.95 501
38.9 47.9 38.2 1.64 8.7
38.2 38.2 41 0.72 20.5
0.0002 0.0004
z zGPa
GPa z zm m
z z
z
Ejercicio 2
31
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Para la lámina 6
El dominio de la lámina está acotado por h5 y h6, por lo cual la ecuación anterior solo es válida en:
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
6
160.72 2.41 0 2.95 470.21
2.41 8.04 0 1.64 6.076
0 0 4.5 0.72 3.24
0.0004 0.0006
z zGPa
GPa z zm m
z z
z
Ejercicio 2
32
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Deformación normal X
-0.0008
-0.0006
-0.0004
-0.0002
0
0.0002
0.0004
0.0006
0.0008
-0.002 -0.0015 -0.001 -0.0005 0 0.0005 0.001 0.0015 0.002
z [
m]
Ejercicio 2
33
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Deformación normal Y
-0.0008
-0.0006
-0.0004
-0.0002
0
0.0002
0.0004
0.0006
0.0008
-0.0015 -0.001 -0.0005 0 0.0005 0.001 0.0015
z [
m]
Ejercicio 2
34
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Distorsión ingenieril XY
-0.0008
-0.0006
-0.0004
-0.0002
0
0.0002
0.0004
0.0006
0.0008
-0.0005 -0.0004 -0.0003 -0.0002 -0.0001 0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005
z [
m]
Ejercicio 2
35
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Tensión normal X
-0.0008
-0.0006
-0.0004
-0.0002
0
0.0002
0.0004
0.0006
0.0008
-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4
[GPa]
Z [
m]
Ejercicio 2
36
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Tensión normal Y
-0.0008
-0.0006
-0.0004
-0.0002
0
0.0002
0.0004
0.0006
0.0008
-0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015
[GPa]
z [
m]
Ejercicio 2
37
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Tensión de Corte XY
-0.0008
-0.0006
-0.0004
-0.0002
0
0.0002
0.0004
0.0006
0.0008
-0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02
[GPa]
z [
m]
Ejercicio 2
38
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Para analizar la resistencia del laminado tendremos que evaluar las tensiones de cada lámina en su propio sistema de ejes principales materiales (diferente para cada lámina).
Si bien se muestran en una misma gráfica en las próximas filminas, se debe recordar que las tensiones de las diferentes láminas corresponden a diferentes sistemas coordenados. Por ejemplo: la dirección 1 de la lámina 2 es +45 y la dirección 1 de la lámina 3 es -45 con respecto al eje x del laminado.
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
2 2
1
2 2
2
2 2
6
2
2
kk
x
y
xyk
m n mn
n m mn
mn mn m n
Ejercicio 2
39
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Tensión normal 1
-0.0008
-0.0006
-0.0004
-0.0002
0
0.0002
0.0004
0.0006
0.0008
-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4
[GPa]
Z [
m]
Ejercicio 2
40
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Tensión normal 2
-0.0008
-0.0006
-0.0004
-0.0002
0
0.0002
0.0004
0.0006
0.0008
-0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025
[GPa]
z [
m]